2025年高考數學一輪復習：函數模型及其應用（五大題型）（講義）（解析版）

第08講函數模型及其應用

目錄

01考情透視?目標導航............................................................2

02知識導圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1:幾種常見的函數模型..................................................................4

知識點2:解函數應用問題的步驟................................................................5

題型一：二次函數模型，分段函數模型............................................................6

題型二：對勾函數模型..........................................................................9

題型三：指數型函數、對數型函數、幕函數模型...................................................13

題型四：已知函數模型的實際問題...............................................................15

題型五：構造函數模型的實際問題...............................................................18

04真題練習?命題洞見...........................................................23

05課本典例?高考素材...........................................................25

06易錯分析?答題模板...........................................................29

易錯點：函數模型應用錯誤.....................................................................29

答題模板：數學建模...........................................................................29

考情透視.目標導航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

高考對函數模型的考查相對穩(wěn)定，考

2023年1卷第10題，5分查內容、頻率、題型、難度均變化不

(1)利用函數模型解決問題2020年II卷第3題，5分大.2025年高考可能結合函數與生活應

2020年1卷第6題，5分用進行考察，對學生建模能力和數學應用

能力綜合考察.

復習目標：

(1)了解指數函數、對數函數與一次函數增長速度的差異.

(2)理解“指數爆炸”“對數增長”“直線上升”等術語的含義.

(3)會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規(guī)律，了解函數模型在社會生活中的廣泛應用.

「(一次函數模型)~(/(*)=3+伙4。為常數且“2

Y反比例函數模型)一(/(')=《+。的b為常數flfl*O)J

幾種常見的函數基)-《二次函數模型)(/(2=a\，+G+c(a,6,c為常數”0))

一(指數函數模型)(/(k)=6a'+c(a,瓦c為常數,bw0,a>0,"l)2)

《對數函數模型］(/(x)=〃og}+c(a,/>,4^^,bw0,a>0,a*Q

：(函數模型)~(為常數,。=

函數模型及其應用■(/(x)=av-+5(a,50))

審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系,初步選擇數學模型;

建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利

解函數應用問題的步驟用已有知識建立相應的數學模型；

解模：求解數學模型，得出結論；

還原：將數學問題還原為實際問題.

考點突確.題理輝寶

「知識育親

知識點1:幾種常見的函數模型

函數模型函數解析式

一次函數模型f(x)=ax+b(a,b為常數且awO)

反比例函數模型

f(x)=—+b(k,人為常數且。WO)

二次函數模型/(x)=ax2+Z?x+c(a,b,c為常數且aw0)

指數函數模型/(x)=bax+c(a,b,c為常數，b#O,a>0,awl)

對數函數模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數，bwO,々>0,awl)

基函數模型f(x)=axn+b(a,力為常數，i。。)

【診斷自測】近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到600xl()8m3激增到2021年的3726x10'加.從

2000年開始統(tǒng)計，記左表示從2000年開始的第幾年，OWk,keN.經計算機擬合后發(fā)現，天然氣表觀消

費量隨時間的變化情況符合匕=%(l+q『，其中匕是從2000年后第左年天然氣消費量，匕是2000年的天

然氣消費量，G是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為900xl()8m3,2018年的天然氣

消費量為2880xl()8m3,根據擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為()

(參考數據:2.883~2.0213.2,=2.17,43°2.52

83

A.5817.6x1()81n3B.6249.6xl0m

C.6928.2xl08m3D.7257.6xlO8m3

【答案】B

【解析】據題意％=%(1+匕)9=900x10=3,Ks=K>(l+^)18=2880xl08m3,兩式相除可得(1+4=3.2,

2

又因為％=兀(1+4尸=2880x108x(3.2)3?6249.6xl08m3'

故選：B.

知識點2：解函數應用問題的步驟

（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數量關系，初步選擇數學模型；

（2）建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數

學模型；

（3）解模：求解數學模型，得出結論；

（4）還原：將數學問題還原為實際問題.

