人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課第二十二章二次函數(shù)(知識清單)【原卷版+解析】

一、學(xué)習(xí)目標1掌握二次函數(shù)的概念，并能根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問題。2掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。3能夠利用二次函數(shù)解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力。重點：

1掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì)。2掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。難點：

1理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。2利用二次函數(shù)解決實際問題。二、學(xué)習(xí)過程章節(jié)介紹二次函數(shù)是初中階段函數(shù)中的重要函數(shù)，它在解決各類數(shù)學(xué)問題和實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線拋的開口方向，頂點坐標，對稱軸，與坐標軸交點坐標、確定二次函數(shù)的解析式為必須掌握內(nèi)容，理解二次函數(shù)與各系數(shù)之間的關(guān)系，靈活運用二次函數(shù)解決實際問題。二次函數(shù)是體現(xiàn)綜合性的重點內(nèi)容，在期中期末試卷中既有相對穩(wěn)定的基礎(chǔ)題，也有新穎的試題來考查學(xué)生的分析，解決問題能力，實踐和創(chuàng)新能力，因此經(jīng)常與一次函數(shù)，三角形，四邊形知識結(jié)合在一起，成為試卷的壓軸題。知識梳理1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如____________________(其中___________是常數(shù)，a__________0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中，_____________是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的__________、_____________和____________。2.二次函數(shù)的特殊形式：1)當___________________時，y＝ax2＋c（a≠0）2)當___________________時，y＝ax2＋bx（a≠0）3)當___________________時，y＝ax2（a≠0）3.根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：一般方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個變量之間的____________；2）然后用題設(shè)的__________________表示這個等量關(guān)系；3）列出相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式。4.二次函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì)5.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象特征和性質(zhì)6.二次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)7.二次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)8.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征和性質(zhì)9.求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入____________的坐標列出關(guān)于____________的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.2）頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標點____________，可設(shè)頂點式y(tǒng)=____________，再將____________代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.3）交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當拋物線與____________的兩個交點為____________時，可設(shè)y=____________，再將另一點的坐標代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象各項系數(shù)的關(guān)系：1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中①當a____________0時，拋物線開口向____________，a的值越____________，開口越____________；②當a____________0時，拋物線開口向____________，a的值越____________，開口越____________；【總結(jié)】a的____________決定開口方向，a的____________決定開口的大小(|a|越____________，拋物線的開口____________)．2）在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置。即對稱軸x=-b2a在y軸____________則____________>0，在y軸的____________則____________<0，概括的說就是“____________（1）當c____________0時，拋物線與y軸的交點在____________；（2）當c____________0時，拋物線與y軸的交點為____________；（3）當c____________0時，拋物線與y軸的交點在____________?！拘〗Y(jié)】c決定了拋物線與____________交點的位置．11.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的三種情況與一元二次方程根的關(guān)系：12.利用二次函數(shù)解決實際問題的步驟：第一步：分析題意，把________問題轉(zhuǎn)化為________問題，畫出圖形.第二步：根據(jù)已知條件建立適當?shù)腳_______________.第三步：選用適當?shù)腳_______________________________求解.第四步：根據(jù)二次函數(shù)的解析式解決具體的實際問題.13.