2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)與對數(shù)章末綜合提升學(xué)案蘇教版必修第一冊

第4章指數(shù)與對數(shù)類型1指數(shù)的運(yùn)算指數(shù)的運(yùn)算是本章的重點(diǎn)內(nèi)容，是學(xué)好本章的前提和基礎(chǔ)，為后續(xù)對數(shù)的學(xué)習(xí)作鋪墊．指數(shù)的運(yùn)算常與根式交匯考查，也常與方程等學(xué)問聯(lián)系，主要考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【例1】(1)求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))0＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))－(0.01)0.5.(2)化簡：[解](1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))＝1＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)－eq\f(1,10)＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．計算下列各式(式子中字母都是正數(shù))：類型2對數(shù)的運(yùn)算對數(shù)的運(yùn)算是本章的重要內(nèi)容之一，在學(xué)習(xí)指數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)對數(shù)運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算與對數(shù)運(yùn)算是互逆的．對數(shù)運(yùn)算常與指數(shù)、方程等學(xué)問交匯考查，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理實力．對數(shù)的運(yùn)算應(yīng)遵循以下原則：對數(shù)運(yùn)算首先留意公式應(yīng)用過程中范圍的改變，前后要等價，嫻熟地運(yùn)用對數(shù)的三個運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對數(shù)恒等式，換底公式是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧．【例2】計算下列各式：(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5lg20＋(lg2)2.[解](1)原式＝＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)log33－log33))·log5(10－3－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)－1))·log55＝－eq\f(1,4).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋(1－lg2)(1＋lg2)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝2＋1＝3.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．計算下列各式：(1)eq\f(1,2)lg25＋lg2＋lgeq\r(10)＋lg(0.01)－1；(2)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－3log55.[解](1)法一：原式＝lg[25×2×10×(10－2)－1]＝lg(5×2×10×102)＝lg10eq\f(7,2)＝eq\f(7,2).法二：原式＝eq\f(1,2)lg52＋lg2＋eq\f(1,2)lg10－lg10－2＝(lg5＋lg2)＋eq\f(1,2)－(－2)＝lg10＋eq\f(1,2)＋2＝1＋eq\f(1,2)＋2＝eq\f(7,2).(2)法一：原式＝log322＋log3(32×2－5)＋log323－3＝log3(22×32×2－5×23)－3＝log332－3＝2－3＝－1.法二：原式＝2log32－(5log32－2)＋3log32－3＝2－3＝－1.類型3利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求值對于帶有附加條件的與對數(shù)式有關(guān)的求值問題是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，常與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)相結(jié)合，假如附加條件比較困難，則需先對其進(jìn)行變形、化簡，并充分利用其最簡結(jié)果解決問題．詳細(xì)解決方法：(1)留意指數(shù)式與對數(shù)式的互化，有些須要將對數(shù)式化為指數(shù)式，而有些須要將指數(shù)式化為對數(shù)式；(2)留意換底公式與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，解題時應(yīng)全方位、多角度地思索，留意已知條件和所求式子的前后照應(yīng)．【例3】若lga＋lgb＝4，lga·lgb＝eq\f(1,4)，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．[解]lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgb,lga)＋\f(lga,lgb)))＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb2＋lga2,lgalgb)＝(lga＋lgb)·eq\f(lgb＋lga2－2lgalgb,lgalgb)＝4×eq\f(42－2×\f(1,4),\f(1,4))＝248.[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．若logab＋3logba＝eq\f(13,2)，則用a表示b的式子是________．b＝eq\r(a)或b＝a6[原式可化為eq\f(1,logba)＋3logba＝eq\f(13,2)，整理得3(logba)2＋1－eq\f(13,2)logba＝0，即6(logba)2－13logba＋2＝0.解得logba＝2或logba＝eq\f(1,6)，所以b2＝a或beq\f(1,6)＝a.即b＝eq\r(a)或b＝a6.]4．已知lga＋lgb＝2lg(a－2b)，求log2eq\f(a,b)的值．[解]因為lga＋lgb＝2lg(a－2b)，所以lgab＝lg(a－2b)2，ab＝(a－2b)2，a2－5ab＋4b2＝0，即(a－b)(a－4b)＝0，所以a＝b或a＝4b.又因為a－2b>0，所以a＝4b，log2eq\f(a,b)＝log24＝2.類型4解簡潔的指數(shù)和對數(shù)方程簡潔的指數(shù)方程和對數(shù)方程是指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算的延長，主要與方程結(jié)合交匯考查，培育學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算實力，是對指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算的鞏固和提升．詳細(xì)解決方法如下：(1)化同底：將指數(shù)方程變形為am＝an?m＝n.形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的對數(shù)方程，等價轉(zhuǎn)化為M＝N，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M>0，,N>0))求解．(2)定義法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程時，常借助對數(shù)的定義等價轉(zhuǎn)化為M＝ab求解．(3)換元法：設(shè)t＝ax(x＝logat)，將方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次方程求出t，再解出x.【例4】依據(jù)下列條件，分別求實數(shù)x的值：(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；(2)32x＋1－6x＝22x＋2.[解](1)原方程可化為log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝eq\f(4,3).經(jīng)檢驗知，原方程的解為x＝eq\f(4,3).(2)原方程可化為3×32x－2x×3x－4×22x＝0，因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，則3×3x－4×2x＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x＝eq\f(4,3)，解得x＝eqlog\s\do5(\f(3,2))eq\f(4,3).[跟進(jìn)訓(xùn)練]5．解下列關(guān)于x的方程：(1)lgeq\r(x－1)＝lg(x－1)；(2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．[解](1)原方程等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x－1)＝x－1，,x－1>0，))解之得x＝2.經(jīng)檢驗x＝2是原方程的解，所以原方程的解為x＝2.(2)原方程可化為log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)．即log4eq\f(3－x,3＋x)＝log4eq\f(1－x,2x＋1).整理得eq\f(3－x,x＋3)＝eq\f(1－x,2x＋1)，解之得x＝7或x＝0.當(dāng)x＝7時，3－x＜0，不滿意真數(shù)大于0的條件，故舍去．x＝0滿意，所以原方程的解為x＝0.1．(2024·新高考全國卷Ⅰ)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù)．基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間．在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)＝ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位：天)的改變規(guī)律，指數(shù)增長率r與R0，T近似滿意R0＝1＋rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0＝3.28，T＝6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計感染病例數(shù)增加1倍須要的時間約為(ln2≈0.69)()A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天B[∵R0＝1＋rT，∴3.28＝1＋6r，∴r＝0.38.若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(It1＝e0.38t1，,It2＝e0.38t2，,It2＝2It1，))則e0.38(t2－t1)＝2,0.38(t2－t1)＝ln2≈0.69，t2－t1≈1.8，選B.]2．(2024·全國卷Ⅲ)Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，由學(xué)者依據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝eq\f(K,1＋e－0.23t－53