（圓夢高考數(shù)學）專題10.8統(tǒng)計、概率結(jié)合其他知識（含答案及解析）

專題10.8統(tǒng)計、概率與結(jié)合其他知識題型一統(tǒng)計概率與函數(shù)題型二統(tǒng)計概率與導數(shù)題型三統(tǒng)計概率與不等式題型四統(tǒng)計概率與數(shù)列題型一 統(tǒng)計概率與函數(shù)例1．體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾?。畬τ诜菅簶颖?，有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗，則需檢驗次.二是混合檢驗，將份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗一次就夠了﹔如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則份血液檢驗的次數(shù)共為次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為，而且各體檢人是否患該疾病相互獨立.（1）若，求位體檢人的血液樣本混合檢驗結(jié)果為陽性的概率;（2）某定點醫(yī)院現(xiàn)取得位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案:方案一:采用混合檢驗;方案二:平均分成兩組，每組位體檢人血液樣本采用混合檢驗.若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.例2．從2023年起，云南省高考數(shù)學試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學生獨立解題.(1)假設每道題甲全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為；乙全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.練習1．在排查新冠肺炎患者期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”．設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當時，最大，則（

）A． B． C． D．練習2．為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級及利潤率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級減排器利潤率一級品二級品三級品（1）若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機抽取4件，求至少有2件一級品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則：①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)的分布列及數(shù)學期望；②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？練習3．為了解新研制的抗病毒藥物的療效，某生物科技有限公司進行動物試驗.先對所有白鼠服藥，然后對每只白鼠的血液進行抽樣化驗，若檢測樣本結(jié)果呈陽性，則白鼠感染病毒;若檢測樣本結(jié)果呈陰性，則白鼠未感染病毒.現(xiàn)隨機抽取只白鼠的血液樣本進行檢驗，有如下兩種方案:方案一:逐只檢驗，需要檢驗次;方案二:混合檢驗，將只白鼠的血液樣本混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則只白鼠未感染病毒;若檢驗結(jié)果為陽性，則對這只白鼠的血液樣本逐個檢驗，此時共需要檢驗次.(1)若，且只有兩只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率;(2)已知每只白鼠感染病毒的概率為.①采用方案二，記檢驗次數(shù)為，求檢驗次數(shù)的數(shù)學期望;②若，每次檢驗的費用相同，判斷哪種方案檢驗的費用更少?并說明理由.練習4．2022北京冬奧會和冬殘奧會吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心．為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉辦了一場贏取吉祥物掛件的“定點投籃”活動，方案如下：方案一：共投9次，每次投中得1分，否則得0分，累計所得分數(shù)記為；方案二：共進行三輪投籃，每輪最多投三次，直到投中兩球為止得3分，否則得0分，三輪累計所得分數(shù)記為．累計所得分數(shù)越多，所獲得獎品越多．現(xiàn)在甲準備參加這個“定點投籃”活動，已知甲每次投籃的命中率為，每次投籃互不影響．(1)若，甲選擇方案二，求第一輪投籃結(jié)束時，甲得3分的概率；(2)以最終累計得分的期望值為決策依據(jù)，甲在方案一，方案二之中選其一，應選擇哪個方案？練習5．從2021年起，全國高考數(shù)學加入了新題型多選題，每個小題給出的四個選擇中有多項是正確的，其中回答錯誤得0分，部分正確得2分，完全正確得5分，小明根據(jù)以前做過的多項選擇題統(tǒng)計得到，多選題有兩個選項的概率為p，有三個選項的概率為（其中）.(1)若，小明對某個多項選擇題完全不會，決定隨機選擇一個選項，求小明得2分的概率；(2)在某個多項選擇題中，小明發(fā)現(xiàn)選項A正確，選項B錯誤，下面小明有三種不同策略：Ⅰ：選擇A，再從剩下的C，D選項中隨機選擇一個，小明該題的得分為X；Ⅱ：選擇ACD，小明該題的得分為Y；Ⅲ：只選擇A、小明該題的得分為Z；在p變化時、根據(jù)該題得分的期望來幫助小明分析該選擇哪個策略.題型二 統(tǒng)計概率與導數(shù)例3．今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多．9月19日，中國疾控中心發(fā)布了我國首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察21天．在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)是否有的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635例4．汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統(tǒng)計表明銷量與年份代碼有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解當?shù)氐馁徿嚪N類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車），該企業(yè)隨機調(diào)查了該地區(qū)的購車情況.設購置新能源汽車的概率為，若將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有車主中隨機抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當為何值時，最大．附：為回歸方程，．練習6．某研究所研究某一型號疫苗的有效性，研究人員隨機選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機變量表示第組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機變量的觀測值繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為，假設每只白鼠是否被感染是相互獨立的.記為事件“”.

