（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）題型07 3類導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題解題技巧（端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）、函數(shù)的凹凸性、洛必達(dá)法則）（含答案及解析）

題型073類導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題解題技巧（端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）、函數(shù)的凹凸性、洛必達(dá)法則）技法01技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧技法02函數(shù)凹凸性解題技巧技法03洛必達(dá)法則解題技巧技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問(wèn)題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見(jiàn)的方法有:導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問(wèn)題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見(jiàn)的方法有:①分離參數(shù)（全分離或半分離）＋函數(shù)最值;②直接（或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化）求導(dǎo)＋分類討論.但以上兩種方法都有缺陷，首先對(duì)于方法①可能會(huì)出現(xiàn)參數(shù)分離困難或是無(wú)法分離，抑或函數(shù)最值點(diǎn)無(wú)法取到，即無(wú)定義，這時(shí)就需要用到超綱的方法：洛必達(dá)法則。其次，對(duì)于方法②直接分類討論可能會(huì)出現(xiàn)在某些區(qū)間無(wú)法討論下去，或是無(wú)法排除原問(wèn)題在該區(qū)間是否恒成立，即討論界點(diǎn)不明?；谝陨蟽牲c(diǎn)，我們今天這講就來(lái)解決這兩個(gè)不足之處，基本對(duì)策就是先必要后充分的思想。該思想就是當(dāng)參變分離較為困難、帶參討論界點(diǎn)不明時(shí)，含參不等式問(wèn)題還可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些關(guān)鍵點(diǎn)（區(qū)間端點(diǎn)，可使不等式部分等于零的特殊值等），將關(guān)鍵點(diǎn)代入不等式解出參數(shù)的范圍，獲得結(jié)論成立的必要條件，再論證充分性，從而解決問(wèn)題.知識(shí)遷移端點(diǎn)效應(yīng)的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問(wèn)上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問(wèn)上,恒成立,且(或,則或.例1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【法一】端點(diǎn)效應(yīng)一令，得，且在上恒成立畫(huà)出草圖根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng),需要滿足，而則,令,得當(dāng)時(shí),由于,只需證即可，而含有參數(shù),故可對(duì)進(jìn)行放縮即令,其中，設(shè)，則令，則,故在上遞減,得則,得在上單調(diào)遞增,則，即,滿足成立當(dāng)時(shí)，，故存在,使得在上,所以在上單調(diào)遞增,則,不成立，特上所述:.【法二】【法三】見(jiàn)解析版1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．技法02函數(shù)凹凸性解題技巧函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來(lái),以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見(jiàn)不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒(méi)有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來(lái),以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見(jiàn)不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒(méi)有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.知識(shí)遷移凹函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.凸函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.例2-1．在中,求的最大值.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù),則即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),取等號(hào).上述例題是三角形中一個(gè)重要的不等式:在中,例2-2（2021·黑龍江模擬）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．因?yàn)?，所以，，因?yàn)樵谏蠟椤巴购瘮?shù)”，所以對(duì)于恒成立，可得對(duì)于恒成立，令，則，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以，所以，【答案】C1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.3．（陜西·高考真題）已知函數(shù).(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)k的值;(2)設(shè)x>0,討論曲線y＝f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)設(shè)a<b,比較與的大小,并說(shuō)明理由.技法03洛必達(dá)法則解題技巧洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.知識(shí)遷移洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)法則,這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用,應(yīng)從另外途徑求極限。4.若條件符合,洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用,直到求出極限為止。,如滿足條件,可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。例3．（全國(guó)高考）已知恒成立,求的取值范圍解:記,則則所以,在單調(diào)遞增,且所以時(shí),時(shí),即在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增所以所以分析上式中求用了洛必達(dá)法則當(dāng)時(shí),分子,分母,符合不定形式,所以1．（全國(guó)高考）恒成立,求的取值范圍2．（天津高考）恒成立,求的取值范圍3．（2023·江蘇模擬）已知函數(shù)（I）求證（II）若取值范圍.

