考研數(shù)二歷年真題(1990-2009)無答案

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).

v_v3

(1)函數(shù)”》)=二一的可去間斷點(diǎn)的個數(shù)，則()

sinnx

(A)L(8)2(C)3.①)無窮多個.

(今當(dāng)x-0時，/(x)=x-sinax與g(x)=x21n(l-bx)是等價(jià)無窮小，則()

1111

b/X/\

Q-1---(0u-1---/)-

6\/6(C6V/6

(3)設(shè)函數(shù)2=/(》,>)的全微分為以="^+*/》,則點(diǎn)(0,0)()

(A)不是/(x,y)的連續(xù)點(diǎn).(B)不是/(x,y)的極值點(diǎn).

(C)是/(x,y)的極大值點(diǎn).(。)是"X,y)的極小值點(diǎn).

(④設(shè)函數(shù)/(x,y)連續(xù)，貝ij[dxj"(x,y)c/y+f)(x,y)dr=()

(A)fdxf'/(x,y.y.⑻[dx「)(x,yMy.

(,)I辦'『.(。)J

(5)若，(%)不變號，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(LI)上的曲率圓為溫+聲=2,則〃x)在區(qū)間

(1,2)內(nèi)()

(A)有極值點(diǎn)，無零點(diǎn).(8)無極值點(diǎn)，有零點(diǎn).

(C)有極值點(diǎn)，有零點(diǎn).(。)無極值點(diǎn)，無零點(diǎn).

(。設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[-1,3]上的圖形為:

-2「X23一X

11

則函數(shù)F(x)=工/(。力的圖形為()

?t?t

-2LV1Z23X-21/23X

⑷.”⑻

?「t，

223>x

-11123X-/qV7

(0.(0-1

(7)設(shè)A、B均為2階矩陣，A*,B*分別為A、B的伴隨矩陣。若|A|=2,|B|=3,則分塊矩

<0A)

陣°八的伴隨矩陣為()

(036*),.f02B*、

(A).*(B).

\y2A0J\73A°，

3Al2A*\

(D).

(3B*

0J07

To0、

(的設(shè)A,P均為3階矩陣，PT為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且P「AP=010,若

1002)

?),則為(

P=(%Ct2,4)，Q=(%+。2，%3Q'AQ

'210、勺10、

(A).110⑻.120

<002J、002,

'200、‘100、

??010⑵?020

、002,、002,

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

x=『Z"%

(9曲線，J0在(0,0)處的切線方程為

y^t2ln(2-/2)

已知［+<X>ek^dx=1,則k=

(10)

J—00

(11)lime'xsinnxdx=______________

nfooJ0

則凝。二---------------

(12)設(shè))，=y(x)是由方程xy+e'=x+1確定的隱函數(shù)

(B)函數(shù)y=/在區(qū)間(0,1］上的最小值為

’200、

(1@設(shè)a,萬為3維列向量，為/的轉(zhuǎn)置，若矩陣a/＞相似于000則/?Ta=

、000,

三、解答題：15-23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、

證明過程或演算步驟.

(1-cosx)[x-ln(l+tanx)]

(15)(本題滿分9分)求極限lim

sin4x

(16)(本題滿分10分)計(jì)算不定積分(x>0)

o2

(17)(本題滿分10分)設(shè)z=/(x+y,無一%孫)，其中/具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求以與三口

dxoy

(18)(本題滿分10分)

設(shè)非負(fù)函數(shù)y=y(x)(x>0)滿足微分方程盯"一y+2=0,當(dāng)曲線)，=)，(x)過原點(diǎn)時，其與

直線x=l及y=0圍成平面區(qū)域。的面積為2,求。繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積。

(12)(本題滿分10分)求二重積分JJ(x-y)dxd)，，

D

其中0=[(》,)，)[(1)2+(〉一1)242,"X}

(2Q)(本題滿分12分)

JTJT

設(shè)y=y(x)是區(qū)間(-沃萬)內(nèi)過(-屹,雙)的光滑曲線，當(dāng)-乃<x<0時，曲線上任一點(diǎn)處的

法線都過原點(diǎn)，當(dāng)0WX時，函數(shù)y(x)滿足y"+y+x=0。求y(x)的表達(dá)式

(21)(本題滿分11分)

