2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第2節(jié)空間點直線平面之間的位置關(guān)系學(xué)案含解析新人教A版_第1頁
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PAGE其次節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1.平面的基本性質(zhì)基本領(lǐng)實1:過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.基本領(lǐng)實2:假如一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi).基本領(lǐng)實3:假如兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.基本領(lǐng)實4:平行于同一條直線的兩條直線平行.基本領(lǐng)實1及其推論給出了確定一個平面或推斷“直線共面”的方法;基本領(lǐng)實2的作用是推斷直線是否在某個平面內(nèi);基本領(lǐng)實3的作用是如何找尋兩相交平面的交線以及證明“線共點”的理論依據(jù);基本領(lǐng)實4是對初中平行線的傳遞性在空間中的推廣.2.直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(相交直線;在同一平面內(nèi),有且只有,一個公共點;,平行直線:在同一平面內(nèi),沒有公共點;)),異面直線:不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.))(2)異面直線所成的角①定義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a,b′∥b,把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②范圍:eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).互為異面直線的兩條直線不同在任何一個平面內(nèi),沒有公共點.不能錯誤地理解為不在某一個平面內(nèi)的兩條直線就是異面直線.3.空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系(1)空間中直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點直線在平面內(nèi)a?α多數(shù)個直線不在平面內(nèi)直線與平面平行a∥α0個直線與平面相交直線與平面斜交a∩α=A1個直線與平面垂直a⊥α1個(2)空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩平面平行α∥β0個兩平面相交α∩β=l多數(shù)個4.等角定理假如空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補.探討直線與平面的位置關(guān)系時肯定不要忽視“直線在平面內(nèi)”.二、基本技能·思想·活動體驗1.推斷下列說法的正誤,對的打“√”,錯的打“×”.(1)沒有公共點的兩條直線是異面直線. (×)(2)兩兩平行的三條直線可以確定三個平面. (×)(3)兩個平面α,β有一個公共點A,就說α,β相交于過A點的隨意一條直線. (×)(4)假如兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合. (×)(5)直線與平面的位置關(guān)系有平行、垂直兩種. (×)(6)空間中假如兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角肯定相等. (×)2.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b()A.肯定是異面直線 B.肯定是相交直線C.不行能是平行直線 D.不行能是相交直線C解析:由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線,但不行能為平行直線.若b∥c,則a∥b,與已知a,b為異面直線相沖突.3.若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)的全部直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)的直線與l都相交B解析:由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系,因而只有選項B是正確的.4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A.30° B.45°C.60° D.90°C解析:連接B1D1,D1C,則B1D1∥EF,故∠D1B1C即為所求的角.又B1D1=B1C=D1C,所以△B1D1C為等邊三角形,所以∠D1B1C=60°,即異面直線B1C與EF所成角的大小為60°.第4題圖第5題圖5.如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F(xiàn),G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點,則(1)當(dāng)AC,BD滿意條件________時,四邊形EFGH為菱形;(2)當(dāng)AC,BD滿意條件________時,四邊形EFGH為正方形.(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD解析:(1)因為四邊形EFGH為菱形,所以EF=EH,所以AC=BD.(2)因為四邊形EFGH為正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因為EF∥AC,EH∥BD,且EF=eq\f(1,2)AC,EH=eq\f(1,2)BD,所以AC=BD且AC⊥BD.考點1平面的基本性質(zhì)——基礎(chǔ)性1.在三棱錐A-BCD的邊AB,BC,CD,DA上分別取E,F(xiàn),G,H四點.假如EF∩HG=P,則點P()A.肯定在直線BD上B.肯定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上,也不在直線BD上B解析:如圖所示,因為EF?平面ABC,HG?平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因為平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC.2.(多選題)(2024·全國卷Ⅱ改編)下列選項正確的是()A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過空間中隨意三點有且僅有一個平面C.若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行D.若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥lAD解析:對于選項A,可設(shè)l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為α;若l3與l1相交,則交點B在平面α內(nèi),同理,l3與l2的交點A也在平面α內(nèi),所以,AB?α,即l3?α,選項A正確.對于選項B,若三點共線,則過這三個點的平面有多數(shù)個,選項B錯誤.對于選項C,空間中兩條直線可能相交、平行或異面,選項C錯誤.對于選項D,若直線m⊥平面α,則m垂直于平面α內(nèi)全部直線.因為直線l?平面α,所以直線m⊥直線l,選項D正確.共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法:一是先確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi);二是證明兩平面重合.(2)證明共線的方法:一是先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;二是干脆證明這些點都在同一條特定直線上.(3)證明線共點問題的常用方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點.考點2異面直線所成的角——綜合性(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CC1的中點,則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)C解析:(1)如圖,因為AB∥CD,所以AE與CD所成角為∠EAB(或其補角).