2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式4.2簡(jiǎn)單線性規(guī)劃課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)含解析北師大版必修5

PAGE簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃(20分鐘35分)1.若點(diǎn)(x,y)位于曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區(qū)域內(nèi),則2x-y的最小值為 ()A.-6 B.-2 C.0 D.2【解析】選A.如圖,曲線y=|x|與y=2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示,令z=2x-y,則y=2x-z,作直線y=2x,在封閉區(qū)域內(nèi)平行移動(dòng)直線y=2x,當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,2)時(shí),z取得最小值,此時(shí)z=2×(-2)-2=-6.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·南寧高一檢測(cè))若x,y滿意|y|≤2-x且|x|≤1,則2x+y的最小值為 ()A.-7 B.-5 C.1 D.4【解析】選B.作出x,y滿意|y|≤2-x,且|x|≤1,對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,由z=2x+y得y=-2x+z,平移直線y=-2x+z,由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線的截距最小,此時(shí)z最小,由QUOTE解得A(-1,-3),此時(shí)z=2×(-1)+(-3)=-5,則2x+y的最小值為-5.2.(2024·西安高一檢測(cè))若變量x,y滿意約束條件QUOTE則目標(biāo)函數(shù)z=2x-y的最小值是 ()A.-3 B.0 C.QUOTE D.QUOTE.【解析】選A.由約束條件QUOTE作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,由圖可知,當(dāng)直線y=2x-z經(jīng)過A(0,3)時(shí),直線在y軸上的截距最大,z有最小值為-3.3.在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)(陰影部分且包括邊界),目標(biāo)函數(shù)z=x+ay取得最小值的最優(yōu)解有多數(shù)個(gè),則a的值為 ()A.-3 B.3 C.-1 【解析】選A.-QUOTE=QUOTE=QUOTE,即a=-3.4.(2024·全國(guó)Ⅲ卷)若x,y滿意約束條件QUOTE則z=3x+2y的最大值為.

【解析】不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界),因?yàn)閦=3x+2y,所以y=-QUOTE+QUOTE,易知截距QUOTE越大,則z越大,平移直線y=-QUOTE,當(dāng)y=-QUOTE+QUOTE經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)截距最大,此時(shí)z最大,由QUOTE,得QUOTE,A(1,2),所以zmax=3×1+2×2=7.答案:75.若變量x,y滿意約束條件QUOTE且z=5y-x的最大值為a,最小值為b,則a-b的值是.