(I)證明拉格朗日中值定理：若函數(shù)〃x)在上連續(xù)，在(。⑼可導(dǎo)，則存在,

使得/伍)一/(a)=/'(9(b—a)(D)證明：若函數(shù)"X)在x=0處連續(xù)，在(0?)伍>0)

內(nèi)可導(dǎo)，且lim/'(x)=A,則九'(O)存在，且以'(0)=4。

-1-1、㈠

(22)(本題滿分11分)設(shè)4=-1114=1

—4—2,1-2；

(I)求滿足=4，A芍3=5的所有向量彳2，百3

（口）對（I）中的任一向量$看3,證明：?？?43線性無關(guān)。

（23）（本題滿分11分）設(shè)二次型/（和％2，工3）=?：+以；+（4-1卜；+2網(wǎng)￡-2工2芻

（I）求二次型/的矩陣的所有特征值；

（□）若二次型f的規(guī)范形為才+求。的值。

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).

（1）設(shè)=則f（x）的零點(diǎn)個數(shù)為（）

（A）0⑻1.（C）2（D）3

（2）曲線方程為y=/（x）函數(shù)在區(qū)間［0,a］上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則定積分「4'5心（）

（A）曲邊梯形AKI湎積.

（8）梯形AKD面積.

（C）曲邊三角形ACO面積.

（。）三角形ACO面積.

（3）在下列微分方程中，以），=Ge'+C2cos2》+。3sin2x（GCC為任意常數(shù)）為通解

的是（）

（A）y4-y-4y-4y=0（B）y4-y+4y+4y=0

（C）ym-y-4y+4y=0（Z））+4y—4y=0

（5）設(shè)函數(shù)/（x）在（-*+8）內(nèi)單調(diào)有界，｛x“｝為數(shù)列，下列命題正確的是（）

（A）若上｝收斂，則｛/（x,,）｝收斂.（8）若｛瑞｝單調(diào)，則｛/（瑞）｝收斂.

(c)若｛/(x.)｝收斂，則上｝收斂.(。)若｛/(%)｝單調(diào)，則打“｝收斂.

設(shè)函數(shù)/連續(xù)，若?3#)=三)dxdy,其中區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，則當(dāng)=

￡*+/du

(A)vf(u2)(B)-y(?2)

(C)vf(M)(D)-/(M)

(7)設(shè)A為〃階非零矩陣，E為〃階單位矩陣.若從3=0,則()

(A)E-A不可逆，E+A不可逆.(8)E-A不可逆，E+A可逆.

(C)E—A可逆，E+A可逆.(O)E-A可逆，E+A不可逆.

(\2、

(炒設(shè)4=,則在實(shí)數(shù)域上與A合同的矩陣為()

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9已知函數(shù)/(x)連續(xù)，且lim上空必必=1,則/(0)=.

(10)微分方程(>+%267)八一工辦=0的通解是、=.

(11)曲線sin(孫)+In(y—x)=x在點(diǎn)(0,1)處的切線方程為

2

(13曲線y=(x—5)/的拐點(diǎn)坐標(biāo)為L

設(shè)“U則菰)

(14設(shè)3階矩陣A的特征值為2,3,4.若行列式12Al=-48,則幾=—.

三、解答題：15-23題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

「sinx-sin(sinx)]sinx

(15)(本題滿分9分)求極限lim^--------—〃——.

KTO4

(10(本題滿分10分)

dx八_x八

X=X(0——2b，=0

設(shè)函數(shù)y=yM由參數(shù)方程(式確定，其中x(t)是初值問題<dt

y=]+x|.o=O

、a2y

的解.求丁7?

dr

(17)(本題滿分9分)求積分fx：rcsinXdx

(出(本題滿分11分)

求二重積分JJmax(xy,lMxdy,其中D={(x,y)|0<x<2,0<y<2}

D

(19(本題滿分11分)

設(shè)/(x)是區(qū)間[0,+8)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù)，且/(0)=1.對任意的

fw[0,+8),直線x=O,x=f,曲線y=/(x)以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成

一旋轉(zhuǎn)體.若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍，求函數(shù)/(x)的表達(dá)式.

