2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.2.1古典概型學(xué)案含解析新人教版必修3

PAGE3．2古典概型3．2.1古典概型內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.了解基本領(lǐng)件的特點，理解古典概型的定義.2.會推斷古典概型，會用古典概型的概率公式解決問題.提升數(shù)學(xué)運算發(fā)展邏輯推理應(yīng)用數(shù)學(xué)建模授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第56頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點一古典概型的概念預(yù)習(xí)教材P125－126，思索并完成以下問題拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣．(1)有哪幾種可能結(jié)果？提示：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．(2)上述試驗中的每一個結(jié)果都是隨機事務(wù)，我們把這類事務(wù)稱為基本領(lǐng)件．在一次試驗中，任何兩個基本領(lǐng)件是什么關(guān)系？提示：由于任何兩種結(jié)果都不行能同時發(fā)生，所以它們的關(guān)系是互斥關(guān)系．學(xué)問梳理基本領(lǐng)件古典概型特點任何兩個基本領(lǐng)件是互斥的試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成基本領(lǐng)件的和每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等學(xué)問點二古典概型的概率公式預(yù)習(xí)教材P126－127，思索并完成以下問題在拋擲硬幣試驗中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？提示：出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必定事務(wù))＝1，因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝eq\f(1,2)，即P(出現(xiàn)正面朝上)＝eq\f(1,2)＝eq\f(“出現(xiàn)正面朝上”所包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).學(xué)問梳理對于任何事務(wù)A，P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).思索：擲一枚不勻稱的骰子，求出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)點的概率，這個概率模型還是古典概型嗎？提示：不是．因為骰子不勻稱，所以每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性不相等，不滿意等可能性．[自我檢測]1．某校高一年級要組建數(shù)學(xué)、計算機、航空模型三個愛好小組，某學(xué)生只選報其中的2個，則基本領(lǐng)件共有()A．1個B．2個C．3個 D．4個解析：基本領(lǐng)件有(數(shù)學(xué)，計算機)，(數(shù)學(xué)，航空模型)，(計算機，航空模型)共3個．答案：C2．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：基本領(lǐng)件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六個，甲站在中間的事務(wù)包括乙甲丙、丙甲乙共2個，所以甲站在中間的概率：P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：C3．若書架上放的數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)書分別是5本，3本，2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為__________．解析：從中隨機抽出一本書共有10種取法，抽到物理書有3種狀況，故抽到物理書的概率為eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第57頁探究一基本領(lǐng)件的計數(shù)問題[例1]連續(xù)擲3枚硬幣，視察落地后3枚硬幣是正面對上還是反面對上．(1)寫出這個試驗的全部基本領(lǐng)件；(2)“恰有兩枚正面對上”這一事務(wù)包含哪幾個基本領(lǐng)件？[解析](1)由樹形圖表示如下：試驗的全部基本領(lǐng)件為(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有兩枚正面朝上”包含以下3個基本領(lǐng)件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．方法技巧基本領(lǐng)件的兩種探求方法(1)列表法：將基本領(lǐng)件用表格的形式表示出來，通過表格可以清晰地弄清基本領(lǐng)件的總數(shù)，以及要求的事務(wù)所包含的基本領(lǐng)件數(shù)，列表法適合于較簡潔的試驗的題目，基本領(lǐng)件較多的試驗不適合用列表法(關(guān)鍵詞：基本領(lǐng)件的總數(shù))．(2)樹狀圖法：樹狀圖法是用樹狀的圖形把基本領(lǐng)件列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析基本領(lǐng)件間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，對于較困難的問題，可以作為一種分析問題的主要手段．樹狀圖法適合于較困難的試驗的題目(關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)關(guān)系)．跟蹤探究1.連續(xù)擲3枚硬幣，視察這3枚硬幣落在地面上時是正面朝上還是反面朝上．(1)寫出這個試驗的全部基本領(lǐng)件；(2)求這個試驗的基本領(lǐng)件的總數(shù)；解析：(1)這個試驗包含的基本領(lǐng)件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；(2)這個試驗包含的基本領(lǐng)件的總數(shù)是8.探究二簡潔古典概型的概率[閱讀教材P127例3]同時擲兩個骰子，計算向上的點數(shù)之和是5的概率是多少？方法步驟：第一步，列出全部的基本領(lǐng)件；其次步，找出滿意條件的基本領(lǐng)件；第三步，依據(jù)古典概型概率公式進(jìn)行計算．[例2]袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標(biāo)號分別為1，2，3；藍(lán)色卡片兩張，標(biāo)號分別為1，2；現(xiàn)從袋中任取兩張卡片．(1)若把所取卡片的全部不同狀況作為基本領(lǐng)件，則共有多少個基本領(lǐng)件？是古典概型嗎？(2)若把所取出卡片的標(biāo)號之和作為基本領(lǐng)件，則共有多少個基本領(lǐng)件？是古典概型嗎？(3)求所取卡片標(biāo)號之和小于4的概率．[解析](1)基本領(lǐng)件為(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅1，藍(lán)1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅2，紅3)，(紅2，藍(lán)1)，(紅2，藍(lán)2)，(紅3，藍(lán)1)，(紅3，藍(lán)2)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共10種，由于基本領(lǐng)件個數(shù)有限，且每個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相同，所以是古典概型．(2)由(1)知，基本領(lǐng)件為2，3，4，5共4種，且他們出現(xiàn)的頻數(shù)依次為1，4，3，2；故每個基本領(lǐng)件發(fā)生的可能性不同，不是古典概型．(3)設(shè)A＝{所取兩張卡片標(biāo)號之和小于4}，由(1)知，A事務(wù)包含(紅1，紅2)，(紅1，藍(lán)1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅2，藍(lán)1)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共5種，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).