【解析】畫出可行域,如圖所示.由圖可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過A點(diǎn)時(shí)有最大值;過B點(diǎn)時(shí)有最小值.聯(lián)立得方程組QUOTE?QUOTE故A(4,4);對(duì)x+y=8,令y=0,則x=8,故B(8,0),所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8,則a-b=16-(-8)=24.答案:246.已知x,y滿意約束條件QUOTE(1)求目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值和最小值;(2)求z=QUOTE的取值范圍.【解析】作出可行域如圖所示.(1)作直線l:2x+y=0,并平移此直線,當(dāng)平移直線過可行域內(nèi)的A點(diǎn)時(shí),z取最小值;當(dāng)平移直線過可行域內(nèi)的B點(diǎn)時(shí),z取得最大值.解QUOTE得AQUOTE.解QUOTE得B(5,3).所以zmax=2×5+3=13,zmin=2×1+QUOTE=QUOTE.(2)z=QUOTE=QUOTE,可看作區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)D(-5,-5)連線的斜率,由圖可知,kBD≤z≤kCD.又B(5,3),CQUOTE,所以kBD=QUOTE=QUOTE,kCD=QUOTE=QUOTE,所以z=QUOTE的取值范圍是QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·石家莊高一檢測(cè))若x,y滿意約束條件QUOTE則z=x+2y的最大值為 ()A.10 B.8 C.5 【解析】選D.由約束條件QUOTE作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)z=x+2y為直線方程的斜截式,y=-QUOTEx+QUOTE,由圖可知,當(dāng)直線y=-QUOTEx+QUOTE過A(3,0)時(shí),直線在y軸上的截距最大,z最大值為3.2.(2024·綿陽(yáng)高一檢測(cè))已知實(shí)數(shù)x,y滿意條件QUOTE+QUOTE≤2,則2x+y的最大值為 ()A.3 B.5 C.6 【解析】選D.實(shí)數(shù)x,y滿意條件QUOTE+QUOTE≤2,如圖所示,所以在AQUOTE處2x+y的取最大值為7.3.已知平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組QUOTE確定.若M(x,y)為D上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(QUOTE,1),則z=QUOTE·QUOTE的最大值為 ()A.3 B.4 C.3QUOTE D.4QUOTE【解析】選B.由線性約束條件QUOTE畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示,目標(biāo)函數(shù)z=QUOTE·QUOTE=QUOTEx+y,將其化為y=-QUOTEx+z,結(jié)合圖形可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖像過點(diǎn)(QUOTE,2)時(shí),z最大,將點(diǎn)(QUOTE,2)代入z=QUOTEx+y,得z的最大值為4.4.(2024·成都高一檢測(cè))已知EF為圓(x-1)2+(y+1)2=1的一條直徑,點(diǎn)M(x,y)的坐標(biāo)滿意不等式組QUOTE則·的取值范圍為 ()A.QUOTE B.[4,13]C.[4,12] D.QUOTE【解析】選D.不等式組QUOTE作出可行域如圖,A(-2,1),B(0,1),CQUOTE,因?yàn)镈(1,-1),O(0,0),M(x,y),=-,所以·=(-)·(-)=·+-·-·=-+=-1=(x-1)2+(y+1)2-1,所以當(dāng)x=-2,y=1時(shí),·取最大值為12,當(dāng)x=-QUOTE,y=QUOTE時(shí),·取最小值QUOTE,所以·的取值范圍是QUOTE.【誤區(qū)警示】對(duì)·進(jìn)行轉(zhuǎn)化是本題的易錯(cuò)點(diǎn).5.(2024·太原高一檢測(cè))設(shè)x,y滿意不等式組QUOTE且QUOTE的最大值為QUOTE,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.1 B.2 C.3 【解析】選B.作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:可知a≥-2,QUOTE的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與Q(-4,0)連線的斜率,直線x+y-2=0與直線y=x+a的交點(diǎn)為AQUOTE,當(dāng)x=1-QUOTE,y=1+QUOTE時(shí),QUOTE的最大值為QUOTE,解得a=2,所以實(shí)數(shù)a的值為2.【光速解題】本題可干脆將選項(xiàng)中的值代入求解.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·成都高一檢測(cè))已知實(shí)數(shù)x,y滿意不等式組QUOTE若當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=3時(shí),y-ax取得最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【解題指南】由題意作出其平面區(qū)域,將z=y-ax化為y=ax+z,z相當(dāng)于直線y=ax+z的縱截距,由幾何意義可得.【解析】由題意作出其平面區(qū)域,將z=y-ax化為y=ax+z,z相當(dāng)于直線y=ax+z的縱截距,則由圖可知,當(dāng)且僅當(dāng)x=1,y=3時(shí)y-ax取得最大值就是目標(biāo)函數(shù)z=y-ax取得最大值時(shí)的唯一最優(yōu)解是B(1,3),則a>1.答案:(1,+∞)【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2024·咸陽(yáng)高一檢測(cè))已知實(shí)數(shù)x,y滿意QUOTE,若z=x+my的最大值為10,則m=.

【解析】作出可行域,如圖,△ABC內(nèi)部(含邊界),其中A(2,4),B(2,1),C(-1,1),若A是最優(yōu)解,則2+4m=10,m=2,檢驗(yàn)符合題意;若B是最優(yōu)解,則2+m=10,m=8,檢驗(yàn)不符合題意,若m=8,則z最大值為34;若C是最優(yōu)解,則-1+m=10,m=11,檢驗(yàn)不符合題意;所以m=2.答案:27.已知約束條件QUOTE若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a>0)恰好在點(diǎn)(2,2)處取得最大值,則a的取值范圍為.

【解析】如圖,線性約束條件對(duì)應(yīng)的可行域?yàn)閳D中的三角形區(qū)域ABC.線性目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a>0)化為y=-QUOTEx+QUOTE,當(dāng)z最大時(shí),QUOTE最大,依據(jù)圖形只要-QUOTE>kAB=-3,所以a>QUOTE.答案:QUOTE8.實(shí)數(shù)x,y滿意不等式組QUOTE則W=QUOTE的取值范圍是.

