2024-2025學年高中數(shù)學第三章概率3.2.1古典概型學案含解析新人教版必修3

PAGE3．2古典概型3．2.1古典概型內(nèi)容標準學科素養(yǎng)1.了解基本領件的特點，理解古典概型的定義.2.會推斷古典概型，會用古典概型的概率公式解決問題.提升數(shù)學運算發(fā)展邏輯推理應用數(shù)學建模授課提示：對應學生用書第56頁[基礎相識]學問點一古典概型的概念預習教材P125－126，思索并完成以下問題拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的硬幣．(1)有哪幾種可能結果？提示：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)．(2)上述試驗中的每一個結果都是隨機事務，我們把這類事務稱為基本領件．在一次試驗中，任何兩個基本領件是什么關系？提示：由于任何兩種結果都不行能同時發(fā)生，所以它們的關系是互斥關系．學問梳理基本領件古典概型特點任何兩個基本領件是互斥的試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領件只有有限個任何事務(除不行能事務)都可以表示成基本領件的和每個基本領件出現(xiàn)的可能性相等學問點二古典概型的概率公式預習教材P126－127，思索并完成以下問題在拋擲硬幣試驗中，如何求正面朝上及反面朝上的概率？提示：出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等，即P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)．由概率的加法公式，得P(“正面朝上”)＋P(“反面朝上”)＝P(必定事務)＝1，因此P(“正面朝上”)＝P(“反面朝上”)＝eq\f(1,2)，即P(出現(xiàn)正面朝上)＝eq\f(1,2)＝eq\f(“出現(xiàn)正面朝上”所包含的基本領件的個數(shù),基本領件的總數(shù)).學問梳理對于任何事務A，P(A)＝eq\f(A包含的基本領件的個數(shù),基本領件的總數(shù)).思索：擲一枚不勻稱的骰子，求出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)點的概率，這個概率模型還是古典概型嗎？提示：不是．因為骰子不勻稱，所以每個基本領件出現(xiàn)的可能性不相等，不滿意等可能性．[自我檢測]1．某校高一年級要組建數(shù)學、計算機、航空模型三個愛好小組，某學生只選報其中的2個，則基本領件共有()A．1個B．2個C．3個 D．4個解析：基本領件有(數(shù)學，計算機)，(數(shù)學，航空模型)，(計算機，航空模型)共3個．答案：C2．甲、乙、丙三名同學站成一排，甲站在中間的概率是()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：基本領件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六個，甲站在中間的事務包括乙甲丙、丙甲乙共2個，所以甲站在中間的概率：P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案：C3．若書架上放的數(shù)學、物理、化學書分別是5本，3本，2本，則隨機抽出一本是物理書的概率為__________．解析：從中隨機抽出一本書共有10種取法，抽到物理書有3種狀況，故抽到物理書的概率為eq\f(3,10).答案：eq\f(3,10)授課提示：對應學生用書第57頁探究一基本領件的計數(shù)問題[例1]連續(xù)擲3枚硬幣，視察落地后3枚硬幣是正面對上還是反面對上．(1)寫出這個試驗的全部基本領件；(2)“恰有兩枚正面對上”這一事務包含哪幾個基本領件？[解析](1)由樹形圖表示如下：試驗的全部基本領件為(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有兩枚正面朝上”包含以下3個基本領件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．方法技巧基本領件的兩種探求方法(1)列表法：將基本領件用表格的形式表示出來，通過表格可以清晰地弄清基本領件的總數(shù)，以及要求的事務所包含的基本領件數(shù)，列表法適合于較簡潔的試驗的題目，基本領件較多的試驗不適合用列表法(關鍵詞：基本領件的總數(shù))．