1987-2014歷年考研數(shù)學一真題及答案

(5)已知三維向量空間的基底為

1987年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

%=(1,1,0)9=(1,0,1),0(3=(0,1,1),則向量P=(2,0,0)在此基底下的

數(shù)學(一)試卷

坐標是.

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把

答案填在題中橫線上)

二、(本題滿分8分)

⑴當小時,函數(shù)y="2'取得極小值.

求正的常數(shù).與瓦使等式lim—^成立.

(2)由曲線與兩直線)，=€+17及)，=o所圍成的平bx-s\nx力JQ+產

面圖形的面積是.

I=X

(3)與兩直線[y=_i+r三、(本題滿分7分)

[z=2+t(1)設八g為連續(xù)可微函數(shù)=f(x3xy),v=g(x+xy),求

及3=上=工里都平行且過原點的平面方程為dudv

111dx'dx

(2)設矩陣A和B滿足關系式AB=A+2B,其中

一30r

A=110，求矩陣B.

(4)設L為取正向的圓周/+y2=9,則曲線積分014

￡(2盯-2yMx+(x2-4x)dy=.

2

四、(本題滿分8分),和X

求微分方程乂+6y〃+(9+/)y，=i的通解，其中常數(shù)。>o.(C)依賴于,、X,不依賴于S(D)依賴

于s,不依賴于,

五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.每⑶設常數(shù)k>0,則級數(shù)2一］)”*

〃=1〃

小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項(A)發(fā)散(B)絕對收斂

前的字母填在題后的括號內)

⑴設lim皿*=-1.則在』處

XT"(x-a)(0條件收斂(D)散斂

(A)/(x)的導數(shù)存在，且尸(a)#()(B)/(x)取性與k的取值有關

得極大值(4)設A為〃階方陣，且A的行列式IAI=a*0,而A,是A的伴

(0”X)取得極小值(D)/⑴的隨矩陣，貝IJIA」等于

(A)”(B)l

導數(shù)不存在a

(2)設f(x)為已知連續(xù)函數(shù),/=fjf(tx)dx,其中,>0,s>0,(0a，-⑻不

則/的值

(A)依賴于s和，(B)依賴于s、六、(本題滿分10分)

2

3

求幕級數(shù)的收斂域’并求其和函數(shù).求曲面積分

I=JJx(8y+\)dydz+2(1-y2)dz.dx-4yzdxdy,

z

七、(本題滿分10分)

Z=R；加3繞，軸旋轉一周而成的曲面，其法向量與，軸正向的夾角恒大不

其中E是由曲線,f(x)=<

八、(本題滿分10分)

設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［0,1］上可微,對于01］上的每一個X,函數(shù)八x)的值都在開區(qū)間(0,1)內，且/(x)=1,證明在(0,1)內有且僅有一

個工，使得/(%)=X.

九、(本題滿分8分)

問小為何值時,現(xiàn)線性方程組

玉+工2+芻+Z=0

2X

x2+2X3+4=1

_x、+(Q—3)七—2%—b

aX

3玉+2x?++4=-1

3

4

有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.

十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)設在一次實驗中,事件人發(fā)生的概率為八現(xiàn)進行“次獨立試驗,貝L至少發(fā)生一次的概率為；而事件八至多發(fā)生

一次的概率為.

(2)有兩個箱子，第1個箱子有3個白球,2個紅球，第2個箱子有4個白球,4個紅球.現(xiàn)從第1個箱子中隨機地取1個球放到

第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為.已知上述從第2個箱子中取出的球是白球,則

從第一個箱子中取出的球是白球的概率為.

(3)已知連續(xù)隨機變量x的概率密度函數(shù)為〃x)=e-，F(xiàn)一則x的數(shù)學期望為x的方差為，

H^一、(本題滿分6分)

設隨機變量x.y相互獨立,其概率密度函數(shù)分別為

A(x)=J1及JQ,加，＞。，求z=2x+y的概率密度函數(shù).

