數(shù)學(xué)學(xué)案：單元整合第二講證明不等式的基本方法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一比較法比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形;③判斷結(jié)果的符號;④下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮差能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方，可以因式分解,可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法．eq\x(應(yīng)用1)設(shè)a≠b，求證:a2＋3b2＞2b(a＋b)．提示:用作差比較法證明．作差比較法的步驟是：①作差；②變形;③判斷差與0的大小關(guān)系；④下結(jié)論，其中最關(guān)鍵的步驟是②③。證明：(a2＋3b2)－2b（a＋b）＝a2＋3b2－2ab－2b2＝a2－2ab＋b2＝（a－b）2。因?yàn)閍≠b，所以a－b≠0.從而(a－b）2＞0,于是(a2＋3b2)－2b（a＋b）＞0.所以a2＋3b2＞2b(a＋b）．eq\x(應(yīng)用2）若a＝eq\f(ln2,2）,b＝eq\f(ln3,3）,c＝eq\f（ln5,5），則（）A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c提示:作商比較法的步驟是:①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④下結(jié)論．其中②③是關(guān)鍵步驟，同時要注意分子、分母的正負(fù)．解析：∵eq\f(b,a）＝eq\f（2ln3，3ln2）＝log89＞1，且a＞0,b＞0，∴b＞a.又∵eq\f（a,c）＝eq\f(5ln2，2ln5)＝log2532＞1，且a＞0,c＞0，∴a＞c?！郼＜a＜b。答案：C專題二綜合法綜合法證明不等式的依據(jù):已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時要注意:作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個重要不等式(已知或已證）成立的條件往往不同，應(yīng)用時要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，應(yīng)用時要清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取等號"的理由要理解掌握．綜合法證明不等式的思維方面是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立．eq\x（應(yīng)用）已知a，b,c為△ABC的三條邊，求證：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca)提示:應(yīng)用余弦定理解決．證明：設(shè)a，b兩邊的夾角為θ，則由余弦定理，得：cosθ＝eq\f(a2＋b2－c2，2ab）因?yàn)?＜θ＜π，∴cosθ＜1,∴eq\f(a2＋b2－c2，2ab)＜1,即a2＋b2－c2＜2ab。同理可證：b2＋c2－a2＜2bc,c2＋a2－b2＜2ac將上面三個同向不等式相加，即得：a2＋b2＋c2＜2（ab＋bc＋ca）專題三分析法分析法證明不等式的依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．分析法證明不等式的思維方向是“逆求”（但絕不是逆推)，即由待證的不等式出發(fā)，逐步逆求使其成立的充分條件(執(zhí)果索因）,最后得到充分條件是已知(或已證)的不等式．當(dāng)要證的不等式不知從何入手時，可考慮用分析法去證明,特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效．分析法是“執(zhí)果索因",步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч保鸩酵茖?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法，一般說來,對于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明,所以分析法和綜合法可結(jié)合使用．eq\x(應(yīng)用）設(shè)a＞0,b＞0，求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3.提示:此題可以用分析法、綜合法和比較法來證明,這里我們用分析法證明．證明：要證a5＋b5≥a3b2＋a2b3成立，即證(a5－a3b2）＋（b5－a2b3）≥0成立，即證a3(a2－b2）＋b3(b2－a2）≥0成立,即證(a3－b3）(a2－b2)≥0成立．而a＞0,b＞0,當(dāng)a≥b＞0或b≥a＞0時，a3－b3與a2－b2的符號都相同，所以（a3－b3)（a2－b2）≥0成立．所以原不等式成立．專題四反證法運(yùn)用反證法證明不等式，主要有以下兩個步驟：①作出與所證不等式相反的假設(shè);②從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立．反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題．涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題,也常用反證法．eq\x（應(yīng)用)用反證法證明鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長的一半．解：已知：如圖，在△ABC中，∠CAB＞90°,D是BC的中點(diǎn)．求證:AD＜eq\f（1,2）BC。證明：假設(shè)AD≥eq\f(1，2）BC.(1）若AD＝eq\f(1，2)BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長的一半，那么，這條邊所對的角為直角”，知∠CAB＝90°，與題設(shè)矛盾．所以AD≠eq\f(1,2）BC。（2）若AD＞eq\f(1,2）BC，因?yàn)锽D＝DC＝eq\f(1,2)BC，所以在△ABD中，AD＞BD，從而∠B＞∠BAD.同理∠C＞∠CAD.所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD,即∠B＋∠C＞∠CAB。因?yàn)椤螧＋∠C＝180°－∠CAB，所以180°－∠CAB＞∠CAB，則∠CAB＜90°，這與題設(shè)矛盾．由（1）(2)知AD＜eq\f（1,2）BC.專題五放縮法在證明不等式時，有時我們要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯?或縮小)以方便化簡,并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得到欲證的不等式成立，這種證明的方法稱為放縮法．它是證明不等式的特殊方法．eq\x(應(yīng)用）已知a，b，c為三角形的三邊，求證:eq\f（a，1＋a),eq\f(b,1＋b)，eq\f（c,1＋c)也可以構(gòu)成一個三角形．證明:設(shè)f（x)＝eq\f(x,1＋x），x∈(0，＋∞）,0＜x1＜x2,則f（x2）－f(x1)＝eq\f（x2,1＋x2）－eq\f（x1，1＋x1）＝eq\f(x2－x1，（1＋x2)(1＋x1))＞0，f（x2）＞f(x1）,∴f(x）在(0，＋∞）上為單調(diào)增函數(shù)．∵a，b，c為三角形三邊，∴a＋b＞c,∴eq\f（c，1＋c)＜eq\f（a＋b,1＋(a＋b)）＝eq\f（a，1＋a＋b）＋eq\f（b,1＋a＋b)＜eq\f(a，1＋a）＋eq\f（b，1＋b)，即eq\f(c,1＋c)＜eq\f(a，1＋a)＋eq\