題型073類導(dǎo)數(shù)綜合問(wèn)題解題技巧（端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）、函數(shù)的凹凸性、洛必達(dá)法則）技法01技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧技法02函數(shù)凹凸性解題技巧技法03洛必達(dá)法則解題技巧技法01端點(diǎn)效應(yīng)（必要性探索）解題技巧導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問(wèn)題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見(jiàn)的方法有:導(dǎo)數(shù)壓軸中我們經(jīng)常遇到恒成立問(wèn)題，含有參數(shù)的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，是熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型，方法靈活多樣，常見(jiàn)的方法有:①分離參數(shù)（全分離或半分離）＋函數(shù)最值;②直接（或移項(xiàng)轉(zhuǎn)化）求導(dǎo)＋分類討論.但以上兩種方法都有缺陷，首先對(duì)于方法①可能會(huì)出現(xiàn)參數(shù)分離困難或是無(wú)法分離，抑或函數(shù)最值點(diǎn)無(wú)法取到，即無(wú)定義，這時(shí)就需要用到超綱的方法：洛必達(dá)法則。其次，對(duì)于方法②直接分類討論可能會(huì)出現(xiàn)在某些區(qū)間無(wú)法討論下去，或是無(wú)法排除原問(wèn)題在該區(qū)間是否恒成立，即討論界點(diǎn)不明?；谝陨蟽牲c(diǎn)，我們今天這講就來(lái)解決這兩個(gè)不足之處，基本對(duì)策就是先必要后充分的思想。該思想就是當(dāng)參變分離較為困難、帶參討論界點(diǎn)不明時(shí)，含參不等式問(wèn)題還可以采用先必要、后充分的做法，即先抓住一些關(guān)鍵點(diǎn)（區(qū)間端點(diǎn)，可使不等式部分等于零的特殊值等），將關(guān)鍵點(diǎn)代入不等式解出參數(shù)的范圍，獲得結(jié)論成立的必要條件，再論證充分性，從而解決問(wèn)題.知識(shí)遷移端點(diǎn)效應(yīng)的類型1.如果函數(shù)在區(qū)間上,恒成立,則或.2.如果函數(shù)在區(qū)問(wèn)上,恒成立,且(或),則或.3.如果函數(shù)在區(qū)問(wèn)上,恒成立,且(或,則或.例1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【法一】端點(diǎn)效應(yīng)一令，得，且在上恒成立畫(huà)出草圖根據(jù)端點(diǎn)效應(yīng),需要滿足，而則,令,得當(dāng)時(shí),由于,只需證即可而含有參數(shù),故可對(duì)進(jìn)行放縮即令,其中設(shè)則令則,故在上遞減,得則,得在上單調(diào)遞增,則即,滿足成立當(dāng)時(shí)，故存在,使得在上,所以在上單調(diào)遞增,則,不成立特上所述:.【法二】端點(diǎn)效應(yīng)二(2)由于,且,注意到當(dāng),即時(shí),使在成立,故此時(shí)單調(diào)遞減,不成立.另一方面,當(dāng)時(shí),,下證它小于等于0.單調(diào)遞減,.特上所述:.【法三】設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)在上單調(diào)遞減(2)【分析】（1）代入后，再對(duì)求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡(jiǎn)，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；法二：先化簡(jiǎn)并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識(shí)判斷得時(shí)不滿足題意，從而得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)椋?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.法二：因?yàn)?，因?yàn)椋?，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題方法二第2小問(wèn)討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個(gè)區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.2．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對(duì)函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時(shí)，恒成立．只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時(shí)，恒成立，記，，①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時(shí)，成立；③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，所以時(shí)，滿足題意.綜上，.【整體點(diǎn)評(píng)】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢(shì)在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險(xiǎn)性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見(jiàn)解析【分析】（1）求出，討論其符號(hào)后可得的單調(diào)性.（2）設(shè)，求出，先討論時(shí)題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號(hào)，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.（3）由（2）可得對(duì)任意的恒成立，從而可得對(duì)任意的恒成立，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問(wèn)題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的符號(hào)合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.技法02函數(shù)凹凸性解題技巧函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來(lái),以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見(jiàn)不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒(méi)有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.函數(shù)凹凸性是函數(shù)的一種特殊特征,近年來(lái),以函數(shù)凹凸性為背景的題目屢見(jiàn)不鮮,這些試題情景新穎,能考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù)學(xué)素質(zhì),常作為壓軸題出現(xiàn).雖然在高中課本中沒(méi)有這方面的內(nèi)容,但高中教師若能多了解一些函數(shù)凹凸性的相關(guān)理論知識(shí),可以“登高望遠(yuǎn)”,便于找到問(wèn)題的本質(zhì)內(nèi)涵,確定解題方向,尋找簡(jiǎn)捷的解題途徑.知識(shí)遷移凹函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.凸函數(shù)：對(duì)于某區(qū)間內(nèi),都有.例2-1．在中,求的最大值.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是上凸函數(shù),則即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),取等號(hào).上述例題是三角形中一個(gè)重要的不等式:在中,例2-2（2021·黑龍江模擬）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)在上為“凸函數(shù)”．已知在上為“凸函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．因?yàn)?，所以，，因?yàn)樵谏蠟椤巴购瘮?shù)”，所以對(duì)于恒成立，可得對(duì)于恒成立，令，則，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞增，所以，所以，【答案】C1．（全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).（Ⅰ）求a的取值范圍；（Ⅱ）設(shè)x1，x2是的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析【詳解】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來(lái)確定（主要要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來(lái)分類）；（Ⅱ）借助（Ⅰ）的結(jié)論來(lái)證明，由單調(diào)性可知等價(jià)于，即．設(shè)，則．則當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．試題解析：（Ⅰ）．（Ⅰ）設(shè)，則，只有一個(gè)零點(diǎn)．（Ⅱ）設(shè)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，取滿足且，則，故存在兩個(gè)零點(diǎn)．（Ⅲ）設(shè)，由得或．若，則，故當(dāng)時(shí)，，因此在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若，則，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因此在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí)，，所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為．（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，，在單調(diào)遞減，所以等價(jià)于，即．由于，而，所以．設(shè)，則．所以當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，．從而，故．【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】對(duì)于含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性、極值、零點(diǎn)問(wèn)題,通常要根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論,要注意分類討論的原則：互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn).解決函數(shù)不等式的證明問(wèn)題的思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值破解.2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】(1)首先確定函數(shù)的定義域，然后求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可確定原函數(shù)的單調(diào)性.(2)方法二：將題中的等式進(jìn)行恒等變換，令，命題轉(zhuǎn)換為證明：，然后構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的特征和函數(shù)的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)椋孕枳C．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)椋?，即．因?yàn)椋?，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：等價(jià)轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常見(jiàn)方法，其中利用的對(duì)稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問(wèn)題必備的知識(shí)和技能.方法二：等價(jià)轉(zhuǎn)化是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)是最基本的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問(wèn)題化為單變量問(wèn)題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.3．（陜西·高考真題）已知函數(shù).(1)若直線y＝kx＋1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)k的值;(2)設(shè)x>0,討論曲線y＝f(x)與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).(3)設(shè)a<b,比較與的大小,并說(shuō)明理由.【答案】(1)（2）當(dāng)時(shí)兩曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)兩曲線有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)兩曲線沒(méi)有交點(diǎn)(3)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）設(shè)切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組可得答案；（2），轉(zhuǎn)化為與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題；（3）作差得到，令，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)即可得到答案.【詳解】函數(shù)(1)函數(shù)，的反函數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為則，.