Q0)(本題滿分11分)

(1)證明積分中值定理：若函數(shù)/(x)在閉區(qū)間力]上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)〃e3,句，

使得=②若函數(shù)夕(%)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足

。(2)>以1),。(2)>[。(乃右，證明至少存在一點(diǎn)4€(1,3),使得/(4)<0

(21)(本題滿分11分)

求函數(shù)〃+z?在約束條件z=x?+y2和x+y+z=4下的最大值與最小值.

(22)(本題滿分12分)

"2a1、

a1la,.

設(shè)矩陣A=...],現(xiàn)矩陣4滿足方程/^=8,其中乂=(和一,%T)，

a

、a'^)nx?

8=(1,0,…,0),

(1)求證⑶=(n+l)a";

(2)a為何值，方程組有唯一解，并求玉；

(3)a為何值，方程組有無窮多解，并求通解.

⑵(本題滿分10分)

設(shè)A為3階矩陣，a1,a2為A的分別屬于特征值-1,1特征向量，向量a3滿足Aa3=a2+a、,

(1)證明名,。2，。3線性無關(guān)；

(2)令尸=(<7],0,烏)，求P“AP.

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

一、選擇題：1?10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).

(1)當(dāng)X->0+時，與4等價(jià)的無窮小量是

(A1-e^(BIn(0-JlTZ/x-1(D1-cosVx[]

1-y/x

(2)函數(shù)/(x)=在[_肛句上的第一類間斷點(diǎn)是]

xev-e

7171

(A0(61(0--(D-

22

(3)如圖，連續(xù)函數(shù)^=/。)在區(qū)間|-3,-2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,

在區(qū)間[-2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設(shè)/(x)=,則下列結(jié)

論正確的是：

(④設(shè)函數(shù)/(X)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是：

(為若1而皎存在，則/(0)=0(6若lim/")+/(—X)存在,則/(0)=0.

x->0尤x->0x

(0若lim3存在，則/'(0)=0(D若存在,則尸(0)=0.

x->0JQA-?0x

[1

(5)曲線y=/+In(1+e，)的漸近線的條數(shù)為

(@QO1.(。2(D3.[]

(0設(shè)函數(shù)/(x)在(0,+8)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/"(x)>0,令〃“=/(〃)，則下列結(jié)論正確的

是：

⑥若外>〃2，則必收斂.0若%>%，則｛〃“｝必發(fā)散

。若/<與，則｛4｝必收斂.0若%<的，則｛〃,｝必發(fā)散.1

(7)二元函數(shù)/(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可微的一個充要條件是[]

(@」喘*但加/(。,。)]=。?

(6所回31=0,且nm幽上31=。.

ktox)TOy

(0Hm”x-0，°)=0.

"/T0.0)舊+y2

(Dlim(x,0)-￡(0,0)]=0,且lim「f；(0,y)—f；(0,0)1=0.

A->()L'」y->0L_

(S設(shè)函數(shù)/(X,y)連續(xù)，則二次積分，山/(x,y)dy等于

J-Kinx

2

(冷fd)f/(x,y)dx(Bfdyf./(x,y)dx

4)<r+arcsinyJO?Vr-arcsiny

+arcsinvd?r-arcsiny

f(x,y)dx(Df(x,y)dx

M22

(9設(shè)向量組%,。2，。3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是

線性相關(guān)，則

8at-a2,a2-a3,a3-al?at+a2,a2+ai,ai+ai

0a,-2a2,a2-2a3,a3-2^.Oa{+2a2,a2+2a3,a3+2at.[]

'2-1叫f100、

(10)設(shè)矩陣A=-12-1,B=010,則A與6

、TTJI。00,

0合同且相似(6合同，但不相似.

