2025屆山東省平邑縣曾子學校高二上數學期末質量檢測試題含解析

2025屆山東省平邑縣曾子學校高二上數學期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，則（）A.4 B.5C.6 D.72．若函數單調遞增，則實數a的取值范圍為（）A. B.C. D.3．正數a,b滿足,若不等式對任意實數x恒成立,則實數m的取值范圍是A. B.C. D.4．若實數，滿足約束條件，則的最小值為（）A.-3 B.-2C. D.15．已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（）A. B.C. D.6．某地區(qū)高中分三類，A類學校共有學生2000人，B類學校共有學生3000人，C類學校共有學生4000人，若采取分層抽樣的方法抽取900人，則A類學校中的學生甲被抽到的概率（）A. B.C. D.7．已知正方體的棱長為1，且滿足，則的最小值是（）A. B.C. D.8．設拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，點坐標為，則的最小值為（）A. B.C. D.9．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.10．經過點且圓心是兩直線與的交點的圓的方程為（）A. B.C. D.11．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結論：①正方體在每個頂點的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點數，棱數，面數滿足，則該類多面體的總曲率是常數.其中，所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③12．已知拋物線的焦點是雙曲線的一個焦點，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的頂點為O，焦點為F，動點B在C上，若點B，O，F構成一個斜三角形，則______14．已知函數，則不等式的解集為____________15．如圖，SD是球O的直徑，A、B、C是球O表面上的三個不同的點，，當三棱錐的底面是邊長為3的正三角形時，則球O的半徑為______.16．《九章算術》中的“兩鼠穿墻題”是我國數學的古典名題．“今有城墻厚若干尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”題意是：“兩只老鼠從城墻的兩邊相對分別打洞穿墻．大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半……”則小老鼠第三天穿城墻______尺；若城墻厚40尺，則至少在第________天相遇三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，底面是矩形的直棱柱中，；（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大??；18．（12分）已知圓的方程為（1）求圓的圓心及半徑；（2）是否存在直線滿足：經過點，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由從下列三個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的左、右焦點分別是，，離心率，請再從下面兩個條件中選擇一個作為已知條件，完成下面的問題：①橢圓C過點；②以點為圓心，3為半徑的圓與以點為圓心，1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上（只能從①②中選擇一個作為已知）（1）求橢圓C的方程；（2）已知過點的直線l交橢圓C于M，N兩點，點N關于x軸的對稱點為，且，M，三點構成一個三角形，求證：直線過定點，并求面積的最大值.20．（12分）如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由21．（12分）在平面直角坐標系中，點在拋物線上（1）求的值；（2）若直線l與拋物線C交于，兩點，，且，求的最小值22．（10分）在等差數列中，已知且（1）求的通項公式；（2）設，求數列前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數的導數，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.2、D【解析】根據函數的單調性，可知其導數在R上恒成立，分離參數，即可求得答案.【詳解】由題意可知單調遞增，則在R上恒成立，可得恒成立，當時，取最小值-1，故，故選：D3、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數，，當且僅當，即時，，若不等式對任意實數x恒成立，則對任意實數x恒成立，即對任意實數x恒成立，，，故選：A【點睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數求最值，屬于中檔題.4、B【解析】先畫出可行域，由，作出直線向下平移過點A時，取得最小值，然后求出點A的坐標，代入目標函數中可求得答案【詳解】由題可得其可行域為如圖，l：，當經過點A時，取到最小值，由，得，即，所以的最小值為故選：B5、A【解析】利用空間向量基本定理進行計算.【詳解】.故選：A6、D【解析】利用抽樣的性質求解【詳解】所有學生數為，所以所求概率為.故選：D7、C【解析】由空間向量共面定理可得點四點共面，從而將求的最小值轉化為求點到平面的距離，再根據等體積法計算.【詳解】因為，由空間向量的共面定理可知，點四點共面，即點在平面上，所以的最小值為點到平面的距離，由正方體棱長為，可得是邊長為的等邊三角形，則，，由等體積法得，，所以，所以的最小值為.