人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練專題19正多邊形與圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)(八大題型)(原卷版+解析)

第二十四章圓專題19正多邊形與圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）【題型目錄】題型一正多邊形與圓之求角的度數(shù)題型二正多邊形與圓之求線段長(zhǎng)題型三正多邊形與圓之求半徑題型四正多邊形與圓之求面積題型五正多邊形與圓之求周長(zhǎng)題型六正多邊形與圓的實(shí)際應(yīng)用題型七正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題題型八正多邊形與圓中的證明【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)、正多邊形與圓（一）正多邊形及有關(guān)概念（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的畫法：把圓等分（），順次連接各等分點(diǎn)，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。（3）正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫作這個(gè)正多邊形的中心。（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫作正多邊形的中心角。（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。（二）正多邊形的有關(guān)計(jì)算（1）正邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（2）正邊形的每個(gè)中心角都等于（3）正邊形的其他計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長(zhǎng)的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，設(shè)正邊形的半徑為一邊，邊心距，則有正邊形的周長(zhǎng)面積【經(jīng)典例題一正多邊形與圓之求角的度數(shù)】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與正五邊形的兩邊，相切于，兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在弧上，則的度數(shù)為．

4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在正五邊形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為．

5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形內(nèi)接于，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)求的度數(shù)．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為菱形．【經(jīng)典例題二正多邊形與圓之求線段長(zhǎng)】1．（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距（

）

A． B． C． D．32．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，連接BE，，相交于點(diǎn)O，若點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B． C．8 D．93．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．則線段的長(zhǎng)為．

4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形的半徑為，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，則的長(zhǎng)度可以是（只寫出一個(gè)滿足條件的值即可）．

5．（2023·河北邯鄲·?？级＃┠μ燧啠ㄈ鐖D1）是游樂(lè)場(chǎng)中受歡迎的游樂(lè)設(shè)施之一，它可以看作一個(gè)大圓和六個(gè)全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過(guò)頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，圓心M與l的最大距離為_(kāi)_______；②當(dāng)圓心H到l的距離等于時(shí)，求的長(zhǎng)；③求證：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．6．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為4，將該圓等分成8份，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)連接，直接寫出和的位置關(guān)系___________；(2)求證：；(3)求的長(zhǎng)；【經(jīng)典例題三正多邊形與圓之求半徑】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，則該正六邊形的內(nèi)切圓半徑為（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·云南臨滄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為4，則的半徑為（

）A． B． C． D．23．（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)等于，那么這個(gè)正六邊形的內(nèi)切圓半徑等于．4．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）圖1是由兩個(gè)正六邊形組成的壁掛置物架，軸對(duì)稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個(gè)正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計(jì)），，則的長(zhǎng)為．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比為，則圓弧的半徑為．5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知正六邊形內(nèi)接于，圖中陰影部分的面積為，則的半徑為多少？6．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

【經(jīng)典例題四正多邊形與圓之求面積】1．（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為，分別以其對(duì)角線、為邊作正方形，則兩個(gè)陰影部分的面積差的值為（

）

A．0 B．1 C．3 D．22．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形）的外接圓，若已知該外接圓的半徑是4，則正六邊形的面積是（

）A． B．24 C． D．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積．如圖，已知的半徑為2，則的內(nèi)接正六邊形的面積為．4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來(lái)近似估計(jì)的面積，則的面積約為．5．（2023春·山東泰安·八年級(jí)肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪覀儗W(xué)習(xí)了平面圖形的鑲嵌，即用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．鑲嵌平面的圖形有很多，值得我們研究的問(wèn)題也有許多！如圖，小亮同學(xué)用繪畫的方法，設(shè)計(jì)的一個(gè)正三角形的平面鑲嵌圖，如果整個(gè)鑲嵌圖三角形ABC的面積為75，則圖中陰影部分的面積是多少？

6．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）已知的直徑，弦與弦交于點(diǎn)E，且，垂足為點(diǎn)F．

(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若E為弦的中點(diǎn)，求證：．(3)連結(jié)、、，若是的內(nèi)接正n邊形的一邊，是的內(nèi)接正邊形的一邊，求的面積．【經(jīng)典例題五正多邊形與圓之求周長(zhǎng)】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（）

A．5 B．6 C．30 D．362．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的半徑為6，則的周長(zhǎng)是(

)A． B． C． D．3．（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)，，，，，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)，則六邊形與六邊形的周長(zhǎng)比為．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，若該正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則△ACD的周長(zhǎng)為．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長(zhǎng)到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)等于________．6．（2021秋·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)亭子．它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)和面積．【經(jīng)典例題六正多邊形與圓的實(shí)際應(yīng)用】1．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開(kāi)始放置在邊長(zhǎng)為4的正六邊形的頂點(diǎn)A處．兩枚跳棋跳動(dòng)規(guī)則是：紅跳棋按順時(shí)針?lè)较?秒鐘一次跳1個(gè)頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時(shí)針?lè)较?秒鐘一次跳1個(gè)頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)2022秒鐘后停止跳動(dòng)，此時(shí)兩枚跳棋之間的距離是（）