【診斷自測】長江流域水庫群的修建和聯合調度，極大地降低了洪澇災害風險，發(fā)揮了重要的防洪減災效

益.每年洪水來臨之際，為保證防洪需要、降低防洪風險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎聯合調度，

水庫實際蓄水量

統(tǒng)一蓄水，用蓄滿指數（蓄滿指數=xlOO）來衡量每座水庫的水位情況.假設某次聯合

水庫總蓄水量

調度要求如下:

（i）調度后每座水庫的蓄滿指數仍屬于區(qū)間[0,100]；

（ii）調度后每座水庫的蓄滿指數都不能降低；

（iii）調度前后，各水庫之間的蓄滿指數排名不變.

記x為調度前某水庫的蓄滿指數，y為調度后該水庫的蓄滿指數，給出下面四個y關于尤的函數解析式:

①）二一三％2+6冗；@y=loVx；（3）y—JQ50；@y=100sin.

則滿足此次聯合調度要求的函數解析式的個數為（）.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①>=一點%?+6%=—點—12。%）二—卷+18。,

該函數在％=60時函數值為18。，超過了范圍，不合題意；

②y=為增函數，xe[0,100],ye[0,100]

且&410,貝IJx4104，符合題意；

③y=IO50J當尤=5。時]0充=]0<50,不合題意

④y=lOOsin—,當尤仁[0,100]時，—^―xG0,—

了2002002

故該函數在[0,10。]上單調遞增，又y=lOOsin就Xe[0,100]

jr

設g(x)=100sinx—x,xe[0,100]

jrjr

g'(x)=100-------cos-----X-1,XG[0,100]

')200200

即g'(x}=--cos-^—x-l,

v72200

易知/(xh^coseI在［。/00］上為減函數

由g'(x)在［。,1。0］上連續(xù)，且g'⑼=］一1>0,

,

g(100)=^cos^-l=-l<0,

則存在%e［0,100］,有g'(x)=0

當彳€［0,%］,g'(x)〉0；

當xe［尤o，lOO］,g［x)<0；

故g(x)在［0,%］遞增,在以)/。0］遞減.

g(O)=O,g(100)=0

故［0,100］上g(x)20

7T

gp［0,100］IlOOsin----x>x

200

故④符合題意，

所以②④滿足題意，

故選：B.

題型洞察

題型一：二次函數模型，分段函數模型

【典例1-1】我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一.制造時一般是期望在它達到最

高點時爆裂.如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時間f（單位：s）之間的關系為

//?）=-5/+15/+20,那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為（）

A.26米B.28米C.31米D.33米

【答案】C

【解析】㈣72+15/+20=-5卜|>字如）3=13=手31.

故選：C

【典例1-2]（2024?云南?二模）下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格:

一次購買件數5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上

每件價格37元32元30元27元25元

張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（）

A.116件B.no件C.107件D.106件

【答案】C

【解析】設購買的件數為人花費為v元，

37尤,14尤410

32x,ll<尤W50

貝||》={30尤,514元4100,當天=107時，y=2889<2990,

27尤,101〈尤4300

25尤,x>300

當x=108時，y=2916>2900,所以最多可購買這種產品107件，

故選：C.

【方法技巧】

1、分段函數主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化

規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構造分段函數時，要準確、簡潔，不重不漏.

【變式1-1]（2024?安徽淮南?一模）我國在2020年9月22日在聯合國大會提出，二氧化碳排放力爭于

2030年前實現碳達峰，爭取在2060年前實現碳中和.為了響應黨和國家的號召，某企業(yè)在國家科研部門

的支持下，進行技術攻關：把二氧化碳轉化為一種可利用的化工產品，經測算，該技術處理總成本y（單

位：萬元）與處理量無（單位：噸）（xe[120,500]）之間的函數關系可近似表示為

|x3-80x2+5040%,%e[120,144)

，=1當處理量x等于多少噸時，每噸的平均處理成本最少（)

|x2-2OO.r+80000,xe[144,500]