(1)寫出（用表示，組合數(shù)不必計算）；(2)研究團隊發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)之間的關(guān)系為.在統(tǒng)計學中，若參數(shù)時的值使得概率最大，稱是的最大似然估計，求.練習7．生產(chǎn)某種特殊零件的廢品率為（），優(yōu)等品的概率為0.4，若20個此特殊零件中恰有4件廢品的概率為，設的最大值點為．(1)求；(2)若工廠生產(chǎn)該零件的廢品率為．（?。纳a(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取個零件，設其中優(yōu)等品的個數(shù)為，記，，已知時優(yōu)等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率為，每個零件的生產(chǎn)成本為80元，合格品每件售價150元，同時對不合格零件進行修復，修復為合格品后正常售賣，若仍不合格則以每件10元的價格出售，若每個不合格零件修復為合格零件的概率為0.5，工廠希望一個零件至少獲利50元，試求一個零件的修復費用最高為多少元．練習8．今年月以來，世界多個國家報告了猴痘病練習，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多.我國目前為止尚無猴痘病練習報告.我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控提前做出部署.同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（年版）》.此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力.據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察天.在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比練習較大.對該國家個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗接種天花疫苗(1)是否有％的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率.現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率；(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查.在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測.每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”.假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立.記：該家庭至少檢測了名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為.求當為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635練習9．今年月以來，世界多個國家報告了猴痘病練習，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多．月日，中國疾控中心發(fā)布了我國首練習“輸入性猴痘病練習”的溯源公告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察天．在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比練習較大．對該國家個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗是否有關(guān)？(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635練習10．某醫(yī)療用品生產(chǎn)商用新舊兩臺設備生產(chǎn)防護口罩，產(chǎn)品成箱包裝，每箱500個．(1)若從新舊兩臺設備生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取100箱作為樣本，其中新設備生產(chǎn)的100箱樣本中有10箱存在不合格品，舊設備生產(chǎn)的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數(shù)據(jù)，填寫完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“有不合格品”與“設備"有關(guān)聯(lián)？單位：箱是否有不合格品設備無不合格品有不合格品合計新舊合計(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱口罩中任取20個做檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有口罩做檢驗．設每個口罩為不合格品的概率都為，且各口罩是否為不合格品相互獨立．記20個口罩中恰有3件不合格品的概率為，求最大時的值．(3)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20個，結(jié)果恰有3個不合格品，以（2）中確定的作為的值．已知每個口罩的檢驗費用為0.2元，若有不合格品進入用戶手中，則生產(chǎn)商要為每個不合格品支付5元的賠償費用．以檢驗費用與賠償費用之和的期望為決策依據(jù)，是否要對這箱產(chǎn)品余下的480個口罩做檢驗？附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．題型三 統(tǒng)計概率與不等式例5．已知隨機變量，則概率最大時，的取值為（

）A． B． C．或 D．或例6．某科研所研究表明，絕大部分抗抑郁抗焦慮的藥物都有一個奇特的功效，就是刺激人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，所以又叫“快樂藥”．其實科學、合理、適量的有氧運動就會增加人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，從而緩解抑郁、焦慮的情緒．人體多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是，定義運動后多巴胺含量超過稱明顯有效運動，否則是不明顯有效運動．樹人中學為了了解學生明顯有效運動是否與性別有關(guān)，對運動后的60名學生進行檢測，其中女生與男生的人數(shù)之比為1∶2，女生中明顯有效運動的人數(shù)占，男生中明顯有效運動的人數(shù)占．女生男生合計明顯有效運動不明顯有效運動合計(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)完成上表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否判斷明顯有效運動與性別有關(guān)？并說明理由；(2)若從樹人中學所有學生中抽取11人，用樣本的頻率估計概率，預測11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是多少？附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828練習11．某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6練習12．某市政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，居民用水原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用水范圍（噸）為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了戶居民的月用水量（單位：噸），得到統(tǒng)計表如下：居民用水戶編號12345678910用水量（噸）7889101113141520(1)若用水量不超過噸時，按元/噸計算水費；若用水量超過噸且不超過噸時，超過噸部分按元/噸計算水費；若用水量超過噸時，超過噸部分按元/噸計算水費.