Lo其'匕l(fā)o

4

6

1988年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

(3)設周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間(_川上耳義為

數(shù)學(一)試卷

〃X)=2,T<x?°,則的傅里葉(而“加)級數(shù)在x=>處收

x20<x<1

一、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)

斂于.

(1)求幕級數(shù)￡上二的收斂域.

M=l"3⑷設4階矩陣A=[a，Y2，Y3，Y4]，B=[0，Y2，Y3，Y4]，其中

(2)設:(x)=e',/[°(x)]=l-x且0(x)20,求e(x)及其定氏0,丫2，丫3，丫4均為4維列向量,且已知行列式|A|=4,|B|=L則

義域.行列式|A+B尸.

⑶設Z為曲面x?+y2+z2=l的外側，計算曲面積分

33

/=jjx^dydz+ydzdx+zdxdy.三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.

每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把

二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.所選項前的字母填在題后的括號內)

把答案填在題中橫線上)(1)設“X)可導且/(%)1則Ax->0時"(x)在葩處的

(1)若/(r)=limr(l+-)2,x,貝！J/()=_____________.微分。是

18X

(2)設/*)連續(xù)且則(A)與Ax等價的無窮小(B)與A.

6

7

同階的無窮小(D)JJJxyzdv=4JJJxyzdv

(C)比"低階的無窮小(D)比AX⑷設塞級數(shù)在一處收斂,則此級數(shù)在

/?=!

高階的無窮小x=2處

⑵設y=/(x)是方程y"-2y，+4y=0的一個解且(A)條件收斂(B)絕對

/(Xo)>0,/(%)=0,則函數(shù)/(A)在點七處收斂

(A)取得極大值(B)取(C)發(fā)散(D)收斂

得極小值性不能確定

(C)某鄰域內單調增加(D)某⑸〃維向量組叫,“，…,”3454〃)線性無關的充要條

鄰域內單調減少件是

(3)設空間區(qū)域(A)存在一組不全為零的數(shù)勺&，…人，使

22222222匕%

Q:x+y+z<Z?,z>(),Q2:x+j+z</?,x>0,y>0,z>0,則+k2a2+???+ksas￥0

(A)川冏=叫孫(B)%,a?,…,a,中任意兩個向量均線性無關

旦A

⑻川必”4川必

⑹川9=4肝小,(C)見中存在一個向量不能用其余向量線性

值7

7

8

表示設位于點(0,1)的質點A對質點”的引力大小為

(D)風中存在一個向量都不能用其余向量線二(%>0為常數(shù)，為A質點與M之間的距離)，質點M沿直

廠

性表示線y=\flx-x2自5(2,0)運動到0(0,0),求在此運動過程中質

點A對質點M的引力所作的功.

四、(本題滿分6分)

設〃=)以與+xgg),其中函數(shù)f、g具有二階連續(xù)導數(shù),

yx七、(本題滿分6分)

卡d2ud2u100100

求工行+丁二--

oxdxoy已知AP=BP,其中B=000,P2—10,<|cA,A5.

00-1211

五、(本題滿分8分)

八、(本題滿分8分)

設函數(shù)y=y(x)滿足微分方程)，〃-3y，+2y=2e',其圖形

一200--200-

在點(0.1)處的切線與曲線卜=/一8一1在該點處的切線重已知矩陣人=001與8=0y0相似.

01x_00-1

合,求函數(shù)y=y(x).

⑴求耳

⑵求一個滿足P，AP=B的可逆陣P.

六、(本題滿分9分)

8

9

(3)設隨機變量x服從均值為10,均方差為0.02的正

九、(本題滿分9分)態(tài)分布，已知

設函數(shù)/(X)在區(qū)間立切上連續(xù),且在("M內有1

0")=￡e~0(2.5)=0.9938,

/")>0,證明:在(〃,/7)內存在唯一的使曲線),=/(x)與兩

則X落在區(qū)間(9.95,10.05)內的概率為.

