2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.3第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第2課時(shí)平面與平面垂直的性質(zhì)素養(yǎng)目標(biāo)·定方向素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1．駕馭面面垂直的性質(zhì)定理.(直觀想象)2．能利用面面垂直得到線面垂直.(邏輯推理)面面垂直的性質(zhì)定理中的條件“有始終線垂直于這兩個(gè)平面的交線”既為證明指明白方向，又有很強(qiáng)的約束性，因此運(yùn)用定理時(shí)，肯定要留意定理的條件.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點(diǎn)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，假如一個(gè)平面內(nèi)有始終線垂直于這兩個(gè)平面的__交線__，那么這條直線與另一個(gè)平面__垂直__符號(hào)語言α⊥β，α∩β＝l，__a?α__，__a⊥l__?a⊥β圖形語言[學(xué)問解讀]對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解(1)定理成立的條件有三個(gè)：①兩個(gè)平面相互垂直；②直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線與兩平面的交線垂直.(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直.(3)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直.關(guān)鍵實(shí)力·攻重難題型探究題型一平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用典例1如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形.側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G為AD邊的中點(diǎn).求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.[證明](1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.[歸納提升]若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，留意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必需在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必需垂直于它們的交線.【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求證：(1)EF∥平面ABC；(2)AD⊥AC.[證明](1)在平面ABD內(nèi)，AB⊥AD，EF⊥AD.則AB∥EF.∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.∵AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，∴AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AD⊥AC.題型二線線、線面、面面垂直的綜合典例2如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，過A，D，N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn).求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[證明](1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC.又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又∵N是PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M為PC的中點(diǎn).∴MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又∵E為AD的中點(diǎn)，∴MN∥DE且MN＝DE.∴四邊形DENM為平行四邊形.∴EN∥DM，且DM?平面PDC.∴EN∥平面PDC.(2)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為中點(diǎn)，∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB?平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB?平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.[歸納提升]垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問題的論證中要留意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化.每一種垂直的判定都是從某一垂直起先轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如圖，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E為垂足.求證：(1)PA⊥平面ABC；(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí)，△ABC是直角三角形.[證明](1)在平面ABC內(nèi)任取一點(diǎn)D，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交線為AC，∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.同理可證，DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)連接BE并延長交PC于點(diǎn)H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.又∵AE是平面PBC的垂線，∴PC⊥AE.∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.易錯(cuò)警示對(duì)面面垂直的條件把握不精確致誤典例3已知兩個(gè)平面垂直，有下列命題：①一個(gè)平面內(nèi)的一條直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線；②一個(gè)平面內(nèi)的一條直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的多數(shù)條直線；③一個(gè)平面內(nèi)的隨意一條直線必垂直于另一個(gè)平面；④過平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(C)A．3 B．2C．1 D．0[錯(cuò)解]B[錯(cuò)因分析]④中過一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，并沒有說明這一垂線肯定在平面內(nèi).[正解]如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1平面AA1D1D⊥平面ABCD.對(duì)于①，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1與BD是異面直線，且夾角為60°，故①錯(cuò)誤；②明顯正確；對(duì)于③，AD1?平面AA1D1D，但AD1與平面ABCD不垂直，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，過點(diǎn)D作AD的垂線，假設(shè)為C1D，易證C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD明顯不成立，故④錯(cuò)誤.綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為1．[誤區(qū)警示]對(duì)于④，很簡單認(rèn)為是正確的而錯(cuò)選B“兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直”與“兩個(gè)平面垂直，過一個(gè)平面內(nèi)隨意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線與另一個(gè)平面垂