試計算：若某居民用水噸，則應交水費多少元？(2)現(xiàn)要在這戶家庭中任意選取戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列與期望；(3)用抽到的戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取戶，若抽到戶月用水量為第一階梯的可能性最大，求的值.練習13．為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？練習14．某公司通過游戲獲得積分以激勵員工.游戲規(guī)則如下：甲袋和乙袋中各裝有形狀和大小完全相同的10個球，其中甲袋中有5個紅球和5個白球，乙袋中有8個紅球和2個白球，獲得積分有兩種方案.方案一：從甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1個球，摸出紅球獲得10分，摸出白球得0分；方案二：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，從甲袋中隨機摸出1個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙袋中隨機摸出一個球，若摸出的是紅球，則獲得積分15分，否則得5分.(1)某員工獲得1次游戲機會，若以積分的均值為依據(jù)，請判斷該員工應該選擇方案一還是方案二？(2)若某員工獲得10次游戲機會，全部選擇方案一，記該員工摸出紅球的次數(shù)為，當取得最大值時，求的值.練習15．在十余年的學習生活中，部分學生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習慣．某研究小組為研究轉(zhuǎn)筆與學習成績好差的關(guān)系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請完成下列22列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的條件下，認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)．上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計合格25優(yōu)秀10合計100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調(diào)查，記抽到5人中合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為的概率為，當取最大值時，求k的值．附：，其中k題型四 統(tǒng)計概率與數(shù)列例7．甲、乙兩個袋子里各有1個白球和1個黑球，每次獨立地從兩個袋子中隨機取出1個球相互交換后放回袋中，若第次交換后，甲袋中兩個球顏色相同，記，否則，．(1)求的概率；(2)求的概率；(3)記，求．例8．投壺是中國古代士大夫宴飲時做的一種投擲游戲，是把箭向壺里投．在戰(zhàn)國時期較為盛行，在唐朝時期，發(fā)揚光大．《醉翁亭記》中的“射”指的就是“投壺”這個游戲．為發(fā)揚傳統(tǒng)文化，喚醒中國禮儀，某單位開展投壺游戲．現(xiàn)甲、乙兩人為一組玩投壺游戲，每次由其中一人投壺，規(guī)則如下：若投中則此人繼續(xù)投壺，若未投中則換為對方投壺．無論之前投壺情況如何，甲每次投壺的命中率均為0.3，乙每次投壺的命中率均為0.4．由抽簽確定第1次投壺的人選，第1次投壺的人是甲、乙的概率各為0.5．(1)求第2次投壺的人是甲的概率；(2)求第i次投壺的人是乙的概率．練習16．甲、乙兩個盒子中都裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個黑球的概率為，恰有3個黑球的概率為.(1)求；(2)設，證明：；(3)求的數(shù)學期望的值.練習17．甲?乙兩人進行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負的一方，需將自己的一枚籌碼給對方；若平局，雙方的籌碼不動，當一方無籌碼時，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲勝的概率為0.3?乙勝的概率為0.2.(1)第一局比賽后，甲的籌碼個數(shù)記為，求的分布列和期望；(2)求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；(3)若表示“在甲所得籌碼為枚時，最終甲獲勝的概率”，則.證明：為等比數(shù)列.練習18．王先生準備每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機選擇一種出行．從即日起出行方式選擇規(guī)則自定如下：第一天選擇騎自行車出行，隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數(shù)小于3，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式．設表示事件“第天王先生選擇騎自行車出行”的概率．(1)用表示；(2)請問王先生騎自行車的概率和開車的概率哪個更大？并說明理由．練習19．有編號為1，2，3，...，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現(xiàn)從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記為從第個箱子中取出黃球的概率.(1)求；(2)求.練習20．某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這4個選項，4個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.若第一題正確選項為兩個的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個選項，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項為兩個的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個選項，設Y表示第n題得分，求證：.

專題10.8統(tǒng)計、概率結(jié)合其他知識題型一統(tǒng)計概率與函數(shù)題型二統(tǒng)計概率與導數(shù)題型三統(tǒng)計概率與不等式題型四統(tǒng)計概率與數(shù)列題型一 統(tǒng)計概率與函數(shù)例1．體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結(jié)果呈陽性，則患有該疾病;若結(jié)果呈陰性，則未患有該疾?。畬τ诜菅簶颖荆幸韵聝煞N檢驗方式:一是逐份檢驗，則需檢驗次.二是混合檢驗，將份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結(jié)果為陰性，那么這份血液全為陰性，因而檢驗一次就夠了﹔如果檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則份血液檢驗的次數(shù)共為次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為，而且各體檢人是否患該疾病相互獨立.（1）若，求位體檢人的血液樣本混合檢驗結(jié)果為陽性的概率;（2）某定點醫(yī)院現(xiàn)取得位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案:方案一:采用混合檢驗;方案二:平均分成兩組，每組位體檢人血液樣本采用混合檢驗.若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.【答案】（1）；（2）當或時，方案一更“優(yōu)”；當或時，方案一、二一樣“優(yōu)”；當時，方案二更“優(yōu)”.