(2)樹狀圖法：樹狀圖法是用樹狀的圖形把基本領件列舉出來的一種方法，樹狀圖法便于分析基本領件間的結構關系，對于較困難的問題，可以作為一種分析問題的主要手段．樹狀圖法適合于較困難的試驗的題目(關鍵詞：結構關系)．跟蹤探究1.連續(xù)擲3枚硬幣，視察這3枚硬幣落在地面上時是正面朝上還是反面朝上．(1)寫出這個試驗的全部基本領件；(2)求這個試驗的基本領件的總數(shù)；解析：(1)這個試驗包含的基本領件有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)；(2)這個試驗包含的基本領件的總數(shù)是8.探究二簡潔古典概型的概率[閱讀教材P127例3]同時擲兩個骰子，計算向上的點數(shù)之和是5的概率是多少？方法步驟：第一步，列出全部的基本領件；其次步，找出滿意條件的基本領件；第三步，依據(jù)古典概型概率公式進行計算．[例2]袋中有五張卡片，其中紅色卡片三張，標號分別為1，2，3；藍色卡片兩張，標號分別為1，2；現(xiàn)從袋中任取兩張卡片．(1)若把所取卡片的全部不同狀況作為基本領件，則共有多少個基本領件？是古典概型嗎？(2)若把所取出卡片的標號之和作為基本領件，則共有多少個基本領件？是古典概型嗎？(3)求所取卡片標號之和小于4的概率．[解析](1)基本領件為(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅1，藍1)，(紅1，藍2)，(紅2，紅3)，(紅2，藍1)，(紅2，藍2)，(紅3，藍1)，(紅3，藍2)，(藍1，藍2)共10種，由于基本領件個數(shù)有限，且每個基本領件發(fā)生的可能性相同，所以是古典概型．(2)由(1)知，基本領件為2，3，4，5共4種，且他們出現(xiàn)的頻數(shù)依次為1，4，3，2；故每個基本領件發(fā)生的可能性不同，不是古典概型．(3)設A＝{所取兩張卡片標號之和小于4}，由(1)知，A事務包含(紅1，紅2)，(紅1，藍1)，(紅1，藍2)，(紅2，藍1)，(藍1，藍2)共5種，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).方法技巧1.推斷隨機試驗是否為古典概型，關鍵是抓住古典概型的兩個特征——有限性和等可能性，二者缺一不行．2．求古典概型概率的計算步驟(1)確定基本領件的總數(shù)n；(2)確定事務A包含的基本領件的個數(shù)m；(3)計算事務A的概率P(A)＝eq\f(m,n).3．解決古典概型問題的基本方法是列舉法，但對于較困難的古典概型問題，可采納轉(zhuǎn)化的方法：一是將所求事務轉(zhuǎn)化為彼此互斥事務的和；二是先求對立事務的概率，再求所求事務的概率．延長探究1.本題條件不變，求所取兩張卡片標號之和不大于4且顏色相同的概率．解析：全部基本領件為(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(紅1，藍1)，(紅1，藍2)，(紅2，紅3)，(紅2，藍1)，(紅2，藍2)，(紅3，藍1)，(紅3，藍2)，(藍1，藍2)共10種．設A＝{所取兩張卡片標號之和不大于4且顏色相同}，則A事務包含(紅1，紅2)，(紅1，紅3)，(藍1，藍2)共3種，由古典概型概率公式得：P(A)＝eq\f(3,10).2．在本題原條件不變的狀況之下，現(xiàn)往袋中再放一張標號為0的綠色卡片，從這六張卡片中任取兩張，求這兩張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率．解析：加入一張標號為0的綠色卡片后，從六張卡片中任取兩張，全部可能狀況如下表所示：綠藍紅012123綠012123藍132342345紅134253由表格可知，從六張卡片中任取兩張的全部可能狀況有15種．其中兩張卡片的顏色不同且標號之和小于4的有{綠0，藍1}，{綠0，藍2}，{綠0，紅1}，{綠0，紅2}，{綠0，紅3}，{藍1，紅1}，{藍1，紅2}，{藍2，紅1}，共8種狀況．由古典概型的概率計算公式可得，所求事務的概率P＝eq\f(8,15).探究三困難古典概型的概率[閱讀教材P129例5]某種飲料每箱裝6聽，假如其中有2聽不合格，問質(zhì)檢人員從中隨機抽出2聽，檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大？方法步驟：第一步，列出全部的基本領件；其次步，找出滿意條件的基本領件；第三步，依據(jù)古典概型概率公式進行計算．[例3]袋中有兩個紅球和兩個白球，現(xiàn)從中任取兩個小球，求所取的兩個小球中至少有一個紅球的概率．