2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：函數(shù)模型及其應(yīng)用（五大題型）（講義）（解析版）

第08講函數(shù)模型及其應(yīng)用

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點(diǎn)突破?題型探究............................................................4

知識(shí)點(diǎn)1:幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型..................................................................4

知識(shí)點(diǎn)2:解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟................................................................5

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型............................................................6

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型..........................................................................9

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型...................................................13

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題...............................................................15

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題...............................................................18

04真題練習(xí)?命題洞見(jiàn)...........................................................23

05課本典例?高考素材...........................................................25

06易錯(cuò)分析?答題模板...........................................................29

易錯(cuò)點(diǎn)：函數(shù)模型應(yīng)用錯(cuò)誤.....................................................................29

答題模板：數(shù)學(xué)建模...........................................................................29

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

高考對(duì)函數(shù)模型的考查相對(duì)穩(wěn)定，考

2023年1卷第10題，5分查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不

(1)利用函數(shù)模型解決問(wèn)題2020年II卷第3題，5分大.2025年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)

2020年1卷第6題，5分用進(jìn)行考察，對(duì)學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用

能力綜合考察.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.

(2)理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.

(3)會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.

「(一次函數(shù)模型)~(/(*)=3+伙4。為常數(shù)且“2

Y反比例函數(shù)模型)一(/(')=《+。的b為常數(shù)flfl*O)J

幾種常見(jiàn)的函數(shù)基)-《二次函數(shù)模型)(/(2=a\，+G+c(a,6,c為常數(shù)”0))

一(指數(shù)函數(shù)模型)(/(k)=6a'+c(a,瓦c為常數(shù),bw0,a>0,"l)2)

《對(duì)數(shù)函數(shù)模型］(/(x)=〃og}+c(a,/>,4^^,bw0,a>0,a*Q

：(函數(shù)模型)~(為常數(shù),。=

函數(shù)模型及其應(yīng)用■(/(x)=av-+5(a,50))

審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;

建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利

解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

考點(diǎn)突確.題理輝寶

「知識(shí)育親

知識(shí)點(diǎn)1:幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù)且awO)

反比例函數(shù)模型

f(x)=—+b(k,人為常數(shù)且。WO)

二次函數(shù)模型/(x)=ax2+Z?x+c(a,b,c為常數(shù)且aw0)

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù)，b#O,a>0,awl)

對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù)，bwO,々>0,awl)

基函數(shù)模型f(x)=axn+b(a,力為常數(shù)，i。。)

【診斷自測(cè)】近年來(lái)，天然氣表觀消費(fèi)量從2006年的不到600xl()8m3激增到2021年的3726x10'加.從

2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記左表示從2000年開(kāi)始的第幾年，OWk,keN.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消

費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合匕=%(l+q『，其中匕是從2000年后第左年天然氣消費(fèi)量，匕是2000年的天

然氣消費(fèi)量，G是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為900xl()8m3,2018年的天然氣

消費(fèi)量為2880xl()8m3,根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為()

(參考數(shù)據(jù):2.883~2.0213.2,=2.17,43°2.52

83

A.5817.6x1()81n3B.6249.6xl0m

C.6928.2xl08m3D.7257.6xlO8m3

【答案】B

【解析】據(jù)題意％=%(1+匕)9=900x10=3,Ks=K>(l+^)18=2880xl08m3,兩式相除可得(1+4=3.2,

2

又因?yàn)椋?兀(1+4尸=2880x108x(3.2)3?6249.6xl08m3'

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)2：解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟

（1）審題：弄清題意，識(shí)別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用已有知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)

學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

【診斷自測(cè)】長(zhǎng)江流域水庫(kù)群的修建和聯(lián)合調(diào)度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效

益.每年洪水來(lái)臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風(fēng)險(xiǎn)，水利部門(mén)需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，

水庫(kù)實(shí)際蓄水量

統(tǒng)一蓄水，用蓄滿(mǎn)指數(shù)（蓄滿(mǎn)指數(shù)=xlOO）來(lái)衡量每座水庫(kù)的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合

水庫(kù)總蓄水量

調(diào)度要求如下:

（i）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)仍屬于區(qū)間[0,100]；

（ii）調(diào)度后每座水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)都不能降低；

（iii）調(diào)度前后，各水庫(kù)之間的蓄滿(mǎn)指數(shù)排名不變.