【解析】（1）根據(jù)題意，3人混檢樣本為陰性的概率為，故根據(jù)對立事件得答案；（2）采取方案一，檢驗次數(shù)記為，可能取值為，進而列概率分布列，求期望；采取方案二，記檢驗次數(shù)為，可能取值為，進而列概率分布列，求期望得，再作差分情況討論即可得答案.【詳解】解：(1)該混合樣本陰性的概率是，根據(jù)對立事件可得，陽性的概率為(2)方案一:混在一起檢驗，方案一的檢驗次數(shù)記為，則的可能取值為，其分布列為:則，方案二:由題意分析可知，每組份樣本混合檢驗時，若陰性則檢測次數(shù)為概率為，若陽性，則檢測次數(shù)為，概率為，方案二的檢驗次數(shù)記為，則的可能取值為，;其分布列為:則，，當或時，可得，所以方案一更“優(yōu)”當或時，可得，所以方案一、二一樣“優(yōu)”當時，可得，所以方案二更“優(yōu)”.【點睛】本題考查隨機事件的概率分布列與數(shù)學期望，考查知識遷移與運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意寫出方案一與方案二的概率分布列，求解對應事件的概率是難點，理解并應用獨立事件的概率求解是解決概率的基本方法，進而根據(jù)分布列求期望，并作差分類討論.例2．從2023年起，云南省高考數(shù)學試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學生獨立解題.(1)假設每道題甲全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為；乙全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先分析包含的事件有哪些種，再求概率即可.（2）分別求出選擇1,2,3個選項三個情況下的得分的期望，取期望最大的情況即可.【詳解】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：：甲四道全對；乙一道全對，一道部分選對，兩道選錯，即甲得20分，乙得7分.：甲三道全對，一道部分選對；乙兩道部分選對，兩道選錯，即甲得17分，乙得4分.：甲三道全對，一道選錯；乙一道部分選對，三道選錯，即甲得15分，乙得2分.....（2）若為甲出方案.則甲可能的選項個數(shù)為：1，2，3.記表示選1個選項的得分，則期望為.記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，，，此時期望為.記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5，，此時期望為.∵，.∴甲應選擇1個選項才有希望得到更理想的成績.若為乙出方案.則乙可能的選項個數(shù)為：1，2，3.記表示選1個選項的得分，類比甲的情況，則記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，此時.記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5，此時.∵.∴當時，乙應選擇2個選項才有希望得到更理想的成績.當時，乙應選擇3個選項才有希望得到更理想的成績，當時，乙應選擇2或3個選項都有希望得到更理想的成績.練習1．在排查新冠肺炎患者期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽性，則該家庭為“感染高危戶”．設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才能確定為“感染高危戶”的概率為，當時，最大，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，先求出概率，再利用基本不等式求最大值即可．【詳解】設事件為：檢測了3個人確定為感染高危戶，設事件為：檢測了4個人確定為感染高危戶，事件為第一個人不是陽性，第二個人不是陽性，第三個人是陽性，所以，同理即，設，則，因為，當且僅當，即時取等號，即.故選：A練習2．為降低工廠廢氣排放量，某廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同型號的減排器，現(xiàn)分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取100件進行性能質(zhì)量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示：減排器等級及利潤率如下表，其中．綜合得分的范圍減排器等級減排器利潤率一級品二級品三級品（1）若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產(chǎn)品中隨機抽取4件，求至少有2件一級品的概率；（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則：①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)的分布列及數(shù)學期望；②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？【答案】（1）；（2）①二級品數(shù)的分布列見詳解，；②投資乙型號減排器的平均利潤率較大.【分析】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的概率為0.6，根據(jù)分層抽樣，計算10件減排器中一級品的個數(shù)，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少2件一級品的概率；（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號減排器隨機抽取3件，則二級品數(shù)所有可能的取值為，且，由此能求出的分布列和數(shù)學期望.②由題意分別求出甲型號減排器的利潤的平均值和乙型號減排器的利潤的平均值，由此求出投資乙型號減排器的平均利潤率較大.【詳解】（1）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的概率為，分層抽樣的方法抽取10件，則抽取一級品為（件）則至少有2件一級品的概率，；（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號減排器隨機抽取3件，則二級品數(shù)所有可能的取值為，且，所以，，，，所以的分布列為0123所以數(shù)學期望：；②由題意知，甲型號減排器的利潤的平均值：；乙型號減排器的利潤的平均值：；，又，則，所以投資乙型號減排器的平均利潤率較大.【點睛】思路點睛：本題考查了頻率分布直方圖及分層抽樣和互斥事件概率的算法．求解隨機變量的分布列及期望和利用函數(shù)思想解決實際問題．解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用.練習3．為了解新研制的抗病毒藥物的療效，某生物科技有限公司進行動物試驗.先對所有白鼠服藥，然后對每只白鼠的血液進行抽樣化驗，若檢測樣本結(jié)果呈陽性，則白鼠感染病毒;若檢測樣本結(jié)果呈陰性，則白鼠未感染病毒.現(xiàn)隨機抽取只白鼠的血液樣本進行檢驗，有如下兩種方案:方案一:逐只檢驗，需要檢驗次;方案二:混合檢驗，將只白鼠的血液樣本混合在一起檢驗，若檢驗結(jié)果為陰性，則只白鼠未感染病毒;若檢驗結(jié)果為陽性，則對這只白鼠的血液樣本逐個檢驗，此時共需要檢驗次.(1)若，且只有兩只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率;(2)已知每只白鼠感染病毒的概率為.①采用方案二，記檢驗次數(shù)為，求檢驗次數(shù)的數(shù)學期望;②若，每次檢驗的費用相同，判斷哪種方案檢驗的費用更少?并說明理由.【答案】(1)；(2)①；②答案見解析.【分析】（1）應用獨立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好檢驗3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率；（2）①次數(shù)為可能取值為1，，利用對立事件概率求法求各值的概率，進而求其期望；②由①得，根據(jù)其單調(diào)性及其零點，判斷方案檢驗的費用的大小關(guān)系.