在Rt△ABE中,設(shè)AB=2,則BE=eq\r(5),則tan∠EAB=eq\f(BE,AB)=eq\f(\r(5),2).所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2).(2)已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1在底面ABC上的射影為BC的中點,則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(5),4)D.eq\f(5,4)B解析:如圖,設(shè)BC的中點為D,連接A1D,AD,A1B,易知∠A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補角).設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長均為1,則AD=eq\f(\r(3),2),A1D=eq\f(1,2),A1B=eq\f(\r(2),2).由余弦定理,得cos∠A1AB=eq\f(A1A2+AB2-A1B2,2A1A·AB)=eq\f(1+1-\f(1,2),2×1×1)=eq\f(3,4).本例(2)的條件改為“在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1”,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________.eq\f(\r(10),5)解析:把三棱柱ABC-A1B1C1補成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如圖所示.連接C1D,BD,則AB1與BC1所成的角為∠BC1D(或其補角).由題意可知BC1=eq\r(2),BD=eq\r(22+12-2×2×1×cos60°)=eq\r(3),C1D=AB1=eq\r(5).可知BCeq\o\al(2,1)+BD2=C1D2,所以△BC1D為直角三角形,所以cos∠BC1D=eq\f(\r(2),\r(5))=eq\f(\r(10),5).用平移法求異面直線所成的角的步驟(1)一作:依據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角.(2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角.(3)三求:解三角形,求出所作的角.假如求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;假如求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角.1.(2024·聊城一模)如圖,圓柱的軸截面ABCD為正方形,E為弧BC的中點,則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(\r(5),5)C.eq\f(\r(30),6) D.eq\f(\r(6),6)D解析:如圖,過點E作圓柱的母線交下底面于點F,連接AF,易知F為eq\o(\S\UP10(︵),AD)的中點,設(shè)四邊形ABCD的邊長為2,則EF=2,AF=eq\r(2),所以AE=eq\r(22+\r(2)2)=eq\r(6).連接ED,ED=eq\r(6).因為BC∥AD,所以異面直線AE與BC所成角即為∠EAD.在△EAD中,cos∠EAD=eq\f(6+4-6,2×2×\r(6))=eq\f(\r(6),6).故選D.2.(多選題)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為4的正方形,AA1=3,則()A.異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),5)B.異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為eq\f(3,5)C.A1B∥平面B1D1CD.點B1到平面A1BD1的距離為eq\f(12,5)ACD解析:因為A1B∥D1C,所以∠B1D1C或其補角即為異面直線A1B與B1D1所成角.又因為B1D1=4eq\r(2),D1C=5,B1C=5,所以cos∠B1D1C=eq\f(B1D\o\al(2,1)+D1C2-B1C2,2B1D1·D1C)=eq\f(2\r(2),5),故A正確,B錯誤.因為A1B∥D1C,A1B?平面B1D1C,D1C?平面B1D1C,所以A1B∥平面B1D1C,故C正確.設(shè)點B1到平面A1BD1的距離為h.因為Veq\s\do6(B-A1B1D1)=Veq\s\do6(B1-A1BD1),即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)A1B1·A1D1·B1B=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)A1B·A1D1·h,解得h=eq\f(12,5),故D正確.故選ACD.3.在正四面體A-BCD中,E是AB的中點,則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)B解析:畫出正四面體A-BCD的直觀圖,如圖所示.設(shè)其棱長為2,取AD的中點F,連接EF,設(shè)EF的中點為O,連接CO,則EF∥BD,則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角.因為△ABC為等邊三角形,所以CE⊥AB,易得CE=eq\r(3),同理可得CF=eq\r(3),故CE=CF.因為OE=OF,所以CO⊥EF.又EO=eq\f(1,2)EF=eq\f(1,4)BD=eq\f(1,2),所以cos∠FEC=eq\f(EO,CE)=eq\f(\f(1,2),\r(3))=eq\f(\r(3),6).4.(2024·西安模擬)如圖是正四面體的平面綻開圖,G,H,M,N分別為DE,BE,EF,EC的中點,在這個正四面體中,①GH與EF平行;②BD與MN為異面直線;③GH與MN成60°角;④DE與MN垂直.以上四個命題中,真命題的是________.(填序號)②③④解析:如圖,還原成正四面體A-DEF,其中H與N重合,A,B,C三點重合.易知GH與EF異面,BD與MN異面.連接GM,因為△GMH為等邊三角形,所以GH與MN所成角為60°,易證DE⊥AF,又MN∥AF,所以MN⊥DE.因此真命題的序號是②③④.考點3空間兩條直線的位置關(guān)系——應(yīng)用性考向1異面直線的判定如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有________.(填序號)②④解析:圖①中,直線GH∥MN;圖②中,G,H,N三點共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面;圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面.所以圖②④中GH與MN異面.本例的條件改為“下列選項中,點P,Q,R,S分別在正方體的四條棱上,并且是所在棱的中點”,則直線PQ與RS是異面直線的圖是()C解析:易知選項A,B中PQ∥RS,選項D中RS與PQ相交,只有選項C中RS與PQ是異面直線.考向2平行或相交直線的判定如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F(xiàn)分別在A1D,AC上,且A1E=2ED,CF=2FA,則EF與BD1的位置關(guān)系是()A.相交但不垂直B.相交且垂直C.異面D.平行D解析:如圖,連接D1E并延長,與AD交于點M,由A1E=2ED,可得M為AD的中點.連接BF并延長,交AD于點N.因為CF=2FA,可得N為AD的中點,所以M,N重合,所以EF和BD1共面,且eq\f(ME,ED1)=eq\f(1,2),eq\f(MF,BF)=eq\f(1,2),所以eq\f(ME,ED1)=eq\f(MF,BF),所以EF∥BD1.空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法異面直線的判定定理:平面外一點與平面內(nèi)一點的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.1.若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是()A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交D解析:(方法一:反證法)由于l與直線l1,l2分別共面,故直線l與l1,l2要么都不

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