2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)56基本計(jì)數(shù)原理排列與組合訓(xùn)練含解析新人教B版

五十六基本計(jì)數(shù)原理、排列與組合(建議用時(shí)：45分鐘)A組全考點(diǎn)鞏固練1．用數(shù)字1,2,3,4,5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．8 B．24C．48 D．120C解析：末位只能從2,4中選一個(gè)，其余的三個(gè)數(shù)字隨意排列，故這樣的偶數(shù)共有Aeq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,2)＝4×3×2×2＝48個(gè)．故選C.2．已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，則方程(x－a)2＋(y－b)2＝4可表示不同的圓的個(gè)數(shù)為()A．7 B．9C．12 D．16C解析：得到圓的方程分兩步：第一步，確定a有3種選法；其次步，確定b有4種選法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有3×4＝12(個(gè))不同的圓．3．(2024·石景山區(qū)高三一模)將4位志愿者安排到“糖酒會(huì)”的3個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館至少1人，不同的安排方案有()A．72種 B．36種C．64種 D．81種B解析：因?yàn)閷?位志愿者安排到3個(gè)不同場(chǎng)館服務(wù)，每個(gè)場(chǎng)館至少1人，所以先從4個(gè)人中選出2個(gè)作為一個(gè)元素看成整體，再把它同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置全排列，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)安排方案．4．(2024·昆明模擬)現(xiàn)有6人坐成一排，任選其中3人相互調(diào)整座位(這3人中任何一人都不能坐回原來(lái)的位置)，其余3人座位不變，則不同的調(diào)整方案的種數(shù)為()A．30 B．40C．60 D．90B解析：依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①?gòu)?人中選出3人，有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)選法；②記選出相互調(diào)整座位的3人分別為A，B，C，則A有2種坐法，B，C只有1種坐法，所以A，B，C相互調(diào)整座位有2種狀況．故不同的調(diào)整方案有20×2＝40(種)．故選B.5．將甲、乙等5名交警安排到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通，每個(gè)路口至少一人，且甲、乙在同一路口的安排方案共有()A．18種 B．24種C．36種 D．72種C解析：1個(gè)路口3人，其余路口各1人的安排方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種，1個(gè)路口1人，2個(gè)路口各2人的安排方法有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)種．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，甲、乙在同一路口的安排方案為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝36種．6．五聲音階是中國(guó)古樂(lè)的基本音階，故有成語(yǔ)“五音不全”．中國(guó)古樂(lè)中的五聲音階依次為宮、商、角、徽、羽，假如用上這五個(gè)音階，排成一個(gè)五音階音序，且宮、羽不相鄰，且位于角音階的同側(cè)，可排成的不同音序有()A．20種 B．24種C．32種 D．48種C解析：若角排在一或五的位置，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝24(種)；若角排在二或四的位置，有2Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝8(種)．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有24＋8＝32(種)排法．故選C.7．(2024·珠海市高三三模)甲、乙、丙3人從1樓乘電梯去商場(chǎng)的3到9樓，每層樓最多下2人，則下電梯的方法有()A．210種 B．252種C．343種 D．336種D解析：分兩種狀況探討：①每個(gè)樓層下1人，則3人下電梯的方法種數(shù)為Aeq\o\al(3,7)＝210；②3人中有2人從一個(gè)樓層下，另1人從其他樓層選一個(gè)樓層下，此時(shí)，3人下電梯的方法種數(shù)為Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,7)＝126.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，3人下電梯的方法有210＋126＝336(種)．故選D.8．從某校4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生參與志愿者服務(wù)，若每個(gè)班級(jí)至少有一名代表，則各班級(jí)的代表數(shù)有________種不同的選法．(用數(shù)字作答)20解析：由題意知，從4個(gè)班級(jí)的學(xué)生中選出7名學(xué)生代表，每一個(gè)班級(jí)中至少有1名代表，相當(dāng)于7個(gè)球排成一排，然后插3塊隔板把他們分成4份，即中間6個(gè)空位中選3個(gè)插板，分成4份，共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)不同的選法．