2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章概率隨機(jī)變量及其分布10.5離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征學(xué)案新人教A版

10.5離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.離散型隨機(jī)變量的均值(1)定義:一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E(X)=為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.

問(wèn)題思索隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值有什么區(qū)分和聯(lián)系?(2)均值的性質(zhì)若Y=aX+b,其中X是隨機(jī)變量,a,b是常數(shù),隨機(jī)變量X的均值是E(X),則E(Y)=E(aX+b)=.

特殊提示①當(dāng)a=0時(shí),E(b)=b,即常數(shù)的均值就是這個(gè)常數(shù)本身;②當(dāng)a=1時(shí),E(X+b)=E(X)+b,即隨機(jī)變量X與常數(shù)之和的均值等于X的均值與這個(gè)常數(shù)之和;③當(dāng)b=0時(shí),E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機(jī)變量X乘積的均值等于這個(gè)常數(shù)與X的均值的乘積.2.離散型隨機(jī)變量的方差(1)定義:一般地,若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱D(X)=為隨機(jī)變量X的方差,并稱D(X)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差,記為σ(x溫馨提示①隨機(jī)變量X的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義是相同的.②(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相對(duì)于均值E(X)的偏離程度,而D(X)是上述偏離程度的加權(quán)平均數(shù),刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度.隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越小.③標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位,而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方.(2)方差的性質(zhì)若Y=aX+b,其中X是隨機(jī)變量,a,b是常數(shù),隨機(jī)變量X的方差是D(X),則D(Y)==.

特殊提示①當(dāng)a=0時(shí),D(b)=0,即常數(shù)的方差等于0.②當(dāng)a=1時(shí),D(X+b)=D(X),即隨機(jī)變量與常數(shù)之和的方差等于這個(gè)隨機(jī)變量的方差.③當(dāng)b=0時(shí),D(aX)=a2D(X),即隨機(jī)變量與常數(shù)之積的方差等于這個(gè)常數(shù)的平方與這個(gè)隨機(jī)變量方差的乘積.3.幾種特殊分布的均值和方差(1)兩點(diǎn)分布:若隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布,則E(X)=,D(X)=.

(2)二項(xiàng)分布:若X~B(n,p),則E(X)=,D(X)=.

(3)超幾何分布:設(shè)隨機(jī)變量X聽從參數(shù)為N,M,n(n,N,M∈N*,M≤N,n≤N)的超幾何分布,令p=MN則E(X)=,D(X)=nM(N1.若X1,X2相互獨(dú)立,則E(X1·X2)=E(X1)·E(X2).2.均值與方差的關(guān)系:D(X)=E(X2)-E2(X).3.E(k)=k,D(k)=0,其中k為常數(shù).4.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).5.若X~N(μ,σ2),則X的均值與方差分別為E(X)=μ,D(X)=σ2.考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣,與概率無(wú)關(guān).()(2)均值與方差都是從整體上刻畫離散型隨機(jī)變量的狀況,因此它們是一回事.()(3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù),樣本的平均值是隨機(jī)變量,它不確定.()(4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小.()2.(2024江蘇鎮(zhèn)江高三檢測(cè))若X~B80,14,則D(X)=()A.20 B.40 C.15 D.303.已知X的分布列為:X-101P111設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為()A.73 B.4C.-1 D.14.設(shè)0<a<1,隨機(jī)變量X的分布列為:X0a1P111則當(dāng)a在(0,1)內(nèi)增大時(shí)()A.D(X)增大 B.D(X)減小C.D(X)先增大后減小 D.D(X)先減小后增大5.(多選)(2024山東聊城高三質(zhì)檢)若隨機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布,其中P(X=0)=14,E(X),D(X)分別為隨機(jī)變量X的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是(A.P(X=1)=E(X) B.E(4X+1)=4C.D(X)=316 D.D(4X+1)=關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差【例1】(2024江蘇鹽城模擬,18)為了提倡健康、低碳、綠色的生活理念,某市建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)激勵(lì)市民租用公共自行車出行,公共自行車按每車每次的租用時(shí)間進(jìn)行收費(fèi),詳細(xì)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí),免費(fèi);②租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí),收費(fèi)1元;③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí),收費(fèi)2元;④租用時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的時(shí)段,按每小時(shí)2元收費(fèi).(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)已知甲、乙兩人獨(dú)立出行,各租用公共自行車一次,兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí),設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)的概率分別是0.4和0.5,租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.5和0.3.