（圓夢高考數(shù)學(xué)）專題6.2 數(shù)量積及最值（范圍）問題（含答案及解析）

專題6.2數(shù)量積及最值（范圍）問題題型一求數(shù)量積題型二求兩個向量的夾角題型三求投影向量題型四垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用題型五向量的模題型六數(shù)量積的最值、范圍問題（基底法）題型七數(shù)量積的最值、范圍問題（坐標(biāo)法）題型八數(shù)量積的最值、范圍問題（數(shù)形結(jié)合法）題型一 求數(shù)量積例1．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，，（），則（

）A．5 B． C． D．例2．（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量，滿足，則_______．練習(xí)1．（2023·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學(xué)?？既＃┮阎蛄?，則______．練習(xí)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）矩形中．，．若點，滿足，，則（

）A．20 B．15 C．9 D．6練習(xí)3．（2023春·山西大同·高二?？茧A段練習(xí)）已知是的外心，，，則（

）A．10 B．9 C．8 D．6練習(xí)4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知菱形中，，則__________.練習(xí)5．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）在中，，，，，求_________.題型二 求兩個向量的夾角例3．（2023春·廣東深圳·高一深圳市建文外國語學(xué)校?？计谥校┮阎矫嫦蛄壳?1)求向量與向量的坐標(biāo)；(2)若向量，求向量與向量的夾角例4．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，是單位向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．練習(xí)6．（2023春·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，.(1)若與垂直，求實數(shù)的值；(2)求的值.練習(xí)7．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知向量，則與夾角的大小為_____________．練習(xí)8．（2023春·天津武清·高三天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，，與的夾角為，求使向量與的夾角是銳角，則的取值范圍___________.練習(xí)9．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知單位向量，滿足，則，夾角的余弦值為__________.練習(xí)10．（2023春·浙江溫州·高三樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，.(1)求；(2)若，且，與的夾角為，求x，y的值.題型三 求投影向量例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則向量在向量上的投影向量為___________.例6．（2023春·江蘇泰州·高一江蘇省口岸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量的模為（

）A．2 B． C．1 D．練習(xí)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則在上的投影向量______.練習(xí)12．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若向量，滿足，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．練習(xí)13．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．練習(xí)14．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．練習(xí)15．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點是邊上靠近的三等分點，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9題型四 垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用例7．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，且，則_____．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）非零向量，，若，則______.練習(xí)16．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）平面向量，若，且，則（

）A．2 B．-2 C．4 D．-4練習(xí)17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.練習(xí)18．（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)校考期中）點，點，點在坐標(biāo)軸上，且為直角，這樣的點有______個．練習(xí)19．（2023春·湖北武漢·高三武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？计谥校┰谥?，若非零向量與滿足，，則為（

）A．三邊均不相等的三角形 B．等腰直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．等邊三角形練習(xí)20．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，．(1)求；(2)已知，且，求向量與向量的夾角．題型五 向量的模例9．（江西省2023屆高三高考適應(yīng)性大練兵聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知單位向量，滿足，則__________．例10．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．5練習(xí)21．（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學(xué)?？计谥校┤舴橇阆蛄繚M足，則夾角的余弦值為________．練習(xí)22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，若，則__________.練習(xí)23．（2023·北京·人大附中?？既＃┮阎蛄?，與共線，則=（