利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：①找好________________；②利用相關(guān)的圖象________________，列出函數(shù)關(guān)系式；③利用函數(shù)的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康腳_______________。14.用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：審：仔細審題，理清題意；設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題；檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.15.利用二次函數(shù)解決銷售利潤最值的方法：巧設(shè)________________，根據(jù)________________列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。16.利用二次函數(shù)解決拱橋問題的方法：1）建立適當?shù)腳_______________。2）根據(jù)題意找出________________。3）求出拋物線解析式。4）直接利用圖象解決實際問題。考點解讀考查題型一根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．一個二次函數(shù)．（1）求k的值．（2）求當x=3時，y的值？2．已知函數(shù)．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求的值（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求的取值范圍．3．已知函數(shù)y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求m的取值范圍．(2)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值．(3)這個函數(shù)可能是正比例函數(shù)嗎？為什么？考查題型二二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．求：(1)該函數(shù)解析式及對稱軸；(2)試判斷點是否在此函數(shù)的圖象上．2．已知是關(guān)于x的二次函數(shù).(1)求滿足條件的k的值；(2)k為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點.當x為何值時，y的值隨x值的增大而增大？(3)k為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當x為何值時，y的值隨x值的增大而減??？3．如圖，在正方形中，已知：點A，點B在拋物線上，點C，點D在x軸上．(1)求點A的坐標；(2)連接交拋物線于點P，求點P的坐標．考查題型三二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)1．在同一個直角坐標系中作出y＝x2，y＝x2－1的圖象．(1)分別指出它們的開口方向、對稱軸以及頂點坐標；(2)拋物線y＝x2－1與拋物線y＝x2有什么關(guān)系？2．已知二次函數(shù)．

求函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；求這個函數(shù)圖象與軸的交點坐標．3．已知二次函數(shù)y＝ax2與y＝﹣2x2+c．（1）隨著系數(shù)a和c的變化，分別說出這兩個二次函數(shù)圖象的變與不變；（2）若這兩個函數(shù)圖象的形狀相同，則a＝；若拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位就能與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，則c＝；（3）二次函數(shù)y＝﹣2x2+c中x、y的幾組對應(yīng)值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小關(guān)系為（用“＜”連接）．考查題型四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．拋物線y=3(x－2)2與x軸交于點A，與y軸交于點B，求△AOB的面積和周長．2．已知函數(shù)，和．(1)在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象；(2)分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸、頂點坐標；(3)試說明：分別通過怎樣的平移，可以由函數(shù)的圖象得到函數(shù)和函數(shù)的圖象；(4)分別說出各個函數(shù)的性質(zhì)．3．已知平面直角坐標系中，拋物線與直線，其中．若拋物線的對稱軸為，①m的值為﹔②當時，有（填“”，“”或“”）．當時，若拋物線與直線有且只有一個公共點，請求出的取值范圍．考查題型五二次函數(shù)+k的圖象和性質(zhì)1．已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－1.（1）當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O(0，0)時，求二次函數(shù)的解析式；（2）如下圖，當m＝2時，該拋物線與軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；2．已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（2）求出圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標；（3）當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減小？（4）當x取何值時，函數(shù)有最大值（或最小值）？并求出最大（或?。┲担?．已知拋物線C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若拋物線C的頂點在第二象限，求m的取值范圍；（2）若m＝﹣2，求拋物線C與坐標軸的交點圍成的三角形的面積．考查題型六二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線方程為．(1)求拋物線的解析式；(2)點為拋物線上一點，若，請直接寫出點的坐標；(3)點是拋物線上一點，若，求點的坐標．2．如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．（1）求點A，點B和點C的坐標；（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求PB+PC的值最小時的點P的坐標．考查題型七二次函數(shù)與一元二次方程1．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點P(2，4)．(1)求m的值；(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．2．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點，使與的面積相等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x?m=0．