0不合同，但相似.0既不合同也不相似L]

二、填空題：11~16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

,、arctanx-sinx

(11)hm------------

x

v=coqt+coqtTT

(12)曲線＜~上對應(yīng)于，=：的點(diǎn)處的法線斜率為_________.

y=1+sinr4

(13)設(shè)函數(shù)y=,則y(n,(0)=________?一

2x+3

2x

(14)二階常系數(shù)非齊次微分方程y"-4/+3y=2e的通解為y=L

(1，設(shè)/(a#)是二元可微函數(shù)，z=f2,-,則x字一丁當(dāng)二

(xyjdxdy

'010o'

0010,

(10設(shè)矩陣A=000］，則工的秩為.

、0000,

三、解答題：17?24小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

TT

(17)體題滿分10分)設(shè)/(x)是區(qū)間0,-上單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且滿足

_4_

r7(，)d"「c°s"sinj’,其中尸是/的反函數(shù)，求/(X).

內(nèi)&sin/+cosz

(18)(本題滿分11分)

X

設(shè)。是位于曲線y=&-五(a>l,04x<+8)下方、X軸上方的無界區(qū)域.(I)求區(qū)

域。繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積丫①)；(II)當(dāng)。為何值時，丫僅)最??？并求此最小值.

(12)(本題滿分10分)求微分方程y"(x+y")=y滿足初始條件^1)=^⑴=1的特解.

(20)(本題滿分11分)已知函數(shù)/(〃)具有二階導(dǎo)數(shù)，且/(0)=1,函數(shù)y=y(x)由方程

尸疣日=1所確定，設(shè)z"(l"-sinx),求機(jī)。筆口。

(21)作題滿分11分)設(shè)函數(shù)〃x),g(x)在曾,可上連續(xù)，在(。/)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相

等的最大值，等a)=g(a)J?=g(b),證明:存在欠(a,b),使得用"G)=g〃G).

lxl+lyl<l

(22)出題滿分11分)設(shè)二元函數(shù)/(x,y)計(jì)算二重積分

l<lxl+lyl<2,

]J7(x，y)db,其中O={(x,y)|lxl+lyK2}.

D

(23)本題滿分11分)

玉++￡=0

設(shè)線性方程組-X.+2X2+4毛=0與方程X1+2x2+x3=a-l有公共解，求a的值及所有

2

%+4X2+ax3=0

公共解.

(24本題滿分11分)

設(shè)三階對稱矩陣A的特征向量值4=1,4=2,4=-2,a=(1,-1,1)T是A的屬于4的

一個特征向量，記5=川一4T+E,其中E為3階單位矩陣.

(D驗(yàn)證名是矩陣8的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；

(ID求矩陣＞.

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題

一、填空題：1一6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.

x+4sinx

(1)曲線y=『一7——的水平漸近線方程為

5x-2cosx

(4設(shè)函數(shù)f(x)={尤上在工=0處連續(xù)，則。=.

a,x=O

(3廣義積分廣(片)2=------.

(④微分方程了=止上的通解是__________

X

(5)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程y=l-xe)'確定，則熱工句=

(21}

(0設(shè)矩陣A=,后為2階單位矩陣，矩陣8滿足氏4=8+2E,則

2；

怛I=--------

二、選擇題：7-14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題

目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).

(7)設(shè)函數(shù)y=/W具有二階導(dǎo)數(shù)，且/'(X)〉0J"(x)〉0,盤為自變量x在點(diǎn)％處的增量,

△y與dy分別為/(x)在點(diǎn)x0處對應(yīng)的增量與微分，若Ax〉0，則[]

00<dy<Ay.(00<Ay<dy.

0Ay<dy<0.Ddy<Ay<0.

(S設(shè)/(x)是奇函數(shù)，除x=0外處處連續(xù)，x=0是其第一類間斷點(diǎn)，則「/⑺山是

*0

(A連續(xù)的奇函數(shù).(B連續(xù)的偶函數(shù)

(0在x=0間斷的奇函數(shù)(D在x=0間斷的偶函數(shù).[1

(9設(shè)函數(shù)g(x)可微，/7(x)=e"g"),l⑴=l,g'⑴=2,則g⑴等于

(@In3-1.(0-in3-1.

(0-ln2-l.(Dln2-l.[]

2x

(10)函數(shù)y=Ge*+C2e+xe*滿足的一個微分方程是

(@y"-y'-2y^3xex.(By"-y'-2y^3e.