A.120B.200C.240D.400

【答案】D

12

-x2-80x+5040,x[120,144)

【解析】由題意得二氧化碳每噸的平均處理成本為S=<

1…80000//

—x—200H---------,xG[144,500]

2x

當xe[120,144）時，S=g/-80x+5040=1（x-l20）2+240,

當x=120時，S取得最小值240,

業(yè)n/1/icnma。180000“八一[1~80000…“八

當xe[144,500]時，S=—尤+------200>2.-x------------200=200,

2x\2x

當且僅當工尤=則更，即x=400時取等號，此時S取得最小值200,

2x

綜上，當每月得理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元，

故選：D

【變式1-2]（2024?高三?黑龍江佳木斯?期中）在新冠肺炎疫情防控中，核酸檢測是新冠肺炎確診的有

效快捷手段，在某醫(yī)院成為新冠肺炎核酸檢測定點醫(yī)院并開展檢測工作的第見天，設每個檢測對象從接受

檢測到檢測報告生成的平均耗時為f（"）（單位：小時），已知4"）與"之間的函數關系為

“。，M為常數），并且第16天的檢測過程平均耗時16小時，第64天和第67天的

檢測過程平均耗時均為8小時，那么可得第49天的檢測過程平均耗時大約為（）

A.7小時B.8小時C.9小時D.10小時

【答案】C

【解析】由己知可得，當〃2乂時，函數為定值；當〃<乂時，顯然函數為單調函數.則根據數值分析可得,

16<No<67.所以有《16)=擊=16,解得364.

t64

因為49</。=64,所以f（49）=病=7之9

故選：C.

【變式1-3】近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大方便?某共享單車公司計劃在甲、乙

兩座城市共投資120萬元，根據行業(yè)規(guī)定，每座城市至少要投資40萬元?由前期市場調研可知：甲城市收益

P（單位：萬元）與投入。（單位：萬元）滿足P=3后-6,乙城市收益Q（單位：萬元）與投入4單位：萬

元）滿足°=f+2,則投資這兩座城市收益的最大值為（）

A.26萬元B.44萬元C.48萬元D.72萬元

【答案】B

【解…析】由題意一可知：f[440。<"tz<1-20"12。=4。58。，

設投資這兩座城市收益為V,

貝I]有y=3屬-6+；+2=3歷+!（120-。）-4=3后二。+26,

-444

令y[a=/=>rG[2^10,4A/5],貝!）有f⑺=——t2+3yf2t+26,

4

該二次函數的對稱軸為方=6近，且開口向下，

所以/Wmax=/（672）=一1（60y+372x672+26=44,

故選：B

題型二：對勾函數模型

【典例2-1]（2024?廣東韶關?二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計

算公式是W=（長+4）x（寬+4）,在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米,

每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

【答案】C

【解析】設矩形場地的長為X米，則寬為幽2米，

X

w/八J0000八，40000…c二40000

W=（x+4）（-------F4）=4XH---------1-10016>2J4x----------1-10016=10816，

xxVx

當且僅當以=邂也，即x=100時，等號成立.

所以平整這塊場地所需的最少費用為1x10816=10816元.

故選：C

【典例2-2]（2024?高三?北京朝陽?期末）根據經濟學理論，企業(yè)生產的產量受勞動投入、資本投入和

技術水平的影響，用。表示產量，入表示勞動投入，K表示資本投入，A表示技術水平，則它們的關系可

以表示為。=人不"，其中A>0,K>0,L>0,0<a<l,0<〃<l.當A不變，K與乙均變?yōu)樵瓉淼?倍時，下面結

論中正確的是（）

A.存在和一<5，使得。不變

B.存在a>!和—>!，使得。變?yōu)樵瓉淼?倍

C.若的=；,則Q最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

D.若則Q最多可變?yōu)樵瓉淼?倍

【答案】D

【解析】設當A不變，K與乙均變?yōu)樵瓉淼?倍時，Q=A（2K^（21）^=T+f）AKalf=T+PQ,

對于A,若0＜a,夕＜；,則i=2。+0＜2。+夕＜2?+2—2,故A錯誤；

對于B,若和夕＞《，則2。+尸＞2彩=2，故B錯誤；

對于C,若4則2。+八22展=2,即若羽=?，故C錯誤；

對于D,若&2+加=5，由￡+2羽+加42（〃+加），。＜。＜1,0＜夕＜1,可得20+”2舸同=2,故口

正確.