A．8 B． C．4 D．02．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形）放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．3．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖①，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過(guò)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形．如圖②是一部分巢房的截面圖，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，將一個(gè)正方形紙片沿虛線對(duì)折兩次，得到圖2，按照?qǐng)D2所示剪去一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，展開(kāi)后得到一個(gè)如圖3所示的正八邊形，將前下的四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形，放在正八邊形內(nèi)部，與重合，為的中點(diǎn)，連接．

（1）圖1中的正方形紙片邊長(zhǎng)為；（2）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，與重合，此時(shí)長(zhǎng)為．5．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有．任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為．（2）如圖2，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．6．（2021春·黑龍江雞西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探究題：（1）都相等，都相等的多邊形叫做正多邊形；（2）如圖，格點(diǎn)長(zhǎng)方形MNPQ的各點(diǎn)分布在邊長(zhǎng)均為1的等邊三角形組成的網(wǎng)格上，請(qǐng)?jiān)诟顸c(diǎn)長(zhǎng)方形MNPQ內(nèi)畫出一個(gè)面積最大的格點(diǎn)正六邊形ABCDEF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明它是正六邊形的理由；（3）正六邊形有條對(duì)角線，它的外角和為度．【經(jīng)典例題七正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P，Q分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，則第次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．2．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)在軸正半軸上，．將正六邊形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．3．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)小組在一個(gè)半徑為2的圓形場(chǎng)地上做探究實(shí)踐活動(dòng)．

（1）如圖1，小組將圓形場(chǎng)地分為12等份．機(jī)器人從一個(gè)點(diǎn)到另外一個(gè)點(diǎn)均是直線行走．①機(jī)器人從點(diǎn)走到點(diǎn)的路程為；②機(jī)器人從點(diǎn)到點(diǎn)走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長(zhǎng)記為，路線2的長(zhǎng)記為，則；（填“>”“<”或“=”）（2）如圖2，機(jī)器人從出發(fā)，沿與半徑夾角為的方向行走，走到場(chǎng)地邊緣后，再沿與夾角為的方向折向行走至，…按照這樣的方式，機(jī)器人走到時(shí)第一次超過(guò)，且，則．4．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形的中心與原點(diǎn)重合，軸，交軸于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

5．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過(guò)此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過(guò)計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊，分別交于點(diǎn)，．設(shè)等邊的面積為，通過(guò)證明可得，則．(1)【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊，分別交于點(diǎn)，．若正方形的面積為，請(qǐng)用含的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過(guò)程）．(2)【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊，分別交于點(diǎn)，．若四邊形面積為，請(qǐng)直接寫出正六邊形的面積(3)【猜想結(jié)論】如圖4，為正邊形……的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正邊形的邊，分別交于點(diǎn)，．若四邊形面積為，請(qǐng)用含、的式子表示正邊形……的面積．【經(jīng)典例題八正多邊形與圓中的證明】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M．（1）求證：AC∥ED；（2）求證：ME＝AE．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等腰中，AB＝AC．（1）如圖1，若為的外接圓，求證：；（2）如圖2，若，，I為的內(nèi)心，連接IC，過(guò)點(diǎn)I作交AC于點(diǎn)D，求ID的長(zhǎng)．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：射線求作：，使得點(diǎn)在射線上，，．作法：如圖，①在射線上取一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，與射線相交于點(diǎn)；②以為圓心，為半徑作弧，在射線上方交⊙于點(diǎn)；③連接，．則即為所求的三角形．（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：連接．∵為⊙的直徑，∴__________．∵，∴等邊三角形．∴．∵點(diǎn)，都在⊙上，∴．（）（填推理的依據(jù)）∴．即為所求的三角形．4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，正方形內(nèi)接于，為任意一點(diǎn)，連接、．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，，，求的長(zhǎng)度．5．（2022春·云南昆明·九年級(jí)昆明市第三中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知正方形的邊長(zhǎng)為．(1)將正方形對(duì)折，折痕為，如圖①把這個(gè)正方形展平，再將點(diǎn)折到折痕上的點(diǎn)的位置，折痕為．①判斷的形狀，并說(shuō)明理由；②求的長(zhǎng)；(2)如圖②當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)的過(guò)程中，直接寫出面積的取值范圍．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是等邊三角形中邊上的動(dòng)點(diǎn)（），作的外接圓交于點(diǎn)D．點(diǎn)E是圓上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)F．(1)求證：(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)變化時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求的度數(shù)．(3)探究線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

第二十四章圓專題19正多邊形與圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（八大題型）【題型目錄】題型一正多邊形與圓之求角的度數(shù)題型二正多邊形與圓之求線段長(zhǎng)題型三正多邊形與圓之求半徑題型四正多邊形與圓之求面積題型五正多邊形與圓之求周長(zhǎng)題型六正多邊形與圓的實(shí)際應(yīng)用題型七正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題題型八正多邊形與圓中的證明【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)、正多邊形與圓（一）正多邊形及有關(guān)概念（1）正多邊形：各邊相等，各角也相等的我邊形叫作正多邊形。（2）正多邊形的畫法：把圓等分（），順次連接各等分點(diǎn)，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓。（3）正多邊形的中心：一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫作這個(gè)正多邊形的中心。（4）正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫作正多形的半徑。（5）正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫作正多邊形的中心角。（6）正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫作正多邊形的邊心距。（二）正多邊形的有關(guān)計(jì)算（1）正邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（2）正邊形的每個(gè)中心角都等于（3）正邊形的其他計(jì)算都可以轉(zhuǎn)化到由半徑、邊心距及邊長(zhǎng)的一半組成的直角三角形中進(jìn)行，如圖所示，設(shè)正邊形的半徑為一邊，邊心距，則有正邊形的周長(zhǎng)面積【經(jīng)典例題一正多邊形與圓之求角的度數(shù)】1．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，與正五邊形的兩邊，相切于，兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，可得，，結(jié)合正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為，即可求解．【詳解】解：∵、切于點(diǎn)A、C，∴，，∴正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形的內(nèi)角和公式的應(yīng)用，以及切線的性質(zhì)定理，掌握正多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于，點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)和點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，得到，，得到，根據(jù)圓周角定理即可得到的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，