(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同的概率;(2)設(shè)甲、乙兩人所付租車費(fèi)之和為隨機(jī)變量ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ).解題心得1.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟:(1)理解X的意義,寫出X的全部可能取值.(2)求X取每個(gè)值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由均值的定義求E(X).(5)由方差的定義求D(X).2.留意性質(zhì)的應(yīng)用:若隨機(jī)變量X的均值為E(X),則對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量aX+b的均值是aE(X)+b,方差為a2D(X).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1某投資公司在2024年年初打算將1000萬(wàn)元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇:項(xiàng)目一:新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種狀況發(fā)生的概率分別為79項(xiàng)目二:通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種狀況發(fā)生的概率分別為35針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說(shuō)明理由.考點(diǎn)二項(xiàng)分布的均值與方差【例2】一個(gè)盒子中裝有大量形態(tài)、大小一樣,質(zhì)量不完全相同的小球,從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本,稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量分組區(qū)間為[5,15),[15,25),[25,35),[35,45],由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖.(1)求a的值,并依據(jù)樣本數(shù)據(jù),試估計(jì)盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)與平均數(shù);(2)從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球,其中質(zhì)量在[5,15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望以及方差(以直方圖中的頻率作為概率).解題心得求隨機(jī)變量X的均值與方差時(shí),可首先分析X是否聽從二項(xiàng)分布,假如X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大削減計(jì)算量.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2024天津,16)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7:30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校狀況互不影響,且任一同學(xué)每天到校狀況相互獨(dú)立(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)設(shè)M為事務(wù)“上學(xué)期間的三天中,甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事務(wù)M發(fā)生的概率.考點(diǎn)均值與方差在決策中的應(yīng)用【例3】某地區(qū)擬建立一個(gè)藝術(shù)博物館,實(shí)行競(jìng)標(biāo)的方式從多家建筑公司選取一家建筑公司,經(jīng)過(guò)層層篩選,甲、乙兩家建筑公司進(jìn)入最終的招標(biāo).現(xiàn)從建筑設(shè)計(jì)院聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了一個(gè)招標(biāo)方案:兩家公司從6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中隨機(jī)抽取3個(gè)問(wèn)題,已知這6個(gè)招標(biāo)問(wèn)題中,甲公司可正確回答其中的4道題目,而乙公司能正確回答每道題目的概率均為23,甲、乙兩家公司對(duì)每題的回答都是相互獨(dú)立,互不影響的(1)求甲、乙兩家公司共答對(duì)2道題目的概率;(2)請(qǐng)從期望和方差的角度分析,甲、乙兩家哪家公司競(jìng)標(biāo)勝利的可能性更大?解題心得利用均值、方差進(jìn)行決策的方法:均值能夠反映隨機(jī)變量取值的“平均水平”,因此,當(dāng)均值不同時(shí),兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分曉,由此可對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出決策推斷;若兩個(gè)隨機(jī)變量均值相同或相差不大,則可通過(guò)分析兩個(gè)變量的方差來(lái)探討隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,則偏離均值的平均程度越小,進(jìn)而進(jìn)行決策.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3為回饋顧客,某商場(chǎng)擬通過(guò)模擬兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1000位顧客進(jìn)行嘉獎(jiǎng),規(guī)定:每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球,球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元,其余3個(gè)均為10元,求:①顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元的概率;②顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的分布列及均值;(2)商場(chǎng)對(duì)嘉獎(jiǎng)總額的預(yù)算是60000元,并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成,或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的嘉獎(jiǎng)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~相對(duì)均衡,請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì),并說(shuō)明理由.一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.假如隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機(jī)變量X聽從超幾何分布.X的均值為E(X)【典例】已知100件產(chǎn)品中有10件次品,從中任取3件,則取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)的均值是,方差是.