記x為調(diào)度前某水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫(kù)的蓄滿(mǎn)指數(shù)，給出下面四個(gè)y關(guān)于尤的函數(shù)解析式:

①）二一三％2+6冗；@y=loVx；（3）y—JQ50；@y=100sin.

則滿(mǎn)足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個(gè)數(shù)為（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①>=一點(diǎn)%?+6%=—點(diǎn)—12。%）二—卷+18。,

該函數(shù)在％=60時(shí)函數(shù)值為18。，超過(guò)了范圍，不合題意；

②y=為增函數(shù)，xe[0,100],ye[0,100]

且&410,貝IJx4104，符合題意；

③y=IO50J當(dāng)尤=5。時(shí)]0充=]0<50,不合題意

④y=lOOsin—,當(dāng)尤仁[0,100]時(shí)，—^―xG0,—

了2002002

故該函數(shù)在[0,10。]上單調(diào)遞增，又y=lOOsin就Xe[0,100]

jr

設(shè)g(x)=100sinx—x,xe[0,100]

jrjr

g'(x)=100-------cos-----X-1,XG[0,100]

')200200

即g'(x}=--cos-^—x-l,

v72200

易知/(xh^coseI在［。/00］上為減函數(shù)

由g'(x)在［。,1。0］上連續(xù)，且g'⑼=］一1>0,

,

g(100)=^cos^-l=-l<0,

則存在%e［0,100］,有g(shù)'(x)=0

當(dāng)彳€［0,%］,g'(x)〉0；

當(dāng)xe［尤o，lOO］,g［x)<0；

故g(x)在［0,%］遞增,在以)/。0］遞減.

g(O)=O,g(100)=0

故［0,100］上g(x)20

7T

gp［0,100］IlOOsin----x>x

200

故④符合題意，

所以②④滿(mǎn)足題意，

故選：B.

題型洞察

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

【典例1-1】我國(guó)的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時(shí)一般是期望在它達(dá)到最

高點(diǎn)時(shí)爆裂.如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時(shí)間f（單位：s）之間的關(guān)系為

//?）=-5/+15/+20,那么煙花沖出后在爆裂的最佳時(shí)刻距地面高度約為（）

A.26米B.28米C.31米D.33米

【答案】C

【解析】㈣72+15/+20=-5卜|>字如）3=13=手31.

故選：C

【典例1-2]（2024?云南?二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格:

一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價(jià)格37元32元30元27元25元

張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（）

A.116件B.no件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設(shè)購(gòu)買(mǎi)的件數(shù)為人花費(fèi)為v元，

37尤,14尤410

32x,ll<尤W50

貝||》={30尤,514元4100,當(dāng)天=107時(shí)，y=2889<2990,

27尤,101〈尤4300

25尤,x>300

當(dāng)x=108時(shí)，y=2916>2900,所以最多可購(gòu)買(mǎi)這種產(chǎn)品107件，

故選：C.

【方法技巧】

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個(gè)問(wèn)題，將各段的變化

規(guī)律分別找出來(lái)，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點(diǎn)值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，要準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔，不重不漏.

【變式1-1]（2024?安徽淮南?一模）我國(guó)在2020年9月22日在聯(lián)合國(guó)大會(huì)提出，二氧化碳排放力爭(zhēng)于

2030年前實(shí)現(xiàn)碳達(dá)峰，爭(zhēng)取在2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和.為了響應(yīng)黨和國(guó)家的號(hào)召，某企業(yè)在國(guó)家科研部門(mén)

的支持下，進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該技術(shù)處理總成本y（單

位：萬(wàn)元）與處理量無(wú)（單位：噸）（xe[120,500]）之間的函數(shù)關(guān)系可近似表示為

|x3-80x2+5040%,%e[120,144)

，=1當(dāng)處理量x等于多少?lài)崟r(shí)，每噸的平均處理成本最少（)

|x2-2OO.r+80000,xe[144,500]

A.120B.200C.240D.400

【答案】D

12

-x2-80x+5040,x[120,144)