）A．6 B．20 C． D．5練習(xí)24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量是非零向量，λ、，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件練習(xí)25．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐標(biāo)為__________．題型六 數(shù)量積的最值、范圍問題（基底法）例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，，，，為的中點，在平面中，將線段繞點旋轉(zhuǎn)得到線段．設(shè)為線段上的點，則的最小值為______．例12．（2023春·遼寧朝陽·高三朝陽市第一高級中學(xué)?？计谥校┰谥校?，，，為的三等分點（靠近點）．(1)求的值；(2)若點滿足，求的最小值，并求此時的．練習(xí)26．（2023春·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點．若為線段上的一點，且，則__________，的最小值為___________.練習(xí)27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點，則______.練習(xí)28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點，且，．若點N在線段CD（端點除外）上運動，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．練習(xí)29．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知直角梯形是邊上的一點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．練習(xí)30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.題型七 數(shù)量積的最值、范圍問題（坐標(biāo)法）例13．（2023春·天津武清·高三天津英華國際學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知中，，，，點為邊上的動點，則的最小值為_________.例14．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）在平面四邊形中，，，向量在向量上的投影向量為，則________；若，點為線段上的動點，則的最小值為________．練習(xí)31．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖．在直角梯形中．，點P是腰上的動點，則的最小值為____________．練習(xí)32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山市紅星中學(xué)?？计谥校┰诰匦蜛BCD中，，，動點P在以點A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．2練習(xí)33．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為__________.練習(xí)35．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谥校┮阎呅蔚倪呴L為4，P為正六邊形所在平面內(nèi)一點，則的最小值為____________．題型八 數(shù)量積的最值、范圍問題（數(shù)形結(jié)合法）例15．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高三景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎矫嫦蛄?，，滿足，，，且，則的最大值為________．例16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)x、，若向量，，滿足，，，且向量與互相平行，則的最小值為______．練習(xí)32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山市紅星中學(xué)?？计谥校┰诰匦蜛BCD中，，，動點P在以點A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．2練習(xí)33．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為__________.練習(xí)35．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谥校┮阎呅蔚倪呴L為4，P為正六邊形所在平面內(nèi)一點，則的最小值為____________．練習(xí)36．（2022秋·湖北荊門·高二荊門市龍泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．練習(xí)37．（2023春·北京海淀·高三清華附中?？茧A段練習(xí)）已知是平面向量，其中是單位向量．若非零向量與的夾角是，向量滿足，則的最小值是（

）A． B． C．2 D．練習(xí)38．（2022秋·江西吉安·高三吉安一中?？计谥校┮阎矫嫦蛄?，，，，滿足，，，若，則的取值范圍是________．練習(xí)39．（2023春·北京·高三北京市第一六六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量滿足，則的最大值是（

）A． B．C． D．練習(xí)40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知平面向量，且，則的最大值是_______；最小值是________．

專題6.2數(shù)量積及最值（范圍）問題題型一求數(shù)量積題型二求兩個向量的夾角題型三求投影向量題型四垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用題型五向量的模題型六數(shù)量積的最值、范圍問題（基底法）題型七數(shù)量積的最值、范圍問題（坐標(biāo)法）題型八數(shù)量積的最值、范圍問題（數(shù)形結(jié)合法）題型一 求數(shù)量積例1．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知向量，，（），則（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)表示，即可求得答案.【詳解】由題意向量，，可得，故，故選：B例2．（2023春·遼寧朝陽·高二校聯(lián)考期中）已知單位向量，滿足，則_______．【答案】/【分析】根據(jù)向量的運算法則和數(shù)量積的運算公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.【詳解】因為，所以．故答案為：.練習(xí)1．（2023·廣西南寧·武鳴縣武鳴中學(xué)校考三模）已知向量，則______．【答案】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則計算可得.【詳解】因為，，所以．故答案為：．練習(xí)2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）矩形中．，．若點，滿足，，則（

）A．20 B．15 C．9 D．6【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】四邊形為矩形，建立如圖所示，平面直角坐標(biāo)系，，，，，，．故選：C．練習(xí)3．（2023春·山西大同·高二?？茧A段練習(xí)）已知是的外心，，，則（

