數(shù)學(xué)學(xué)案：第二章平面解析幾何初步

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學(xué)人教B必修2第二章平面解析幾何初步知識建構(gòu)綜合應(yīng)用專題一位置關(guān)系問題兩條直線的位置關(guān)系有相交、平行、重合幾種，兩直線垂直是相交的一種特殊情況,高考中對平行與垂直的考查是重點，多以選擇及填空為主，屬于容易題．而直線與圓的位置關(guān)系幾乎是每年必考內(nèi)容，有時結(jié)合向量，考查形式可以是選擇題、填空題，也可以是解答題，屬于中低檔類題目．圓與圓的位置關(guān)系有外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含等5種，在高考中單獨考查的情況不多．應(yīng)用1已知兩直線l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0,若l1∥l2,則m的值為(）．A．－1或3B．－1C．3D．0提示：利用兩直線平行的條件求解．應(yīng)用2(2011·福建泉州模擬)若直線eq\r(3)x＋y＋2n＝0與圓x2＋y2＝n2相切，其中n∈N＋，則n的值等于(）．A．1B．2C．4D．1或2提示：利用圓心距等于半徑列方程求解．應(yīng)用3已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0。試討論兩圓的位置關(guān)系．提示:隨著m取值的不同,也會影響兩圓的位置關(guān)系,所以需要根據(jù)兩圓的不同位置關(guān)系求出m的不同取值范圍．專題二對稱問題對稱問題是高考中常見的一種題型,解析幾何中有關(guān)對稱問題，可分為點關(guān)于點對稱；直線關(guān)于點對稱;曲線關(guān)于點對稱;點關(guān)于直線對稱；直線關(guān)于直線對稱;曲線關(guān)于直線對稱．但總的來說，就是關(guān)于點對稱和關(guān)于直線對稱這兩類問題．應(yīng)用1(2010·湖南高考)若不同兩點P,Q的坐標(biāo)分別為(a，b），(3－b，3－a)，則線段PQ的垂直平分線l的斜率為__________;圓(x－2）2＋（y－3）2＝1關(guān)于直線l對稱的圓的方程為__________．提示：(1）l1⊥l2?k1k2＝－1；（2）求出圓心(2,3)關(guān)于l的對稱點即可．應(yīng)用2(2011·安徽安慶模擬)從點（2，3)射出的光線沿與直線x－2y＝0平行的直線射到y(tǒng)軸上，則經(jīng)y軸反射的光線所在的直線方程為__________．提示：畫出示意圖,注意反射光線與入射光線的斜率互為相反數(shù),且反射光線經(jīng)過點(－2,3）．專題三用圖示法解題用圖示法解題，實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,即把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何上的“形”結(jié)合起來認(rèn)識問題、理解問題并解決問題的思維方法．?dāng)?shù)形結(jié)合一般包括兩個方面，即以“形”助“數(shù)",以“數(shù)"解“形”;本章中有關(guān)斜率、距離、截距、直線與圓的位置關(guān)系等很易轉(zhuǎn)化為形來說明，借助于形分析和求解，往往事半功倍．應(yīng)用1討論直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r（4－x2）的交點的個數(shù)．提示:畫出y＝eq\r（4－x2)的圖象，注意等價變形．應(yīng)用2設(shè)點P（x，y)在圓x2＋（y－1）2＝1上．（1）求eq\r（x－22＋y2）的最小值；(2)求eq\f(y＋2，x＋1)的最小值．提示：（1）eq\r（x－22＋y2)理解為動點（x，y）到定點（2,0)的距離即可；(2)eq\f(y＋2，x＋1)理解為動點(x,y）與定點(－1，－2）連線的斜率即可．應(yīng)用3若實數(shù)x，y滿足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．提示：令x＋y＝b，則y＝－x＋b,問題即轉(zhuǎn)化為求截距b的最小值問題．專題四軌跡問題軌跡是滿足某些特殊幾何條件的點所形成的圖形，在平面直角坐標(biāo)系中,求動點的軌跡就是求動點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系．我們可以借助圓這個幾何性質(zhì)較多的圖形，研究一些與之相關(guān)的軌跡方程．應(yīng)用1已知圓C：x2＋y2－4x＋2y－4＝0，求長為2的弦中點的軌跡方程．提示：利用定義法，即動點的運動軌跡滿足圓的定義，只需確定圓心和半徑，直接寫出圓的方程．應(yīng)用2已知動圓P與定圓C：x2＋(y＋2）2＝1相外切，又與定直線l：y＝1相切，求動圓圓心P的軌跡方程．提示：利用直接法，即若動點的運動規(guī)律滿足一些簡單的幾何等量關(guān)系，可以直接將這個等量關(guān)系用動點的坐標(biāo)表示出來，寫出軌跡方程．應(yīng)用3已知圓C的方程為（x－2)2＋y2＝1,過點P（1，0)作圓C的任意弦，交圓C于另一點Q，求線段PQ的中點M的軌跡方程．提示：點M的運動受到點Q運動的牽制，而點Q在圓C上，故用“相關(guān)動點法”．真題放送1．(2011·四川高考)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)是（）．A．（2，3)B．(－2，3)C．(－2,－3)D．(2,－3）2．