【解析】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為S=<

1…80000//

—x—200H---------,xG[144,500]

2x

當(dāng)xe[120,144）時(shí)，S=g/-80x+5040=1（x-l20）2+240,

當(dāng)x=120時(shí)，S取得最小值240,

業(yè)n/1/icnma。180000“八一[1~80000…“八

當(dāng)xe[144,500]時(shí)，S=—尤+------200>2.-x------------200=200,

2x\2x

當(dāng)且僅當(dāng)工尤=則更，即x=400時(shí)取等號(hào)，此時(shí)S取得最小值200,

2x

綜上，當(dāng)每月得理量為400噸時(shí)，每噸的平均處理成本最低為200元，

故選：D

【變式1-2]（2024?高三?黑龍江佳木斯?期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測(cè)是新冠肺炎確診的有

效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測(cè)定點(diǎn)醫(yī)院并開(kāi)展檢測(cè)工作的第見(jiàn)天，設(shè)每個(gè)檢測(cè)對(duì)象從接受

檢測(cè)到檢測(cè)報(bào)告生成的平均耗時(shí)為f（"）（單位：小時(shí)），已知4"）與"之間的函數(shù)關(guān)系為

“。，M為常數(shù)），并且第16天的檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)16小時(shí)，第64天和第67天的

檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)均為8小時(shí)，那么可得第49天的檢測(cè)過(guò)程平均耗時(shí)大約為（）

A.7小時(shí)B.8小時(shí)C.9小時(shí)D.10小時(shí)

【答案】C

【解析】由己知可得，當(dāng)〃2乂時(shí)，函數(shù)為定值；當(dāng)〃<乂時(shí)，顯然函數(shù)為單調(diào)函數(shù).則根據(jù)數(shù)值分析可得,

16<No<67.所以有《16)=擊=16,解得364.

t64

因?yàn)?9</。=64,所以f（49）=病=7之9

故選：C.

【變式1-3】近年來(lái)，“共享單車(chē)”的出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大方便?某共享單車(chē)公司計(jì)劃在甲、乙

兩座城市共投資120萬(wàn)元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬(wàn)元?由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益

P（單位：萬(wàn)元）與投入。（單位：萬(wàn)元）滿(mǎn)足P=3后-6,乙城市收益Q（單位：萬(wàn)元）與投入4單位：萬(wàn)

元）滿(mǎn)足°=f+2,則投資這兩座城市收益的最大值為（）

A.26萬(wàn)元B.44萬(wàn)元C.48萬(wàn)元D.72萬(wàn)元

【答案】B

【解…析】由題意一可知：f[440。<"tz<1-20"12。=4。58。，

設(shè)投資這兩座城市收益為V,

貝I]有y=3屬-6+；+2=3歷+!（120-。）-4=3后二。+26,

-444

令y[a=/=>rG[2^10,4A/5],貝!）有f⑺=——t2+3yf2t+26,

4

該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為方=6近，且開(kāi)口向下，

所以/Wmax=/（672）=一1（60y+372x672+26=44,

故選：B

題型二：對(duì)勾函數(shù)模型

【典例2-1]（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)

算公式是W=（長(zhǎng)+4）x（寬+4）,在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米,

每平方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【解析】設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為X米，則寬為幽2米，

X

w/八J0000八，40000…c二40000

W=（x+4）（-------F4）=4XH---------1-10016>2J4x----------1-10016=10816，

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)以=邂也，即x=100時(shí)，等號(hào)成立.

所以平整這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用為1x10816=10816元.

故選：C

【典例2-2]（2024?高三?北京朝陽(yáng)?期末）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和

技術(shù)水平的影響，用。表示產(chǎn)量，入表示勞動(dòng)投入，K表示資本投入，A表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可

以表示為。=人不"，其中A>0,K>0,L>0,0<a<l,0<〃<l.當(dāng)A不變，K與乙均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，下面結(jié)

論中正確的是（）

A.存在和一<5，使得。不變

B.存在a>!和—>!，使得。變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

C.若的=；,則Q最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

D.若則Q最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

【答案】D

【解析】設(shè)當(dāng)A不變，K與乙均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，Q=A（2K^（21）^=T+f）AKalf=T+PQ,

對(duì)于A,若0＜a,夕＜；,則i=2。+0＜2。+夕＜2?+2—2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,若和夕＞《，則2。+尸＞2彩=2，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若4則2。+八22展=2,即若羽=?，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若&2+加=5，由￡+2羽+加42（〃+加），。＜。＜1,0＜夕＜1,可得20+”2舸同=2,故口

正確.