故選：D.

【方法技巧】

1、解決此類應用題一定要注意函數定義域；

2、利用/（x）=ax+2b求解最值時，注意取等的條件.

x

【變式2-1】某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時，需要12天完成，只由一名

女社員分裝時，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內分裝完畢.由于現有的男、女社

員人數都不足以單獨完成任務，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時會不

可避免地造成一些損耗.根據以往經驗，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務的所有男社員會損耗蔬菜共80千

克，參與任務的所有女社員會損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與

女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

【答案】B

【解析】設安排男社員x名，女社員v名,

根據題意，可得會全1,平均損耗蔬菜量之和為丁.

803025

貝n1l一+一=+一

%y3

二on十975=15,當且僅當苗40V法5x,即1*6時等號成立,

則分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損耗蔬菜量（千克）之和的最小值為15.

故選：B.

【變式2-2]（2024?云南楚雄-模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現有一個11人制

的標準足球場，其底線寬AB=68m,球門寬￡F=7.32m,且球門位于底線AB的中間，在某次比賽過程

中，攻方球員帶球在邊界線AC上的M點處起腳射門，當NEMF最大時，點M離底線A5的距離約為

28.15mC.33.80mD.37.66m

【答案】c

【解析］設==AM=x>0,所以/現生=尸_。；

,己A8=a=68m,EF=b=7.32m可得tan(3=",tana=j

2x2x

a+ba-bb

tan夕一tana_2x2x4b

tan(y0-6z)=x

1+tan/3tana[+〃+匕a—ba2-b2~~~7^

1A+------4x+---------

2x2x4x2x

當NEMF取最大時，tan^-a）=-~曉二記取最大即可，

4x+---------

x

易知4x+>2卜■名長=4y/a2-b2,此時tan（￡-c）=））取到最大值，

當且僅當4尤=心弦時，即x=J"'一”時,等號成立，

x2

將a=68m,b=7.32m代入可得了=>一七233.80m.

2

故選：C

【變式2-3］（2024?黑龍江?二模）"不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”

指由相互垂直的長短兩條直尺構成的方尺，是古人用來測量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板,

按圖中數據，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內角

a滿足cosa=；,則這塊四邊形木板周長的最大值為（）

D10

10（加+6）c10

。1-------------cmD._

3

【答案】A

【解析】因為四邊形木板的一個內角a滿足cosa=；,如圖,

設NBA￡>=a,由題設可得圓的直徑為00+25=56,

[95

故50=5A/?sina,因cosa=7，。為三角形內角，故sina=------

33

故四5后哈唔

故AB2+AD2-2ADxABcosa=BD2=,

故磔〈迎”直+儂，

''3939

故AB+A吟慳＞3=吆”當且僅當AB=4。=亞時等號成立,

V933

同理BC+cnwU巫，當且僅當BC=CQ=%叵等號成立,

33

故四邊形周長的最大值為呸匹』3cm，

3

故選：A.

