2024高考數(shù)學統(tǒng)考一輪復習第七章立體幾何第三節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理教師文檔教案文北師大版

PAGE第三節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理授課提示：對應學生用書第128頁[基礎梳理]1．四個公理(1)公理1：假如一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．(3)公理3：假如兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線相互平行．2．空間兩條直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系分類：eq\a\vs4\al(位置,關(guān)系)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個,公共點；,平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；)),異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.))(2)等角定理：空間中假如兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．(3)異面直線所成的角：①定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a與b所成的角(或夾角)；②范圍：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．3．空間直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交a∩α＝A1個平行a∥α0個在平面內(nèi)aα多數(shù)個平面與平面平行α∥β0個相交α∩β＝l多數(shù)個1．公理的作用公理1：可用來證明點、直線在平面內(nèi)．公理2：可用來確定一個平面．公理3：(1)可用來確定兩個平面的交線．(2)推斷或證明多點共線．(3)推斷或證明多線共點．公理4：(1)可用來推斷空間兩條直線平行．(2)等角定理的理論依據(jù)．2．異面直線的兩個結(jié)論(1)平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．(2)分別在兩個平行平面內(nèi)的直線平行或異面．[四基自測]1．(基礎點：平面的概念)下列命題中，真命題是()A．空間不同三點確定一個平面B．空間兩兩相交的三條直線確定一個平面C．兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形D．和同始終線都相交的三條平行線在同一平面內(nèi)答案：D2．(基礎點：空間直線的關(guān)系)若空間三條直線a，b，c滿意a⊥b，b∥c，則直線a與c()A．確定平行 B．確定相交C．確定是異面直線 D．確定垂直答案：D3．(易錯點：異面直線所成角的概念)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與A．30° B．45°C．60° D．90°答案：C4．(拓展點：點、線、面關(guān)系的推理)設P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確的命題是________(填序號)．①P∈a，P∈α?aα；②a∩b＝P，bβ?aβ；③a∥b，aα，P∈b，P∈α?bα；④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.答案：③④授課提示：對應學生用書第129頁考點一平面的基本性質(zhì)挖掘1共面問題/自主練透[例1](1)如圖所示是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個是()[解析]A，B，C圖中四點確定共面，D中四點不共面．[答案]D(2)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC[解析]由題意知，D∈l，lβ，所以D∈β，又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，所以點D在平面ABC與平面β的交線上．又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.[答案]C[破題技法]1.由元素確定平面時，要看元素滿意的條件．(1)由點確定平面：三點不共線；(2)由點和線確定平面：點不在直線上；(3)由線確定平面：兩條相交線，兩條平行線．2．共面問題的證明證明點或線共面，①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；②將全部條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．挖掘2共點、共線問題/互動探究[例2]如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點A．A，M，O三點共線B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面[解析]連接A1C1，AC，則A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四點共面，所以A1C平面ACC1A1，因為M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以[答案]A[破題技法]1.證明點共線，(1)先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)干脆證明這些點都在同一條特定的直線上．2．證明線共點，先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點．考點二空間直線的位置關(guān)系挖掘1異面直線的判定/自主練透[例1]如圖所示為正方體表面的一種綻開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對．[解析]平面圖形的翻折應留意翻折前后相對位置的改變，則AB，CD，EF和GH在原正方體中，明顯AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對．[答案]3[破題技法]異面直線的判定方法(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設動身，經(jīng)過嚴格的推理，導出沖突，從而否定假設，確定兩條直線異面．此法在異面直線的判定中常常用到．(2)定理：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的直線是異面直線．挖掘2平行與垂直的判定/自主練透[例2]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，則EF與BD1A．相交但不垂直 B．相交且垂直C．異面 D．平行[解析]連接D1E并延長交AD于M點(圖略)，因為A1E＝2ED，可得，M為AD中點，連接BF并延長交AD于N點，因為CF＝2FA，可得N為AD中點，所以M，N重合．且eq\f(ME,ED1)＝eq\f(1,2)，eq\f(MF,FB)＝eq\f(1,2).所以eq\f(ME,ED1)＝eq\f(MF,FB)，所以EF∥BD1.[答案]D[破題技法]1.線線平行或垂直的判定方法(1)對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來推斷．(2)對于線線垂直，往往利用線面垂直的定義，由線面垂直得到線線垂直．2．留意幾個“唯一”結(jié)論(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直．考點三異面直線所成的角挖掘1異面直線所成角的求法/自主練透[例1](1)(2024·廣東珠海模擬)如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P為邊AB的中點，現(xiàn)將△DAP繞直線DP翻轉(zhuǎn)至△DA′P處，若M為線段A′C的中點，則異面直線BM與PA′所成角的正切值為()A.eq\f(1,2) B．2C.eq\f(1,4) D．4[解析]取A′D的中點N，連接PN，MN，∵M是A′C的中點，∴MN∥CD，且MN＝eq\f(1,2)CD，∵四邊形ABCD是矩形，P是AB的中點，∴PB∥CD，且PB＝eq\f(1,2)CD，∴MN∥PB，且MN＝PB，∴四邊形PBMN為平行四邊形，∴MB∥PN，∴∠A′PN(或其補角)是異面直線BM與PA′所成的角．在Rt△A′PN中，tan∠A′PN＝eq\f(A′N,A′P)＝eq\f(1,2)，∴異面直線BM與PA′所成角的正切值為eq\f(1,2).故選A.[答案]A(2)如圖所示，在三棱錐A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，點M，N分別為AD，BC的中點，則異面直線AN，CM所成的角的余弦值是________．[解析]如圖所示，連接ND，取ND的中點E，連接ME，CE，則ME∥AN，則異面直線AN，CM所成的角即為∠EMC.由題可知CN＝1，AN＝2eq\r(2)，∴ME＝eq\r(2).又CM＝2eq\r(2)，DN＝2eq\r(2)，NE＝eq\r(2)，∴CE＝eq\r(3)，則cos∠CME＝eq\f(CM2＋EM2－CE2,2CM·EM)＝eq\f(8＋2－3,2×2\r(2)×\r(2))＝eq\f(7,8).[答案]eq\f(7,8)[破題技法]求異面直線所成角的方法方法解讀適合題型平移法將異面直線中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采納圖中已有的平行線或者作平行線，形成三角形求解易于作出平行線的題目補形法在該幾何體的某側(cè)補接上同樣一個幾何體，在這兩個幾何體找異面直線相應的位置，形成三角形求解平行線不易作出的規(guī)則幾何體挖掘2異面直線所成角的應用——三種語言轉(zhuǎn)化/互動探究[例2]如圖，平面α∩β＝l，ADα且AD⊥l，BCβ且BC⊥l，A、B∈l.AD與BC是異面直線，且所成的角為θ，AD＝b，BC＝c，AB＝a，求DC的長度．[解析]在平面α內(nèi)，過B作BE綊AD，由異面直線所成角的定義知∠CBE＝θ，