方法技巧1.推斷隨機試驗是否為古典概型，關(guān)鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不行．2．求古典概型概率的計算步驟(1)確定基本領(lǐng)件的總數(shù)n；(2)確定事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)m；(3)計算事務(wù)A的概率P(A)＝eq\f(m,n).3．解決古典概型問題的基本方法是列舉法，但對于較困難的古典概型問題，可采納轉(zhuǎn)化的方法：一是將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化為彼此互斥事務(wù)的和；二是先求對立事務(wù)的概率，再求所求事務(wù)的概率．延長探究1.本題條件不變，求所取兩張卡片標(biāo)號之和不大于4且顏色相同的概率．解析：全部基本領(lǐng)件為(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅1，藍(lán)1)，(紅1，藍(lán)2)，(紅2，紅3)，(紅2，藍(lán)1)，(紅2，藍(lán)2)，(紅3，藍(lán)1)，(紅3，藍(lán)2)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共10種．設(shè)A＝{所取兩張卡片標(biāo)號之和不大于4且顏色相同}，則A事務(wù)包含(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(藍(lán)1，藍(lán)2)共3種，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(3,10).2．在本題原條件不變的狀況之下，現(xiàn)往袋中再放一張標(biāo)號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標(biāo)號之和小于4的概率．解析：加入一張標(biāo)號為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，全部可能狀況如下表所示：綠藍(lán)紅012123綠012123藍(lán)132342345紅134253由表格可知，從六張卡片中任取兩張的全部可能狀況有15種．其中兩張卡片的顏色不同且標(biāo)號之和小于4的有{綠0，藍(lán)1}，{綠0，藍(lán)2}，{綠0，紅1}，{綠0，紅2}，{綠0，紅3}，{藍(lán)1，紅1}，{藍(lán)1，紅2}，{藍(lán)2，紅1}，共8種狀況．由古典概型的概率計算公式可得，所求事務(wù)的概率P＝eq\f(8,15).探究三困難古典概型的概率[閱讀教材P129例5]某種飲料每箱裝6聽，假如其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機抽出2聽，檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大？方法步驟：第一步，列出全部的基本領(lǐng)件；其次步，找出滿意條件的基本領(lǐng)件；第三步，依據(jù)古典概型概率公式進(jìn)行計算．[例3]袋中有兩個紅球和兩個白球，現(xiàn)從中任取兩個小球，求所取的兩個小球中至少有一個紅球的概率．[分析][解析]給兩個紅球編號為1，2，兩個白球編號為3，4，從中任取兩個，共有6個基本領(lǐng)件：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}．設(shè)至少有一個紅球為事務(wù)A.法一：至少有一個紅球的結(jié)果有5個：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，則至少有一個紅球的概率為P(A)＝eq\f(5,6).法二：設(shè)事務(wù)B＝“有一個紅球與一個白球”，事務(wù)C＝“兩個都是紅球”，則A＝B∪C.由互斥事務(wù)的概率加法公式得P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(4,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).法三：設(shè)事務(wù)D＝“兩個都是白球”，則事務(wù)A與事務(wù)D互為對立事務(wù)，所以P(A)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).方法技巧在古典概型中，求困難事務(wù)的概率通常有兩種方法：一是將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務(wù)的和；二是先去求對立事務(wù)的概率，進(jìn)而再求所求事務(wù)的概率．凡涉及“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事務(wù)以及分類探討思想求解，當(dāng)涉及的互斥事務(wù)多于2個時，一般用對立事務(wù)求解．跟蹤探究2.先后拋擲兩枚大小相同的骰子．(1)求點數(shù)之和為7點的概率；(2)求出現(xiàn)兩個4點的概率；(3)求點數(shù)之和能被3整除的概率．解析：如圖所示，從圖中簡潔看出基本領(lǐng)件與所描點一一對應(yīng)，共36種．(1)記“點數(shù)之和為7點”為事務(wù)A，從圖中可以看出，事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共6個：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)．故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)記“出現(xiàn)兩個4點”為事務(wù)B，從圖中可以看出，事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件只有1個，即(4，4)．故P(B)＝eq\f(1,36).(3)記“點數(shù)之和能被3整除”為事務(wù)C，則事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件共12個：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)．故P(C)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第58頁[課后小結(jié)]1．古典概型是一種最基本的概型，在應(yīng)用公式P(A)＝eq\f(m,n)時，關(guān)鍵是正確理解基本領(lǐng)件與事務(wù)A的關(guān)系，從而求出m、n.2．求某個隨機事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)和試驗中基本領(lǐng)件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹狀圖和列表)，留意做到不重不漏．3．對于用干脆方法難以解決的問題，可以求其對立事務(wù)的概率，進(jìn)而求得其概率，以降低難度．[素養(yǎng)培優(yōu)]基本領(lǐng)件的概念理解不清致誤隨意投擲兩枚骰子，求“出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率．錯解隨意投擲兩枚骰子，點數(shù)之和可能是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共有11個基本領(lǐng)件，設(shè)出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)為事務(wù)A，則事務(wù)A包含3，5，7，9，11，共5個基本領(lǐng)件，故P(A)＝eq\f(5,11)，即出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為eq\f(5,11).易錯分析出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的11種狀況不是等可能事務(wù)，如點數(shù)之和為2只出現(xiàn)一次，即(1，1)；點數(shù)之和為3則出現(xiàn)兩次，即(2，1)，(1，2)．因此以點數(shù)之和為基本領(lǐng)件不屬于古典概型，不能應(yīng)用古典概型概率公式計算．自我訂正隨意投擲兩枚骰子，可看成等可能事務(wù)，其結(jié)果即基本領(lǐng)件可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1，2，…，6)．其中兩個數(shù)i，j分別表示這兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)