直線y=/(€),X=a所圍平面圖形面積、是曲線y=/(X)與

兩直線y=/(V),x=h所圍平面圖形面積S2的3倍.

十一、(本題滿分6分)

設隨機變量X的概率密度函數(shù)為八⑴=—L『求隨

萬(1一廠)

十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.

機變量的概率密度函數(shù)加y).

把答案填在題中橫線上)

(1)設在三次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相等,若

已知4至少出現(xiàn)一次的概率等于則事件A在一次試驗

中出現(xiàn)的概率是.

(2)若在區(qū)間(0/)內任取兩個數(shù)，則事件”兩數(shù)之和

小于自”的概率為.

5

9

10

1989年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.

數(shù)學(一)試卷

每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.

所選項前的字母填在題后的括號內)

把答案填在題中橫線上)

⑴當、＞o時，曲線y=尢sin-

(1)已知f(3)=2,則lim"3T)-〃3)=____________________.x

202h

(A)有且僅有水平漸近線(B)有

⑵設/(x)是連續(xù)函數(shù)，且/(x)=x+2。⑴力，則

且僅有鉛直漸近線

/(X)-____________________________'

(0既有水平漸近線,又有鉛直漸近線

⑶設平面曲線/一為下半圓周)=-口，則曲線積分

(D)既無水平漸近線,又無鉛直漸近線

J(x2+y2)ds=，

(2)已知曲面”4-/-/上點戶處的切平面平行于平

(4)向量場divw在點p(i,i,o)處的散度

面2x+2y+zT=0,則點的坐標是

divu~<

(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)

一300一100

⑸設矩陣A=140010,貝|J矩陣(C)(1,1,2)(D)(-1,-1,2)

003001

⑶設線性無關的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的

(A-21)-|=.

10

11

解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是任一列向量是其余列向量的線性組合

(A)3*2%+%

(B)C［〉|+c2y2-(C|+。2)%三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)

(C)臼月+，2%-(1-。|一。2)%(1)設z=f(2x-y)+g(x,砂),其中函數(shù)/(/)一階可導

(D),必+。2%+(1-6-。2)%,g(?,v)具有連續(xù)二階偏導數(shù),求去.

dxdy

(4)設函數(shù)/(x)=x2,O<x<l,而

⑵設曲線積分［xy2dx+y°(x)dy與路徑無關,其中p(x)

S(x)=￡b“sin〃不幾一8<X<4-00,其中

71=1

具有連續(xù)的導數(shù)，且0(0)=0,計算

2=2f/(x)sin〃乃xdx,〃=l,2,3,…，貝Us(-J)等于

xy2dx+y(p{x}dy的值.

(A)-l(B)-l

24(3)計算三重積分肝x+z)dv,其中Q是由曲面

(C)2(D)2n

4222

Z=舊+『與.^\-X-y所圍成的區(qū)域.

(5)設A是〃階矩陣，且A的行列式|A|=0,則A中

(A)必有一列元素全為0(B)必有

四、(本題滿分6分)

兩列元素對應成比例

將函數(shù)f(x)=arctan展為x的嘉級數(shù).

1-X

(0必有一列向量是其余列向量的線性組合(D)

11

12

五、(本題滿分7分)八、(本題滿分8分)

設/(x)=sinx-⑺力，其中,為連續(xù)函數(shù),求.f(x).假設/為〃階可逆矩陣A的一個特征值,證明

(1)，為八一的特征值.

A

(2)國為A的伴隨矩陣A的特征值.

六、(本題滿分7分)

A

證明方程Inx=土-1Vl-cos2xdx在區(qū)間(0,+co)內有且

e%)

僅有兩個不同實根.九、(本題滿分9分)

設半徑為R的球面2的球心在定球面

七、(本題滿分6分)/+/+=/3>0)上，問當R為何值時，球面X在定球面

內部的那部分的面積最大？

問/為何值時,線性方程組

r

xl+x3=A十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.

