2024-2025學年高中數(shù)學第一章常用邏輯用語1.1.2四種命題1.1.3四種命題間的相互關(guān)系學案含解析新人教A版選修1-1

PAGE1．1.2四種命題1．1.3四種命題間的相互關(guān)系內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.了解命題的四種形式，會寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題．2.理解并駕馭四種命題之間的關(guān)系及其真假性關(guān)系．3.能夠利用命題的等價性解決有關(guān)問題.利用數(shù)學抽象提高邏輯推理授課提示：對應學生用書第4頁[基礎相識]學問點一四種命題eq\a\vs4\al(預習教材P4－6，思索并完成以下問題)請將命題“正弦函數(shù)是周期函數(shù)”改寫成“若p，則q”的形式．提示：若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)．視察下面四個命題：(1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)．(2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)．(3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)．(4)若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)．命題(1)與其他三個命題的條件與結(jié)論之間有什么關(guān)系？提示：命題(2)的條件和結(jié)論分別是命題(1)的結(jié)論和條件，命題(3)的條件和結(jié)論分別是命題(1)的條件的否定和結(jié)論的否定．命題(4)的條件和結(jié)論分別是命題(1)的結(jié)論的否定和條件的否定．學問梳理四種命題的定義如下表所示名稱闡釋互逆命題對于兩個命題，假如一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題叫做原命題，另一個叫做原命題的逆命題．互否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互否命題．假如把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的否命題．互為逆否命題對于兩個命題，其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．假如把其中的一個命題叫做原命題，那么另一個叫做原命題的逆否命題.學問點二四種命題的相互關(guān)系eq\a\vs4\al(預習教材P6－7，思索并完成以下問題)設：命題(1)“若p，則q”是原命題，那么：命題(2)“若q，則p”是原命題的逆命題，命題(3)“若綈p，則綈q”是原命題的否命題，命題(4)“若綈q，則綈p”是原命題的逆否命題．你能發(fā)覺它們之間有什么關(guān)系嗎？1．依據(jù)定義，假如把命題(2)稱為原命題，那么其他三個命題分別是命題(2)的什么命題？提示：命題(1)是命題(2)的逆命題．命題(3)是命題(2)的逆否命題．命題(4)是命題(2)的否命題．2．假如把命題(3)稱為原命題呢？提示：命題(1)是命題(3)的否命題．命題(2)是命題(3)的逆否命題．命題(4)是命題(3)的逆命題．學問梳理四種命題間的關(guān)系學問點三四種命題的真假性關(guān)系eq\a\vs4\al(預習教材P7－8，思索并完成以下問題)原命題，逆命題，否命題，逆否命題的真假有什么聯(lián)系？原命題(1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；逆命題(2)若f(x)是周期函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù)；否命題(3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù)；逆否命題(4)若f(x)不是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù)．推斷以上四個命題的真假．提示：原命題(1)是真命題，它的逆命題(2)是假命題，它的否命題(3)也是假命題，而它的逆否命題(4)是真命題．學問梳理四種命題間的真假關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四種命題的真假性之間有如下關(guān)系：(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．[自我檢測]1．命題“若a>－3，則a>－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為A．1 B．2C．3 D．4答案：B2．命題“若a>b，則2a>2b－1”答案：若a≤b，則2a≤2b－1授課提示：對應學生用書第5頁探究一四種命題及其關(guān)系[教材P6練習(3)]寫出命題“奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱”的逆命題、否命題、逆否命題．解析：逆命題：“若一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)是奇函數(shù)”．否命題：“若一個函數(shù)不是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱”．逆否命題：“若一個函數(shù)的圖象不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)不是奇函數(shù)”．[例1]寫出下列各個命題的逆命題、否命題以及逆否命題：(1)若sinα＝eq\f(1,2)，則tanα＝eq\r(3)；(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；(3)當1<x<2時，x2－3x＋2<0；(4)若ab＝0，則a＝0或b＝0.[解析](1)逆命題：若tanα＝eq\r(3)，則sinα＝eq\f(1,2).否命題：若sinα≠eq\f(1,2)，則tanα≠eq\r(3).逆否命題：若tanα≠eq\r(3)，則sinα≠eq\f(1,2).(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高．否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等．逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高．(3)逆命題：若x2－3x＋2<0，則1<x<2.否命題：若x≤1或x≥2，則x2－3x＋2≥0.逆否命題：若x2－3x＋2≥0，則x≤1或x≥2.(4)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.