2024-2025學年高中數(shù)學第二章概率2.6正態(tài)分布學案含解析北師大版選修2-3

PAGE6正態(tài)分布授課提示：對應學生用書第48頁[自主梳理]一、連續(xù)型隨機變量離散型隨機變量的取值是可以________的，但在實際應用中，還有很多隨機變量可以取某一區(qū)間中的一切值，是不行以一一列舉的，這種隨機變量稱為________．二、正態(tài)分布我們把函數(shù)f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(x－μ2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)的圖像稱為正態(tài)分布密度曲線，其中μ表示________，σ2(σ>0)表示________．通常用X～N(μ，σ2)表示X聽從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布．三、正態(tài)分布密度函數(shù)的性質1．函數(shù)圖像關于直線________對稱；2．σ(σ>0)的大小確定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；3．正態(tài)變量在三個特別區(qū)間內取值的概率值P(μ－σ<X<μ＋σ)＝________；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝________；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝________.四、3σ原則通常聽從于正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機變量X在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率只有________．[雙基自測]1．正態(tài)分布N(0,1)在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則二者大小關系為()A．P1＝P2 B．P1＜P2C．P1＞P2 D．不確定2．假如隨機變量X～N(4,1)，則P(X≤2)等于________．[自主梳理]一、一一列舉連續(xù)型隨機變量二、均值方差三、1.x＝μ3.68.3%95.4%99.7%四、0.3%[雙基自測]1．A依據(jù)正態(tài)曲線的特點，圖像關于x＝0對稱，可得在區(qū)間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P1，P2相等．2．0.023P(X≤2)＝(1－P(2＜X＜6))×eq\f(1,2)＝(1－P(4－2＜X＜4＋2))×eq\f(1,2)＝(1－0.954)×eq\f(1,2)＝0.023.授課提示：對應學生用書第48頁探究一正態(tài)分布密度曲線及其性質[例1]右圖是當ξ取三個不同值ξ1，ξ2，ξ3時的三種正態(tài)分布密度曲線N(0，σ2)的圖像，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3[解析]利用正態(tài)曲線的性質求解，當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)密度曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，在x＝0時，取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)密度曲線的性質，當μ肯定時，曲線的形態(tài)由σ確定，σ越小，曲線越“高瘦”；σ越大，曲線越“矮胖”，于是有0<σ1<σ2＝1<σ3.故選D.[答案]D正確理解正態(tài)密度曲線的圖像及性質，正態(tài)曲線函數(shù)的系數(shù)是eq\f(1,σ\r(2π))，指數(shù)是－eq\f(x－μ2,2σ2)，要記準結構，正確運用．1．如圖是一個正態(tài)曲線，試依據(jù)圖像寫出其正態(tài)分布的分布密度函數(shù)的解析式，并求出總體隨機變量的期望和方差．解析：從給出的正態(tài)曲線可知，該正態(tài)曲線關于直線x＝20對稱，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以μ＝20.eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2\r(π))，解得σ＝eq\r(2).于是概率密度函數(shù)的解析式是f(x)＝eq\f(1,2\r(π))·e－eq\f(x－202,4)，x∈(－∞，＋∞)．總體隨機變量的均值是μ＝20，方差是σ2＝(eq\r(2))2＝2.探究二求正態(tài)分布下的概率[例2]設X～N(6,1)，求P(4<X<5)．[解析]由已知，μ＝6，σ＝1，∵P(5<X<7)＝P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.683，P(4<X<8)＝P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.954.P(4<X<5)＋P(7<X<8)＝P(4<X<8)－P(5<X<7)＝0.271.如圖，由正態(tài)密度曲線的對稱性知P(4<X<5)＝P(7<X<8)，P(4<X<5)＝eq\f(1,2)[P(4<X<8)－P(5<X<7)]＝eq\f(1,2)×0.271＝0.1355.解答此類題目的關鍵在于充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性把待求區(qū)間內的概率向已知區(qū)間內的概率進行轉化，在此過程中充分體現(xiàn)了數(shù)形結合及化歸的數(shù)學思想．