∵正六邊形內(nèi)接于，Q是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形和圓、圓周角定理等知識(shí)，熟練掌握正多邊形和圓的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在弧上，則的度數(shù)為．

【答案】/36度【分析】連接，，構(gòu)造圓心角，利用正五邊形的性質(zhì)求得圓心角的度數(shù)，從而求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，，

∵正五邊形內(nèi)接于，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓以及圓心角、圓周角的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正五邊形的性質(zhì)以及圓周角與圓心角的關(guān)系．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在正五邊形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，連接，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱的定義得出當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，由正五邊形的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)可得，再由等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的定義進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，

，五邊形是正五邊形，，，，是的中點(diǎn)，是正五邊形的一條對(duì)稱軸，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的定義、對(duì)稱的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形內(nèi)接于，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)求的度數(shù)．【答案】(1),理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，可得，根據(jù)切線的定義可得，即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，則．根據(jù)點(diǎn)F是的中點(diǎn)，可得．最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得．【詳解】（1）解：．理由：如圖，連接，∵正方形內(nèi)接于，∴．∵與相切于點(diǎn)D，∴，即．∴，∴．（2）解：∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接正多邊形，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的中心角，同弧所對(duì)的圓周角相等，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，以及平行線的判定和性質(zhì)．6．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正五邊形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：四邊形為菱形．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用正五邊形的性質(zhì)求出及度數(shù)，得出，最后求出的度數(shù)；（2）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可證．【詳解】（1）解：∵正五邊形ABCDE∴，，∴同理：，∴．（2）證明：∵，∴，∴，同理∴∴四邊形CDEF為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)及菱形的判定，利用正五邊形的性質(zhì)得出內(nèi)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題二正多邊形與圓之求線段長(zhǎng)】1．（2023秋·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知的半徑為4，則該圓內(nèi)接正六邊形的邊心距（

）

A． B． C． D．3【答案】C【分析】連接，，可得是等邊三角形，根據(jù)邊心距即為等邊三角形的高用勾股定理求出．【詳解】解：連接，，

∵六邊形是正六邊形，∴，∴是等邊三角形，由題意可知，則垂直平分，∴，∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形，等邊三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的相關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長(zhǎng)為的正六邊形中，連接BE，，相交于點(diǎn)O，若點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B． C．8 D．9【答案】D【分析】連接，利用是含角的直角三角形，再利用是三角形的中位線求MN即可.【詳解】解：連接BF，

∵在正六邊形中，，，∴∴，∴在正六邊形中，，∴是等邊三角形，∴，∴是含角的直角三角形又∵正六邊形的邊長(zhǎng)為，即∴，∴∵點(diǎn)分別為，的中點(diǎn)，∴是三角形的中位線，∴故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的內(nèi)角和中心角，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°的直角三角形三邊關(guān)系，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正八邊形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線、相交于點(diǎn)．則線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出，，即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，由題意可知，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，，

在中，，，，同理，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．4．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形的半徑為，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，連接，則的長(zhǎng)度可以是（只寫出一個(gè)滿足條件的值即可）．

【答案】答案不唯一，只要符合即可．【分析】設(shè)正六邊形的中心為，連接，，，，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得和為等邊三角形，然后可由勾股定理求出，進(jìn)而得，再求出，根據(jù)在邊上運(yùn)動(dòng)得，最后在這個(gè)的范圍內(nèi)取一個(gè)值即可．【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為，連接，，，，

根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，為等邊三角形，，同理：為等邊三角形，，又，，，，在中，，，由勾股定理得：，，又，，在邊上運(yùn)動(dòng)，，即：，．故答案為：答案不唯一，只要符合即可．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，中心角、半徑等概念．5．（2023·河北邯鄲·?？级＃┠μ燧啠ㄈ鐖D1）是游樂(lè)場(chǎng)中受歡迎的游樂(lè)設(shè)施之一，它可以看作一個(gè)大圓和六個(gè)全等的小圓組成（如圖2），大圓繞著圓心O勻速旋轉(zhuǎn)，小圓通過(guò)頂部掛點(diǎn)（如點(diǎn)P，N）均勻分布在大圓圓周上，由于重力作用，掛點(diǎn)和小圓圓心連線（如）始終垂直于水平線l．