（2011·安徽高考)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為（)．A．－1B．1C．3D．－33．(2011·重慶高考)在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi),過點E（0,1）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）．A．5eq\r（2）B．10eq\r（2）C．15eq\r（2）D．20eq\r(2)4．（2011·大綱全國高考)設(shè)兩圓C1,C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(4,1)，則兩圓心的距離｜C1C2｜＝（)．A．4B．4eq\r（2）C．8D．8eq\r(2)5．（2011·江西高考）若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是()．A．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r（3)，3）)）B．eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(\r（3），3），0)）∪eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f(\r（3)，3)）)C．eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3），3),\f（\r(3），3))）D．eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞，－\f（\r(3),3))）∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（\r（3)，3）,＋∞））6．（2011·浙江高考）若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實數(shù)m＝________。7．(2011·重慶高考）過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為__________．8．（2011·湖北高考）過點（－1，－2）的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為eq\r（2)，則直線l的斜率為______．答案:綜合應(yīng)用專題一應(yīng)用1：B∵l1∥l2，∴1×3－m(m－2）＝0?！鄊＝－1或3,經(jīng)檢驗m＝－1適合．應(yīng)用2：D圓心（0，0）到直線的距離為d＝eq\f(2n,\r(\r(3)2＋1））＝2n－1.由n＝2n－1，結(jié)合選項，得n＝1或2.應(yīng)用3：解：圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0可化為（x－m)2＋(y＋2）2＝32,圓心為C1（m，－2）,半徑為r1＝3；圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0可化為(x＋1)2＋(y－m)2＝22，圓心為C2(－1,m)，半徑為r2＝2，圓心距為d＝eq\r（m＋12＋－2－m2）＝eq\r（2m2＋6m＋5），所以①當(dāng)d＝r1＋r2＝5時，此時m＝2或m＝－5,兩圓外切；②當(dāng)d＝r1－r2＝1時，此時m＝－1或m＝－2,兩圓內(nèi)切；③由②可知，當(dāng)－2＜m＜－1時,兩圓內(nèi)含；④由①可知，當(dāng)m＜－5或m＞2時，兩圓外離；⑤當(dāng)－5＜m＜－2或－1＜m＜2時，兩圓相交．專題二應(yīng)用1：－1x2＋（y－1）2＝1kPQ＝eq\f(b－3－a，a－3－b)＝1，∴kl＝－1。P，Q的中點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3，2），\f（3,2）)）,∴l(xiāng)的方程為y－eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（3,2)）),即x＋y－3＝0.點(2,3)關(guān)于x＋y－3＝0的對稱點為(0，1)，∴圓(x－2)2＋（y－3)2＝1關(guān)于直線l對稱的圓的方程為x2＋(y－1）2＝1。應(yīng)用2:x＋2y－4＝0由題意得,射出光線方程為y－3＝eq\f（1,2)（x－2），即x－2y＋4＝0,與y軸交點為（0,2），又（2,3)關(guān)于y軸的對稱點為（－2，3）,∴反射光線所在的直線方程為y－3＝－eq\f（1,2）（x＋2)，即x＋2y－4＝0.專題三應(yīng)用1:解：如圖所示，在坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線y＝eq\r(4－x2）的圖象(半圓弧)．直線l1：y＝x－2，直線l2：y＝x＋2eq\r（2）。當(dāng)直線l：y＝x＋b夾在l1與l2之間（包括l1，l2)時，l與曲線y＝eq\r（4－x2)有公共點；進一步觀察交點的個數(shù)可有如下結(jié)論：(1）當(dāng)b＜－2或b＞2eq\r（2)時,直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(4－x2）無公共點;（2）當(dāng)－2≤b＜2或b＝2eq\r(2）時，直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(4－x2）僅有一個公共點；（3)當(dāng)2≤b＜2eq\r(2)時,直線y＝x＋b與曲線y＝eq\r(4－x2）有兩個公共點．