（2）令即，設(shè)有，當(dāng)，，當(dāng)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時(shí)，兩曲線有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩曲線有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，兩曲線沒(méi)有交點(diǎn).（3），令上式令，則恒成立，，而，，故【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、參數(shù)等問(wèn)題，屬于難題.第二問(wèn)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題，能夠比較清晰的分類，做到不吃不漏.最后一問(wèn),考查函數(shù)的凹凸性，富有明顯的幾何意義,為考生探索結(jié)論提供了明確的方向,對(duì)代數(shù)手段的解決起到導(dǎo)航作用.技法03洛必達(dá)法則解題技巧洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.洛必達(dá)法則只是一個(gè)求極限的工具，是在一定條件下通過(guò)對(duì)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式極限值的方法。詳細(xì)的洛必達(dá)法則應(yīng)用是大學(xué)高等數(shù)學(xué)中才介紹，這里用高中生最能看懂的方式說(shuō)明，能備考使用即可.知識(shí)遷移洛必達(dá)法則：法則1若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型

法則2若函數(shù)f(x)和g(x)滿足下列條件：(1)及；

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f(x)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)≠0；

(3)，那么=。型注意：1.將上面公式中的換成洛必達(dá)法則也成立。2.洛必達(dá)法則可處理型。3.在著手求極限前,首先要檢查是否滿足,型定式,否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)。當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí),就不能用洛必達(dá)