【詳解】（1）根據(jù)題意，恰好在第一、三次確定兩只感染病毒白鼠的概率，恰好在第二、三次確定有兩只感染病毒白鼠的概率，所以恰好檢驗3次就能確定有兩只白鼠感染病毒的概率．（2）①設檢驗次數(shù)為，可能取值為1，．則，，所以．②方案二的檢驗次數(shù)期望為，所以，設，因為，所以單調(diào)遞增，由得：，當時，，則，當時，，則，故當時，選擇方案二檢驗費用少，當時，選擇方案一檢驗費用少，當時，選擇兩種方案檢驗費用相同．練習4．2022北京冬奧會和冬殘奧會吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心．為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某商場舉辦了一場贏取吉祥物掛件的“定點投籃”活動，方案如下：方案一：共投9次，每次投中得1分，否則得0分，累計所得分數(shù)記為；方案二：共進行三輪投籃，每輪最多投三次，直到投中兩球為止得3分，否則得0分，三輪累計所得分數(shù)記為．累計所得分數(shù)越多，所獲得獎品越多．現(xiàn)在甲準備參加這個“定點投籃”活動，已知甲每次投籃的命中率為，每次投籃互不影響．(1)若，甲選擇方案二，求第一輪投籃結(jié)束時，甲得3分的概率；(2)以最終累計得分的期望值為決策依據(jù)，甲在方案一，方案二之中選其一，應選擇哪個方案？【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，將甲得3分的事件分拆成兩個互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式計算即可.（2）求出甲選方案一，方案二得分的期望，再比較大小作答.【詳解】（1），甲選擇方案二，甲得3分的事件是3次投籃，前兩球投進與最后一次才投進第2球的事件和，所以，所以第一輪投籃結(jié)束時，甲得3分的概率為.（2）選方案一，則，選方案一得分的數(shù)學期望為，選方案二，每一輪得分只有0和3，能得3分的概率為，進行三輪投籃，得3分的次數(shù)為隨機變量，則，，進行三輪總得分，則選擇方案二得分的期望為，顯然，當，，兩種方案期望相同，所以選方案一，二都可以；

當，，方案二期望大，所以甲應該選方案二；

當，，方案一期望大，所以甲應該選方案一．練習5．從2021年起，全國高考數(shù)學加入了新題型多選題，每個小題給出的四個選擇中有多項是正確的，其中回答錯誤得0分，部分正確得2分，完全正確得5分，小明根據(jù)以前做過的多項選擇題統(tǒng)計得到，多選題有兩個選項的概率為p，有三個選項的概率為（其中）.(1)若，小明對某個多項選擇題完全不會，決定隨機選擇一個選項，求小明得2分的概率；(2)在某個多項選擇題中，小明發(fā)現(xiàn)選項A正確，選項B錯誤，下面小明有三種不同策略：Ⅰ：選擇A，再從剩下的C，D選項中隨機選擇一個，小明該題的得分為X；Ⅱ：選擇ACD，小明該題的得分為Y；Ⅲ：只選擇A、小明該題的得分為Z；在p變化時、根據(jù)該題得分的期望來幫助小明分析該選擇哪個策略.【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)分類加法求概率.（2）分別求出三種策略下的得分均值，通過比較均值的大小來確定選擇哪個策略.【詳解】（1）若答案是兩個選項，所有的可能有：共6種，則小明只選一個得2分的概率為：；答案是三個選項，所有的可能有：有共4種，則小明只選一個得2分的概率為：；故小明得2分的概率為（2）選策略Ⅰ，則小明得分為的分布為：025

得分的期望為選策略Ⅱ，則小明得分為的分布為：05得分的期望為策略Ⅲ，得分為,則當，此時，故此時選擇策略Ⅰ，當時，最大，此時選擇策略Ⅱ，當時，策略Ⅰ,Ⅱ概率一樣，都可以.題型二 統(tǒng)計概率與導數(shù)例3．今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多．9月19日，中國疾控中心發(fā)布了我國首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察21天．在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)是否有的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒有的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)(2)(3)當時，最大【分析】（1）假設：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)，根據(jù)題意求得判斷；（2）易得該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，再利用獨立重復實驗求解；（3）易得，再利用導數(shù)法求解.【詳解】（1）假設：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)，依題意有，故假設不成立，沒有的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān).（2）由題意得，該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設隨機抽取的4人中至多有1人感染病毒為事件，則，（3）記事件為：檢測了2名成員確定為“感染高危家庭”；事件為：檢測了3名成員確定為“感染高危家庭”；則則，，令，則（舍去）隨著的變化，的變化如下表：+0遞增極大值遞減綜上，當時，最大．例4．汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到下面的統(tǒng)計表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統(tǒng)計表明銷量與年份代碼有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解當?shù)氐馁徿嚪N類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車），該企業(yè)隨機調(diào)查了該地區(qū)的購車情況.設購置新能源汽車的概率為，若將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有車主中隨機抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當為何值時，最大．附：為回歸方程，．【答案】(1)，2028年(2)當時最大【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合線性回歸的公式求解方程，再令求解即可；（2）根據(jù)二項分布的概率公式可得，再利用導函數(shù)分析的最大值即可.【詳解】（1）由題意可知，，，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，得，所以最小的整數(shù)為12，，所以該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在2028年能突破50萬輛．（2）由題意知，則，當時，知，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，知，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時取得最大值.練習6．某研究所研究某一型號疫苗的有效性，研究人員隨機選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組10只，觀察每組被感染的白鼠數(shù).現(xiàn)用隨機變量表示第組被感染的白鼠數(shù)，并將隨機變量的觀測值繪制成如圖所示的頻數(shù)分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為，假設每只白鼠是否被感染是相互獨立的.記為事件“”.