[分析][解析]給兩個紅球編號為1，2，兩個白球編號為3，4，從中任取兩個，共有6個基本領件：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}．設至少有一個紅球為事務A.法一：至少有一個紅球的結果有5個：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，則至少有一個紅球的概率為P(A)＝eq\f(5,6).法二：設事務B＝“有一個紅球與一個白球”，事務C＝“兩個都是紅球”，則A＝B∪C.由互斥事務的概率加法公式得P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(4,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).法三：設事務D＝“兩個都是白球”，則事務A與事務D互為對立事務，所以P(A)＝1－P(D)＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).方法技巧在古典概型中，求困難事務的概率通常有兩種方法：一是將所求事務轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事務的和；二是先去求對立事務的概率，進而再求所求事務的概率．凡涉及“至多”“至少”型的問題，可以用互斥事務以及分類探討思想求解，當涉及的互斥事務多于2個時，一般用對立事務求解．跟蹤探究2.先后拋擲兩枚大小相同的骰子．(1)求點數(shù)之和為7點的概率；(2)求出現(xiàn)兩個4點的概率；(3)求點數(shù)之和能被3整除的概率．解析：如圖所示，從圖中簡潔看出基本領件與所描點一一對應，共36種．(1)記“點數(shù)之和為7點”為事務A，從圖中可以看出，事務A包含的基本領件共6個：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)．故P(A)＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)記“出現(xiàn)兩個4點”為事務B，從圖中可以看出，事務B包含的基本領件只有1個，即(4，4)．故P(B)＝eq\f(1,36).(3)記“點數(shù)之和能被3整除”為事務C，則事務C包含的基本領件共12個：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)．故P(C)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).授課提示：對應學生用書第58頁[課后小結]1．古典概型是一種最基本的概型，在應用公式P(A)＝eq\f(m,n)時，關鍵是正確理解基本領件與事務A的關系，從而求出m、n.2．求某個隨機事務A包含的基本領件的個數(shù)和試驗中基本領件的總數(shù)常用的方法是列舉法(畫樹狀圖和列表)，留意做到不重不漏．3．對于用干脆方法難以解決的問題，可以求其對立事務的概率，進而求得其概率，以降低難度．[素養(yǎng)培優(yōu)]基本領件的概念理解不清致誤隨意投擲兩枚骰子，求“出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)”的概率．錯解隨意投擲兩枚骰子，點數(shù)之和可能是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共有11個基本領件，設出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)為事務A，則事務A包含3，5，7，9，11，共5個基本領件，故P(A)＝eq\f(5,11)，即出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率為eq\f(5,11).易錯分析出現(xiàn)點數(shù)之和為奇數(shù)與偶數(shù)的11種狀況不是等可能事務，如點數(shù)之和為2只出現(xiàn)一次，即(1，1)；點數(shù)之和為3則出現(xiàn)兩次，即(2，1)，(1，2)．因此以點數(shù)之和為基本領件不屬于古典概型，不能應用古典概型概率公式計算．自我訂正隨意投擲兩枚骰子，可看成等可能事務，其結果即基本領件可表示為數(shù)組(i，j)(i，j＝1，2，…，6)．其中兩個數(shù)i，j分別表示這兩枚骰子出現(xiàn)的點數(shù)，則有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)