(1)設(shè)方程的兩根分別是x1，x2，若滿足x1+x2=x1?x2，求m的值．(2)二次函數(shù)y=x2+x?m的部分圖象如圖所示，求m的值．4．已知：一次函數(shù)，二次函數(shù)為（b，c為常數(shù)）.(1)如圖，兩函數(shù)圖象交于點.求二次函數(shù)的表達式，并寫出當時x的取值范圍.(2)請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點，并說明理由.查題型八二次函數(shù)與實際問題1．某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？2．某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù)．(1)求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；(2)當銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤．3．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？素材1圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線形橋拱的示意圖，某時測得水面寬，拱頂離水面．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達到最高．素材2為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱上懸掛長的燈籠，如圖3.為了安全，燈籠底部距離水面不小于；為了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平間距均為；為了美觀，要求在符合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸對稱分布．問題解決任務(wù)1確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數(shù)表達式．任務(wù)2探究懸掛范圍在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的最小值和橫坐標的取值范圍．任務(wù)3擬定設(shè)計方案給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標系，求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標．4．如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成，矩形的長為，寬為，以所在的直線為軸，線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系．軸是拋物線的對稱軸，最高點到地面距離為4米．(1)求出拋物線的解析式．(2)在距離地面米高處，隧道的寬度是多少？(3)如果該隧道內(nèi)設(shè)單行道（只能朝一個方向行駛），現(xiàn)有一輛貨運卡車高3.6米，寬2.4米，這輛貨運卡車能否通過該隧道？通過計算說明你的結(jié)論．5．某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A在y軸上，x軸上的點C，D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達式為．（1）求雕塑高OA．（2）求落水點C，D之間的距離．（3）若需要在OD上的點E處豎立雕塑EF，，．問：頂部F是否會碰到水柱？請通過計算說明．

一、學(xué)習(xí)目標1）掌握二次函數(shù)的概念，并能根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決相關(guān)問題。2）掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。3)能夠利用二次函數(shù)解決有關(guān)實際問題，能根據(jù)具體問題的實際意義檢驗結(jié)果的合理性，進一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力。重點：

1）掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì)。2)掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法。難點：

1)理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系。2)利用二次函數(shù)解決實際問題。二、學(xué)習(xí)過程章節(jié)介紹二次函數(shù)是初中階段函數(shù)中的重要函數(shù)，它在解決各類數(shù)學(xué)問題和實際問題中有著廣泛的應(yīng)用。掌握二次函數(shù)圖象和性質(zhì)是學(xué)習(xí)二次函數(shù)的基礎(chǔ)，根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線拋的開口方向，頂點坐標，對稱軸，與坐標軸交點坐標、確定二次函數(shù)的解析式為必須掌握內(nèi)容，理解二次函數(shù)與各系數(shù)之間的關(guān)系，靈活運用二次函數(shù)解決實際問題。二次函數(shù)是體現(xiàn)綜合性的重點內(nèi)容，在期中期末試卷中即有相對穩(wěn)定的基礎(chǔ)題，也有新穎的試題來考查學(xué)生的分析，解決問題能力，實踐和創(chuàng)新能力，因此經(jīng)常與一次函數(shù)，三角形，四邊形知識結(jié)合在一起，成為試卷的壓軸題。知識梳理1.二次函數(shù)的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常數(shù)，a≠0)的函數(shù)叫做二次函數(shù)。其中，x是自變量，a、b、c分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項。2.二次函數(shù)的特殊形式：1)當b＝0時，y＝ax2＋c（a≠0）2)當c＝0時，y＝ax2＋bx（a≠0）3)當b＝0，c＝0時，y＝ax2（a≠0）3.根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式的方法：一般方法：1）先找出題目中有關(guān)兩個變量之間的等量關(guān)系；2）然后用題設(shè)的變量或數(shù)值表示這個等量關(guān)系；3）列出相應(yīng)二次函數(shù)的關(guān)系式。4.二次函數(shù)y=ax2的圖象特征和性質(zhì)5.二次函數(shù)y=ax2+k的圖象特征和性質(zhì)6.二次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)7.二次函數(shù)的圖象特征和性質(zhì)8.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象特征和性質(zhì)9.求二次函數(shù)解析式的一般方法：1）一般式y(tǒng)=ax2+bx+c.