(1)________°(2)若，的半徑為10，小圓的半徑都為1：①在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，圓心M與l的最大距離為_(kāi)_______；②當(dāng)圓心H到l的距離等于時(shí)，求的長(zhǎng)；③求證：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值．【答案】(1)60(2)①25；②；③的長(zhǎng)為定值，定值為10．【分析】（1）將平均分6份即可；（2）①當(dāng)圓心M在的延長(zhǎng)線上時(shí)，圓心M與l有最大距離，據(jù)此即可求解；②設(shè)的掛點(diǎn)為K，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)T，先證四邊形是矩形，再用勾股定理解即可；③先證是等邊三角形，再證是平行四邊形，可得．【詳解】（1）解：，故答案為：60；（2）解：①當(dāng)圓心M在的延長(zhǎng)線上時(shí)，圓心M與l有最大距離，最大距離為，故答案為：25；②如圖，設(shè)的掛點(diǎn)為K，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)T，

∵掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，∴K，H，T在同一直線上，∵圓心H到l的距離等于，∴，∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴；③證明：如圖所示，連接，，

由（1）知，又∵，∴是等邊三角形，∴，∵小圓的半徑都為1，掛點(diǎn)和小圓圓心連線始終垂直于水平線l，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴的長(zhǎng)為定值．【點(diǎn)睛】本題考查圓的基本知識(shí)，矩形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意抽象出數(shù)學(xué)模型．6．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為4，將該圓等分成8份，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)連接，直接寫出和的位置關(guān)系___________；(2)求證：；(3)求的長(zhǎng)；【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）連接，根據(jù)將該圓等分成8份，可得是的直徑，再根據(jù)圓周角定理可證得；（2）連接，，根據(jù)圓周角定理可證得，再由被8等分可得，，即可證得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；（3）連接，，，由被8等分可求得，可得，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：如圖：連接，將該圓等分成8份，是的直徑，，，故答案為：；（2）解：如圖：連接，，，被8等分，，，在與中，∴，，，即；（3）解：如圖：連接，，，被8等分，∴，，，∴在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等分圓的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)及判定定理，勾股定理，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題三正多邊形與圓之求半徑】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，則該正六邊形的內(nèi)切圓半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件先求出正六邊形的邊長(zhǎng)以及對(duì)應(yīng)角度，構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可求出答案.【詳解】解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，

圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為，圓內(nèi)接正六邊形的邊長(zhǎng)為：.，.，，在中，，.正六邊形的內(nèi)切圓半徑為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于正確掌握正六邊形的性質(zhì).2．（2023秋·云南臨滄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為4，則的半徑為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)：圓的半徑等于正方形對(duì)角線的一半求解即可．【詳解】解：∵四邊形是的內(nèi)接正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴正方形對(duì)角線長(zhǎng)為，∴的半徑為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的內(nèi)接正方形，熟記圓內(nèi)接正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如果一個(gè)正六邊形的周長(zhǎng)等于，那么這個(gè)正六邊形的內(nèi)切圓半徑等于．【答案】【分析】根據(jù)正六邊形的定義可求出其邊長(zhǎng)為，再根據(jù)其性質(zhì)可知其相鄰兩條半徑與所夾邊組成三角形為等邊三角形，即為等邊三角形的高，即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可求出正六邊形的邊長(zhǎng)，如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知，，∴為等邊三角形，∴，∴．在中，由勾股定理可得：∴．∴正六邊形的內(nèi)切圓半徑．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）圖1是由兩個(gè)正六邊形組成的壁掛置物架，軸對(duì)稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個(gè)正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計(jì)），，則的長(zhǎng)為．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比為，則圓弧的半徑為．【答案】20【分析】設(shè)的圓心是，作于，連接，由正六邊形的性質(zhì)求出，的長(zhǎng)，由直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，得到的長(zhǎng)，由勾股定理列出關(guān)于半徑的方程，即可解決問(wèn)題；【詳解】解：設(shè)的圓心是，作于，連接，∵是圓弧最高點(diǎn)，∴在上，∵兩個(gè)多邊形是正六邊形，∴，∴，∴是等邊三角形，三點(diǎn)共線，∵四邊形是矩形，∴∵圓弧最高點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比為，∴到的距離是，設(shè)的半徑是，∴的半徑是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由以上知識(shí)點(diǎn)求出正六邊形的邊長(zhǎng)，的長(zhǎng)，的長(zhǎng)得到的長(zhǎng)，由勾股定理列出關(guān)于半徑的方程5．（2022春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知正六邊形內(nèi)接于，圖中陰影部分的面積為，則的半徑為多少？【答案】半徑【分析】先根據(jù)三角形的面積求出它的邊長(zhǎng)，再根據(jù)正多邊形與圓的關(guān)系即可求出．【詳解】解：連接DO并延長(zhǎng)，交BF于點(diǎn)G．∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴陰影部分為正三角形，設(shè)邊長(zhǎng)是a，則FG=a，DG=a，則面積是a×a=，即=，解得a=4，則DG=BD?sin60°=4×=6∴半徑OD=DG=6×=4．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，熟知正六邊形的性質(zhì)，得出陰影部分三角形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

【答案】⊙O的半徑長(zhǎng)為2．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和圓周角定理可得△AOC是等腰直角三角形，AC＝4，易得OA.【詳解】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠D＝90°，∵OA＝OC，且AC＝4，∴OA＝OC＝AC＝2，即⊙O的半徑長(zhǎng)為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形和圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)是解題關(guān)鍵.【經(jīng)典例題四正多邊形與圓之求面積】1．（2023春·河北衡水·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知正六邊形的邊長(zhǎng)為，分別以其對(duì)角線、為邊作正方形，則兩個(gè)陰影部分的面積差的值為（