題型三：指數型函數、對數型函數、幕函數模型

【典例3-1】（2024?全國?模擬預測）遺忘曲線（又稱作“艾賓浩斯記憶曲線”）由德國心理學家艾?賓浩斯

（H.Ebbinghaus）研究發(fā)現，描述了人類大腦對新事物遺忘的規(guī)律.人體大腦對新事物遺忘的循序漸進的

直觀描述，人們可以從遺忘曲線中掌握遺忘規(guī)律并加以利用，從而提升自我記憶能力.該曲線對人類記憶

認知研究產生了重大影響.陳同學利用信息技術擬合了“艾賓浩斯遺忘曲線”，得到記憶率v與初次記憶經

過的時間X（小時）的大致關系：y=l-0.6x0°6若陳同學需要在明天15時考語文考試時擁有復習背誦記憶

的50%,則他復習背誦時間需大約在（）

A.14：30B.14：00C.13：30D.13：00

【答案】A

50

06

【解析】令「0.6X*0.5,Z=|,X=D

他在考試前半小時復習即可，

他復習背誦時間需大約在14：30,

故選：A.

【典例3-2]（2024?陜西渭南?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關.經研

究可知：在室溫25c下，某種綠茶用85c的水泡制，經過加。后茶水的溫度為yC,且

丁二匕0.92271+25卜20次ER）.當茶水溫度降至60C時飲用口感最佳，此時茶水泡制時間大約為（）

（參考數據：ln2x0.69,ln3?1.10,ln7?1.95,ln0.9227?-0.08）

A.6minB.7minC.8minD.9min

【答案】B

【解析】由題意可知，當x=0時，y=85,則85=左+25,解得左=60,

所以>=60x0.9227,+25,

7

當。=60時,60=60x0.9227、+25,BP0.9227"

7

則尤=1。。=12_ln7-ln12

g°-922712In0.9227In0.9227

_ln7—21n2—ln3?1.95—2x0.69—1.10?

一~In0.9227-0.08'

所以茶水泡制時間大的為7min.

故選：B.

【方法技巧】

1、在解題時，要合理選擇模型，指數函數模型是增長速度越來越快（底數大于1）的函數模型，與增

長率、銀行利率等有關的問題都屬于指數模型.

2、在解決指數型函數、對數型函數、嘉函數模型問題時，一般先需通過待定系數法確定函數解析式,

然后再借助函數圖像求解最值問題.

【變式3-1】為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種加密密

鑰密碼系統(tǒng)（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文一密文（加密），接收方由密

文一明文.現在加密密鑰為>=辰3,如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“工”，則解密后

256

得到的明文是（）

1

A.-B.-D.

248

【答案】A

【解析】由題可知加密密鑰為>

由已知可得，當x=4時，y=2,

21

所以2=ZX43,解得％=本=以,

故廠系’顯然令卜二即上=系

解得％3a=1即％=1:.

o2

故選：A.

【變式3?2］（2024?廣東梅州?模擬預測）某科創(chuàng)公司新開發(fā)了一種溶液產品，但這種產品含有2%的雜

質，按市場要求雜質含量不得超過0」％,現要進行過濾，已知每過濾一次雜質含量減少g,要使產品達

到市場要求，對該溶液過濾的最少次數為一.

（參考數據：0.301,lg3。0.477）

【答案】8

【解析】設至少需要過濾“次，可得0.020.001,即1g［q,

lgJ-

兩邊取對數，可得疝所以1：呼74,

320la±Ig3-lg2

又因為〃eN*，所以〃28,所以使產品達到市場要求的過濾次數最少為8次.

故答案為：8.

【變式3-3］（2024?廣東廣州?模擬預測）“阿托秒”是一種時間的國際單位，“阿托秒”等于KT"秒，原子

核內部作用過程的持續(xù)時間可用“阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之梗，日取其半，萬世不竭”,

如果把“一尺之棱”的長度看成1米，按照此法，至少需要經過一天才能使剩下“趣”的長度小于光在2“阿托

秒”內走過的距離.（參考數據:光速為3x108米/秒，]g2°0.3,lg3°0.48）

【答案】31

【解析】依題意，光在2“阿托秒”內走的距離為2x10-18x3x108=6x10-。米,

經過“天后，剩余的長度/（"）=1]米，由/（〃）<6xlOT°,得g]<6x10?