答案0.30.2645解析(方法1)用隨機(jī)變量ξ表示取出的3件產(chǎn)品中的次品數(shù),則ξ的全部可能取值是0,1,2,3,且有P(ξ=0)=C100C903C1003≈0.7265,P(ξP(ξ=2)=C102C901C1003≈0.0250,P(ξ=3)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P所以ξ的分布列為ξ0123P0.72650.24770.02500.0008從而E(ξ)=0×0.7265+1×0.2477+2×0.0250+3×0.0008=0.3001≈0.3,D(ξ)≈(0-0.3)2×0.7265+(1-0.3)2×0.2477+(2-0.3)2×0.0250+(3-0.3)2×0.0008≈0.2645.(方法2)這是超幾何分布問(wèn)題,其中N=100,M=10,n=3,故E(ξ)=nMN=3×D(ξ)=nM(N-M)(解題心得求超幾何分布的均值時(shí),干脆應(yīng)用公式E(X)=nMN比較簡(jiǎn)潔,而方差公式不太簡(jiǎn)潔記憶,一般是依據(jù)超幾何分布的概率公式求出分布列,代入離散型隨機(jī)變量的方差公式計(jì)算對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練從5名女生和2名男生中任選3人參與英語(yǔ)演講競(jìng)賽,設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中男生的人數(shù).(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值與方差;(3)求ξ≤1的概率.概率問(wèn)題與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系親密,所以高考等各類綜合考試中常以實(shí)際應(yīng)用題形式呈現(xiàn),多為解答題,有較大的閱讀量,與社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題緊密結(jié)合,考查概率與統(tǒng)計(jì)中的眾多學(xué)問(wèn).有時(shí)也會(huì)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等學(xué)問(wèn)綜合命題,考查形式新奇,有肯定的難度.【典例】某病毒存在人與人之間的傳染,可以通過(guò)與患者的親密接觸進(jìn)行傳染.我們把與患者有過(guò)親密接觸的人群稱為親密接觸者,每位親密接觸者被感染后即被稱為患者.已知每位親密接觸者在接觸一個(gè)患者后被感染的概率為p(0<p<1),某位患者在隔離之前,每天有a位親密接觸者,其中被感染的人數(shù)為X,假設(shè)每位親密接觸者不再接觸其他患者.(1)求一天內(nèi)被感染人數(shù)X的概率P(X=k)(k=0,1,2,…,a)與a、p的關(guān)系式和X的數(shù)學(xué)期望;(2)該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛藏期,在這14天的潛藏期內(nèi)患者無(wú)任何癥狀,為病毒傳播的最佳時(shí)間,設(shè)每位患者在被感染后的其次天又有a位親密接觸者,把某一名患者被感染的當(dāng)天按第1天算起,第n天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為En.①求數(shù)列{En}的通項(xiàng)公式;②若戴口罩能降低每位親密接觸者患病概率,降低后的患病概率p'=ln(1+p)-23p,當(dāng)p'取最大值時(shí),計(jì)算此時(shí)p'所對(duì)應(yīng)的E6'值和此時(shí)p對(duì)應(yīng)的E6值,依據(jù)計(jì)算結(jié)果說(shuō)明戴口罩的必要性.(取a=結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):ln3≈1.1,ln2≈0.7,13≈0.3解(1)由題意,被感染人數(shù)聽從二項(xiàng)分布:X~B(a,p),則P(X=k)=Cakpk(1-p)a-k(k=0,1,2,…,a),X的數(shù)學(xué)期望E(X)(2)①由題意可知當(dāng)n=1時(shí),E1=0,當(dāng)n≥2時(shí),第n天被感染人數(shù)為(1+ap)n-1,第n-1天被感染人數(shù)為(1+ap)n-2,En=(1+ap)n-1-(1+ap)n-2=ap(1+ap)n-2,則EnEn-1=1+ap,且E2=ap.②令f(p)=ln(1+p)-23p,則f'(p)=1∴f(p)在0,12上單調(diào)遞增,在12,1上單調(diào)遞減.f(p)max=f12=ln32-13=ln3-ln2-13≈1.1-0.7-0.3=則當(dāng)a=10,n=6時(shí),E6'=10×0.1(1+10×0.1)4=16.E6=10×0.5(1+10×0.5)4=6480.∵E6>E6',∴戴口罩很有必要.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(2024山東威海一模,22)新藥在進(jìn)入臨床試驗(yàn)之前,須要先通過(guò)動(dòng)物進(jìn)行有效性和平安性的試驗(yàn).現(xiàn)對(duì)某種新藥進(jìn)行5000次動(dòng)物試驗(yàn),一次試驗(yàn)方案如下:選取3只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行檢驗(yàn),當(dāng)3只白鼠中有2只或2只以上運(yùn)用“效果明顯”,即確定“試驗(yàn)勝利”;若有且只有1只“效果明顯”,則再取2只白鼠進(jìn)行二次檢驗(yàn),當(dāng)2只白鼠均運(yùn)用“效果明顯”,即確定“試驗(yàn)勝利”,其余狀況則確定“試驗(yàn)失敗”.設(shè)對(duì)每只白鼠的試驗(yàn)相互獨(dú)立,且運(yùn)用“效果明顯”的概率均為p(0<p<1).(1)若p=12,設(shè)該新藥在一次試驗(yàn)方案中“試驗(yàn)勝利”的概率為p0,求p0的值(2)若動(dòng)物試驗(yàn)預(yù)算經(jīng)費(fèi)700萬(wàn)元,對(duì)每只白鼠進(jìn)行試驗(yàn)須要300元,其他費(fèi)用總計(jì)為100萬(wàn)元,問(wèn)該動(dòng)物試驗(yàn)總費(fèi)用是否會(huì)超出預(yù)算,并說(shuō)明理由.