(0y"+y'-2y=3xe'.(Dy"+y'-2y=3e'.[]

兀

(11)設(shè)/(x,y)為連續(xù)函數(shù)，則『￡1，[/(r85仇八皿6)2廠等于

(A)f(x,y)dy.(6/心￡^f(x,>-)dy.

0『dy￡^"f(x,y)dx.Ddy/(x，y)dx.[1

(12)設(shè)/(x,y)與夕(x,y)均為可微函數(shù)，且%'(x,y)w0,已知(x。，%)是了(》，》)在約束條

件Mx,y)=0下的一個極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是[]

。若/：(工(),%)=0，則力'(/，%)=。.

?若￡(),為)=。，則%'(％,先)*。?

o若￡(丁,九)b。，則力'(%，%)=0?

0若￡("0)肛則〃(XO，%)HO.

(13)設(shè)名,。2,…，%均為九維列向量，A為〃7XW矩陣，下列選項(xiàng)正確的是[]

⑥若囚,。2,…，氏線性相關(guān)，則Aa”Aa2,…,Aa,線性相關(guān).

?若囚,。2,…，氏線性相關(guān)，則A%Aa2,…,Aa,線性無關(guān).

0若名,。2,…，氏線性無關(guān)，則4名,4。2,…,4%線性相關(guān).

0若%%，…，氏線性無關(guān)，則…，Aq線性無關(guān).

(1勺設(shè)A為3階矩陣，將A的第2行加到第1行得B,再將B的第1列的-1倍加到第2列得

T10、

C,記尸=010,則

1001,

(A)C=P-'AP.(B)C=PAP''.

(C)C=P'AP.(D)C=PAP'.L]

三、解答題：15-23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

試確定A,8,。的值，使得e'(l+6x+Cx2)=l+Ax+o(x3),其中。(/)是當(dāng)了一。時比1

高階的無窮小.

arcsiner,

(1。(本題滿分10分)求-------dr.

ex

(17)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域O={(x,y),+y2(mo},計(jì)算二重積分

rr1+^.y

如+f+y2dxdy.

(IS)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列卜“}滿足0＜芭＜肛％=sinx“(〃=l,2,…)

（I）證明limx”存在，并求該極限；（口）計(jì)算lim3.

M—>00〃一>8Y

\人〃7

（19（本題滿分10分）

證明：當(dāng)0<“<b<乃時，

8sinZ?+2cos/7+萬沙〉asina+2cos。+萬。.

（20）（本題滿分12分）

設(shè)函數(shù)/（w）在（0,+co）內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且z=/（舊+y2）滿足等式易+等=。.

（D驗(yàn)證/"（“）+人絲=0;

U

（ID若/（i）=o,r⑴=i,求函數(shù)/（“）的表達(dá)式.

（2D（本題滿分12分）

?X=產(chǎn)+]

已知曲線邢J方程《-2'（9°）（D討論邸凹凸性；（ID過點(diǎn)（一1,0）引工的

y=4t-t

切線，求切點(diǎn)（5，為），并寫出切線的方程；（HD求此切線與工（對應(yīng)于X4。的部分）及x

軸所圍成的平面圖形的面積.

（22）（本題滿分9分）

已知非齊次線性方程組

玉+x2+x3+x4=-\

,4占+3々+5七一4=-1有3個線性無關(guān)的解.（I）證明方程組系數(shù)矩陣A的

ox,+x2+3X3+bx4=1

秩r（A）=2;（D）求。力的值及方程組的通解.

（23）（本題滿分9分）

設(shè)3階實(shí)對稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量以=（一1,2,-1）:。2=（0,-1,1）,是線性

方程組Ax=0的兩個解.

(I)求A的特征值與特征向量；

01)求正交矩陣。和對角矩陣A,使得。AQ=A.

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)二試題

二、填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)y=(l+sinx)“，則力|=__________.

|X-K

3

(I+

(2)曲線y=\J一的斜漸近線方程為.

(④微分方程犯'+2y=xInx滿足y(l)=的解為.