故選：D.

【方法技巧】

1、解決此類(lèi)應(yīng)用題一定要注意函數(shù)定義域；

2、利用/（x）=ax+2b求解最值時(shí)，注意取等的條件.

x

【變式2-1】某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時(shí)，需要12天完成，只由一名

女社員分裝時(shí)，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男、女社

員人數(shù)都不足以單獨(dú)完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時(shí)會(huì)不

可避免地造成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會(huì)損耗蔬菜共80千

克，參與任務(wù)的所有女社員會(huì)損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與

女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

【答案】B

【解析】設(shè)安排男社員x名，女社員v名,

根據(jù)題意，可得會(huì)全1,平均損耗蔬菜量之和為丁.

803025

貝n1l一+一=+一

%y3

二on十975=15,當(dāng)且僅當(dāng)苗40V法5x,即1*6時(shí)等號(hào)成立,

則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.

故選：B.

【變式2-2]（2024?云南楚雄-模擬預(yù)測(cè)）足球是一項(xiàng)深受人們喜愛(ài)的體育運(yùn)動(dòng).如圖，現(xiàn)有一個(gè)11人制

的標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)，其底線(xiàn)寬AB=68m,球門(mén)寬￡F=7.32m,且球門(mén)位于底線(xiàn)AB的中間，在某次比賽過(guò)程

中，攻方球員帶球在邊界線(xiàn)AC上的M點(diǎn)處起腳射門(mén)，當(dāng)NEMF最大時(shí)，點(diǎn)M離底線(xiàn)A5的距離約為

28.15mC.33.80mD.37.66m

【答案】c

【解析］設(shè)==AM=x>0,所以/現(xiàn)生=尸_。；

,己A8=a=68m,EF=b=7.32m可得tan(3=",tana=j

2x2x

a+ba-bb

tan夕一tana_2x2x4b

tan(y0-6z)=x

1+tan/3tana[+〃+匕a—ba2-b2~~~7^

1A+------4x+---------

2x2x4x2x

當(dāng)NEMF取最大時(shí)，tan^-a）=-~曉二記取最大即可，

4x+---------

x

易知4x+>2卜■名長(zhǎng)=4y/a2-b2,此時(shí)tan（￡-c）=））取到最大值，

當(dāng)且僅當(dāng)4尤=心弦時(shí)，即x=J"'一”時(shí),等號(hào)成立，

x2

將a=68m,b=7.32m代入可得了=>一七233.80m.

2

故選：C

【變式2-3］（2024?黑龍江?二模）"不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”

指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫(huà)圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板,

按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角

a滿(mǎn)足cosa=；,則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（）

D10

10（加+6）c10

。1-------------cmD._

3

【答案】A

【解析】因?yàn)樗倪呅文景宓囊粋€(gè)內(nèi)角a滿(mǎn)足cosa=；,如圖,

設(shè)NBA￡>=a,由題設(shè)可得圓的直徑為00+25=56,

[95

故50=5A/?sina,因cosa=7，。為三角形內(nèi)角，故sina=------

33

故四5后哈唔

故AB2+AD2-2ADxABcosa=BD2=,

故磔〈迎”直+儂，

''3939

故AB+A吟慳＞3=吆”當(dāng)且僅當(dāng)AB=4。=亞時(shí)等號(hào)成立,

V933

同理BC+cnwU巫，當(dāng)且僅當(dāng)BC=CQ=%叵等號(hào)成立,

33

故四邊形周長(zhǎng)的最大值為呸匹』3cm，

3

故選：A.

