2025屆高中數學統(tǒng)考第二輪專題復習第21講不等式選講限時集訓理含解析

第21講不等式選講基礎過關1.已知函數f(x)=|2x+1|.(1)求不等式f(x)≤1的解集;(2)若對隨意的x∈R,f(x2)≥a|x|恒成立,求實數a的最大值.2.已知函數f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)求不等式f(x)>0的解集;(2)若關于x的不等式|2m+1|≥f(x+3)+3|x+5|有解,求實數m的取值范圍.3.已知函數f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)當a=1時,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的圖像與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.4.已知函數f(x)=|2x-1|-3|x+1|,設f(x)的最大值為M.(1)求M;(2)若正實數a,b滿意1a3+1b3=Mab,證明:a4b+ab實力提升5.已知函數f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)若f(1)+f(-1)>1,求a的取值范圍;(2)若a>0,對隨意的x,y∈(-∞,a],不等式f(x)≤y+54+|y-a|恒成立,求a的取值范圍.6.已知a,b,c為正實數,且滿意a+b+c=1.證明:(1)a-12+|b+c-1|≥12;(2)(a3+b3+c3)1a2+1b2+1c限時集訓(二十一)1.解:(1)由f(x)≤1,可得|2x+1|≤1,即-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0,所以原不等式的解集為[-1,0].(2)對隨意的x∈R,f(x2)≥a|x|恒成立,即對隨意的x∈R,2x2+1≥a|x|恒成立.當x=0時,a∈R;當x≠0時,a≤2x2+1|x因為2|x|+1|x|≥22,當且僅當2|x|=1|x|所以a≤22.綜上可得a≤22,即實數a的最大值為22.2.解:(1)由已知得f(x)=x當x≥12時,由x-3>0,得x>3;當-2<x<12時,由-3x-1>0,得-2<x<-13;當x≤-2時,由-x+3>0時,得x≤綜上可得,不等式f(x)>0的解集為-∞,-13∪(3,+∞).(2)依題意得,|2m+1|≥[f(x+3)+3|x+5|]min.令g(x)=f(x+3)+3|x+5|=|2x+5|+|2x+10|≥|-2x-5+2x+10|=5,∴|2m+1|≥5,解得m≥2或m≤-3,即實數m的取值范圍是(-∞,-3]∪[2,+∞).3.解:(1)當a=1時,f(x)>1可化為|x+1|-2|x-1|-1>0①.當x≤-1時,不等式①化為x-4>0,無解;當-1<x<1時,不等式①化為3x-2>0,解得23<x<1當x≥1時,不等式①化為-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集為x23<x<2.(2)由題設可得,f(x)=x所以函數f(x)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點分別為A2a-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面積為23(a+1由題設得23(a+1)2>6,故a>2所以a的取值范圍為(2,+∞).4.解:(1)函數f(x)=|2x-1|-3|x+1|=|2x-1|-|2x+2|-|x+1|≤|2x-1-2x-2|-|-1+1|=3,當x=-1時,f(x)取得最大值3,即M=3.(2)證明:由(1)知正實數a,b滿意1a3+1b3故a4b+ab4=ab(a3+b3)=131a3+1b3(a3+b3)=131+1+a3b3+b3a3≥132+2a3故a4b+ab4≥435.解:(1)f(1)+f(-1)=|1-a|-|1+a|>1.若a≤-1,則1-a+1+a>1,得2>1,即a≤-1時不等式恒成立;若-1<a<1,則1-a-(1+a)>1,得a<-12,即-1<a<-1若a≥1,則-(1-a)-(1+a)>1,得-2>1,此時不等式無解.綜上所述,a的取值范圍是-∞,-12.(2)由題意知,要使不等式恒成立,則[f(x)]max≤y+54+|y-a|min.當x∈(-∞,a]時,f(x)=-x2+ax,[f(x)]max=fa2=a24因為y+54+|y-a|≥a+54,所以當y∈-54,a時,y+54+|y-a|min=a+54=a+54,于是a24≤a+54,解得-1≤a又a>0,所以a的取值范圍是(0,5].6.證明:(1)∵a,b,c為正實數,且滿意a+b+c=1,∴b+c-1=-a<0,∴a-12+|b+c-1|=a-12+|-a|≥a-12+(-a)=12,當且僅當a-12(-a)≥0,即0<a≤12時,等號成立,∴a-12+|b+c-1|≥12.(2)(a3+b3+c3)1a2+1b2+1c2≥3abc1a2=3bca+3