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(2024云南昆明三模,20)某高校畢業(yè)生小張自主創(chuàng)業(yè)從事蘋果的種植,并開設(shè)網(wǎng)店進(jìn)行銷售.為了做好蘋果的品控,小張從自己果園的蘋果樹上,隨機(jī)摘取150個(gè)蘋果測(cè)重(單位:克),其質(zhì)量分布在區(qū)間[100,400]內(nèi),依據(jù)統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)得到如圖1所示的頻率分布直方圖.圖1圖2(1)以上述樣本數(shù)據(jù)中頻率作為概率,現(xiàn)一顧客從該果園購(gòu)買了30個(gè)蘋果,求這30個(gè)蘋果中質(zhì)量在(300,400]內(nèi)的個(gè)數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2)小張的網(wǎng)店為了進(jìn)行蘋果的促銷,推出了“買蘋果,送福袋”的活動(dòng),買家在線參與按圖行進(jìn)贏取福袋的嬉戲.該嬉戲的規(guī)則如下:買家點(diǎn)擊拋擲一枚特殊的骰子,每次拋擲的結(jié)果為1或2,且出現(xiàn)這兩種結(jié)果的概率相同;從動(dòng)身格(第0格)起先,每擲一次,依據(jù)拋擲的結(jié)果,按如圖2所示的路徑向前行進(jìn)一次,若擲出1點(diǎn),即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)一格(從第k格到第k+1格,k∈N),若擲出2點(diǎn),即從當(dāng)前位置向前行進(jìn)兩格(從第k格到第k+2格,k∈N),行進(jìn)至第31格(獲得福袋)或第32格(感謝惠顧),嬉戲結(jié)束.設(shè)買家行進(jìn)至第i格的概率為pi(i=0,1,2,…,32),p0=1.①求p1,p2,并寫出用pi-2,pi-1表示pi(i=2,3,…,31)的遞推式;②求p32,并說(shuō)明該高校生網(wǎng)店推出的此款嬉戲活動(dòng),是更有利于賣家,還是更有利于買家.10.5離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.(1)x1p1+x2p2+…+xnpn=∑i=1nx問(wèn)題思索提示①區(qū)分:隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù),它不依靠于樣本的抽取,而樣本的平均值是一個(gè)隨機(jī)變量,它是隨著樣本的不同而改變的.②聯(lián)系:對(duì)于簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣,隨著樣本容量的增加,樣本的平均值越來(lái)越接近于總體的均值.因此,我們常用樣本的平均值來(lái)估計(jì)總體的均值.(2)aE(X)+b2.(1)∑i=1n(xi-E(X))2pi(2)D(aX+b)a2D3.(1)pp(1-p)(2)npnp(1-p)(3)nM考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C∵X~B80,14,∴D(X)=80×14×343.A∵E(X)=-12+16=-13,∴E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-24.D依據(jù)題意可得E(X)=0+a+13=a+13,D(X)=0-a+132×13+a-所以D(X)是先減小后增大,故選D.5.ABC因?yàn)殡S機(jī)變量X聽從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=14,所以P(X=1)=34,E(X)=0×14+1×34=34,所以P(X=1)=E(X),故A正確;E(4X+1)=4E(X)+1=4×34+1=4,故B正確;D(X)=(0-34)2×14+(1-34)2×34關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1解(1)依據(jù)題意,分別記“甲所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事務(wù)A1,A2,A3,它們彼此互斥,且P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,所以P(A3)=1-0.4-0.5=0.1.分別記“乙所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事務(wù)B1,B2,B3,它們彼此互斥,且P(B1)=0.5,P(B2)=0.3,所以P(B3)=1-0.5-0.3=0.2.由題知,A1,A2,A3與B1,B2,B3相互獨(dú)立,記甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同為事務(wù)M,則M=A1B1∪A2B2∪A3B3,所以P(M)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37.(2)據(jù)題意,ξ的可能取值為0,1,2,3,4,P(ξ=0)=P(A1)P(B1)=0.2;P(ξ=1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37;P(ξ=2)=P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28;P(ξ=3)=P(A2)P(B3)+P(A3)P(B2)=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13;P(ξ=4)=P(A3)P(B3)=0.1×0.2=0.02.所以ξ的分布列為:ξ01234P0.20.370.280.130.02數(shù)學(xué)期望E(ξ)=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解若按“項(xiàng)目一”投資,設(shè)獲利為X1萬(wàn)元,則X1的分布列為X1300-150P72∴E(X1)=300×79+(-150)×29=200.若按“項(xiàng)目二”投資,設(shè)獲利為X2萬(wàn)元,則XX2500-3000P311∴E(X2)=500×35+(-300)×13+0×115=200.D(X1)=(300-200)2×79+(-150-200)2×29=35000,D(X2)=(500-200)2×35+(-300-200)2×13+(0-200)2×115=140000.