代入三個點的坐標列出關(guān)于a,b,c的方程組，并求出a,b,c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式.2）頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k.根據(jù)頂坐標點（h,k)，可設(shè)頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k,再將另一點的坐標代入，即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.3）交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).當拋物線與x軸的兩個交點為(x1,0)、(x2,0)時，可設(shè)y=a(x-x1)(x-x2)，再將另一點的坐標代入即可求出a的值，從而寫出二次函數(shù)的解析式.10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象各項系數(shù)的關(guān)系：1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中1)當a>0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小2)當a<0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越大【總結(jié)】a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小(|a|越大，拋物線的開口小)．2）在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置。即對稱軸x=-b2a在y軸左側(cè)則ab>0，在y軸的右側(cè)則ab<0，概括的說就是“左同右異1）當c>0時，拋物線與y軸的交點在y軸正半軸；2）當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點；3）當c<0時，拋物線與y軸的交點在y軸負半軸?！拘〗Y(jié)】c決定了拋物線與y軸交點的位置．11.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和x軸交點的三種情況與一元二次方程根的關(guān)系：12.利用二次函數(shù)解決實際問題的步驟：1.分析題意，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，畫出圖形.2.根據(jù)已知條件建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?3.選用適當?shù)暮瘮?shù)解析式求解.4.根據(jù)二次函數(shù)的解析式解決具體的實際問題.13.利用二次函數(shù)解決面積最值的方法：①找好自變量；②利用相關(guān)的圖象面積公式，列出函數(shù)關(guān)系式；③利用函數(shù)的最值解決面積最值問題?！咀⒁狻孔宰兞康娜Q范圍。14.用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟：1.審：仔細審題，理清題意；2.設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；3.列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4.解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實際問題；5.檢：檢驗結(jié)果，進行合理取舍，得出符合實際意義的結(jié)論.15.利用二次函數(shù)解決銷售利潤最值的方法：巧設(shè)未知數(shù)，根據(jù)利潤公式列出函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值解決利潤最大問題是否存在最大利潤問題。16.利用二次函數(shù)解決拱橋問題的方法：1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼怠?）根據(jù)題意找出已知點的坐標。3）求出拋物線解析式。4）直接利用圖象解決實際問題?？键c解讀考查題型一根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．一個二次函數(shù)．（1）求k的值．（2）求當x=3時，y的值？【詳解】解：（1）依題意有，解得：k=2，∴k的值為2；（2）把k=2代入函數(shù)解析式中得：，當x=3時，y=14，∴y的值為14．2．已知函數(shù)．（1）若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求的值（2）若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求的取值范圍．【詳解】解：（1）由題意得，解得；（2）由題意得，，解得且．3．已知函數(shù)y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋2－2m.(1)若這個函數(shù)是二次函數(shù)，求m的取值范圍．(2)若這個函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值．(3)這個函數(shù)可能是正比例函數(shù)嗎？為什么？【詳解】(1)∵這個函數(shù)是二次函數(shù)，∴m2－m≠0，∴m(m－1)≠0，∴m≠0且m≠1.(2)∵這個函數(shù)是一次函數(shù)，∴∴m＝0.(3)不可能．∵當m＝0時，y＝－x＋2，∴不可能是正比例函數(shù)．考查題型二二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．求：(1)該函數(shù)解析式及對稱軸；(2)試判斷點是否在此函數(shù)的圖象上．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，∴，∴二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)對稱軸為y軸；（2）解：在中，當時，，∴點不在此函數(shù)的圖象上．2．已知是關(guān)于x的二次函數(shù).(1)求滿足條件的k的值；(2)k為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點.當x為何值時，y的值隨x值的增大而增大？(3)k為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？當x為何值時，y的值隨x值的增大而減?。俊驹斀狻?1)根據(jù)二次函數(shù)的定義得

解得k=±2.∴當k=±2時，原函數(shù)是二次函數(shù).(2)

根據(jù)拋物線有最低點，可得拋物線的開口向上，∴k+1＞0，即k＞-1，根據(jù)第(1)問得：k=2.∴該拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點為(0，0)，當x＞0時，y隨x的增大而增大.(3)根據(jù)二次函數(shù)有最大值，可得拋物線的開口向下，∴k+1＜0，即k＜-1，根據(jù)第(1)問得：k=-2.∴該拋物線的解析式為，頂點坐標為(0，0)，∴當k=-2時，函數(shù)有最大值為0.