(5)當(dāng)xf0時，a(x)=kx2與/3(x)=Jl+xarcsinx-Jcosx是等價(jià)無窮小，則

k=.

(0設(shè)四,。2，。3均為3維列向量，記矩陣

A=(a],a2,a3),B=(a,+a2+a3,at+2a,+4a3,a,+3a2+9(z3),

如果M=i,那么冏=.

二、選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))

(7)設(shè)函數(shù)/(x)=lim,Jl+|x|3n,則f⑨在(-8,+8)內(nèi)

n->00*1

⑥處處可導(dǎo).<0恰有一個不可導(dǎo)點(diǎn).

0恰有兩個不可導(dǎo)點(diǎn).0至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn).C]

(S設(shè)F⑨是連續(xù)函數(shù)f⑨的一個原函數(shù)，oN"表示"鄴充分必要條件是N,則必

有

。F?是偶函數(shù)of?是奇函數(shù).

(6F⑨是奇函數(shù)。f⑨是偶函數(shù).

0F3是周期函數(shù)of3是周期函數(shù).

DF⑨是單調(diào)函數(shù)=是單調(diào)函數(shù).[1

x二廠+2,

(9設(shè)函數(shù)產(chǎn)y⑨由參數(shù)方程《‘確定，則曲線H8在環(huán)3處的法線與x軸交點(diǎn)

y=ln(l+1)

的橫坐標(biāo)是

A‘In2+3.?--ln2+3.

88

0-81n2+3.D81n2+3.[1

(1。設(shè)區(qū)域。={(蒼》),2+/w4,xNO,yzo},f⑨為D上的正值連續(xù)函數(shù)，a,b為常數(shù),

則If

77w+77(y)”

D

ah-a+b

⑥ahrr.?——萬.O(a+b)7i.0——71E1

22

(H)設(shè)函數(shù)“(X,y)=(p(x+y)+(p(x-y)+「少⑴山,其中函數(shù)。具有二階導(dǎo)數(shù)，w具有

ix-y

一階導(dǎo)數(shù)，則必有

d2ud2ud2ud2u

(6

dx2一Sy2,辦2-

d2ud2ud2ud2u

0

dxdy~dy2,dxdydx1

(12)設(shè)函數(shù)—，則

e'~'-1

料內(nèi)),o1都是f⑨的第一類間斷點(diǎn).

(B9A1都是f⑨的第二類間斷點(diǎn).

0是f⑨的第一類間斷點(diǎn)，滬1是f⑨的第二類間斷點(diǎn).

0x=0是f⑨的第二類間斷點(diǎn)，后1是f⑨的第一類間斷點(diǎn).[]

(13)設(shè)4，%是矩陣Afi勺兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為%,%，則%，4(4+?2)

線性無關(guān)的充分必要條件是

⑥4#o.0A20.OA,=0.0A2=0.[]

(14)設(shè)A為n(n>2)階可逆矩陣，交換狎第1行與第2行得矩陣RA*,B*分別為AB

的伴隨矩陣，則[]

0交換A”的第1列與第2列得8*.0交換A*的第1行與第2行得8*.

0交換A*的第1列與第2列得-6*.0交換A*的第1行與第2行得-6*.

三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

/3-)/?)力

（15）（本題滿分11分）設(shè)函數(shù)f?連續(xù)，且/（0）/0,求極限lim人

（1。（本題滿分11分）

如圖，G和分別是y=；（i+/）和），="的圖象，過點(diǎn)Q1）

的曲線C.3是一單調(diào)增函數(shù)的圖象.過。2上任一點(diǎn)M8。分別作垂直于X

軸和y軸的直線。和/v.記G，C2與。所圍圖形的面積為5。）；。2，。3

與/，所圍圖形的面積為S2（y）.如果總有S（x）=S2（y）,求曲線C3的方程x=e（y）.

（17）（本題滿分11分）

如圖，曲線cfl勺方程為產(chǎn)f⑨，點(diǎn)6》是它的一個拐點(diǎn)，直線4與4分別是曲線爭點(diǎn)（0,0）

與6,2處的切線，其交點(diǎn)為Q④.設(shè)函數(shù)f3具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，計(jì)算定積分

/（/+x）fm（x）dx.

