2025屆吉林省吉林市五十五中數學高二上期末經典試題含解析

2025屆吉林省吉林市五十五中數學高二上期末經典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列1，6，15，28，45，…中的每一項都可用如圖所示的六邊形表示出米，故稱它們?yōu)榱呅螖?，那么?1個六邊形數為（）A.153 B.190C.231 D.2762．在直三棱柱中，側面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.3．甲乙兩名運動員在某項體能測試中的6次成績統(tǒng)計如表：甲9816151514乙7813151722分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的平均數，分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的標準差，則有（）A.， B.，C.， D.，4．若雙曲線的兩個焦點為，點是上的一點，且，則雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.6．雙曲線的光學性質為：如圖①，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經過左焦點.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經雙曲線上的點和點反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．若，滿足約束條件則的最大值是A.-8 B.-3C.0 D.18．已知函數，則（）A.函數在上單調遞增B.函數上有兩個零點C.函數有極大值16D.函數有最小值9．已知正三棱柱中，，點為中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線的焦距為，且雙曲線的一條漸近線與直線平行，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.11．19世紀法國著名數學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（）A. B.C. D.12．設為橢圓上一點，，為左、右焦點，且，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點構不成三角形二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列滿足，則_____________14．若，若，則______15．機動車駕駛考試是為了獲得機動車駕駛證的考試，采用全國統(tǒng)一的考試科目內容及合格標準，包括科目一理論考試、科目二場地駕駛技能考試、科目三道路駕駛技能考試和科目四安全文明常識考試共四項考試，考生應依次參加四項考試，前一項考試合格后才能報名參加后一項考試，考試不合格則需另行交費預約再次補考．據公安部門通報，佛山市四項考試的合格率依次為，，，，且各項考試是否通過互不影響，則一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補考一次的概率為______16．從某校隨機抽取某次數學考試100分以上（含100分，滿分150分）的學生成績，將他們的分數數據繪制成如圖所示頻率分布直方圖．若共抽取了100名學生的成績，則分數在內的人數為___________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的圓心為，且圓經過點（1）求圓的標準方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數取值范圍18．（12分）函數，.（1）討論函數的單調性；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數和中位數20．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.21．（12分）已知數列的前n項和為，且.（1）求數列的通項公式；（2）若，設，求數列的前n項和.22．（10分）已知函數（1）求f(x)在點處的切線方程；（2）求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】細心觀察，尋求相鄰項及項與序號之間的關系，同時聯(lián)系相關知識,如等差數列、等比數列等，結合圖形即可求解.【詳解】由題意知，數列的各項為1，6，15，28，45，...所以，，，，，，所以.故選：C2、C【解析】分析得出，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.3、B【解析】根據給定統(tǒng)計表計算、，再比較、大小判斷作答.【詳解】依題意，，，，，所以，.故選：B4、B【解析】由條件結合雙曲線的定義可得，然后可得，然后可求出的范圍即可.【詳解】由雙曲線的定義可得，結合可得當點不為雙曲線的頂點時，可得，即當點為雙曲線的頂點時，可得，即所以，所以，所以所以雙曲線的漸近線與軸的夾角的取值范圍是故選：B5、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結果.【詳解】由基本不等式知；（當且僅當時取等號），的最大值為.故選：A.6、C【解析】連接，已知條件為，，設，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應用勾股定理得出的關系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因為，故解得，則，在中，，即，所以故選：C7、C【解析】作出可行域，把變形為，平移直線過點時，最大.【詳解】作出可行域如圖：由得：，作出直線，平移直線過點時，.故選C.【點睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.8、C【解析】對求導，研究的單調性以及極值，再結合選項即可得到答案.【詳解】，由，得或，由，得，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以極大值為，極小值為，所以有3個零點，且無最小值.故選：C9、A【解析】根據異面直線所成角的定義，取中點為，則為異面直線和所成角或其補角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設中點為，則在三角形中，為中點，為中位線，所以有，，所以為異面直線和所成角或其補角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.10、B【解析】根據焦點在x軸上的雙曲線漸近線斜率為±可求a，b關系，再結合a，b，c關系即可求解﹒【詳解】∵雙曲線1(a＞0，b＞0)的焦距為2，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0平行，∴，∴b＝2a，∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，∴雙曲線的方程為故選：B11、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B12、D【解析】根據橢圓方程求出，然后結合橢圓定義和已知條件求出并求出，進而判斷答案.【詳解】由題意可知，，由橢圓的定義可知，而，聯(lián)立方程解得，且，則6+2=8，即不構成三角形.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】找到數列的規(guī)律，由此求得.【詳解】依題意，，，所以數列是以為周期的周期數列，.故答案為：14、2【解析】首先利用二項展開式的通項公式，求，再利用賦值法求系數的和以及【詳解】展開式的通項為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：15、【解析】至多需要補考一次，分5種情況分別計算后再求和即可.【詳解】不需要補考就通過的概率為；僅補考科目一就通過的概率為；僅補考科目二就通過的概率為；僅補考科目三就通過的概率為；僅補考科目三就通過的概率為，一位佛山公民通過駕考四項考試至多需要補考一次的概率為.故答案為：16、30【解析】根據頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，可得a值，根據總人數和頻率，即可得答案.【詳解】因為頻率分布直方圖中所以小矩形面積和為1，所以，解得，所以分數在內的人數為.故答案為：30三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標準方程是：.【小問2詳解】圓：圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數的取值范圍是.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構造函數，由題意可知恒成立，對實數分和兩種情況討論，利用導數分析函數在區(qū)間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）函數的定義域為，.（i）當時，，函數在上單調遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數在上單調遞增；②當時，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；綜上，可得，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）設，，則.當時，單調遞增，則.所以，函數在上單調遞增，且.當時，，于是，函數在上單調遞增，恒成立，符合題意；當時，由于，，，所以，存在，使得.當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.故，不符合題意，綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求解函數的單調區(qū)間，同時也考查了利用導數研究函數不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應用，屬于難題.19、（1）；（2）眾數是，中位數為【解析】（1）利用頻率之和為一可求得的值；（2）眾數為最高小矩形底邊中點的橫坐標；中位數左邊和右邊的直方圖的面積相等可求得中位數試題解析：（1）由直方圖的性質可得，∴（2）月平均用電量的眾數是，∵，月平均用電量的中位數在內，設中位數為，由，可得，∴月平均用電量的中位數為224考點：頻率分布直方圖；中位數；眾數20、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進而可求得的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求得結果【詳解】（1）因為數列是公差為2的等差數列，且成等比數列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.21、（1）（2）.【解析】(1)由數列的前n項和與通項公式之間的關系即可完成.(2)由錯位相減法即可解決此類“差比”數列的求和.【小問1詳解】由，得當時，