）

A．0 B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】分別求出兩個(gè)正方形的面積，再求差可得結(jié)論．【詳解】解∶如圖，取正六邊形的中心，連接，令交于點(diǎn)

∵正六邊形的邊長(zhǎng)為，∴，∴、與都是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，∴，，∴，∴，∴為邊的正方形的面積為，為邊的正方形的面積為，∴．故選∶B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．2．（2023·重慶·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，作出“雪花”圖案（正六邊形）的外接圓，若已知該外接圓的半徑是4，則正六邊形的面積是（

）A． B．24 C． D．【答案】C【分析】連接、，由正六邊形的特點(diǎn)求出判斷出的形狀，作，由特殊角的三角函數(shù)值求出的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求出的面積，進(jìn)而可得出正六邊形的面積．【詳解】連接、，六邊形是正六邊形，，，，∴是等邊三角形，作交于點(diǎn)，則，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，在本題中，注意正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑的特點(diǎn)，進(jìn)行解題．3．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積．如圖，已知的半徑為2，則的內(nèi)接正六邊形的面積為．【答案】6【分析】連接、，根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再利用勾股定理即可求出長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的面積，最后利用的面積約為即可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，由題意可得：，，為等邊三角形，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，在中，，，的面積約為．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）劉徽是中國(guó)古代卓越的數(shù)學(xué)家之一，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，即用內(nèi)接或外切正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積．設(shè)的半徑為，若用的內(nèi)接正六邊形的面積來(lái)近似估計(jì)的面積，則的面積約為．【答案】【分析】連接、，根據(jù)正多邊形和圓的關(guān)系可判斷出為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再利用勾股定理即可求出長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的面積，最后利用的面積約為即可計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、

由題意可得：∵∴為等邊三角形，∴過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則在中，∴∴的面積約為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正多邊形與圓、勾股定理等，正確應(yīng)用正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．5．（2023春·山東泰安·八年級(jí)肥城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┪覀儗W(xué)習(xí)了平面圖形的鑲嵌，即用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進(jìn)行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．鑲嵌平面的圖形有很多，值得我們研究的問(wèn)題也有許多！如圖，小亮同學(xué)用繪畫的方法，設(shè)計(jì)的一個(gè)正三角形的平面鑲嵌圖，如果整個(gè)鑲嵌圖三角形ABC的面積為75，則圖中陰影部分的面積是多少？

【答案】【分析】設(shè)圖中小等邊三角形的高為，則等邊三角形的高為，正六邊形的高為，推出每個(gè)小正六邊形的面積，推出陰影部分的面積為，再利用的面積，求出可得結(jié)論．【詳解】解：設(shè)圖中小等邊三角形的高為，則等邊三角形的高為，正六邊形的高為，每個(gè)小正六邊形的面積，陰影部分的面積為，的面積為75，，，陰影部分的面積，【點(diǎn)睛】本題考查平面鑲嵌，等邊三角形的面積，正多邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．6．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）已知的直徑，弦與弦交于點(diǎn)E，且，垂足為點(diǎn)F．

(1)如圖1，若，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，若E為弦的中點(diǎn)，求證：．(3)連結(jié)、、，若是的內(nèi)接正n邊形的一邊，是的內(nèi)接正邊形的一邊，求的面積．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先根據(jù)垂徑定理和弧、圓心角的關(guān)系可求得，進(jìn)而利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）先根據(jù)垂徑定理得到，再利用三角形的中位線性質(zhì)得到，，證明得到即可證得結(jié)論；（3）先求得、、所對(duì)的圓心角的度數(shù)，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而求得即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，∵，垂足為點(diǎn)F，，∴，則，∴，又∵，∴；（2）解：如圖2，連接，

∵為直徑，，∴，又∵，∴，，∴，∵、，∴，∴，∴；（3）解：如圖，連接，

∵是的內(nèi)接正n邊形的一邊，是的內(nèi)接正邊形的一邊，∴，則，解得：．經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根．∴，，∵，，∴，∴，則，則，．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合，涉及垂徑定理，圓周角定理，弧、圓心角的關(guān)系、含30度角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、正多邊形的中心角等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題五正多邊形與圓之求周長(zhǎng)】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（）

A．5 B．6 C．30 D．36【答案】C【分析】連接、，交于點(diǎn)，則點(diǎn)是正六邊形的中心，先根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接、，交于點(diǎn)，