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

【典例3-1】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）遺忘曲線(xiàn)（又稱(chēng)作“艾賓浩斯記憶曲線(xiàn)”）由德國(guó)心理學(xué)家艾?賓浩斯

（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現(xiàn)，描述了人類(lèi)大腦對(duì)新事物遺忘的規(guī)律.人體大腦對(duì)新事物遺忘的循序漸進(jìn)的

直觀描述，人們可以從遺忘曲線(xiàn)中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力.該曲線(xiàn)對(duì)人類(lèi)記憶

認(rèn)知研究產(chǎn)生了重大影響.陳同學(xué)利用信息技術(shù)擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線(xiàn)”，得到記憶率v與初次記憶經(jīng)

過(guò)的時(shí)間X（小時(shí)）的大致關(guān)系：y=l-0.6x0°6若陳同學(xué)需要在明天15時(shí)考語(yǔ)文考試時(shí)擁有復(fù)習(xí)背誦記憶

的50%,則他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在（）

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

【答案】A

50

06

【解析】令「0.6X*0.5,Z=|,X=D

他在考試前半小時(shí)復(fù)習(xí)即可，

他復(fù)習(xí)背誦時(shí)間需大約在14：30,

故選：A.

【典例3-2]（2024?陜西渭南?二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān).經(jīng)研

究可知：在室溫25c下，某種綠茶用85c的水泡制，經(jīng)過(guò)加。后茶水的溫度為yC,且

丁二匕0.92271+25卜20次ER）.當(dāng)茶水溫度降至60C時(shí)飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為（）

（參考數(shù)據(jù)：ln2x0.69,ln3?1.10,ln7?1.95,ln0.9227?-0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

【答案】B

【解析】由題意可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=85,則85=左+25,解得左=60,

所以>=60x0.9227,+25,

7

當(dāng)。=60時(shí),60=60x0.9227、+25,BP0.9227"

7

則尤=1。。=12_ln7-ln12

g°-922712In0.9227In0.9227

_ln7—21n2—ln3?1.95—2x0.69—1.10?

一~In0.9227-0.08'

所以茶水泡制時(shí)間大的為7min.

故選：B.

【方法技巧】

1、在解題時(shí)，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長(zhǎng)速度越來(lái)越快（底數(shù)大于1）的函數(shù)模型，與增

長(zhǎng)率、銀行利率等有關(guān)的問(wèn)題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)、嘉函數(shù)模型問(wèn)題時(shí)，一般先需通過(guò)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,

然后再借助函數(shù)圖像求解最值問(wèn)題.

【變式3-1】為了預(yù)防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過(guò)程中都需要對(duì)文件加密，有一種加密密

鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文（加密），接收方由密

文一明文.現(xiàn)在加密密鑰為>=辰3,如“4”通過(guò)加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“工”，則解密后

256

得到的明文是（）

1

A.-B.-D.

248

【答案】A

【解析】由題可知加密密鑰為>

由已知可得，當(dāng)x=4時(shí)，y=2,

21

所以2=ZX43,解得％=本=以,

故廠(chǎng)系’顯然令卜二即上=系

解得％3a=1即％=1:.

o2

故選：A.

【變式3?2］（2024?廣東梅州?模擬預(yù)測(cè)）某科創(chuàng)公司新開(kāi)發(fā)了一種溶液產(chǎn)品，但這種產(chǎn)品含有2%的雜

質(zhì)，按市場(chǎng)要求雜質(zhì)含量不得超過(guò)0」％,現(xiàn)要進(jìn)行過(guò)濾，已知每過(guò)濾一次雜質(zhì)含量減少g,要使產(chǎn)品達(dá)

到市場(chǎng)要求，對(duì)該溶液過(guò)濾的最少次數(shù)為一.

（參考數(shù)據(jù)：0.301,lg3。0.477）

【答案】8

【解析】設(shè)至少需要過(guò)濾“次，可得0.020.001,即1g［q,

lgJ-

兩邊取對(duì)數(shù)，可得疝所以1：呼74,

320la±Ig3-lg2

又因?yàn)椤╡N*，所以〃28,所以使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求的過(guò)濾次數(shù)最少為8次.

故答案為：8.