）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】A【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義以及數(shù)量積運算律，即可求得答案.【詳解】如圖，O為的外心，設(shè)為的中點，則,故,故選：A練習(xí)4．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知菱形中，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設(shè)與交于，則且是線段的中點，，由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，.故答案為：練習(xí)5．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）在中，，，，，求_________.【答案】/0.75【分析】根據(jù)已知條件得出,,化簡應(yīng)用數(shù)量積公式計算求解即得.【詳解】，，，,,.故答案為：題型二 求兩個向量的夾角例3．（2023春·廣東深圳·高一深圳市建文外國語學(xué)校?？计谥校┮阎矫嫦蛄壳?1)求向量與向量的坐標(biāo)；(2)若向量，求向量與向量的夾角【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量平行和垂直的性質(zhì)，求解，可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【詳解】（1），，解得，，，解得，，；（2）由（1）可得，,,,，,,,，設(shè)向量，的夾角為，則，,，，故向量，的夾角為．例4．（2023·江西·江西省豐城中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，是單位向量，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，得，從而可求得，再根據(jù)即可得解.【詳解】由，得，即，所以，則，，則，又，所以，即向量與的夾角為.故選：D.練習(xí)6．（2023春·北京懷柔·高三北京市懷柔區(qū)第一中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，.(1)若與垂直，求實數(shù)的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）確定，再根據(jù)向量垂直解得答案.（2）直接根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.【詳解】（1），且與垂直，故，解得.（2）.練習(xí)7．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考二模）已知向量，則與夾角的大小為_____________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義計算即可求解.【詳解】由，得，由，得，即，得，所以，又，所以，即與的夾角為.故答案為：.練習(xí)8．（2023春·天津武清·高三天津英華國際學(xué)校校考階段練習(xí)）已知，，與的夾角為，求使向量與的夾角是銳角，則的取值范圍___________.【答案】【分析】兩向量夾角為銳角，則其數(shù)量積大于零，且這兩個向量不共線，由此計算即可.【詳解】∵向量與的夾角是銳角，∴且向量與向量不共線，由得，∴，∴，即，解得或，若向量與向量共線，則，無解，∴向量與向量不共線，∴實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.練習(xí)9．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知單位向量，滿足，則，夾角的余弦值為__________.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示，結(jié)合數(shù)量積運算律求出，即可求出夾角的余弦值.【詳解】單位向量，滿足，則，因此，所以，夾角的余弦值為.故答案為：練習(xí)10．（2023春·浙江溫州·高三樂清市知臨中學(xué)?？计谥校┰O(shè)，.(1)求；(2)若，且，與的夾角為，求x，y的值.【答案】(1)(2)，或，【分析】（1）根據(jù)向量夾角得坐標(biāo)表示計算即可；（2）由模的向量坐標(biāo)運算及夾角的向量坐標(biāo)運算聯(lián)立方程即可求解.【詳解】（1）由，，得，，，則，又，所以；（2）因為，，所以，又，所以，又，即，由，解得或，∴，或，.題型三 求投影向量例5．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，則向量在向量上的投影向量為___________.【答案】/【分析】設(shè)之間的夾角為，利用題意得到，，然后用投影向量公式進行求解即可【詳解】設(shè)之間的夾角為，，又，又，所以向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：.例6．（2023春·江蘇泰州·高一江蘇省口岸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知向量，，則在上的投影向量的模為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】求出在上的投影向量的坐標(biāo)，從而求出投影向量的模．【詳解】∵，，∴，，∴在上的投影向量為，則在上的投影向量的模為．故選：C．練習(xí)11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，滿足，，則在上的投影向量______.【答案】【分析】根據(jù)在上的投影向量即可求解.【詳解】設(shè)與的夾角為，在上的投影向量.故答案為：.練習(xí)12．（2023·湖南長沙·長郡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）若向量，滿足，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的數(shù)量積公式求得向量夾角的余弦值，再代入投影向量公式即可求得向量在向量上的投影向量.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，則在上的投影向量為．故選：B．練習(xí)13．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量定義可得答案.【詳解】由己知條件得：，又在方向上的投影向量為.故選：D.練習(xí)14．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求在上的投影向量.【詳解】在上的投影向量為，，所以，在上的投影向量為.故選：B練習(xí)15．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點是邊上靠近的三等分點，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)投影向量的公式結(jié)合題干條件得到，然后利用向量的運算將用表示，然后用向量的數(shù)量積進行運算.【詳解】