則點(diǎn)是正六邊形的中心，∵六邊形是正六邊形，，∴，，∴是等邊三角形，，∴正六邊形的周長(zhǎng)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的半徑為6，則的周長(zhǎng)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正六邊形內(nèi)接于圓O,證明△AED是特殊的直角三角形,再利用三角函數(shù)值即可解題.【詳解】解：在正六邊形中,每個(gè)內(nèi)角都等于120°,∴∠F=120°,AF=EF,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠AED=90°,∵正六邊形內(nèi)接于⊙，∴∠ADE=60°,即△ADE是特殊的直角三角形,AD=2DE,（30°所對(duì)直角邊等于斜邊一半）∵⊙的半徑為6，∴AD=12,DE=6,AE=,∴的周長(zhǎng)是,故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì),直角三角函數(shù)的應(yīng)用,中等難度,證明△AED是特殊的直角三角形,找到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.3．（2023春·福建福州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)，，，，，分別是正六邊形各邊的中點(diǎn)，則六邊形與六邊形的周長(zhǎng)比為．【答案】【分析】設(shè)正六邊形的中心為，周長(zhǎng)是，連接，，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到，求得，于是得到結(jié)論．【詳解】解：設(shè)正六邊形的中心為，連接，，設(shè)正六邊形的周長(zhǎng)是，，，順次連接正六邊形各邊的中點(diǎn)、、、、、得到的六邊形為正六邊形，，六邊形的周長(zhǎng)是，與六邊形的周長(zhǎng)比，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓，正六邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AC、AD為正六邊形ABCDEF的兩條對(duì)角線，若該正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則△ACD的周長(zhǎng)為．【答案】/【分析】求出正六邊形的內(nèi)角度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的判斷和性質(zhì)以及角的和差關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF，∴∠B＝∠BCD120°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，由對(duì)稱性可得，AD是正六邊形的對(duì)稱軸，∴∠ADC＝∠ADE∠CDE＝60°，在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，∴AD＝2CD＝4，ACCD＝2，∴△ACD的周長(zhǎng)為AC+CD+AD＝22+4＝26，故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形與圓，掌握正多邊形內(nèi)角的計(jì)算方法以及內(nèi)角和定理積推論是正確解答的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的直徑，，是的弦，，延長(zhǎng)到，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)以為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)等于________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)18【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出即可；（2）得出以為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，再求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

，，，，，即，又是半徑，是的切線；（2）解：連接，

，以為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，，以為邊的圓內(nèi)接正六邊形的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，掌握切線的判定方法是正確解答的前提．6．（2021秋·江西南昌·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，有一個(gè)亭子．它的地基是半徑為4m的正六邊形，求地基的周長(zhǎng)和面積．【答案】24m；24【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，確定其邊長(zhǎng)等于外接圓的半徑，周長(zhǎng)即誒6R；把面積轉(zhuǎn)化為6個(gè)等邊三角形的面積和計(jì)算即可．【詳解】如圖，連接OB，OC，∵地基是半徑為4m的正六邊形，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OB=4，∴地基的周長(zhǎng)為：4×6=24（m）；過(guò)點(diǎn)O作OG⊥CB，垂足為G，∵地基是半徑為4m的正六邊形，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OB=4，∠OBC=60°，∠BOG=30°，∴BG=2，OG==2，∴地基的面積為：6×=24．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的關(guān)系，熟練掌握中心角計(jì)算，靈活運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題六正多邊形與圓的實(shí)際應(yīng)用】1．（2023春·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖的電子裝置中，紅黑兩枚跳棋開(kāi)始放置在邊長(zhǎng)為4的正六邊形的頂點(diǎn)A處．兩枚跳棋跳動(dòng)規(guī)則是：紅跳棋按順時(shí)針?lè)较?秒鐘一次跳1個(gè)頂點(diǎn)，黑跳棋按逆時(shí)針?lè)较?秒鐘一次跳1個(gè)頂點(diǎn)，經(jīng)過(guò)2022秒鐘后停止跳動(dòng)，此時(shí)兩枚跳棋之間的距離是（）

A．8 B． C．4 D．0【答案】B【分析】分別計(jì)算紅跳棋和黑跳棋過(guò)2022秒鐘后的位置，紅跳棋跳回到A點(diǎn)，黑跳棋跳到F點(diǎn)，可得結(jié)論．【詳解】解：∵紅跳棋從A點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较?秒鐘跳1個(gè)頂點(diǎn)，∴紅跳棋每過(guò)6秒返回到A點(diǎn)，，∴經(jīng)過(guò)2022秒鐘后，紅跳棋跳回到A點(diǎn)，∵黑跳棋從A點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较?秒鐘跳3個(gè)頂點(diǎn)，∴黑跳棋每過(guò)18秒返回到A點(diǎn)，…6，∴經(jīng)過(guò)2022秒鐘后，黑跳棋跳到E點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)F作，

由題意可得：，，∴，在中，，∴，∴經(jīng)過(guò)2022秒鐘后，兩枚跳棋之間的距離是．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形和兩動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，根據(jù)方向和速度確定經(jīng)過(guò)2022秒鐘后兩枚跳棋的位置是解本題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西·九年級(jí)專題練習(xí)）在2022年北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式和閉幕式中，一片“雪花”的故事展現(xiàn)了“世界大同、天下一家”的主題，讓世界觀眾感受了中國(guó)人的浪漫．如圖，將“雪花”圖案（邊長(zhǎng)為4的正六邊形）放在平面直角坐標(biāo)系中，若與軸垂直，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接、于點(diǎn)，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接、于點(diǎn)，

∵正六邊形邊長(zhǎng)為4，，∴，在中，，，，，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，勾股定理，掌握正六邊形的性質(zhì)以及勾股定理是正確計(jì)算的前提，理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023·山西忻州·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）大自然中有許多小動(dòng)物都是“小數(shù)學(xué)家”，如圖①，蜜蜂的蜂巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過(guò)觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面均為正六邊形．如圖②是一部分巢房的截面圖，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得出點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，由成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正六邊形的性質(zhì)、成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)、成中心對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)的變化規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖1，將一個(gè)正方形紙片沿虛線對(duì)折兩次，得到圖2，按照?qǐng)D2所示剪去一個(gè)腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，展開(kāi)后得到一個(gè)如圖3所示的正八邊形，將前下的四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形，放在正八邊形內(nèi)部，與重合，為的中點(diǎn)，連接．