A4x,+x2+2X3=2+2把答案填在題中橫線上)

、6%1+x2+4X3=22+3(1)已知隨機事件”的概率P(A)=0.5,隨機事件8的概

有解,并求出解的一般形式.率/(B)=0.6及條件概率P(BIA)=0.8,則和事件AUB的概率

12

13

P(AU?)=_____________?

(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中

率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標被命中,則它是甲射中

的概率為.

(3)若隨機變量g在(1,6)上服從均勻分布，則方程

/+0+1=0有實根的概率是.

十一、(本題滿分6分)

設隨機變量x與y獨立，且x服從均值為1、標準差(均

方差)為V2的正態(tài)分布,而y服從標準正態(tài)分布.試求隨

機變量Z=2X7+3的概率密度函數(shù).

13

14

a,=(1,2,3,4),?=(2,3,4,5),?3=(3,4,5,6),?=(4,5,6,7),

1990年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試24

則該向量組的秩是.

數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.

把答案填在題中橫線上)

每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把

'x=-t+2

(1)過點M(1,2-I)且與直線y=3一4垂直的平面方程所選項前的字母填在題后的括號內)

是.1

(1)設/'(x)是連續(xù)函數(shù),且『⑴=『于⑺"則尸(x)等于

z=r-1

(A)-e-\r(e-v)-/(x)

(2)設〃為非零常數(shù),則.

XT8x-a

(B)-e-V(e-1)+/(%)

(C)eV(e-x)-/U)

⑶設函數(shù)/41尸，則

0|%|>1(D)e-"(e-,)+/(x)

(2)已知函數(shù)9)具有任意階導數(shù)，且八x)="(x)]2,

(4)積分dy的值等于.則當〃為大于2的正整數(shù)時.“X)的”階導數(shù)〃⑴是

(5)已知向量組(A)〃！"(x)尸

15

(B)n[/(x)T1+1(5)已知口、也是非齊次線性方程組AX…的兩個不同

(c)|/(x)]2n的解必、％是對應其次線性方程組AX=0的基礎解析溫、

(D)n![/(x)]2n勺為任意常數(shù),則方程組AX=b的通解(一般解)必是

⑶設〃為常數(shù),則級數(shù)力坐叁一上]

(A)klal+^2(a,+a2)+,近2艮

n=lyj12

(A)絕對收斂(B)條(B)勺叫+k2(at-a2)+廝：。入

件收斂(0-%+%2(P1+p2)+邑盧

(0發(fā)散(D)收斂(D)占%+%2(0|-02)+f，

性與。的取值有關

(4)已知“X)在x=0的某個鄰域內連續(xù)，且三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)

/(0)=0,limf(x)=2,則在點X=0處/(X)⑴求產(1+：上

1-cosX小(2-X)2

(A)不可導(B)可導，⑵設Z="2-inx),其中/(?,v)具有連續(xù)的二階偏

且廣(0)*o導數(shù),求變.

(C)取得極大值(D)取得

⑶求微分方程)，〃+4y，+4)，=e-2、的通解(一般解).

極小值

15

16

四、（本題滿分6分）設四階矩陣

求塞級數(shù)￡（2〃+I*的收斂域,并求其和函數(shù).'1-100112134一

M=001-100213

B=,C=

001-10021

0001J[o002_

五、（本題滿分8分）

且矩陣A滿足關系式

求曲面積分

A（E-CB）C=E

/=JJyzdzdx+2dxdy

s

其中E為四階單位矩陣,C，表示C的逆矩陣C表示C的轉

其中s是球面X2+V+z2=4外側在z>o的部分.

置矩陣.將上述關系式化簡并求矩陣A.