(1)寫出（用表示，組合數(shù)不必計算）；(2)研究團隊發(fā)現(xiàn)概率與參數(shù)之間的關(guān)系為.在統(tǒng)計學中，若參數(shù)時的值使得概率最大，稱是的最大似然估計，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知隨機變量，然后利用二項分布的概率公式求解；（2）設事件，再根據(jù)頻數(shù)分布圖和二項分布的概率公式可求出，令，化簡后利用導數(shù)可求出其最大值，并求出此時的，代入中可求得.【詳解】（1）由題知隨機變量，所以.（2）設事件，由題圖可知，則，即.設，則，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增；當時，，所以在上單調(diào)遞減；所以當時，取得最大值，即取得最大值，所以，即，解得或，因為，所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查二項分布的概率公式的應用，考查獨立事件的概率，考查導數(shù)的應用，第（2）問解題的關(guān)鍵是根據(jù)二項分布的概率公式表示出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最大值，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.練習7．生產(chǎn)某種特殊零件的廢品率為（），優(yōu)等品的概率為0.4，若20個此特殊零件中恰有4件廢品的概率為，設的最大值點為．(1)求；(2)若工廠生產(chǎn)該零件的廢品率為．（?。纳a(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取個零件，設其中優(yōu)等品的個數(shù)為，記，，已知時優(yōu)等品概率最大，求的最小值；（ⅱ）已知合格率為，每個零件的生產(chǎn)成本為80元，合格品每件售價150元，同時對不合格零件進行修復，修復為合格品后正常售賣，若仍不合格則以每件10元的價格出售，若每個不合格零件修復為合格零件的概率為0.5，工廠希望一個零件至少獲利50元，試求一個零件的修復費用最高為多少元．【答案】(1)(2)（?。?2；（ⅱ）30【分析】（1）根據(jù)二項分布求出的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）（i）根據(jù)二項分布，寫出的分布列，再根據(jù)最大求出n的范圍；（ii）根據(jù)數(shù)學期望求出最高維修費用.【詳解】（1）由題意得：，（），所以，在遞增，在遞減，當時，取最大值；（2）（ⅰ）設優(yōu)等品的個數(shù)為，則，，，若時，有最大值，則，即，解得，所以的最小值為12；（ⅱ）設工廠生產(chǎn)一個零件獲利元，零件的修復費用為元則的可能取值為：70，，，，

，,所以，一個零件需要修復費用最高為30元；綜上，（1），（2）（i）的最小值為12，（ii）一個零件需要修復費用最高為30元.練習8．今年月以來，世界多個國家報告了猴痘病練習，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多.我國目前為止尚無猴痘病練習報告.我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控提前做出部署.同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（年版）》.此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力.據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察天.在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比練習較大.對該國家個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗接種天花疫苗(1)是否有％的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率.現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率；(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查.在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測.每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”.假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立.記：該家庭至少檢測了名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為.求當為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒有(2)(3)【分析】（1）提出假設，由參考公式求的值，比較其與臨界值的大小，由此判斷結(jié)論；（2）求該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率值，再利用獨立重復實驗求解；（3）先求的解析式，再利用導數(shù)求其最大值.【詳解】（1）假設：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)依題意有，故假設不成立沒有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；（2）由題意得：該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設隨機抽取的人中至多有人感染病毒為事件，則；（3）則，令，則（舍去），當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當時，該家庭至少檢測了名成員才能確定為“感染高危家庭”的可能性最大.練習9．今年月以來，世界多個國家報告了猴痘病練習，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多．月日，中國疾控中心發(fā)布了我國首練習“輸入性猴痘病練習”的溯源公告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察天．在醫(yī)學觀察期結(jié)束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比練習較大．對該國家個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結(jié)束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗是否有關(guān)？(2)以樣本中結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結(jié)束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結(jié)果，若檢測結(jié)果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.635【答案】(1)沒有(2)(3)【分析】（1）假設：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)，根據(jù)題意求得判斷；（2）易得該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，再利用獨立重復實驗求解；（3）易得，再利用導數(shù)法求解.【詳解】（1）解：假設：密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗無關(guān)，依題意有故假設不成立，∴沒有的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關(guān)；（2）由題意得，該地區(qū)每名密切接觸者感染病毒的概率為，設隨機抽取的人中至多有人感染病毒為事件，則；（3），則，令；則（舍去），隨著的變化，的變化如下表：p+0-遞增極大值遞減綜上，當時，最大．練習10．某醫(yī)療用品生產(chǎn)商用新舊兩臺設備生產(chǎn)防護口罩，產(chǎn)品成箱包裝，每箱500個．(1)若從新舊兩臺設備生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取100箱作為樣本，其中新設備生產(chǎn)的100箱樣本中有10箱存在不合格品，舊設備生產(chǎn)的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數(shù)據(jù)，填寫完成列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“有不合格品”與“設備"有關(guān)聯(lián)？