（1）圖1中的正方形紙片邊長(zhǎng)為；（2）將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，與重合，此時(shí)長(zhǎng)為．【答案】45【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)有勾股定理即可求解；（2）連接，，利用正多邊形內(nèi)角和定理可求得，推出四邊形是菱形，再利用勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)正方形的中心為Ｏ，由題意得，∴正方形的邊長(zhǎng)；故答案為：；（2）連接，，

正八邊形的每個(gè)內(nèi)角，正方形的內(nèi)角，∴，即將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度，與重合；同理，∴，∴，由正八邊形的性質(zhì)知，，∴B、K、E在同一直線上，同理A、K、D也在同一直線上，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴，故答案為：45，．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓，勾股定理，證明四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）閱讀與思考請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（約90年﹣168年），是希臘數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家，地理學(xué)家和占星家．在數(shù)學(xué)方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理，托勒密定理的內(nèi)容如下：圓的內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積的和．即：如圖1，若四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有．任務(wù)：（1）材料中劃?rùn)M線部分應(yīng)填寫的內(nèi)容為．（2）如圖2，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB＝2，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由托勒密定理可直接求解；（2）連接，根據(jù)圓周角與弦的關(guān)系可得，設(shè)，在四邊形中，根據(jù)托勒密定理有，，建立方程即可求得的長(zhǎng)【詳解】（1）由托勒密定理可得：故答案為：（2）如圖，連接，五邊形是正五邊形，則,設(shè)，即解得（舍去）【點(diǎn)睛】本題考查了托勒密定理，圓周角與弦的關(guān)系，解一元二次方程，理解題意添加輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2021春·黑龍江雞西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探究題：（1）都相等，都相等的多邊形叫做正多邊形；（2）如圖，格點(diǎn)長(zhǎng)方形MNPQ的各點(diǎn)分布在邊長(zhǎng)均為1的等邊三角形組成的網(wǎng)格上，請(qǐng)?jiān)诟顸c(diǎn)長(zhǎng)方形MNPQ內(nèi)畫出一個(gè)面積最大的格點(diǎn)正六邊形ABCDEF，并簡(jiǎn)要說(shuō)明它是正六邊形的理由；（3）正六邊形有條對(duì)角線，它的外角和為度．【答案】（1）各個(gè)角；各條邊；（2）見(jiàn)解析；（3）9；360°．【分析】（1）直接用正多邊形的定義得出結(jié)論即可；（2）用網(wǎng)格線的特征和正六邊形的性質(zhì)，畫出圖形即可；（3）根據(jù)多邊形的對(duì)角線條數(shù)的確定方法和多邊形的外角和定理即可．【詳解】解：（1）由正多邊形的定義：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形；故答案為：各個(gè)角；各條邊；（2）如圖，∵AB=2，BC=2，CD=2，DE=2，EF=2，F(xiàn)A=2，∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∵網(wǎng)格是等邊三角形的網(wǎng)格，∴∠FAB=2×60°=120°，同理：∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，∴六邊形ABCDEFA是正六邊形．最大面積為24×=；（3）正六邊形的對(duì)角線條數(shù)為=9，∵多邊形的外角和是360°，∴正六邊形的外角和為360°，故答案為：9；360°．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的定義，正六邊形的性質(zhì)，網(wǎng)格線的特點(diǎn)，多邊形的對(duì)角線的確定和多邊形的外角和定理，解本題的關(guān)鍵掌握正六邊形的性質(zhì)．【經(jīng)典例題七正多邊形與圓的規(guī)律問(wèn)題】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)O為正六邊形的中心，P，Q分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿正六邊形按圖示方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，則第次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，O為正六邊形的中心，可得，連接OB，作于點(diǎn)G，可得，，可得，，根據(jù)題意可得，P，Q第一次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)在點(diǎn)，以此類推：第二次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，第三次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，…如此循環(huán)下去，即可求出第次相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：，O為正六邊形的中心，，連接OB，作于點(diǎn)G，

則，，，，正六邊形的邊長(zhǎng)為1，正六邊形的周長(zhǎng)等于6，又點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，第1次相遇需要的時(shí)間為：（秒），此時(shí)點(diǎn)P的路程為，點(diǎn)Q的路程為，此時(shí)P，Q相遇地點(diǎn)的坐標(biāo)在點(diǎn)，以此類推：第二次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，第三次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，…如此下去，，第2023次相遇地點(diǎn)在點(diǎn)，的坐標(biāo)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓、平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的規(guī)律探究及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)找到坐標(biāo)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．2．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正六邊形的邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)在軸正半軸上，．將正六邊形繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，首先確定點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)次一個(gè)循環(huán)，由，推出經(jīng)過(guò)第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第三次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同即可解答．【詳解】解：如圖，連接．在正六邊形中，，∴，在中，∴，∴，∴，∴，∵將正六邊形繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，次一個(gè)循環(huán)，