9．(2024·哈爾濱三中期末)有3名男演員和2名女演員，演出的出場(chǎng)依次要求2名女演員之間恰有1名男演員，則不同的出場(chǎng)依次共________種．36解析：有3名男演員和2名女演員，演出的出場(chǎng)依次要求2名女演員之間恰有1名男演員，則先排2名女演員，有Aeq\o\al(2,2)種方法，然后插入1名男演員，有Aeq\o\al(1,3)種方法，再把這3個(gè)人當(dāng)作一個(gè)整體，和其他2名男演員進(jìn)行排列，有Aeq\o\al(3,3)種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的出場(chǎng)依次共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．10．將7個(gè)相同的小球放入4個(gè)不同的盒子中．(1)不出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？(2)可出現(xiàn)空盒時(shí)的放入方式共有多少種？解：(1)將7個(gè)相同的小球排成一排，在中間形成的6個(gè)空隙中插入無(wú)區(qū)分的3個(gè)“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對(duì)應(yīng)一種球的放入方式，則共有Ceq\o\al(3,6)＝20(種)不同的放入方式．(2)每種放入方式對(duì)應(yīng)于將7個(gè)相同的小球與3個(gè)相同的“隔板”進(jìn)行一次排列，即從10個(gè)位置中選3個(gè)位置支配隔板，故共有Ceq\o\al(3,10)＝120(種)放入方式．B組新高考培優(yōu)練11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人玩搶紅包嬉戲，現(xiàn)有4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶完，4個(gè)紅包中有2個(gè)6元、1個(gè)8元、1個(gè)10元(紅包中金額相同視為相同紅包)，則甲、乙都搶到紅包的狀況有()A．18種 B．24種C．36種 D．48種C解析：若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)8元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(種)；若甲、乙搶的是一個(gè)6元和一個(gè)10元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝12(種)；若甲、乙搶的是一個(gè)8元和一個(gè)10元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6(種)；若甲、乙搶的是兩個(gè)6元的紅包，剩下2個(gè)紅包，被剩下的3人中的2個(gè)人搶走，有Aeq\o\al(2,3)＝6(種)．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有36種狀況．故選C.12．某小學(xué)6名教職工的私家車中有3輛為黑色、2輛為白色、1輛為紅色，學(xué)校剛好備有6個(gè)并排的停車位，上班期間這6輛私家車每天都停在這6個(gè)車位上，則紅色私家車不停在兩端，且3輛黑色私家車只有2輛相鄰的停車種數(shù)為()A．144 B．288C．432 D．720B解析：(方法一)①當(dāng)白色私家車停在兩端，且3輛黑色私家車只有2輛相鄰時(shí)，先排3輛黑色私家車，有Aeq\o\al(3,3)種狀況，再將1輛紅色私家車插入黑色私家車中間的2個(gè)空位中的任1個(gè)，有Ceq\o\al(1,2)種狀況，最終將2輛白色私家車停在兩端，有Aeq\o\al(2,2)種狀況，此時(shí)不同的停車種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝24；②當(dāng)黑色私家車停在兩端，且3輛黑色私家車只有2輛相鄰時(shí)，先排3輛黑色私家車，有Aeq\o\al(3,3)種狀況，再將剩下的3輛車作為整體插入黑色私家車中間的2個(gè)空位中的任1個(gè)，有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)種狀況，此時(shí)不同的停車種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝72；③當(dāng)車位兩端一端停白色私家車、一端停黑色私家車時(shí)，先排3輛黑色私家車，有Aeq\o\al(3,3)種狀況，(i)當(dāng)紅色私家車排在黑色私家車兩邊時(shí)，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)種狀況，(ii)當(dāng)紅色私家車排在黑色私家車中間時(shí)，有Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))種狀況，此時(shí)不同的停車種數(shù)有Aeq\o\al(3,3)[Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2))]＝192(種)．綜上，不同的停車種數(shù)共有24＋72＋192＝288(種)．故選B.(方法二)不考慮紅色私家車的?？课恢?，則3輛黑色私家車只有2輛相鄰時(shí)，考慮從3輛黑色私家車中選出2輛捆在一起當(dāng)作一個(gè)元素，與另一輛黑色私家車插入由2輛白色私家車、1輛紅色私家車的全排列形成的4個(gè)空位中，停車種數(shù)有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝432(種)，而兩端?？考t色私家車的種數(shù)有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝144(種)，所以紅色私家車不停在兩端，且3輛黑色私家車只有2輛相鄰的停車種數(shù)有432－144＝288(種)．