（10

,&in_10\lg（6xlO）10-lg610-（lg2+lg3）10-0.78_

兩邊同時取對數，得">%（6xl0）=———=飛廠=----位-----ao'"30.73,

-lg2,口

而〃eN*，則〃=31,所以至少需要經過31天才能使其長度小于光在2“阿托秒”內走的距離.

故答案為：31.

題型四：已知函數模型的實際問題

【典例4-1】（2024?北京昌平?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關，經

驗表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生極佳口感；在20℃室溫

下，茶水溫度從90℃開始，經過rtnin后的溫度為可選擇函數y=60x09+20]?0）來近似地刻畫茶

水溫度隨時間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達到最佳飲用口感時，需要放置的時間最接近

的是（）

（參考數據:lg2?0.30,lg3?0.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【答案】B

【解析】由題可知，函數＞=60x09+20(/20),

2

令60x09+20=60,則。9=§,

2Q

兩邊同時取對可得：lg0.9'=lg§,即Hg布=121g3-l)=lg2Tg3,

Ig2-lg30.30-0.480.18,

即"3———?--------------=——=4.5rmin.

21g3-l2x0.48-10.04

故選：B.

【典例4-2】（2024?廣東茂名?一模）G?！蔽襡〃z曲線用于預測生長曲線的回歸預測，常見的應用有：代謝

預測，腫瘤生長預測，有限區(qū)域內生物種群數量預測，工業(yè)產品的市場預測等，其公式為：/（%）=如"'

（其中%>01>0,。為參數）.某研究員打算利用該函數模型預測公司新產品未來的銷售量增長情況，發(fā)

現。=€.若X=1表示該新產品今年的年產量，估計明年(x=2)的產量將是今年的e倍，那么b的值為(e為

自然數對數的底數)()

A.@二1B.C.V5-1D.V5+1

22

【答案】A

【解析】由”=e,得到=

二當x=l時，/(1)=公e"'；

當x=2時，f(2)=te6".

依題意，明年(x=2)的產量將是今年的e倍，得：埠=e〃"3=e,

ke

，”一g=l，即廿+b—1=0，解得b=—.

故選：A.

【方法技巧】

求解已知函數模型解決實際問題的關鍵

(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數.

(2)根據已知利用待定系數法，求出模型中的待定系數.

(3)利用該函數模型，求解實際問題，并進行檢驗.

【變式4-1](2024?陜西安康?模擬預測)若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為上立方米，每

天往這段河流排水r立方米的污水，則f天后河水的污染指數機⑺=/+1%-/]e~r(恤為初始值，

外＞0).現有一條被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當前的污染指數為初始值，若從現

在開始停止排污水，要使河水的污染指數下降到初始值的;，需要的天數大約是(參考數據：ln7-1.95)

()

A.98B.105C.117D.130

【答案】C

【解析】由題意可知：r=O,y=60,所以」=〃?oe6。'

kk'k)

1-Li

設約f天后，河水的污染指數下降到初始值的亍，即/06。t=1%,

所以一L=l/nt=601n7。60x1.95=117,

607

故選：C.

【變式4-2］（2024?四川涼山?三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進行排放，廢氣中污染物

含量y（單位：mg/L）與過濾時間f小時的關系為y=（%,。均為正的常數）.已知前5小時過濾掉

了10%污染物，那么當污染物過濾掉50%還需要經過（）（最終結果精確到lh,參考數據：lg2“0.301,

lg3?0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【答案】D

【解析】???廢氣中污染物含量y與過濾時間/小時的關系為y=，

令f=0,得廢氣中初始污染物含量為y=%,

又：前5小時過濾掉了10%污染物，

,9.10

5fl1

（l-lO%）yo=yoe-,則&101n。,

55

；?當污染物過濾掉50%時，（1-50%）%=%一,

,1

In-1c

…9In251n251g251g2

貝”—=—~33h

-aa,10,10l-21g3

In—lg7

9

,當污染物過濾掉50%還需要經過33-5=28h.

故選：D.