應(yīng)用2：解：(1）式子eq\r（x－22＋y2)的幾何意義是圓上的點與定點（2,0）的距離．因為圓心（0,1)與定點（2,0)的距離是eq\r(22＋12)＝eq\r（5)，圓的半徑是1，所以eq\r(x－22＋y2）的最小值是eq\r（5)－1.(2)解法一：令eq\f(y＋2，x＋1)＝t，則方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋2＝tx＋1，x2＋y－12＝1))一定有解．消去y,整理得(1＋t2）x2＋2(t2－3t)x＋（t2－6t＋8）＝0有解．所以Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8）≥0，即6t－8≥0,解得t≥eq\f(4,3)。故eq\f（y＋2，x＋1)的最小值是eq\f(4，3）。解法二:式子eq\f（y＋2，x＋1）的幾何意義是點P（x,y）與定點（－1，－2)連線的斜率．如圖，當(dāng)為切線l1時,斜率最?。O(shè)eq\f（y＋2，x＋1)＝k，即kx－y＋k－2＝0，由直線與圓相切,得eq\f(｜－1＋k－2｜，\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)。故eq\f（y＋2，x＋1)的最小值是eq\f（4,3）.應(yīng)用3：解：原方程化為（x＋4）2＋（y－3）2＝9，設(shè)x＋y＝b,則y＝－x＋b，可見x＋y的最小值就是過圓(x＋4）2＋(y－3)2＝9上的點作斜率為－1的平行線中，縱截距b的最小值,此時，直線與圓相切．由點到直線的距離公式得eq\f（｜4－3＋b｜，\r(2）)＝3。解得b＝3eq\r（2)－1或b＝－3eq\r（2)－1。所以x＋y的最小值為－3eq\r（2)－1.專題四應(yīng)用1：解:由條件知，圓心坐標(biāo)為C（2，－1)，半徑r＝3。設(shè)所求弦中點為P(x，y），則｜PC｜2＝r2－12＝8,｜PC｜＝2eq\r（2).∴P點在以C為圓心，半徑為2eq\r（2）的圓上．故所求軌跡方程為（x－2）2＋（y＋1)2＝8。應(yīng)用2：解:設(shè)點P(x，y），如圖，故動點P在直線y＝1的下側(cè)，∵圓P與直線y＝1相切，∴圓P的半徑等于1－y.又圓C與圓P相外切,∴｜PC｜＝1－y＋1,即eq\r(x2＋y＋22）＝2－y。兩邊平方,整理得y＝－eq\f(1，8）x2.應(yīng)用3：解法一：設(shè)點M的坐標(biāo)為（x，y），點Q的坐標(biāo)為（x0，y0)，∵M是線段PQ的中點，∴x＝eq\f(x0＋1，2)，y＝eq\f(y0＋0，2).∴x0＝2x－1，y0＝2y.①∵點Q在圓C：（x－2）2＋y2＝1上運動，∴點Q的坐標(biāo)滿足方程(x－2)2＋y2＝1，即(x0－2）2＋yeq\o\al(2,0）＝1.②把①代入②得(2x－1－2)2＋（2y)2＝1，整理得eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(3，2））)2＋y2＝eq\f（1，4).但P是圓C上一點,且P，Q不重合，∴x0≠1,從而x≠eq\f(1＋1，2）,即x≠1.∴點M的軌跡方程是eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f（3，2）)）2＋y2＝eq\f（1，4)(x≠1）,即點M的軌跡是以eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，2），0)）為圓心，eq\f（1，2）為半徑的圓，不包括點(1，0）．解法二:∵點M是弦PQ的中點，∴CM⊥PM。設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y),點Q的坐標(biāo)為（x0，y0)，則kCM＝eq\f(y,x－2)，kPM＝eq\f(y,x－1）。由kCMkPM＝－1，得eq\f(y，x－2)·eq\f(y,x－1)＝－1。整理得eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（x－\f（3,2)))2＋y2＝eq\f(1，4）.但P是圓C上一點，且P，Q不重合，∴x0≠1,從而x≠eq\f（1＋1,2)，即x≠1.故點M的軌跡方程是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3，2)))2＋y2＝eq\f（1，4)(x≠1)．真題放送1．D將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3）2＝13，故其圓心坐標(biāo)為（2，－3）．2．B圓x2＋y2＋2x－4y＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程：(x＋1)2＋(y－2)2＝5,可得圓心(－1，2)．∵直線過圓心，∴將(－1,2）代入直線3x＋y＋a＝0，可得a＝1。3．B由（x－1）2＋(y－3)2＝10,可知圓心為M(1，3），半徑為eq\r(10)，過E(0,1）的最長弦為圓的直徑2eq\r(10），最短弦為以E為中點的弦,其長為2eq\r（10－ME2）＝2eq\r（5)。因兩條弦互相垂直，故四邊形ABCD的面積為eq\f（1，2)×2eq\r（10)×2eq\r（5)＝10eq\r(2）。4．C由題意可設(shè)兩圓的方程均為（x－r）2＋（y－r)2＝r2。將(4,1）代入,可得（4－r）2＋(1－r)2＝r2,∴r2－10r＋17＝0.∴此方程兩根分別為兩圓半徑，∴兩圓心的距離|C1C2｜＝eq\r(r1－r22＋r1－r22)＝eq\r(2)×eq\r（r1＋r22－4r1r2）＝eq\r(2)×eq\r(100－4×17）＝eq\r（2）×4eq\r（2)＝