根據(jù)投影向量的計算公式，向量在向量上的投影向量為，由題意，，于是，即.又，∴．故選：C題型四 垂直關(guān)系的判斷及應(yīng)用例7．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，滿足，，且，則_____．【答案】/0.5【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）非零向量，，若，則______.【答案】/-0.5【分析】由得，從而求得的值.【詳解】因為，所以，由題易知，，所以.故答案為：練習(xí)16．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）平面向量，若，且，則（

）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得m，然后結(jié)合可得.【詳解】∵，，∴，解得或，又∵，∴.故選：D.練習(xí)17．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量，，，其中，為單位向量，且，若______，則.注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形.【答案】1（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量垂直時數(shù)量積的表示方法，運用坐標(biāo)運算求解.【詳解】因為是相互垂直的單位向量，不妨設(shè)，即，，即，即向量的端點在圓心為，半徑為的圓周上，故可以取，即；故答案為：1.練習(xí)18．（2023春·上海徐匯·高二上海中學(xué)?？计谥校c，點，點在坐標(biāo)軸上，且為直角，這樣的點有______個．【答案】4【分析】分情況討論，設(shè)出軸上點坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積為0建立方程，由判別式確定解得個數(shù)即可.【詳解】若P在x軸上，可設(shè)，則，由為直角可得，即，，故有兩解；當(dāng)P在y軸上，可設(shè)，則，由為直角可得，即，，故兩解.綜上，四個解且無重合點，可知符合條件的點有4個，故答案為：4練習(xí)19．（2023春·湖北武漢·高三武漢外國語學(xué)校（武漢實驗外國語學(xué)校）?？计谥校┰谥?，若非零向量與滿足，，則為（

）A．三邊均不相等的三角形 B．等腰直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用向量減法及數(shù)量積的運算律，結(jié)合導(dǎo)出，再判斷三角形形狀作答.【詳解】由，得，于是，則，所以是等腰直角三角形，B正確，ACD錯誤.故選：B練習(xí)20．（2023春·山東淄博·高三山東省淄博實驗中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，．(1)求；(2)已知，且，求向量與向量的夾角．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量的坐標(biāo)表示，再借助坐標(biāo)計算向量的模作答.（2）由向量的模，結(jié)合向量的數(shù)量積運算律轉(zhuǎn)化求出向量的數(shù)量積，再求出夾角作答.【詳解】（1）向量，，則，所以.（2）由，，得，解得，由，得，于是，而，則有，所以向量與向量的夾角.題型五 向量的模例9．（江西省2023屆高三高考適應(yīng)性大練兵聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題）已知單位向量，滿足，則__________．【答案】/【分析】將兩邊平方，根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得.【詳解】因為，為單位向量且滿足，所以，即，即，解得.故答案為：例10．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量滿足，則（

）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根據(jù)模長的坐標(biāo)運算可得，分析可得同向，進而可求結(jié)果.【詳解】因為，即，則同向，所以.故選：D.練習(xí)21．（2023春·山東淄博·高一山東省淄博實驗中學(xué)?？计谥校┤舴橇阆蛄繚M足，則夾角的余弦值為________．【答案】/【分析】利用給定等式，結(jié)合數(shù)量積的運算律求出的表達式，再利用向量夾角公式計算作答.【詳解】由，，得，則，因此，所以夾角的余弦值為.故答案為：練習(xí)22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量，若，則__________.【答案】【分析】由得，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得的值，進而求得.【詳解】根據(jù)題意，因為，所以，所以，所以，所以，此時，則.故答案為:.練習(xí)23．（2023·北京·人大附中校考三模）已知向量，與共線，則=（

