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楊村第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知雙曲線(,)的左、右焦點分別為,,.若雙曲線M的右支上存在點P,使,則雙曲線M的離心率的取值范圍為()A. B.C. D.2.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,,,則A.-6 B.-4C.-2 D.23.設(shè)命題,則為A. B.C. D.4.已知a,b為不相等實數(shù),記,則M與N的大小關(guān)系為()A. B.C. D.不確定5.若實數(shù)滿足約束條件,則最小值為()A.-2 B.-1C.1 D.26.雙曲線的離心率為,焦點到漸近線的距離為,則雙曲線的焦距等于A. B.C. D.7.已知是定義在上的奇函數(shù),對任意兩個不相等的正數(shù)、都有,記,,,則()A. B.C. D.8.已知拋物線,過點作拋物線的兩條切線,點為切點.若的面積不大于,則的取值范圍是()A. B.C. D.9.集合,,則()A. B.C. D.10.已知定義在R上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則下列結(jié)論中正確的是()A. B.C. D.11.?dāng)?shù)學(xué)家歌拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知的三個頂點分別為,,,則的歐拉線方程是()A. B.C. D.12.如圖是拋物線拱形橋,當(dāng)水面在時,拱頂離水面,水面寬,若水面上升,則水面寬是()(結(jié)果精確到)(參考數(shù)值:)A B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知點在圓C:()內(nèi),過點M的直線被圓C截得的弦長最小值為8,則______14.橢圓的離心率是______15.已知為坐標(biāo)原點,、分別是雙曲線的左、右頂點,是雙曲線上不同于、的動點,直線、與軸分別交于點、兩點,則________16.?dāng)?shù)列滿足,,則___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間;(2)函數(shù)在區(qū)間上的最小值小于零,求a的取值范圍18.(12分)已知拋物線C:上一點與焦點F的距離為(1)求和p的值;(2)直線l:與C相交于A,B兩點,求直線AM,BM的斜率之積19.(12分)設(shè)橢圓:()的離心率為,橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4.(1)求橢圓的方程;(2)已知過的直線與橢圓交于、兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的最大值.20.(12分).在直角坐標(biāo)系中,點,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線與曲線相交于A,B兩點(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;(2)若,求值21.(12分)已如橢圓C:=1(a>b>0)的有頂點為M(2,0),且離心率e=,點A,B是橢圓C上異于點M的不同的兩點(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)設(shè)直線MA與直線MB的斜率分別為k1,k2,若k1?k2=,證明:直線AB一定過定點22.(10分)已知等差數(shù)列滿足:,,數(shù)列的前n項和為(1)求及;(2)設(shè)是首項為1,公比為3的等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用三角形正弦定理結(jié)合,用a,c表示出,再由點P的位置列出不等式求解即得.【詳解】依題意,點P不與雙曲線頂點重合,在中,由正弦定理得:,因,于是得,而點P在雙曲線M的右支上,即,從而有,點P在雙曲線M的右支上運動,并且異于頂點,于是有,因此,,而,整理得,即,解得,又,故有,所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故選:A2、A【解析】由已知得解得故選A考點:等差數(shù)列的通項公式和前項和公式3、C【解析】特稱命題的否定為全稱命題,所以命題的否命題應(yīng)該為,即本題的正確選項為C.4、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為,又,所以,即故選:A5、B【解析】由約束條件作出可行域,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖,聯(lián)立,解得,由,得,由圖可知,當(dāng)直線過時,直線在軸上的截距最小,有最小值為故選:B6、D【解析】不妨設(shè)雙曲線方程為,則,即設(shè)焦點為,漸近線方程為則又解得.則焦距為.選:D7、A【解析】由題,可得是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可判斷出的大小關(guān)系.【詳解】設(shè),由題,得,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,因為是定義在R上的奇函數(shù),所以是定義在上的偶函數(shù),因此,,,即.故選:A【點睛】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大小的問題,其中涉及到構(gòu)造函數(shù)的運用.8、C【解析】由題意,設(shè),直線方程為,則由點到直線的距離公式求出點到直線的距離,再聯(lián)立直線與拋物線方程,由韋達(dá)定理及弦長公式求出,進(jìn)而可得,結(jié)合即可得答案.【詳解】解:因為拋物線的性質(zhì):在拋物線上任意一點處的切線方程為,設(shè),所以在點處的切線方程為,在點B處的切線方程為,因為兩條切線都經(jīng)過點,所以,,所以直線的方程為,即,點到直線的距離為,聯(lián)立直線與拋物線方程有,消去得,由得,,由韋達(dá)定理得,所以弦長,所以,整理得,即,解得,又所以.故選:C.9、A【解析】先解不等式求得集合再求交集.【詳解】解不等式得:,則有,解不等式,解得或,則有或,所以為.