2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章平面向量初步6.1.1向量的概念課時素養(yǎng)評價含解析新人教B版必修第二冊

PAGE向量的概念(15分鐘30分)1.(2024·眉山高一檢測)已知a為單位向量,下列說法正確的是 ()A.a的長度為一個單位B.a與0不平行C.a的方向為x軸正方向D.a的方向為y軸正方向【解析】選A.因為已知a為單位向量,所以a的長度為一個單位,故A正確;因為a與0平行,故B錯誤;由于a的方向是隨意的,故C,D錯誤.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列說法正確的是 ()A.有向線段與表示同一向量B.兩個有公共終點(diǎn)的向量是平行向量C.零向量與單位向量是平行向量D.對隨意向量a,QUOTE是一個單位向量【解析】選C.向量與方向相反,不是同一向量,A說法錯誤;有公共終點(diǎn)的向量的方向不肯定相同或相反,B說法錯誤;當(dāng)a=0時,QUOTE無意義,D說法錯誤;零向量與任何向量都是平行向量,C說法正確.2.(2024·綿陽高一檢測)下列命題中正確的是 ()A.QUOTE=QUOTE?a=bB.QUOTE>QUOTE?a>bC.a=b?a∥bD.單位向量都相等【解析】選C.對于選項A,模長相等的向量不肯定是相等的向量,所以錯誤.對于B,由于向量不能比較大小,所以錯誤.對于選項C,由于向量相等,則可以知道它們必定共線,成立,對于D,由于單位向量方向不肯定相同,所以錯誤.3.在四邊形ABCD中,若∥,則四邊形ABCD是 ()A.平行四邊形 B.梯形C.菱形 D.平行四邊形或梯形【解析】選D.因為在四邊形ABCD中,∥,且與的大小未知,所以四邊形ABCD是平行四邊形或梯形.4.如圖,四邊形ABCD是菱形,則在向量,,,,和中,相等的有________對.

【解析】=,=.其余不等.答案:2【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知在邊長為2的菱形ABCD中,∠ABC=60°,則||=________.

【解析】易知AC⊥BD,且∠ABD=30°,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,則AO=QUOTEAB=1.在Rt△ABO中,易得||=QUOTE,則||=2||=2QUOTE.答案:2QUOTE5.如圖,D,E,F分別是正三角形ABC各邊的中點(diǎn).(1)寫出圖中所示向量與向量長度相等的向量.(2)寫出圖中所示向量與向量相等的向量.(3)分別寫出圖中所示向量與向量,共線的向量.【解析】(1)與長度相等的向量是,,,,,,,.(2)與相等的向量是,.(3)與共線的向量是,,;與共線的向量是,,.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)W是由一平面內(nèi)的n(n≥3)個向量組成的集合.若a∈W,且a的模不小于W中除a外的全部向量和的模,則稱a是W的極大向量.有下列命題:①若W中每個向量的方向都相同,則W中必存在一個極大向量;②給定平面內(nèi)兩個不共線向量a,b,在該平面內(nèi)總存在唯一的平面對量c=-a-b,使得W={a,b,c}中的每個元素都是極大向量;③若W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每個元素都是極大向量,且W1,W2中無公共元素,則W1∪W2中的每一個元素也都是極大向量.其中真命題的序號是________.

【解析】①若有幾個方向相同,模相等的向量,則無極大向量,故不正確;②由題意得a,b,c圍成閉合三角形,則隨意向量的模等于除它本身外全部向量和的模,故正確;③3個向量都是極大向量,等價于3個向量之和為0,故W1={a1,a2,a3},W2={b1,b2,b3}中的每個元素都是極大向量時,W1∪W2中的每一個元素也都是極大向量,故正確.答案:②③(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對的得3分,有選錯的得0分)1.在同一平面上,把平行于某始終線的一切向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是 ()A.一條線段 B.一條直線C.圓上一群孤立的點(diǎn) D.一個半徑為1的圓【解析】選B.由于向量的起點(diǎn)確定,而向量平行于同始終線,所以隨著向量模長的改變,向量的終點(diǎn)構(gòu)成的是一條直線.2.已知D為平行四邊形ABPC兩條對角線的交點(diǎn),則的值為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.2【解析】選C.因為四邊形ABPC是平行四邊形,D為對角線BC與AP的交點(diǎn),所以D為PA的中點(diǎn),所以的值為1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】假如在一個邊長為5的正△ABC中,一個向量所對應(yīng)的有向線段為(其中D在邊BC上運(yùn)動),則向量長度的最小值為________.