（1炒（本題滿分12分）

用變量代換x=cosMO<f〈萬）化簡微分方程（1-》2）了一孫，+y=o,并求其滿足

V的特解.

（19（本題滿分12分）已知函數(shù)f⑨在E）,1］上連續(xù)，在Q1）內(nèi)可導(dǎo)，且ff①=1.證

明：

（D存在Je（O,l）,使得了《）=1一J;（II）存在兩個不同的點(diǎn)〃，4e（0,l）,使得

(2。(本題滿分10分)

已知函數(shù)z=f&9的全微分dz=2xdx-2)，辦，，并且f(1,1,)=2求a在橢圓域

2

。={(x,y)/+JV1}上的最大值和最小值.

4

(2D(本題滿分9分)

計(jì)算二重積分加2+/-崛，其中。={(x,y)|O4x41,O4y41}.

D

(22)(本題滿分9分)

T

確定常數(shù)—使向量組%=(U,a)T,%=(1，。，1尸，?3=(?.U)可由向量組

A=(1,1,a)7'，笈2=(-2,a,4)。&=(-2,。,。尸線性表示，但向量組。,色，自不能由向量組

?,，a2,a3線性表示.

(23)(本題滿分9分)

"123-

已知3階矩陣"勺第一行是(4)1),。力,，不全為零，矩陣8=246(k為常數(shù))，且

36k

AB=Q求線性方程組。的通解.

2004年考碩數(shù)學(xué)(二)真題

一.填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.)

(1)設(shè)/W=lim21'，則/(X)的間斷點(diǎn)為x=.

nx+1

X=f3+3/+1

(與設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程12確定，則曲線y=y(x)向上凸的X取值范圍

3

y=t-3t+1

,、r+8dx

(3)._____L.

1x1

a7a?

(④設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程Z=e2x-3z+2y確定，則3片+彳=______L

dxdy

3

(3微分方程(y+x)dx-2xdy=0滿足y\x=i=|的特解為L

‘210、

(。設(shè)矩陣A=120，矩陣8滿足AA4*=284*+E,其中4*為A的伴隨矩陣,

1001J

E是單位矩陣，則忸卜-

二.選擇題(本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符

合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)

2

Xxyfx

(7)把x->0+時的無窮小量a=「cosR〃，B=[tan4tdt,y=/sin.3力排列起

JOJOJO

來，使排在后面的是前一個的高階無窮小，則正確的排列次序是

(&a,尸，y.(6a,y,2.

(0/3,a,y.(D/?,y,a.[]

(8設(shè)/(x)=|x(l-x)|,則

(@x=0是/(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(Bx=0不是/(x)的極值點(diǎn)，但(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(0x=0是/(x)的極值點(diǎn)，且(0,0)是曲線y=/(x)的拐點(diǎn).

(Dx=0不是/(幻的極值點(diǎn)，(0,0)也不是曲線>=/(?的拐點(diǎn).[]

(9)limln?/(l+-)2(l+-)2---(l+-)2等于

〃->8\nnn

(@j^ln2xdx.(62J：InMx.

(02J：]n(l+x)dx.(DJ：in2(l+x)dx||

(1。設(shè)函數(shù)/(%)連續(xù)，且/'(0)>0,則存在b>。，使得

(@/(幻在(0,3)內(nèi)單調(diào)增加.

(B/(x)在(一5,0)內(nèi)單調(diào)減小.

(0對任意的xG(0,b)有/(x)>/(0).

(D對任意的xe(—3,0)有/(x)>/(0).[]

(ID微分方程/+j=x2+l+sinx的特解形式可設(shè)為

(4y*=Qx+bx+c+x(Asinx+Bcosx).

(By*=x(ax++c+Asinx+8cosx).

(0y*=ax~+Ox+c+Asinx.

(Dy*=ax1+bx+c+Acosxj|

設(shè)函數(shù)/(“)連續(xù)，區(qū)域Z)={(x,y)|x2+y242y},則JJ/(盯)dxdy等于