故選:A.10、B【解析】由可得,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,由此比較函數(shù)值的大小確定正確選項.【詳解】∵∴,當(dāng)時,,∴,故∴在內(nèi)單調(diào)遞增,又,∴,所以故選:B11、B【解析】根據(jù)的三個頂點坐標(biāo),先求解出重心的坐標(biāo),然后再根據(jù)三個點坐標(biāo)求解任意兩條垂直平分線的方程,聯(lián)立方程,即可算出外心的坐標(biāo),最后根據(jù)重心和外心的坐標(biāo)使用點斜式寫出直線方程.【詳解】由題意可得的重心為.因為,,所以線段的垂直平分線的方程為.因為,,所以直線的斜率,線段的中點坐標(biāo)為,則線段的垂直平分線的方程為.聯(lián)立,解得,則的外心坐標(biāo)為,故的歐拉線方程是,即故選:B.12、C【解析】先建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=my,將點坐標(biāo)代入拋物線方程求出m,從而可得拋物線方程,再令y=代入拋物線方程求出x,即可得到答案【詳解】解:如圖建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=my,由題意,將代入x2=my,得m=,所以拋物線的方程為x2=,令y=,解得,所以水面寬度為2.24×817.9m故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系,可求得r的取值范圍,再利用過圓內(nèi)一點最短的弦,結(jié)合弦長公式可得到關(guān)于r的方程,求解即可.【詳解】由點在圓C:內(nèi),且所以,又,解得過圓內(nèi)一點最短的弦,應(yīng)垂直于該定點與圓心的連線,即圓心到直線的距離為又,所以,解得故答案為:14、【解析】求出、、的值,即可得出橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中,,,,因此,橢圓的離心率是.故答案為:.15、3【解析】求得坐標(biāo),設(shè)出點坐標(biāo),求得直線的方程,由此求得兩點的縱坐標(biāo),進(jìn)而求得.【詳解】依題意,設(shè),則,直線的方程為,則,直線的方程為,則,所以.故答案為:16、【解析】根據(jù)題中所給的遞推式得到數(shù)列具有周期性,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題中遞推式知,可知數(shù)列具有周期性,周期為3,因為故故答案為:三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)答案見解析;(2).【解析】(1)對求導(dǎo)并求定義域,討論、分別判斷的符號,進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間.(2)由題設(shè),結(jié)合(1)所得的單調(diào)性,討論、、分別確定在給定區(qū)間上的最小值,根據(jù)最小值小于零求參數(shù)a的范圍.【小問1詳解】由題設(shè),且定義域為,當(dāng),即時,在上,即在上遞增;當(dāng),即時,在上,在上,所以在上遞減,在上遞增;【小問2詳解】由(1)知:若,即時,則在上遞增,故,可得;若,即時,則在上遞減,在上遞增,故,不合題設(shè);若,即時,則在上遞減,故,得;綜上,a的取值范圍.18、(1)(2)【解析】(1)結(jié)合拋物線的定義以及點坐標(biāo)求得以及.(2)求得的坐標(biāo),由此求得直線AM,BM的斜率之積.【小問1詳解】依題意拋物線C:上一點與焦點F的距離為,根據(jù)拋物線的定義可知,將點坐標(biāo)代入拋物線方程得.【小問2詳解】由(1)得拋物線方程為,,不妨設(shè)A在B下方,所以.19、(1);(2)6.【解析】(1)本小題根據(jù)題意先求,,,再求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)本小題先設(shè)過的直線的方程,再根據(jù)題意表示出四邊形的面積,最后求最值即可.【詳解】解:(1)∵橢圓上一點到左右兩個焦點、的距離之和是4,∴即,∵,∴,又∵,∴.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)設(shè)點、的坐標(biāo)為,,因為直線過點,所以可設(shè)直線方程為,聯(lián)立方程,消去可得:,化簡整理得,其中,所以,,因為,所以四邊形是平行四邊形,設(shè)平面四邊形的面積為,則,設(shè),則(),所以,因為,所以,,所以四邊形面積的最大值為6.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,相交弦等問題,是偏難題.20、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,直線的普通方程為;(2).【解析】(1)根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式,結(jié)合加法消元法進(jìn)行求解即可;(2)利用直線參數(shù)方程的意義,結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解即可.小問1詳解】由;;【小問2詳解】把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中,得,,因為在直線上,所以,或而,所以.21、(I);(II)證明見解析.【解析】(I)根據(jù)頂點坐標(biāo)求得,根據(jù)離心率求得,由此求得,進(jìn)而求得橢圓方程.(II)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出根與系數(shù)關(guān)系,根據(jù),求得的關(guān)系式,由此判斷直線過定點.【詳解】(I)由于是橢圓的頂點,所以,由于,所以,所以,所以橢圓方程為.(II)由于是橢圓上異于點的不同的兩點,所以可設(shè)直線的方程為,設(shè),由消去并化簡得,所以,即.,,,,解得,所以直線的方程為,過定點.【點睛】本小題主要考查橢圓方程的求法,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查橢圓中的定值問題.22、(1);(2)【解析】(1)先根據(jù)已知求出,再求及.(2)先根據(jù)已知得到,再利用分組求和求數(shù)列的前項和
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