【變式3-3］（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）“阿托秒”是一種時(shí)間的國(guó)際單位，“阿托秒”等于KT"秒，原子

核內(nèi)部作用過(guò)程的持續(xù)時(shí)間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之梗，日取其半，萬(wàn)世不竭”,

如果把“一尺之棱”的長(zhǎng)度看成1米，按照此法，至少需要經(jīng)過(guò)一天才能使剩下“趣”的長(zhǎng)度小于光在2“阿托

秒”內(nèi)走過(guò)的距離.（參考數(shù)據(jù):光速為3x108米/秒，]g2°0.3,lg3°0.48）

【答案】31

【解析】依題意，光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離為2x10-18x3x108=6x10-。米,

經(jīng)過(guò)“天后，剩余的長(zhǎng)度/（"）=1]米，由/（〃）<6xlOT°,得g]<6x10?

（10

,&in_10\lg（6xlO）10-lg610-（lg2+lg3）10-0.78_

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得">%（6xl0）=———=飛廠(chǎng)=----位-----ao'"30.73,

-lg2,口

而〃eN*，則〃=31,所以至少需要經(jīng)過(guò)31天才能使其長(zhǎng)度小于光在2“阿托秒”內(nèi)走的距離.

故答案為：31.

題型四：已知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【典例4-1】（2024?北京昌平?二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)

驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫

下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)rtnin后的溫度為可選擇函數(shù)y=60x09+20]?0）來(lái)近似地刻畫(huà)茶

水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近

的是（）

（參考數(shù)據(jù):lg2?0.30,lg3?0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【答案】B

【解析】由題可知，函數(shù)＞=60x09+20(/20),

2

令60x09+20=60,則。9=§,

2Q

兩邊同時(shí)取對(duì)可得：lg0.9'=lg§,即Hg布=121g3-l)=lg2Tg3,

Ig2-lg30.30-0.480.18,

即"3———?--------------=——=4.5rmin.

21g3-l2x0.48-10.04

故選：B.

【典例4-2】（2024?廣東茂名?一模）G?！蔽襡〃z曲線(xiàn)用于預(yù)測(cè)生長(zhǎng)曲線(xiàn)的回歸預(yù)測(cè)，常見(jiàn)的應(yīng)用有：代謝

預(yù)測(cè)，腫瘤生長(zhǎng)預(yù)測(cè)，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測(cè)，工業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)預(yù)測(cè)等，其公式為：/（%）=如"'

（其中%>01>0,。為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測(cè)公司新產(chǎn)品未來(lái)的銷(xiāo)售量增長(zhǎng)情況，發(fā)

現(xiàn)。=€.若X=1表示該新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計(jì)明年(x=2)的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么b的值為(e為

自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù))()

A.@二1B.C.V5-1D.V5+1

22

【答案】A

【解析】由”=e,得到=

二當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=公e"'；

當(dāng)x=2時(shí)，f(2)=te6".

依題意，明年(x=2)的產(chǎn)量將是今年的e倍，得：埠=e〃"3=e,

ke

，”一g=l，即廿+b—1=0，解得b=—.

故選：A.

【方法技巧】

求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵

(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，求出模型中的待定系數(shù).

(3)利用該函數(shù)模型，求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).

【變式4-1](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為上立方米，每

天往這段河流排水r立方米的污水，則f天后河水的污染指數(shù)機(jī)⑺=/+1%-/]e~r(恤為初始值，

外＞0).現(xiàn)有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)

在開(kāi)始停止排污水，要使河水的污染指數(shù)下降到初始值的;，需要的天數(shù)大約是(參考數(shù)據(jù)：ln7-1.95)

()

A.98B.105C.117D.130

【答案】C

【解析】由題意可知：r=O,y=60,所以」=〃?oe6。'

kk'k)

1-Li

設(shè)約f天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的亍，即/06。t=1%,

所以一L=l/nt=601n7。60x1.95=117,

607

故選：C.