）A．6 B．20 C． D．5【答案】C【分析】運用平面向量共線及向量的模的坐標(biāo)計算公式求解即可.【詳解】由題意知，又，所以，所以，所以，所以，所以.故選：C練習(xí)24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知向量是非零向量，λ、，則“”是“”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)得，兩邊平方化簡即可得即或，由此即可判斷．【詳解】若，則，兩邊平方可得，即，即，即或，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．練習(xí)25．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量，，，__________；在上的投影向量的坐標(biāo)為__________．【答案】/；.【分析】由條件結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示求，根據(jù)向量的模與數(shù)量積的關(guān)系由條件求，再由投影向量的定義求在上的投影向量的坐標(biāo).【詳解】因為，所以，由可得，所以，即所以，所以在上的投影向量為．故在上的投影向量的坐標(biāo)為.故答案為：；.題型六 數(shù)量積的最值、范圍問題（基底法）例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，，，，為的中點，在平面中，將線段繞點旋轉(zhuǎn)得到線段．設(shè)為線段上的點，則的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，，，利用向量的數(shù)量積運算即可求解.【詳解】連接MD，則，，所以，由于為等腰直角三角形，為線段上的點，所以因此，所以，即的最小值為.故答案為：.例12．（2023春·遼寧朝陽·高三朝陽市第一高級中學(xué)校考期中）在中，，，，為的三等分點（靠近點）．(1)求的值；(2)若點滿足，求的最小值，并求此時的．【答案】(1)(2)【分析】（1）將化為和表示，利用和的長度和夾角計算可得結(jié)果；（2）用、表示，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)知識可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為為的三等分點（靠近點），所以，所以，所以.（2）因為，所以，因為，所以，所以當(dāng)時，取得最小值.練習(xí)26．（2023春·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知平行四邊形的面積為，，為線段的中點．若為線段上的一點，且，則__________，的最小值為___________.【答案】【分析】由平行四邊形的面積為，可得，由已知得，然后根據(jù)三點共線即可得，從而得出，得，然后利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因為平行四邊形的面積為，所以，得，如圖，連接，則,所以，因為三點共線，所以，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故答案為：，.練習(xí)27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點，則______.【答案】【分析】由三角形中線性質(zhì)可知，再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知，同理可得，再由數(shù)量積運算即可得解.【詳解】是BC中點，，M為的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，，同理可得，.故答案為：.練習(xí)28．（2023·天津津南·天津市咸水沽第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四邊形ABCD中，M為AB的中點，且，．若點N在線段CD（端點除外）上運動，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，求出的范圍，再利用向量線性運算及數(shù)量積運算律求解作答.【詳解】連接，如圖，點N在線段CD（端點除外）上運動，

因為，即是正三角形，于是，而M為AB的中點，且，所以.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及定長的線段兩端點為向量端點的向量數(shù)量積，取線段的中點，借助向量數(shù)量積的計算公式求解是關(guān)鍵.練習(xí)29．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）已知直角梯形是邊上的一點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】法一：設(shè)（），把與表示為與的線性關(guān)系，把表示成關(guān)于的解析式，求解出取值范圍；法二：建立坐標(biāo)系，寫出各點的坐標(biāo)，進而求出的范圍【詳解】法一：因為在上，不妨設(shè)，則（其中）所以，因為，所以法二：如圖，以點A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系.則，，，，其中∠ABC=45°，設(shè)點，其中，，∴∵∴故選：D.練習(xí)30．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在直角三角形中，在線段上，，則的最小值為___________.【答案】/【分析】由題可知，，，設(shè)，則，將模長和數(shù)量積代入由二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【詳解】由題可知，，，設(shè)，則則所以，當(dāng)時，的最小值為.故答案為：.題型七 數(shù)量積的最值、范圍問題（坐標(biāo)法）例13．（2023春·天津武清·高三天津英華國際學(xué)校校考階段練習(xí)）已知中，，，，點為邊上的動點，則的最小值為_________.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】過作，垂足為，以為原點，直線，分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，在中，，，∴，，，由題意，設(shè)，，則，，∴，∴當(dāng)時，的最小值為.故答案為：.例14．（2023·天津濱海新·統(tǒng)考三模）在平面四邊形中，，，向量在向量上的投影向量為，則________；若，點為線段上的動點，則的最小值為________．【答案】【分析】作出向量在向量上的投影向量，在直角三角形中求出；以點為坐標(biāo)原點，為軸建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出的最小值.【詳解】過點作垂直于點，則向量為向量在向量上的投影向量，由題意知點為線段的中點，所以，所以，又為銳角，故.以點為坐標(biāo)原點，為軸建系如圖，則，，.因為，所以.因為點為線段上的動點，所以設(shè)，故點.，.當(dāng)時，取到最小值.故答案為：；.