故選：C【點睛】共面定理的應用：設是不共面的四點，則對空間任意一點，都存在唯一的有序實數組使得，說明：若，則四點共面.8、B【解析】設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，進而把問題轉化為求|PM|+|PD|的最小值，即可求解【詳解】解：由題意，設點P在準線上的射影為D，則根據拋物線的定義可知|PF|＝|PD|，所以要求|PM|+|PF|的最小值，即求|PM|+|PD|的最小值，當D，P，M三點共線時，|PM|+|PD|取得最小值為故選：B9、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質判斷命題的真假，進而確定它們所構成的復合命題的真假即可.【詳解】由，當且僅當時等號成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C10、B【解析】求出圓心坐標和半徑后，直接寫出圓的標準方程.【詳解】由得，即所求圓的圓心坐標為.由該圓過點，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎題.11、D【解析】根據曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點數各面內角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據定義可得該類多面體的總曲率為常數，故③正確.故選：D.12、B【解析】根據拋物線和寫出焦點坐標，利用題干中的坐標相等，解出，結合從而求出答案.【詳解】拋物線的焦點為，雙曲線的，，所以，所以雙曲線的右焦點為：，由題意，，兩邊平方解得，，則雙曲線的漸近線方程為：.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】畫出簡單示意圖，令，根據拋物線定義可得，應用數形結合及B在C上，求目標式的值.【詳解】如下圖，令，直線為拋物線準線，軸，由拋物線定義知：，又且，所以，故，又，故.故答案為：2.【點睛】關鍵點點睛：應用拋物線的定義將轉化為，再由三角函數的定義及點在拋物線上求值.14、【解析】易得函數為奇函數，則不等式即為不等式，利用導數判斷函數得單調性，再根據函數得單調性解不等式即可.【詳解】解：函數得定義域為R，因為，所以函數為奇函數，則不等式即為不等式，，所以函數在R上是增函數，所以，解得，即不等式的解集為.故答案為：.15、【解析】由三棱錐是正三棱錐，利用正弦定理得出三角形外接圓的半徑，進而求出，再由余弦定理得出球O的半徑.【詳解】因為，所以平面，三棱錐是正三棱錐，設為三角形外接圓的圓心，則在上，連接，，由得出，所以，在中，，即，解得，則球O的半徑為.故答案為：16、①.##0.25②.6【解析】由題意知小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數列，大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數列，即可算出小老鼠第三天穿城墻的厚度，再根據等比數列求和公式，構造等式，即可得解.【詳解】由題意知，小老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以為公比的等比數列，前天打洞之和為，∴小老鼠第三天穿城墻的厚度為；大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數列，前天打洞之和為，∴兩只老鼠第天打洞穿墻的厚度之和為，且數列為遞增數列，而，，又城墻厚40尺，所以這兩只老鼠至少6天相遇.故答案為：；6.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過證明和可得答案；（2）連接，則為直線與平面所成角的平面角，在直角三角形中計算即可.【小問1詳解】棱柱為直棱柱，面，又面，又直棱柱的底面是矩形，，又，平面，平面，平面；【小問2詳解】連接，面，則為直線與平面所成角的平面角在直角三角形中，則，，所以直線與平面所成角的大小為.18、（1）圓心為，半徑為；（2）答案見解析.【解析】（1）寫出圓標準方程即得解；（2）選擇條件①：直線應過圓心即直線過點和，即得解；選擇條件②：直線應與垂直，求出直線的方程即得解；選擇條件③：不存在滿足條件的直線.【小問1詳解】解：由圓的方程整理可得，所以圓心為，半徑為.小問2詳解】選擇條件①：若直線被圓所截得的弦長最長，則直線應過圓心即直線過點和，所以直線的斜率為，則直線的方程為.選擇條件②：若直線過點被圓所截得的弦長最短，則直線應與垂直.又，所以.故直線方程為.選擇條件③：經過點的直線被圓所截得的最短弦長，由于，所以不存在滿足條件的直線.19、（1）（2）證明見解析，【解析】（1）若選①，則由題意可得，解方程組求出，從而可求得橢圓方程，若選②，，再結合離心率和求出，從而可求得橢圓方程，（2）由題意設直線MN的方程為，設，，，將直線方程代入橢圓方程中，消去，再利用根與系數的關系，表示出直線的方程，令，求出，結合前面的式子化簡可得線過的定點，表示出的面積，利用基本不等式可求得其最大值【小問1詳解】若選①：由題意知，∴.所以橢圓C的方程為.若選②：設圓與圓相交于點Q.由題意知：.又因為點Q在橢圓上，所以，∴.又因為，∴，∴.所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】由題易知直線MN斜率存在且不為0，因為，故設直線MN方程為，設，，，∴，∴，，因為點N關于x軸對稱點為，所以，所以直線方程為，令，∴.又，∴.所以直線過定點，∴.當且僅當，即時，取等號.所以面積的最大值為.20、（1）證明見解析（2）存在，的長為或，理由見解析.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，求出，根據與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進而求得的長.小問1詳解】依題意，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面法向量為，則，故可設，由于，所以平面.【小問2詳解】存在，理由如下：設，，，，