否命題：若ab≠0，則a≠0，且b≠0.逆否命題：若a≠0，且b≠0，則ab≠0.方法技巧1.寫出一個命題的逆命題、否命題和逆否命題的關(guān)鍵是正確找出原命題的條件和結(jié)論，若原命題不是“若p，則q”的形式，應改寫成“若p，則q”的形式，并寫出條件和結(jié)論的否定：(1)“換位”得到“若q，則p”為逆命題；(2)“換質(zhì)”(分別否定)得到“若綈p，則綈q”為否命題；(3)“換位”又“換質(zhì)”得到“若綈q，則綈p”為逆否命題．2．要特殊留意對一些常見形式的否定的寫法，例如“都是”的否定為“不都是”，“a，b中至少一個為零”的否定為“a，b都不為零”．跟蹤探究1.命題“若α＝eq\f(π,4)，則tanα＝1”的逆否命題是()A．若α≠eq\f(π,4)，則tanα≠1B．若α＝eq\f(π,4)，則tanα≠1C．若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4)D．若tanα≠1，則α＝eq\f(π,4)解析：逆否命題需將原命題的條件和結(jié)論交換后并分別否定，所以逆否命題為：若tanα≠1，則α≠eq\f(π,4).答案：C2．命題“若x>2018，則x>0”的否命題是A．若x>2018，則x≤0B．若x≤0，則x≤2018C．若x≤2018，則x≤0D．若x>0，則x>2018解析：否命題需將條件和結(jié)論分別否定，所以否命題為：若x≤2018，則x≤0.答案：C探究二四種命題的真假推斷[教材P8習題1.1A組2題]寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并推斷它們的真假：(1)若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)；(2)若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根．解析：(1)逆命題：“若兩個整數(shù)a與b的和a＋b是偶數(shù)，則a，b都是偶數(shù)”，假命題．否命題：“若兩個整數(shù)a，b不都是偶數(shù)，則a＋b不是偶數(shù)”，假命題．逆否命題：“若兩個整數(shù)a與b的和a＋b不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)”，真命題．(2)逆命題：“若方程x2＋x－m＝0有實數(shù)根，則m>0”，假命題否命題：“若m≤0，則方程x2＋x－m＝0無實數(shù)根”，假命題．逆否命題：“若方程x2＋x－m＝0無實數(shù)根，則m≤0”，真命題．[例2]推斷下列各個命題的真假：(1)“對頂角相等”的逆命題；(2)“直角三角形的兩銳角互為余角”的逆否命題．[解析](1)法一：“對頂角相等”的逆命題是“若兩個角相等，則它們是對頂角”，是假命題．法二：“對頂角相等”的否命題是“若兩個角不是對頂角，則它們不相等”，明顯是假命題，而逆命題和否命題等價，故“對頂角相等”的逆命題是假命題．(2)法一：“直角三角形的兩銳角互為余角”的逆否命題是“若一個三角形的兩個銳角不互為余角，則這個三角形不是直角三角形”，是真命題．法二：由于命題“直角三角形的兩銳角互為余角”是真命題，而原命題與逆否命題等價，因此“直角三角形的兩銳角互為余角”的逆否命題是真命題．方法技巧推斷一個命題的真假通常有以下兩種方法(1)分清該命題的條件與結(jié)論，干脆對該命題的真假進行推斷；(2)不干脆寫出命題，而是依據(jù)命題之間的關(guān)系進行推斷，即原命題與其逆否命題等價、逆命題與否命題等價，特殊是當命題本身不簡單推斷真假時，通常都通過推斷其逆否命題的真假來實現(xiàn)．跟蹤探究3.下列命題中為真命題的是()A．命題“若x2>0，則x>1”B．命題“若x>1，則x2>1”C．命題“若x2＋x－2≠0，則x≠1”D．命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題解析：A中逆否命題與原命題同真假，原命題假，故錯誤；B中命題的否命題是“若x≤1，則x2≤1”，當x＝－2時不成立；C中命題的逆命題是“若x≠1，則x2＋x－2≠0”，當x＝－2時，x2＋x－2＝0，故錯誤；D中命題“若x>y，則x>|y|”的逆命題是“若x>|y|，則x>y”，無論y是正數(shù)、負數(shù)、零都成立．答案：D探究三等價命題的應用[閱讀教材P8例4及解答]證明：若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0.題型：利用互為逆否命題的真假性相同，推斷命題的真假．方法步驟：①假設x，y中至少一個不為0，得到x2＋y2≠0.②這就證得原命題的逆否命題為真命題．從而原命題為真命題．[例3]求證：當a2＋b2＝c2時，a，b，c不行能都是奇數(shù)．[證明]構(gòu)造命題p：若a2＋b2＝c2，則a，b，c不行能都是奇數(shù)．該命題的逆否命題是：若a，b，c都是奇數(shù)，則a2＋b2≠c2.下面證明該逆否命題是真命題．由于a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，于是a2＋b2必為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，所以有a2＋b2≠c2，故逆否命題為真命題，從而原命題也是真命題．方法技巧由于原命題與其逆否命題是等價的，因此當不簡單干脆證明一個命題是真命題時，則按“正難則反”的思想去思索，分析題目，證原命題的逆否命題成立．跟蹤探究4.證明：若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1.證明：命題“若a2－4b2－2a＋1≠0，則a≠2b＋1”的逆否命題為“若a＝2b＋1，則a2－4b2－2a＋1＝0”．由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，明顯原命題的逆否命題為真命題，所以原命題也為真命題．故原命題得證．授課提示：對應學生用書第6頁[課后小結(jié)](1)四種命題首先找清原命題的條件和結(jié)論，然后：①交換原命題的條件和結(jié)論，得到逆命題；②同時否定原命題的條件和結(jié)論，得到否命題；③交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，得到逆否命題．(2)四種命題的真假推斷原命題與它的逆否命題同真假，原命題的逆命題和否命題互為逆否命題也具有相同的真假性．所以對于一些命題的真假推斷(或證明)，我們可以借助與它同真假的(具有逆否關(guān)系的)命題來推斷(或證明)．[素養(yǎng)培優(yōu)]1．不能正確否定命題的條件或結(jié)論致誤寫出命題“若x2＋y2＝0，則x，y全為0”的否命題．易錯分析對結(jié)論的否定不正確．“x，y全為0”的否定應為“x，y不全為0而不是“x，y全不為0”，考查邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)．自我訂正“若x2＋y2＝0，則x，y全為0”的否命題是“若x2＋y2≠0，則x，y不全為0”