【解析】依據(jù)題意,在正△ABC中,有向線段AD長度最小時,AD應(yīng)與邊BC垂直,有向線段AD長度的最小值為正△ABC的高,為QUOTE.答案:QUOTE3.如圖在等腰梯形ABCD中.①與是共線向量.②=.③>.以上結(jié)論中正確的個數(shù)是 ()A.0B.1C.2D.3【解析】選A.①因為與的方向不相同,也不相反,所以與不共線,即①不正確;②由①可知不正確;③因為兩個向量不能比較大小,所以③不正確.【誤區(qū)警示】本題易錯之處在于③的推斷,忽視向量是不能夠進(jìn)行大小比較的.4.(多選題)下列說法不正確的是 ()A.數(shù)量可以比較大小,向量也可以比較大小B.方向不同的向量不能比較大小,但同向的可以比較大小C.向量的大小與方向有關(guān)D.向量的模可以比較大小【解析】選ABC.向量之間不能比較大小,但向量的?？梢员容^大小,向量的大小與方向無關(guān).故只有選項D說法正確.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(多選題)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,則以下說法正確的是 ()A.與相等的向量只有一個(不含)B.與的模相等的向量有4個(不含)C.的模為模的QUOTE倍D.與不共線【解析】選AC.A項,由相等向量的定義知,與相等的向量只有,故A正確;B項,因為AB=BC=CD=DA=AC,所以與的模相等的向量除外有9個,故B錯誤;C項,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,則DO=QUOTEDA,所以BD=QUOTEDA,故C項正確;D項,因為四邊形ABCD是菱形,所以與共線,故D項錯誤.【光速解題】選AC.從簡單推斷的選項入手,如D選項明顯錯誤,其次A選項正確,再次B選項中的向量始點(diǎn)和終點(diǎn)互換后為不同的向量,故錯誤,依據(jù)多選題的特點(diǎn)易得AC正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.若向量a與隨意向量b都平行,則a=________;若|a|=1,則向量a是________.

【解析】由于只有零向量與隨意向量平行,故a=0;由于QUOTE=1,即向量a的長度為1,所以向量a是單位向量.答案:0單位向量【補(bǔ)償訓(xùn)練】給出下列四個條件:①a=b;②|a|=|b|;③a與b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的條件是________(填序號).

【解析】若a=b,則a與b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,則a與b的大小相等,而方向不確定,因此不肯定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a與b方向相反,則有a∥b;零向量與隨意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,則a∥b.答案:①③④6.(2024·福州高一檢測)有下列說法:①若a≠b,則a肯定不與b共線;②若=,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個頂點(diǎn);③在?ABCD中,肯定有=;④共線向量是在一條直線上的向量.其中,正確的說法是________.

【解析】①,兩個向量不相等,可能是長度不相等,方向相同或相反,所以a與b有共線的可能,故①不正確;②,A,B,C,D四點(diǎn)可能在同一條直線上,故②不正確;③,在平行四邊形ABCD中,||=||,與平行且方向相同,所以=,故③正確;④,共線向量可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線相互平行的向量,故④不正確.答案:③三、解答題7.(10分)設(shè)在平面內(nèi)給定一個四邊形ABCD,E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),求證:=.【證明】如圖所示,連接AC.在△ABC中,由三角形中位線定理知,EF=QUOTEAC,EF∥AC,同理HG=QUOTEAC,HG