【變式4-3］（2024?河北邯鄲?模擬預測）中國地震臺網測定：2024年4月3日，中國臺灣花蓮縣海域發(fā)

生里氏7.3級地震.已知地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關系為

lgJE=4.8+1.5M,2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震，則它所釋放出來的能量約是中

國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震的多少倍？（）

A.98B.105C.355D.463

【答案】C

【解析】由題設，

日本東北部海域發(fā)生里氏9.0級地震所釋放出來的能量g=1048+69,

中國臺灣花蓮縣海域發(fā)生里氏7.3級地震所釋放出來的能量々=1。48心山,

g_104.8+1.5x9

=1()255Q

所以瓦―104.8+1.5*73355.

故選：C.

【變式4-4］（2024?江蘇?一模）德國天文學家約翰尼斯?開普勒根據丹麥天文學家第谷?布拉赫等人的觀

測資料和星表，通過本人的觀測和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運動第三定律一

繞以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其橢圓軌道的長半軸長。與公轉周期T有如下關系:

7=7舒r2,其中M為太陽質量，G為引力常量.已知火星的公轉周期約為水星的8倍，則火星的橢圓

軌道的長半軸長約為水星的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

【答案】B

【解析】設火星的公轉周期為北，長半軸長為由,火星的公轉周期為乙，長半軸長為

3

T_2-鬣①

「y/GM

則，7；=87；,且

3

T_2萬*②

2一標

4得?

②

所以，5=4,即：4=4%.

a2

故選：B.

【變式4-51（2024?山西長治?一模）研究人員用Gompertz數學模型表示治療時長x（月）與腫瘤細胞含

量/a）的關系，其函數解析式為/（犬）=如一尸，其中左＞0,6〉0,a為參數.經過測算，發(fā)現a=e（e為自然

對數的底數）.記x=l表示第一個月，若第二個月的腫瘤細胞含量是第一個月的工，那么。的值為（）

e

A.V5+1B.V5-1C.在±1D.避工

22

【答案】D

b

f（1）=kQ1,-2,-11

【解析】依題意，2,而/⑵=—/⑴，貝心一…’=—,即^—"1—1=0，

/（2）=kebee

又解得方1=或±1,所以6=1二1

22

故選：D

題型五：構造函數模型的實際問題

【典例5-1】有一組實驗數據如下表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

則最能體現這組數據關系的函數模型是（）

A+132

A.y=2-1B.y=xC.j=21og2xD.y=x-l

【答案】D

【解析】將各點（x,y）分別代入各函數可知，最能體現這組數據關系的函數模型是y=f-1.

故選：D.

【典例5-2]（2024?高三?江西贛州?期末）“打水漂”是一種游戲：按一定方式投擲石片，使石片在水面

上實現多次彈跳，彈跳次數越多越好.小樂同學在玩“打水漂”游戲時，將一石片按一定方式投擲出去，石

片第一次接觸水面時的速度為30m/s,然后石片在水面上繼續(xù)進行多次彈跳.不考慮其他因素，假設石片

每一次接觸水面時的速度均為上一次的75%,若石片接觸水面時的速度低于6m/s,石片就不再彈跳，沉入

水底，則小樂同學這次“打水漂”石片的彈跳次數為（）（參考數據：11122071n3=1.1,ln5、L6）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】設這次“打水漂”石片的彈跳次數為％,

由題意得30x0.75"<6,BP0.75-<0.2,^x>log0750.2.

ln-

ln0.25-lg5

因為log。7502==5.3,

In3-21n2

ln0.75ln-

4

所以x>5.3,即x=6.

故選：B.

【方法技巧】

構建函數模型解決實際問題的步驟

（1）建模：抽象出實際問題的數學模型；

（2）推理、演算：對數學模型進行推理或數學運算；

（3）解模：求解數學模型，得出結論；

（4）還原：將數學問題還原為實際問題.

【變式5-1]（2024?高三?北京?開學考試）某純凈水制造廠在凈化水