故選B.13．(多選題)(2024·南京師大附中期中)有四名男生、三名女生排隊(duì)照相，七個(gè)人排成一排，則下列說(shuō)法正確的有()A．假如四名男生必需連排在一起，那么有720種不同排法B．假如三名女生必需連排在一起，那么有576種不同排法C．假如女生不能站在兩端，那么有1440種不同排法D．假如三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，那么有1440種不同排法CD解析：A中，假如四名男生必需連排在一起，將這四名男生捆綁，作為一個(gè)“元素”，此時(shí)，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)＝576(種)不同的排法，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B中，假如三名女生必需連排在一起，將這三名女生捆綁，作為一個(gè)“元素”，此時(shí)，共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(5,5)＝6×120＝720(種)不同的排法，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C中，假如女生不能站在兩端，則兩端支配男生，其他位置的支配沒(méi)有限制，此時(shí)，共有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(5,5)＝12×120＝1440(種)不同的排法，C選項(xiàng)正確；D中，假如三個(gè)女生中任何兩個(gè)均不能排在一起，將女生插入四名男生所形成的5個(gè)空中，此時(shí)，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,5)＝24×60＝1440(種)不同的排法，D選項(xiàng)正確．故選CD.14．(多選題)(2024·贛榆區(qū)期中)在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中隨意抽出3件，則()A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)種B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98))種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98))種D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98))種ACD解析：由題意知，抽出的3件產(chǎn)品恰好有一件不合格品，則抽出的3件產(chǎn)品包括1件不合格品和2件合格品，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)種結(jié)果，則選項(xiàng)A正確，B不正確；依據(jù)題意，“至少有1件不合格品”可分為“有1件不合格品”與“有2件不合格品”兩種狀況，“有1件不合格品”的抽取方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)種，“有2件不合格品”的抽取方法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98)種，則共有(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,98)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,98))種不同的抽取方法，選項(xiàng)C正確；“至少有1件不合格品”的對(duì)立事務(wù)是“3件都是合格品”，“3件都是合格品”的抽取方法有Ceq\o\al(3,98)種，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有(Ceq\o\al(3,100)－Ceq\o\al(3,98))種，選項(xiàng)D正確．故選ACD.15．(多選題)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列說(shuō)法正確的是()A．假如甲、乙必需相鄰且乙在甲的右邊，那么不同的排法有24種B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有42種C．甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為72D．甲、乙、丙按從左到右的依次排列的排法有20種ABCD解析：對(duì)于選項(xiàng)A，甲、乙必需相鄰且乙在甲的右邊，可將甲、乙捆綁看成一個(gè)元素，則不同的排法有Aeq\o\al(4,4)＝24(種)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(4,4)＝42(種)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，甲、乙不相鄰的排法種數(shù)為Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝72，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，甲、乙、丙按從左到右的依次排列的排法有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))＝20(種)，故D正確．故選ABCD.16．(2024·上饒聯(lián)考)某共享汽車停放點(diǎn)的停車位成一排且恰好全部空閑，假設(shè)最先來(lái)停車點(diǎn)停車的3輛共享汽車都是隨機(jī)停放的，且這3輛共享汽車都不相鄰的概率與這3輛共享汽車恰有2輛相鄰的概率相等，則該停車點(diǎn)的車位數(shù)為_(kāi)___．10解析：設(shè)停車位有n個(gè)，這3輛共享汽車都不相鄰相當(dāng)于先將(n－3)個(gè)停車位排放好，再將