單位：箱是否有不合格品設備無不合格品有不合格品合計新舊合計(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱口罩中任取20個做檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有口罩做檢驗．設每個口罩為不合格品的概率都為，且各口罩是否為不合格品相互獨立．記20個口罩中恰有3件不合格品的概率為，求最大時的值．(3)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20個，結(jié)果恰有3個不合格品，以（2）中確定的作為的值．已知每個口罩的檢驗費用為0.2元，若有不合格品進入用戶手中，則生產(chǎn)商要為每個不合格品支付5元的賠償費用．以檢驗費用與賠償費用之和的期望為決策依據(jù)，是否要對這箱產(chǎn)品余下的480個口罩做檢驗？附表：0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828附：，其中．【答案】(1)填表見解析；認為箱中有不合格品與新舊設備有關(guān)聯(lián)(2)(3)應該對余下的480個口罩進行檢驗【分析】（1）根據(jù)題中的條件可填寫列聯(lián)表，利用卡方計算公式計算出卡方值，結(jié)合標準誤差可以判斷出關(guān)聯(lián)性；（2）利用獨立重復性實驗的計算公式得出20個口罩中恰有3件不合格品的概率為的表達式，利用求導方法解出的最大時的；（3）先設表示余下的480件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)量，符合二項分布，解出期望，再設產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，找出、的等式關(guān)系，即可求出，進而判斷結(jié)果.【詳解】（1）解：

單位：箱是否有不合格品設備無不合格品有不合格品合計新9010100舊7525100合計16535200零假設為：有不合格品與新舊設備無關(guān)聯(lián)．由列聯(lián)表可知的觀測值，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為箱中有不合格品與新舊設備有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．（2）由題意，得，則，令，又，得．當時，，當時，，所以最大時的值．（3）由（2）知．設表示余下的480件產(chǎn)品中不合格品的數(shù)量，依題意知，所以．若不對該箱余下的口罩做檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，則，所以．如果對余下的產(chǎn)品做檢驗，這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為（元）．364遠大于100，所以應該對余下的480個口罩進行檢驗．題型三 統(tǒng)計概率與不等式例5．已知隨機變量，則概率最大時，的取值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)二項分布的隨機變量取值的概率公式建立不等關(guān)系，可得最大值時的．【詳解】依題意，由，即，解得或.故選：C.例6．某科研所研究表明，絕大部分抗抑郁抗焦慮的藥物都有一個奇特的功效，就是刺激人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，所以又叫“快樂藥”．其實科學、合理、適量的有氧運動就會增加人體大腦多巴胺（Dopamine）的分泌，從而緩解抑郁、焦慮的情緒．人體多巴胺（Dopamine）分泌的正常值是，定義運動后多巴胺含量超過稱明顯有效運動，否則是不明顯有效運動．樹人中學為了了解學生明顯有效運動是否與性別有關(guān)，對運動后的60名學生進行檢測，其中女生與男生的人數(shù)之比為1∶2，女生中明顯有效運動的人數(shù)占，男生中明顯有效運動的人數(shù)占．女生男生合計明顯有效運動不明顯有效運動合計(1)根據(jù)所給的數(shù)據(jù)完成上表，并依據(jù)的獨立性檢驗，能否判斷明顯有效運動與性別有關(guān)？并說明理由；(2)若從樹人中學所有學生中抽取11人，用樣本的頻率估計概率，預測11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是多少？附：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，認為明顯有效運動與性別存在差異，理由見解析(2)人數(shù)最有可能是3或4【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，計算，與臨界值對比即可得出結(jié)論；（2）由題意，問題可轉(zhuǎn)化為二項分布，利用二項分布概率公式列出不等式組求解.【詳解】（1）因為對60名學生明顯有效運動是否與性別有關(guān)的調(diào)查，其中女生與男生的人數(shù)之比為，女生中明顯有效運動的人數(shù)占，男生中明顯有效運動的人數(shù)占，得到下面的列聯(lián)表：女生男生合計明顯有效運動103040不明顯有效運動101020合計204060給定假設：明顯有效運動與性別沒有關(guān)系．由于，則根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，有充分的證據(jù)推斷假設不成立，因此認為明顯有效運動與性別存在差異．（2）由樣本數(shù)據(jù)可知，不明顯有效運動的頻率為，用樣本的頻率估計概率，所以不明顯有效運動的概率為，設11人不明顯有效運動的人數(shù)為，則所以假設11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是，則，解得，，故或.所以11人中不明顯有效運動的人數(shù)最有可能是3或4．練習11．某綜藝節(jié)目中，有一個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調(diào)查，得到的情況如表所示：用時/秒男性人數(shù)1721139女性人數(shù)810166以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立．若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測試，其中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能（即概率最大）是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】求出1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，確定，即可表示出，列不等式組求最大時k的值，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意得，1名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率為，設隨機抽取的20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)為，則，其中，時，；顯然，即不可能為最大值，當時，由得，化簡得，解得，又這20名盲擰魔方愛好者中用時不超過10秒的人數(shù)最有可能是5，故選：C．練習12．某市政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，居民用水原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯月用水范圍（噸）為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了戶居民的月用水量（單位：噸），得到統(tǒng)計表如下：居民用水戶編號12345678910用水量（噸）7889101113141520(1)若用水量不超過噸時，按元/噸計算水費；若用水量超過噸且不超過噸時，超過噸部分按元/噸計算水費；若用水量超過噸時，超過噸部分按元/噸計算水費.試計算：若某居民用水噸，則應交水費多少元？(2)現(xiàn)要在這戶家庭中任意選取戶，求取到第二階梯水量的戶數(shù)的分布列與期望；(3)用抽到的戶家庭作為樣本估計全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取戶，若抽到戶月用水量為第一階梯的可能性最大，求的值.