2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)4相等關(guān)系與不等關(guān)系訓(xùn)練含解析新人教B版

四相等關(guān)系與不等關(guān)系(建議用時：45分鐘)A組全考點鞏固練1．設(shè)b<a，d<c，則下列不等式中肯定成立的是()A．a(chǎn)－c<b－d B．a(chǎn)c<bdC．a(chǎn)＋c>b＋d D．a(chǎn)＋d>b＋cC解析：由同向不等式具有可加性可知C正確．2．(多選題)下列不等式證明過程正確的是()A．若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2B．若x>1，y>1，則lgx＋lgy≥2eq\r(lgx·lgy)C．若x<0，則x＋eq\f(4,x)≥2eq\r(x·\f(4,x))＝－4D．若x<0，則2x＋2－x>2eq\r(2x·2－x)＝2BD解析：A錯誤，∵a，b不滿意同號，故不能用均值不等式；B正確，∵lgx和lgy肯定是正實數(shù)，故可用基本不等式；C錯誤，∵x和eq\f(4,x)不是正實數(shù)，故不能干脆利用均值不等式；D正確，∵2x和2－x都是正實數(shù)，故2x＋2－x>2eq\r(2x·2－x)＝2成立，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2－x相等時(即x＝0時)，等號成立．故選BD.3．設(shè)0<x<2，則函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值為()A.2 B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)D解析：∵0<x<2，∴4－2x>0，∴x(4－2x)＝eq\f(1,2)×2x(4－2x)≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋4－2x,2)))2＝eq\f(1,2)×4＝2.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝4－2x，即x＝1時等號成立．即函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值為eq\r(2).4．(多選題)對于實數(shù)a，b，c，下列命題是真命題的為()A．若a>b，則ac<bcB．若ac2>bc2，則a>bC．若a<b<0，則a2>ab>b2D．若a>0>b，則|a|<|b|BC解析：當(dāng)c＝0時，ac＝bc，A為假命題；若ac2>bc2，則c≠0，c2>0，故a>b，B為真命題；若a<b<0，則a2>ab且ab>b2，即a2>ab>b2，C為真命題；當(dāng)a＝1，b＝－1時，|a|＝|b|，D為假命題．故選BC.5．(2024·上海卷)下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)2＋b2≤2ab B．a(chǎn)2＋b2≥－2abC．a(chǎn)＋b≥2eq\r(|ab|) D．a(chǎn)＋b≤－2eq\r(|ab|)B解析：對于選項A，因為a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，所以a2＋b2≥2ab，故A錯誤．對于選項B，因為a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－b時取等號，所以a2＋b2≥－2ab，故B正確．對于選項C，令a＝－1，b＝2，則a＋b＝－1＋2＝1,2eq\r(|ab|)＝2eq\r(|－1×2|)＝2eq\r(2).因為1＜2eq\r(2)，所以a＋b＜2eq\r(|ab|)，故C錯誤．對于選項D，令a＝1，b＝0，則a＋b＝1，－2eq\r(|ab|)＝－2eq\r(|1×0|)＝0.因為1>0，所以a＋b>－2eq\r(|ab|)，故D錯誤．6．當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)有()A．最小值1 B．最大值1C．最小值2 D．最大值2B解析：f(x)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2\r(x·\f(1,x)))＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(1,x)(x>0)，即x＝1時取等號，所以f(x)有最大值1.7．司機甲、乙加油習(xí)慣不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定錢數(shù)的油，恰有兩次甲、乙同時加同單價的油，但這兩次的油價不同，則從這兩次加油的均價角度分析()A．甲合適B．乙合適C．油價先高后低甲合適D．油價先低后高甲合適B解析：設(shè)甲每次加m升油，乙每次加n元錢的油，第一次加油x元/升，其次次加油y元/升．甲的平均單價為eq\f(mx＋my,2m)＝eq\f(x＋y,2)，乙的平均單價為eq\f(2n,\f(n,x)＋\f(n,y))＝eq\f(2xy,x＋y).因為x≠y，所以eq\f(\f(x＋y,2),\f(2xy,x＋y))＝eq\f(x2＋y2＋2xy,4xy)>eq\f(4xy,4xy)＝1，即乙的兩次平均單價低，乙的方式更合適．故選B.8．已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________．eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).因為a＋b>0，(a－b)2≥0，所以eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.即eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).9．(2024·臨沂高三期末)當(dāng)eq\r(x)＋eq\f(9,\r(x)＋1)取得最小值時，x＝________.4解析：eq\r(x)＋eq\f(9,\r(x)＋1)＝eq\r(x)＋1＋eq\f(9,\r(x)＋1)－1≥2eq\r(9)－1＝5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\r(x)＋1＝eq\f(9,\r(x)＋1)，即x＝4時，等號成立．B組新高考培優(yōu)練10．已知x，y∈R，且x>y>0，則()A．eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0 B．sinx－siny>0C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0 D．lnx＋lny>0C解析：選項A中，因為x>y>0，所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，即eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，故結(jié)論不成立；選項B中，當(dāng)x＝eq\f(5π,6)，y＝eq\f(π,3)時，sinx－siny<0，故結(jié)論不成立；選項C中，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x是定義在R上的減函數(shù)．因為x>y>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0；選項D中，當(dāng)x＝e－1，y＝e－2時，結(jié)論不成立．11．(多選題)(2024·濰坊高三期中)若x≥y，則下列不等式中正確的是()A．2x≥2y B．eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)C．x2≥y2 D．x2＋y2≥2xyAD解析：由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng)x≥y時，有2x≥2y，故A正確；當(dāng)y<x<0時，eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)不成立，故B錯誤；當(dāng)0≥x≥y時，x2≥y2不成立，故C錯誤；因為x2＋y2－2xy＝(x－y)2≥0成立，從而有x2＋y2≥2xy成立，故D正確．故選AD.12．(2024·濟寧高三期末)已知奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)．若正實數(shù)a，b滿意f(4a)＋f(b－9)＝0，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．1 B．eq\f(9,2)C．9 D．18A解析：奇函數(shù)f(x)在R上單調(diào)，f(4a)＋f(b－9)＝0，則f(4a)＝－f(b－9)＝f(9－b)．故4a＝9－b，即4a＋b＝9.所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝eq\f(1,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(4a,b)＋5))≥eq\f(1,9)(2eq\r(4)＋5)＝1，當(dāng)僅且當(dāng)eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即a＝eq\f(3,2)，b＝3時，等號成立．故選A.13．設(shè)x>0，y>0，x＋2y＝4，則eq\f(x＋12y＋1,xy)的最小值為________．eq\f(9,2)解析：eq\f(x＋12y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋x＋2y＋1,xy)＝eq\f(2xy＋5,xy)＝2＋eq\f(5,xy).因為x>0，y>0且x＋2y＝4，所以4≥2eq\r(2xy)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2，y＝1時取等號)，所以2xy≤4，所以eq\f(1,xy)≥eq\f(1,2)，所以2＋eq\f(5,xy)≥2＋eq\f(5,2)＝eq\f(9,2).14．某廠家擬定在2024年實行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m(m≥0)萬元滿意x＝3－eq\f(k,m＋1)(k為常數(shù))．假如不搞促銷活動，那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件．已知2024年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品須要再投入16萬元．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2024年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2024年的促銷費用投入多少萬元時，廠家利潤最大？解：(1)由題意知，當(dāng)m＝0時，x＝1，所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－eq\f(2,m＋1)(m≥0)．又每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5×eq\f(8＋16x,x)，所以2024年的利潤y＝1.5x×eq\f(8＋16x,x)－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8eq