∴E(X1)=E(X2),D(X1)<D(X例2解(1)由題意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,解得a=0.03.由頻率分布直方圖可估計(jì)盒子中小球質(zhì)量的眾數(shù)為20克,而樣本中小球質(zhì)量的平均數(shù)x=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克).故由樣本估計(jì)總體,可估計(jì)盒子中小球質(zhì)量的平均值為24.6克.(2)該盒子中小球質(zhì)量在[5,15)內(nèi)的概率為15,則X~B3,15.X的可能取值為0,1,2,3,則P(X=0)=C30150×453=64125,P(X=1)=C31X0123P6448121則E(X)=3×15D(X)=3×15對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2解(1)因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校狀況相互獨(dú)立,且每天7:30之前到校的概率均為23,故X~B3,23,從而P(X=k)=C3k23k133-k,k=0,1,2,3.所以隨機(jī)變量X0123P1248隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3×23=2(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B3,23,且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}.由題意知事務(wù){(diào)X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,且事務(wù){(diào)X=3}與{Y=1},事務(wù){(diào)X=2}與{Y=0}均相互獨(dú)立,從而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=827×例3解(1)由題意可知,所求概率P=C41C22C63×(2)設(shè)甲公司正確完成面試的題數(shù)為X,則X的取值分別為1,2,3.P(X=1)=C41C22C63=15,P(X=2)=CX123P131所以E(X)=1×15+2×35+3×15=2,D(X)=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25.設(shè)乙公司正確完成面試的題為Y,則Y取值分別為0,1,2,3.P(Y=0)=127,P(Y=1)=C31×23×13Y0123P1248所以E(Y)=0×127+1×29+2×49+3×827=2.或∵Y~B3,23,∴E(Y)=3×23=2D(Y)=(0-2)2×127+(1-2)2×29+(2-2)2×49+(3-2)2×827=23.由E(X)=E(Y),D對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3解(1)設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X.①依題意,得P(X=60)=C11C31C42②依題意,得X的全部可能取值為20,60.P(X=60)=12,P(X=20)=C32CX2060P11所以顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~的均值為E(X)=20×12+60×12=(2)依據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算,每個(gè)顧客的平均嘉獎(jiǎng)?lì)~為60元,所以先找尋均值為60的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的狀況,假如選擇(10,10,10,50)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最大值,所以均值不行能為60元;假如選擇(50,50,50,10)的方案,因?yàn)?0元是面值之和的最小值,所以均值也不行能為60元;因此可能的方案是(10,10,50,50),記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的狀況,同理可解除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析.對(duì)于方案1,即方案(10,10,50,50),設(shè)顧客所獲的嘉獎(jiǎng)?lì)~為X1,則X1的分布列為X12060100P121X1的均值為E(X1)=20×16+60×23+100×16=60,X1的方差為D(X1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.對(duì)于方案2,即方案(20,20,40,40),設(shè)顧客所獲的X2406080P121X2的均值為E(X2)=40×16+60×23+80×16=60,X2的方差為D(X2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于兩種方案的嘉獎(jiǎng)?lì)~的均值都符合要求,但方案2嘉獎(jiǎng)素養(yǎng)提升微專題16——超幾何分布的均值與方差對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練解(1)ξ可能取的值為0,1,2,且ξ滿意超幾何分布.P(ξ=0)=C20C53C73=27,P(ξ=1)=C2ξ012P241(2)E(ξ)=0×27+1×47+2×17=67,D(3)P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=27案例探究(五)概率與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合問(wèn)題對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.解(1)當(dāng)p=12時(shí),一次檢驗(yàn)就取得“試驗(yàn)勝利”的概率為C32p2(1-p)+C33p3=3×14×12+123=12;經(jīng)過(guò)兩次檢驗(yàn)才取得“試驗(yàn)勝利”的概率為[C31p(1-p)2](2)設(shè)一次試驗(yàn)方案須要用