練習(xí)31．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如圖．在直角梯形中．，點P是腰上的動點，則的最小值為____________．【答案】4【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求出的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由在直角梯形中．，則，則以A為原點，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，設(shè)，則，故，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)即時取得等號，即的最小值為4，故答案為：4練習(xí)32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山市紅星中學(xué)?？计谥校┰诰匦蜛BCD中，，，動點P在以點A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令，，根據(jù)向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程組得，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系：，令，，由可得：，則且，所以當(dāng)時，的最大值為.故選：C練習(xí)33．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得，進而可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值為.故選：B.練習(xí)34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為__________.【答案】6【分析】以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a），寫出各點坐標(biāo)，結(jié)合向量加法以及模的坐標(biāo)運算，運用二次函數(shù)的知識即可求出最小值.【詳解】如圖，以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a），因為，所以，所以，所以，所以，所以當(dāng)，即時，的最小值為6.故答案為：6練習(xí)35．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）已知正六邊形的邊長為4，P為正六邊形所在平面內(nèi)一點，則的最小值為____________．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點坐標(biāo)，求得的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得的表達式，配方后即可求得答案.【詳解】如圖，以正六邊形的中心為坐標(biāo)原點，以為x軸，過點O作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)點，則,故，故當(dāng)，即P點坐標(biāo)為時，取到最小值為，故答案為：【點睛】方法點睛：建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運算，求得的表達式即可求解最值.八、未命題型八 數(shù)量積的最值、范圍問題（數(shù)形結(jié)合法）例15．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高三景德鎮(zhèn)一中?？计谥校┮阎矫嫦蛄?，，滿足，，，且，則的最大值為________．【答案】/【分析】設(shè)，由題意分析知，所求為的最大值，設(shè)，的中點，由可得，即點的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，求解即可.【詳解】設(shè)，因為，所以，所求為的最大值，當(dāng)在同一平面時，有最大值，如圖建系，不妨設(shè)，的中點，由條件可知，，，，由可知，，消參可得：，即點的軌跡方程為以為圓心，半徑為的圓，所以的最大值為，故的最大值為.故答案為：.例16．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）設(shè)x、，若向量，，滿足，，，且向量與互相平行，則的最小值為______．【答案】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示可得，在坐標(biāo)系中，，將按向量平移至，根據(jù)軌跡為直線，將問題化為最小，數(shù)形結(jié)合法求原點到直線距離即可得結(jié)果.【詳解】由，又向量與互相平行，所以，故，令，，則，所以，將按向量平移至，所以是直線上的動點，如下圖示，所以，故，由圖知：要使最小，只需三點共線且到直線距離最短，故最小值為原點到直線的距離，最小值為，此時題設(shè)中的x=2，y=1.故答案為：練習(xí)32．（2023春·安徽馬鞍山·高三馬鞍山市紅星中學(xué)?？计谥校┰诰匦蜛BCD中，，，動點P在以點A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．2【答案】C【分析】構(gòu)建直角坐標(biāo)系，令，，根據(jù)向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程組得，結(jié)合輔助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】構(gòu)建如下直角坐標(biāo)系：，令，，由可得：，則且，所以當(dāng)時，的最大值為.故選：C練習(xí)33．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，梯形中，，且，點P在線段上運動，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用坐標(biāo)法，設(shè)，可得，進而可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，設(shè)，，∴，又，∴，解得，∴，即的最小值為.故選：B.練習(xí)34．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在直角梯形中，，是線段上的動點，則的最小值為__________.【答案】6【分析】以點為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)a），寫出各點坐標(biāo)，結(jié)合向量加法以及模的坐標(biāo)運算，運用二次函數(shù)的知識即可求出最小值.【詳解】如圖，以點為坐標(biāo)原點，