【答案】(1)75元(2)分布列見解析，(3)6【詳解】（1）若某居民用水噸，則需交費（元）；（2）設取到第二階梯電量的用戶數(shù)為，可知第二階梯電量的用戶有戶，則可取，，，，.0123故的分布列是所以；（3）由題可知從全市中抽取戶，其中用電量為第一階梯的戶數(shù)滿足，于是為，，由，化簡得，解得.因為，所以.練習13．為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結(jié)束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據(jù)得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2?3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2?3?4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經(jīng)統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分?2分?1分的概率分別為，，，在第2局四人賽中獲得2分?1分的概率分別為，.(1)設小明每天獲得的得分為X，求X的分布列和數(shù)學期望；(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為，每局是否贏得比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(2)在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大【分析】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，的可能值為5，4，3，2，根據(jù)事件相互獨立求出的分布列、數(shù)學期望；（2）設小A每天贏得的局數(shù)為，則，從而得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】（1）記事件表示第一局獲得分，事件表示第二局獲得分，這些事件相互獨立，由條件知的可能值為5，4，3，2.；；；.則其分布列為5432所以.（2）設小明每天贏得的局數(shù)為，則易知，于是.假設贏得局的概率最大，則據(jù)條件得，即，整理得，解之得，又因為，所以，因此在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.練習14．某公司通過游戲獲得積分以激勵員工.游戲規(guī)則如下：甲袋和乙袋中各裝有形狀和大小完全相同的10個球，其中甲袋中有5個紅球和5個白球，乙袋中有8個紅球和2個白球，獲得積分有兩種方案.方案一：從甲袋中有放回地摸球3次，每次摸出1個球，摸出紅球獲得10分，摸出白球得0分；方案二：擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點數(shù)為1或2，從甲袋中隨機摸出1個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙袋中隨機摸出一個球，若摸出的是紅球，則獲得積分15分，否則得5分.(1)某員工獲得1次游戲機會，若以積分的均值為依據(jù)，請判斷該員工應該選擇方案一還是方案二？(2)若某員工獲得10次游戲機會，全部選擇方案一，記該員工摸出紅球的次數(shù)為，當取得最大值時，求的值.【答案】(1)選擇方案一(2)15【分析】（1）選擇方案一：法一，設出積分為，寫出可能取值及相應的概率，求出分布列和期望；法二：設抽中紅球的次數(shù)為，積分為，則，利用二項分布求解期望值；選擇方案二：利用條件概率求出最終摸出紅球的概率，進而得到積分的期望值，比較后得到結(jié)論；（2）由題意得到，列出不等式組，求出答案.【詳解】（1）選擇方案一：法一：因為甲袋中有5個紅球和5個白球，故從甲袋中有放回地摸球，每次摸到紅球的概率為，由題意可得，設積分為，可能取值為0，10，20，30，，，，，則的分布列為0102030且；法二：由題意可得，設抽中紅球的次數(shù)為，積分為，因為，所以，因為，所以；若選擇方案二：設事件“從甲袋摸球”，則事件“從乙袋摸球”，事件“摸出的是紅球”，設方案二的積分為，則，則，因為，所以選擇方案一；（2）由題意得，則，解得，又，即時，最大.練習15．在十余年的學習生活中，部分學生養(yǎng)成了上課轉(zhuǎn)筆的習慣．某研究小組為研究轉(zhuǎn)筆與學習成績好差的關(guān)系，從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調(diào)查，其中有上課轉(zhuǎn)筆習慣的有45人．經(jīng)調(diào)查，得到這100名學生近期考試的分數(shù)的頻率分布直方圖．記分數(shù)在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格．

(1)請完成下列22列聯(lián)表．并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的條件下，認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān)．上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計合格25優(yōu)秀10合計100(2)現(xiàn)采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調(diào)查，記抽到5人中合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調(diào)查，記20人中上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為的概率為，當取最大值時，求k的值．附：，其中k【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有的把握認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān).(2)分布列見解析，.(3).【分析】（1）由卡方獨立性檢驗計算可得；（2）由超幾何分布的概率計算公式可得；（3）由二項分布的概率公式，結(jié)合求概率最大的方法可得.【詳解】（1）上課轉(zhuǎn)筆上課不轉(zhuǎn)筆合計合格254570優(yōu)秀201030合計4555100零假設：成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆無關(guān).根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以有的把握認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉(zhuǎn)筆有關(guān).（2）根據(jù)頻率分布直方圖大于600分的頻率為，小于600分的頻率為，故由分層抽樣知，抽取的10人中合格有人，優(yōu)秀的為人，則從這10人中隨機抽取5人，合格人數(shù)服從超幾何分布，由題意的可能值為，故，，，，故分布列為2345.（3）由題意隨機抽取1人則其上課轉(zhuǎn)筆的概率為，故根據(jù)題意，則，若上課轉(zhuǎn)筆的人數(shù)為時，最大，則，解得，故，所以當最大時，.題型四 統(tǒng)計概率與數(shù)列例7．甲、乙兩個袋子里各有1個白球和1個黑球，每次獨立地從兩個袋子中隨機取出1個球相互交換后放回袋中，若第次交換后，甲袋中兩個球顏色相同，記，否則，．(1)求的概率；(2)求的概率；(3)記，求．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）于第一次取球之前，兩個袋子中的兩球顏色各不相同，要使取球交換之后同一個袋子內(nèi)的兩球顏色仍然保持不同，需要取出的兩球顏色相同計算概率即可得答案；（2）利用條件概率和全概公式即可求解.（3）列出分布列后根據(jù)數(shù)字特征即可求解.【詳解】（1）設，則．由于第一次取球之前，兩個袋子中的兩球顏色各不相同，要使取球交換之后同一個袋子內(nèi)的兩球顏色仍然保持不同，需要取出的兩球顏色相同，則．（2）當時，由（1）得，則．很明顯，，依據(jù)全概率公式，得，則，由（1）得，則，則．（3）由（1）（2）得的分布列，如下表所示：10則，由得．例8．投壺是中國古代士大夫宴飲時做的一種投擲游戲，是把箭向壺里投．在戰(zhàn)國時期較為盛行，在唐朝時期，發(fā)揚光大．《醉翁亭記》中的“射”指的就是“投壺”這個游戲．為發(fā)揚傳統(tǒng)文化，喚醒中國禮儀，某單位開展投壺游戲．現(xiàn)甲、乙兩人為一組玩投壺游戲，每次由其中一人投壺，規(guī)則如下：若投中則此人繼續(xù)投壺，若未投中則換為對方投壺．無論之前投壺情況如何，甲每次投壺的命中率均為0.3，乙每次投壺的命中率均為0.4．由抽簽確定第1次投壺的人選，第1次投壺的人是甲、乙的概率各為0.5