當x＞0時，y隨x的增大而減小.3．如圖，在正方形中，已知：點A，點B在拋物線上，點C，點D在x軸上．(1)求點A的坐標；(2)連接交拋物線于點P，求點P的坐標．【詳解】（1）解：由題意可設(shè)，則，∵點A在拋物線上，∴，∴或（舍去），∴；（2）解：設(shè)直線的解析式，∵，，∴，解得，∴直線為，由解得或，∴P點的坐標為．考查題型三二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質(zhì)1．在同一個直角坐標系中作出y＝x2，y＝x2－1的圖象．(1)分別指出它們的開口方向、對稱軸以及頂點坐標；(2)拋物線y＝x2－1與拋物線y＝x2有什么關(guān)系？【詳解】解：如圖所示：(1)拋物線y＝x2開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標(0，0)；拋物線y＝x2－1開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標(0，－1)．(2)拋物線y＝x2－1可由拋物線y＝x2向下平移1個單位長度得到．2．已知二次函數(shù)．

求函數(shù)圖象的對稱軸和頂點坐標；求這個函數(shù)圖象與軸的交點坐標．【詳解】（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，對稱軸為直線x=2，頂點坐標為（2,4）（2）當y=0時，-x2+4x=0，解得x=0或4，∴圖象與x軸的交點坐標是（0，0）和（4，0）．3．已知二次函數(shù)y＝ax2與y＝﹣2x2+c．（1）隨著系數(shù)a和c的變化，分別說出這兩個二次函數(shù)圖象的變與不變；（2）若這兩個函數(shù)圖象的形狀相同，則a＝；若拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位就能與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，則c＝；（3）二次函數(shù)y＝﹣2x2+c中x、y的幾組對應(yīng)值如表：x﹣215ymnp表中m、n、p的大小關(guān)系為（用“＜”連接）．【詳解】解：（1）二次函數(shù)y＝ax2的圖象隨著a的變化，開口大小和開口方向都會變化，但是對稱軸、頂點坐標不會改變；二次函數(shù)y＝﹣2x2+c的圖象隨著c的變化，開口大小和開口方向都沒有改變，對稱軸也沒有改變，但是，頂點坐標會發(fā)生改變；（2）∵函數(shù)y＝ax2與函數(shù)y＝﹣2x2+c的形狀相同，∴a＝±2，∵拋物線y＝ax2沿y軸向下平移2個單位得到y(tǒng)＝ax2﹣2，與y＝﹣2x2+c的圖象完全重合，∴c＝﹣2，故答案為：±2，﹣2．（3）由函數(shù)y＝﹣2x2+c可知，拋物線開口向下，對稱軸為y軸，∵1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，∴p＜m＜n，故答案為：p＜m＜n．考查題型四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1．拋物線y=3(x－2)2與x軸交于點A，與y軸交于點B，求△AOB的面積和周長．【詳解】∵拋物線與x軸交于點A，與y軸交于點B，令，，解得：，令，，，，，，由勾股定理得：，．的面積為12，周長為．2．已知函數(shù)，和．(1)在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖象；(2)分別說出各個函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸、頂點坐標；(3)試說明：分別通過怎樣的平移，可以由函數(shù)的圖象得到函數(shù)和函數(shù)的圖象；(4)分別說出各個函數(shù)的性質(zhì)．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標為，開口向上，對稱軸為，頂點坐標為，開口向上，對稱軸為，頂點坐標為；（3）解：由拋物線向左平移1個單位，由拋物線向右平移1個單位；（4）解：當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大，當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大，當時y隨著x的增大而減小，當時y隨著x的增大而增大．3．已知平面直角坐標系中，拋物線與直線，其中．若拋物線的對稱軸為，①m的值為_﹔②當時，有（填“”，“”或“”）．當時，若拋物線與直線有且只有一個公共點，請求出的取值范圍．【詳解】解：（1）①由，則對稱軸，，②把分別代入與得，，，；（2）聯(lián)立、的解析式可得，，整理得，，則△，，，即就是沒有直線與拋物線相切的情況．當時，代入方程，得，（負值舍去），，當時，代入方程，得，，又，的取值為：．考查題型五二次函數(shù)+k的圖象和性質(zhì)1．已知二次函數(shù)y＝(x－m)2－1.