【變式4-2］（2024?四川涼山?三模）工廠(chǎng)廢氣排放前要過(guò)濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物

含量y（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間f小時(shí)的關(guān)系為y=（%,。均為正的常數(shù)）.已知前5小時(shí)過(guò)濾掉

了10%污染物，那么當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò)（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：lg2“0.301,

lg3?0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【答案】D

【解析】???廢氣中污染物含量y與過(guò)濾時(shí)間/小時(shí)的關(guān)系為y=，

令f=0,得廢氣中初始污染物含量為y=%,

又：前5小時(shí)過(guò)濾掉了10%污染物，

,9.10

5fl1

（l-lO%）yo=yoe-,則&101n。,

55

；?當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%時(shí)，（1-50%）%=%一,

,1

In-1c

…9In251n251g251g2

貝”—=—~33h

-aa,10,10l-21g3

In—lg7

9

,當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò)33-5=28h.

故選：D.

【變式4-3］（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)測(cè)定：2024年4月3日，中國(guó)臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)

生里氏7.3級(jí)地震.已知地震時(shí)釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為

lgJE=4.8+1.5M,2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震，則它所釋放出來(lái)的能量約是中

國(guó)臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級(jí)地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

【答案】C

【解析】由題設(shè)，

日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量g=1048+69,

中國(guó)臺(tái)灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級(jí)地震所釋放出來(lái)的能量々=1。48心山,

g_104.8+1.5x9

=1()255Q

所以瓦―104.8+1.5*73355.

故選：C.

【變式4-4］（2024?江蘇?一模）德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯?開(kāi)普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷?布拉赫等人的觀

測(cè)資料和星表，通過(guò)本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律一

繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)。與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系:

7=7舒r2,其中M為太陽(yáng)質(zhì)量，G為引力常量.已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓

軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【解析】設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為北，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為由,火星的公轉(zhuǎn)周期為乙，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為

3

T_2-鬣①

「y/GM

則，7；=87；,且

3

T_2萬(wàn)*②

2一標(biāo)

4得?

②

所以，5=4,即：4=4%.

a2

故選：B.

【變式4-51（2024?山西長(zhǎng)治?一模）研究人員用Gompertz數(shù)學(xué)模型表示治療時(shí)長(zhǎng)x（月）與腫瘤細(xì)胞含

量/a）的關(guān)系，其函數(shù)解析式為/（犬）=如一尸，其中左＞0,6〉0,a為參數(shù).經(jīng)過(guò)測(cè)算，發(fā)現(xiàn)a=e（e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù)）.記x=l表示第一個(gè)月，若第二個(gè)月的腫瘤細(xì)胞含量是第一個(gè)月的工，那么。的值為（）

e

A.V5+1B.V5-1C.在±1D.避工

22

【答案】D

b

f（1）=kQ1,-2,-11

【解析】依題意，2,而/⑵=—/⑴，貝心一…’=—,即^—"1—1=0，

/（2）=kebee

又解得方1=或±1,所以6=1二1

22

故選：D

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題

【典例5-1】有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是（）

A+132

A.y=2-1B.y=xC.j=21og2xD.y=x-l

【答案】D

【解析】將各點(diǎn)（x,y）分別代入各函數(shù)可知，最能體現(xiàn)這組數(shù)據(jù)關(guān)系的函數(shù)模型是y=f-1.

故選：D.

【典例5-2]（2024?高三?江西贛州?期末）“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面

上實(shí)現(xiàn)多次彈跳，彈跳次數(shù)越多越好.小樂(lè)同學(xué)在玩“打水漂”游戲時(shí)，將一石片按一定方式投擲出去，石

片第一次接觸水面時(shí)的速度為30m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進(jìn)行多次彈跳.不考慮其他因素，假設(shè)石片

每一次接觸水面時(shí)的速度均為上一次的75%,若石片接觸水面時(shí)的速度低于6m/s,石片就不再?gòu)椞?，沉?/p>

水底，則小樂(lè)同學(xué)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：11122071n3=1.1,ln5、L6）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】設(shè)這次“打水漂”石片的彈跳次數(shù)為％,

由題意得30x0.75"<6,BP0.75-<0.2,^x>log0750.2.

ln-

ln0.25-lg5

因?yàn)閘og。7502==5.3,

In3-21n2

ln0.75ln-

4

所以x>5.3,即x=6.

故選：B.

【方法技巧】

構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的步驟

（1）建模：抽象出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型；

（2）推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題.

【變式5-1]（2024?高三?北京?開(kāi)學(xué)考試）某純凈水制造廠(chǎng)在凈化水