【解析】畫出題中不等式組所表示的可行域如圖所示,目標(biāo)函數(shù)W=QUOTE表示陰影部分的點(diǎn)與定點(diǎn)A(-1,1)的連線的斜率,由圖可知點(diǎn)A(-1,1)與點(diǎn)(1,0)連線的斜率為最小值,最大值趨近于1,但恒久達(dá)不到1,故-QUOTE≤W<1.答案:[-QUOTE,1)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2024·渭南高一檢測(cè))若x,y滿意條件QUOTE(1)求目標(biāo)函數(shù)z=QUOTEx-y+QUOTE的最值;(2)求點(diǎn)(x,y)到直線y=-x-2的距離的最大值.【解析】(1)依據(jù)條件,作出可行域如圖,則直線x+y=1,-x+y=1,2x-y=2的交點(diǎn)分別為A(3,4),B(0,1),C(1,0).平移直線QUOTEx-y+QUOTE=0,由圖形可知過點(diǎn)A時(shí),z取得最小值z(mì)min=QUOTE×3-4+QUOTE=-2;過點(diǎn)C時(shí),z取得最大值z(mì)max=QUOTE+QUOTE=1.故z的最大值為1,最小值為-2.(2)由圖形可知,所求的最大值即點(diǎn)A到直線x+y+2=0的距離,則d=QUOTE=QUOTE.10.已知x,y滿意條件QUOTE求:(1)4x-3y的最大值和最小值;(2)x2+y2的最大值和最小值.【解析】(1)不等式組QUOTE表示的公共區(qū)域如圖陰影所示:其中A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2),設(shè)z=4x-3y.直線4x-3y=0經(jīng)過原點(diǎn)(0,0).作一組與4x-3y=0平行的直線l:4x-3y=t.則當(dāng)l過C點(diǎn)時(shí),t值最小;當(dāng)l過B點(diǎn)時(shí),t值最大.因?yàn)閦max=4×(-1)-3×(-6)=14,zmin=4×(-3)-3×2=-18.故4x-3y的最大值為14,最小值為-18.(2)設(shè)u=x2+y2,則QUOTE為點(diǎn)(x,y)到原點(diǎn)(0,0)的距離.結(jié)合不等式組所表示的區(qū)域,不難知道:點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離最大;而當(dāng)(x,y)在原點(diǎn)時(shí),距離為0.因?yàn)閡max=(-1)2+(-6)2=37,umin=0,所以x2+y2的最大值為37,最小值為0.1.太極圖被稱為“中華第一圖”,從孔廟大成殿梁柱,到樓觀臺(tái)、三茅宮等標(biāo)記物,太極圖無不躍居其上,這種廣為人知的太極圖,其形態(tài)如陰陽(yáng)兩魚互抱在一起,因而被稱為“陰陽(yáng)魚太極圖”.在如圖所示的陰陽(yáng)魚圖案中,陰影部分的區(qū)域可用不等式組來表示A=QUOTE,設(shè)點(diǎn)(x,y)∈A,則z=x+y的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解答】選C.由題意可知:z=x+y與x2+(y-1)2=1相切時(shí),切點(diǎn)在上方時(shí)取得最大值,如圖可得,QUOTE≤1,解得1-QUOTE≤z≤1+QUOTE,z=x+y的最大值為1+QUOTE.當(dāng)下移與圓x2+y2=4相切時(shí),z=x+y取最小值,同理QUOTE=2,即z的最小值為-2QUOTE,所以z∈QUOTE.2.已知實(shí)數(shù)x,y滿意條件QUOTE若目標(biāo)函數(shù)z=x+ay僅在點(diǎn)(0,1)處取得最小值,求a的取值范圍.【解析】由x,y滿意約束條件QUOTE作出可行域,如圖陰影部分.當(dāng)a=0時(shí),z=x,z值僅在點(diǎn)B(0,1)處取得最小值;當(dāng)a≠0時(shí),由z=x+ay得直線族y=-