（1）當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O(0，0)時，求二次函數(shù)的解析式；（2）如下圖，當m＝2時，該拋物線與軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點O(0，0)，∴代入二次函數(shù)y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，所以二次函數(shù)的解析式為y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）當m＝2時，y＝(x－2)2－1，∴D(2，－1)，又當x＝0時，y＝3，∴C(0，3)2．已知函數(shù).（1）寫出函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（2）求出圖象與x軸的交點坐標，與y軸的交點坐標；（3）當x取何值時，y隨x的增大而增大？當x取何值時，y隨x的增大而減??？（4）當x取何值時，函數(shù)有最大值（或最小值）？并求出最大（或?。┲?？【詳解】解：（1）由函數(shù)，∵，，，∴拋物線的開口向上，對稱軸是直線，頂點坐標是（-1,-8）.（2）令，即，解得，.∴圖象與x軸交于（1,0），（-3,0）.令，即，∴圖象與y軸交于（0,-6）.（3）由二次函數(shù)的性質(zhì)，得：當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小.（4）由頂點坐標，得：當時，y有最小值，最小值是-8.3．已知拋物線C：y＝（x﹣m）2+m+1．（1）若拋物線C的頂點在第二象限，求m的取值范圍；（2）若m＝﹣2，求拋物線C與坐標軸的交點圍成的三角形的面積．【詳解】解：（1）∵拋物線的解析式為，∴拋物線的頂點坐標為（，），∵拋物線的頂點坐標在第二象限，∴，∴；（2）當時，拋物線解析式為，令，即，解得或，令，，∴如圖所示，A（-3，0），B（-1，0），D（0，3），∴OD=3，AB=2，∴，∴拋物線C與坐標軸的交點圍成的三角形的面積是3．考查題型六二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象和性質(zhì)1．如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，直線方程為．(1)求拋物線的解析式；(2)點為拋物線上一點，若，請直接寫出點的坐標；(3)點是拋物線上一點，若，求點的坐標．詳解】（1）解：對于直線BC解析式y(tǒng)=x-3，令x=0時，y=-3，則C(0,-3)，令y=0時，x=3，則B(3,0)，把B(3,0)，C(0,-3)，分別代入，得，解得：，∴求拋物線的解析式為：y=-x2+4x-3；（2）解：對于拋物線y=-x2+4x-3，令y=0，則-x2+4x-3=0，解得：x1=1,x2=3,∴A(1,0)，B(3,0)，∴OA=1，OB=3，AB=2，過點A作AN⊥BC于N，過點P作PM⊥BC于M，如圖，∵A(1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，∴OB=OC=3，AB=2，∴∠ABC=∠OCB=45°，∴AN=，∵，∴PM=，過點P作PEBC，交y軸于E，過點E作EF⊥BC于F，則EF=PM=，∴CE=1∴點P是將直線BC向上或向下平移1個單位，與拋物線的交點，如圖P1，P2，P3，P4，∵B(3,0)，C(0,-3)，∴直線BC解析式為：y=x-3，∴平移后的解析式為y=x-2或y=x-4,聯(lián)立直線與拋物線解析式，得或，解得：，，，，∴P點的坐標為(,)或(,)或（,）或(,)．（3）解：如圖，點Q在拋物線上，且∠ACQ=45°，過點Q作AD⊥CQ于D，過點D作DF⊥x軸于F，過點C作CE⊥DF于E，∵∠ADC=90°，∴∠ACD=∠CAD=45°，∴CD=AD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADF=90°-∠CDE=∠DCE，∴△CDE≌△DAD（AAS），∴DE=AF，CE=DF，∵∠COF=∠E=∠AFD=90°，∴四邊形OCEF是矩形，∴OF=CE，EF=OC=3，設(shè)DE=AF=n，∵OA=1，∴CE=DF=OF=n+1∴DF=3-n，∴n+1=3-n解得：n=1，∴DE=AF=1，∴CE=DF=OF=2，∴D(2,-2),設(shè)直線CQ解析式為y=px-3，把D(2,-2)代入，得p=,∴直線CQ解析式為y=x-3，聯(lián)立直線與拋物線解析式，得解得：，（不符合題意，舍去），∴點Q坐標為(,).2．如圖，拋物線y＝x2+x﹣2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．（1）求點A，點B和點C的坐標；（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求PB+PC的值最小時的點P的坐標．【詳解】解：（1）由y＝0，得x2+x-2＝0解得x＝-2，x＝1，∴A（-2，0），B（1，0），由x＝0，得y＝-2，∴C（0，-2）．（2）連接AC與對稱軸的交點即為點P．設(shè)直線AC為y＝kx+b，則﹣2k+b＝0，b＝﹣2：得k＝﹣1，y＝﹣x﹣2．對稱軸為x＝，當x＝時，y＝-2＝，∴P（，）．3．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）求二次函數(shù)圖象的對稱軸．【詳解】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2－2mx＋5m的圖象經(jīng)過點(1，－2)，∴－2＝1－2m＋5m，解得；

∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2＋2x－5．（2）二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線；故二次函數(shù)的對稱軸為：直線；考查題型七二次函數(shù)與一元二次方程1．已知二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3（m為常數(shù)，m>0）的圖象經(jīng)過點P(2，4)．(1)求m的值；(2)判斷二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3的圖象與x軸交點的個數(shù)，并說明理由．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=x2+mx+m2?3圖象經(jīng)過點P(2，4)，∴4=4+2m+m2?3，即m2+2m?3=0，解得：m1=1，m2=?3，又∵m>0，∴m=1；（2）解：由（1）知二次函數(shù)y=x2+x?2，∵Δ=b2?4ac=12+8=9>0，∴二次函數(shù)y=x2+x?2的圖象與x軸有兩個交點．2．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，另一個交點為，且與軸交于點．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)該二次函數(shù)圖象上是否存在點，使與的面積相等？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸的一個交點為，∴，解得，即，；（2）存在，或或，理由如下，由，令，即，解得，，；（3）設(shè)，邊上的高為，與的面積相等，，是上的點，則，或，解得或.，或或．3．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+x?m=0．(1)設(shè)方程的兩根分別是x1，x2，若滿足x1+x2=x1?x2，求m的值．(2)二次函數(shù)y=x2+x?m的部分圖象如圖所示，求m的值．【詳解】（1）解：由題意得：x1+x2=-1，x1?x2=-m，∴-1=-m．∴m=1．當m=1時，x2+x-1=0，此時Δ=1+4m=1+4=5＞0，符合題意．∴m=1；（2）解：圖象可知：過點（1，0），當x=1，y=0，代入y=x2+x-m，得12+1-m=0．∴m=2．4．已知：一次函數(shù)，二次函數(shù)為（b，c為常數(shù)）.(1)如圖，兩函數(shù)圖象交于點.求二次函數(shù)的表達式，并寫出當時x的取值范圍.(2)請寫出一組b，c的值，使兩函數(shù)圖象只有一個公共點，并說明理由.【詳解】（1）將（3，m）代入得m=6-2=4，將（n,-6）代入得-6=2n-2，解得n=-2，∴拋物線經(jīng)過點（3，4），（-2，-6），將（3，4），（-2，-6）代入得，解得，∴，由圖象可得-2＜x＜3時，拋物線在直線上方，∴時x的取值范圍是-2＜x＜3．（2）令，整理得，當時，兩函數(shù)圖象只有一個公共點，∴b=2，c=-2，滿足題意．考查題型八二次函數(shù)與實際問題1．某商場新進一批拼裝玩具，進價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當天玩具的銷售單價是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【詳解】（1）解：由圖可知，設(shè)一次函數(shù)的解析式為，把點（25，50）和點（35，30）代入，得，解得，∴一次函數(shù)的解析式為；（2）解：根據(jù)題意，設(shè)當天玩具的銷售單價是元，則，解得：，，∴當天玩具的銷售單價是40元或20元；（3）解：根據(jù)題意，則，整理得：；∵，∴當時，有最大值，最大值為800；∴當玩具的銷售單價定為30元時，日銷售利潤最大；最大利潤是800元．2．某種商品每件的進價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù)．(1)求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；(2)當銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求