六、（本題滿分7分）

八、（本題滿分8分）

設不恒為常數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間小切上連續(xù),在開

求一個正交變換化二次型

區(qū)間（a,b）內可導,且/（a）=f（b）,證明在（a,b）內至少存在

f-xf+4x；+4x；-4xtx2+4xtx3-8x2x3成標準型.

點g,使得/也）>0.

九、（本題滿分8分）

七、（本題滿分6分）

16

質點P沿著以AB為直徑的半(2)設隨機事件八B及其和事件的概率分別是0.4、

圓周,從點A(l,2)運動到點8(3,4)的0.3和0.6,若月表示B的對立事件，那么積事件3的概

過程中受變力片作用(見圖).戶的率P(AB)=.

大小等于點P與原點。之間的距(3)已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松

離，其方向垂直于線段”且與，(Poisson)分布，即P{X=4}="匚,％=0,1,2,.一，則隨機變量

k!

軸正向的夾角小于工.求變力戶對

2Z=3X-2的數(shù)學期望E(Z)=.

質點P所作的功.十一、(本題滿分6分)

設二維隨機變量(x,y)在區(qū)域。：0<尤內服從

均勻分布，求關于x的邊緣概率密度函數(shù)及隨機變量

十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.Z=2X+I的方差O(Z).

把答案填在題中橫線上)

(1)已知隨機變量x的概率密度函數(shù)

//\1-IA-I

/(X)=-e',-oo<x<+oo

則X的概率分布函數(shù)尸(x)=.

17

18

則常數(shù)0=.

1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

■5200-

數(shù)學（一）試卷

⑸設4階方陣A=：：°°,則A的逆陣

001-2

一、填空題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.0011

.-1~

把答案填在題中橫線上）A?

⑴庫E+C則g____________.

y=costdx

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分,滿分15分.

每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求,把

（2）由方程型+商+…坨所確定的函數(shù)

所選項前的字母填在題后的括號內）

.7（2）在點（1,0一）處的全微分成=.

⑴曲線

■l-e-r

（3）已知兩條直線的方程是（A）沒有漸近線（B）僅有

T==3=3則過4且平行于/，的水平漸近線

110-1-211~

平面方程是.（C）僅有鉛直漸近線（D）既

（4）已知當H=0時,（1+加）3-1與cosx-l是等價無窮小,有水平漸近線又有鉛直漸近線

18

⑵若連續(xù)函數(shù)小)滿足關系式/(x)=『"；W+ln2,階單位陣,則必有

則八x)等于(A)ACB=E(B)CBA=E

(A)e，In2(B)e2,In2(C)BAC=E(D)BCA=E

(C)e'+1n2

⑻e2r+In2三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分)

⑶已知級數(shù)￡(_1尸％=2,￡%r5.則級數(shù)“等于(1)求lim(cosVx)^.

〃=1W=1/?=|XT0+

(A)3(B)7⑵設不是曲面2/+3y2+#=6在點p(l,l,l)處的指向外

(C)8(D)9側的法向量,求函數(shù)”返正在點P處沿方向亓的方

(4)設D是平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)為頂點的

向導數(shù).

三角形區(qū)域⑷是。在第一象限的部分,則

⑶川,+),2+2)九其中Q是由甲線)[=2Z繞，軸旋轉

Jj(xy+cosxsiny)dxdy等于Q.1X=0

D一周而成的曲面與平面.4所圍城%立體.

(A)2j|cosxsinydxdy(B)l^xydxdy

o,必

(C)4+cosxsiny)dxdy⑻。

o.

四、(本題滿分6分)

⑸設〃階方陣A、B、C滿足關系式ABC=E，其中E是"

過點0(0,0)和A⑸0)的曲線族y=asinx(a>0)中，求一

19

20

條曲線L,使沿該曲線。從到A的積分合？

￡(1+泗公+(2A-+y)dy的值最小.(2)八b為何值時平有%,%,%,%的唯一的線性表示式?

寫出該表示式.

五、(本題滿分8分)

將函數(shù)/(x)=2+|x|