這種數(shù)形結合的思想在本部分常常用到，肯定要時刻記著運用．2．已知X～N(－1，σ2)，若P(－3≤X≤－1)＝0.3，則P(－3≤X≤1)的值為________．解析：∵X～N(－1，σ2)，∴P(－3≤X≤－1)＝P(－1≤X≤1)＝0.3，∴P(－3≤X≤1)＝2P(－3≤X≤－1)＝0.6.答案：0.6探究三正態(tài)分布的應用[例3]在某次數(shù)學考試中，考生的成果ξ聽從一個正態(tài)分布，即ξ～N(90,102)．(1)試求考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)內的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成果在(80,100)間的考生大約有多少人？[解析]∵ξ～N(90,102)，∴μ＝90，σ＝10.(1)由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)內取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考試成果ξ位于區(qū)間(70,110)內的概率就是0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)內取值的概率是0.683，所以考試成果ξ位于區(qū)間(80,100)內的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考試成果在(80,100)間的考生大約有2000×0.683＝1366(人)．求解正態(tài)分布應用題的技巧解答這類問題的關鍵是熟記正態(tài)變量的取值位于區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)內的概率值，同時又要依據(jù)已知的正態(tài)分布確定所給區(qū)間屬于上述三個區(qū)間中的哪一個．然后求出相應的概率，從而估算某一個區(qū)間上的人數(shù)．3．有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)聽從正態(tài)分布，即X～N(20,4)．若這批零件共有5000個．試求(1)這批零件中尺寸在18mm～22mm間的零件所占的百分比；(2)若規(guī)定尺寸在24mm～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個？解析：(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在18mm～22mm間的零件所占百分比大約是68.3%.(2)∵μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X在14mm～26mm間的百分比大約是99.7%，而零件尺寸X在16mm～24mm間的百分比大約是95.4%.∴零件尺寸在24mm～26mm間的百分比大約是eq\f(99.7%－95.4%,2)＝2.15%.因此尺寸在24mm～26mm間的零件大約有5000×2.15%≈108(個)．正態(tài)分布的實際應用[典例](本題滿分12分)在某市組織的一次數(shù)學競賽中全體參賽學生的成果近似聽從正態(tài)分布N(60,100)，已知成果在90分以上(含90分)的學生有15人．(1)求此次參與競賽的學生總數(shù)共有多少人？(2)若安排嘉獎競賽成果排在前228名的學生，問受獎學生的分數(shù)線是多少？[解](1)設學生的成果為X，共有n人參與競賽，因為X～N(60,100)，所以μ＝60，σ＝10.………………2分所以P(X≥90)＝eq\f(1,2)[1－P(30＜X＜90)]＝eq\f(1,2)(1－0.997)＝0.0015.………………4分又P(X≥90)＝eq\f(15,n)，所以eq\f(15,n)＝0.0015，所以n＝10000.………………6分(2)設受獎學生的分數(shù)線為x0.則P(X≥x0)＝eq\f(228,10000)＝0.0228.……………8分因為0.0228＜0.5，所以x0＞60.所以P(120－x0＜X＜x0)＝1－2P(X≥x0)＝0.9544，………………10分所以x0＝60＋20＝80.故受獎學生的分數(shù)線是80分.………12分[規(guī)范與警示]1.在處，能依據(jù)正態(tài)分布的概率求解思路求出正確的概率結果是解決本題的關鍵點．在處，若對正態(tài)分布概率間的轉化不熟，則導致出錯，是解答本題的易失分點．在處，正確利用正態(tài)分布的圖像特征使問題獲解．2．防范措施：(1)把握正態(tài)分布圖像的對稱性．強化對其圖像對稱性的相識，可較好地解決與之相關的概率問題，如本例先后兩次利用了圖像的對稱性求其概率．(2)強化轉化意識．求解此類問題的關鍵是實際問題數(shù)學模型化，如本例在求解過程中，反復利用正態(tài)分布的“3σ原則”解題，突出了轉化及化歸思想的應用．已知從某批材料中任取一件時，取得的這件材料的強度X聽從N(200,182)．(1)計算取得的這件材料的強度不低于182的概率；(2)假如所用的材料在以98%的概率保證強度不低于164，問這批材料是否符合這個要求？解析：(1)X～N(μ，σ2)，其中μ＝200，σ＝18，而182＝200－18＝μ－σ，∴P(182＜X≤218)＝0.683.又1＝P(X≤182)＋P(182＜X≤218)＋P(X＞218)，且由正態(tài)曲線的對稱性可知，P(X≤182)＝P(X＞218)，∴P(X≤182)＝eq\f(1,2)(1－0.683)＝0.1585.∴