∵，∴經(jīng)過(guò)第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)與第次旋轉(zhuǎn)得到的的坐標(biāo)相同，∵與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴經(jīng)過(guò)第次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)的坐標(biāo)，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形與圓，規(guī)律型問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變化—旋轉(zhuǎn)，學(xué)會(huì)探究規(guī)律方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）某數(shù)學(xué)小組在一個(gè)半徑為2的圓形場(chǎng)地上做探究實(shí)踐活動(dòng)．

（1）如圖1，小組將圓形場(chǎng)地分為12等份．機(jī)器人從一個(gè)點(diǎn)到另外一個(gè)點(diǎn)均是直線行走．①機(jī)器人從點(diǎn)走到點(diǎn)的路程為；②機(jī)器人從點(diǎn)到點(diǎn)走了兩條不同的路線．路線1：；路線2：，路線1的長(zhǎng)記為，路線2的長(zhǎng)記為，則；（填“>”“<”或“=”）（2）如圖2，機(jī)器人從出發(fā)，沿與半徑夾角為的方向行走，走到場(chǎng)地邊緣后，再沿與夾角為的方向折向行走至，…按照這樣的方式，機(jī)器人走到時(shí)第一次超過(guò)，且，則．【答案】>【分析】(1)①根據(jù)中心角為，結(jié)合從點(diǎn)走到點(diǎn)其路徑對(duì)的圓心角為，根據(jù)半徑為2計(jì)算即可．②根據(jù)中心角為，得到繼而判定都是等邊三角形，，得到；根據(jù)，得到為圓的直徑，根據(jù)中心角為，得到，，得到即，比較大小即可．（2）設(shè)多邊形的中心角為，當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，,，根據(jù)，求得，再計(jì)算即可．【詳解】(1)①∵中心角為，∴從點(diǎn)走到點(diǎn)其路徑對(duì)的圓心角為，∵，∴，故答案為：．②根據(jù)中心角為，∴，∴都是等邊三角形，∴，∴；∵∴，∴為圓的直徑，∴，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．（2）設(shè)多邊形的中心角為，當(dāng)轉(zhuǎn)到時(shí)，,，∵，∴，解得，∵半徑相等，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了中心角的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，無(wú)理數(shù)的估算，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握中心角的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．4．（2023·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為4的正六邊形的中心與原點(diǎn)重合，軸，交軸于點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】首先確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)4次一個(gè)循環(huán)，推出經(jīng)過(guò)第2023次旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【詳解】解：∵正六邊形邊長(zhǎng)為4，中心與原點(diǎn)O重合，軸，∴，∴，∴第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴4次一個(gè)循環(huán)，∵，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的性質(zhì)，規(guī)律型問(wèn)題，坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．5．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）李老師帶領(lǐng)班級(jí)同學(xué)進(jìn)行拓廣探索，通過(guò)此次探索讓同學(xué)們更深刻的了解的意義．(1)[定義]我們將正n邊形的周長(zhǎng)L與正多邊形對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)C的比值，稱作這個(gè)正n邊形的“正圓度”．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為1，求得其內(nèi)切圓的半徑為，因此___________；(2)[探索]分別求出正方形和正六邊形的“正圓度”；(3)[總結(jié)]隨著n的增大，具有怎樣的規(guī)律，試通過(guò)計(jì)算，結(jié)合圓周率的誕生，簡(jiǎn)要概括．【答案】(1)(2)，(3)隨著n的增大，越來(lái)越接近于1，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)正方形邊長(zhǎng)和正六邊形的邊長(zhǎng)都為1，求出此情形下對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓半徑，再根據(jù)“正圓度”的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）所求可知隨著n的增大，越來(lái)越接近于1，再由張衡和祖沖之對(duì)圓周率的研究即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，故答案為：；（2）解：假設(shè)正方形邊長(zhǎng)1，∴此時(shí)正方形的內(nèi)切圓半徑為，∴；設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，內(nèi)切圓圓心為O，則，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴；（3）解：，隨著n的增大，越來(lái)越接近于1．由張衡、祖沖之的研究，精進(jìn)的取值的方法可知：正多邊形，邊長(zhǎng)數(shù)越多，越接近于圓，因此當(dāng)邊長(zhǎng)增多時(shí)，其周長(zhǎng)L也與對(duì)應(yīng)的內(nèi)切圓周長(zhǎng)更接近，其比值更接近于1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀理解】如圖1，為等邊的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與三角形的邊，分別交于點(diǎn)，．設(shè)等邊的面積為，通過(guò)證明可得，則．(1)【類比探究】如圖2，為正方形的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊，分別交于點(diǎn)，．若正方形的面積為，請(qǐng)用含的式子表示四邊形的面積（寫出具體探究過(guò)程）．(2)【拓展應(yīng)用】如圖3，為正六邊形的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊，分別交于點(diǎn)，．若四邊形面積為，請(qǐng)直接寫出正六邊形的面積(3)【猜想結(jié)論】如圖4，為正邊形……的中心角，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正邊形的邊，分別交于點(diǎn)，．若四邊形面積為，請(qǐng)用含、的式子表示正邊形……的面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）通過(guò)證明可得，則．（2）通過(guò)證明可得，則．（3）通過(guò)證明可得，則【詳解】（1）解：如圖2，∵為正方形的中心角，∴，，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正方形的邊分別交于點(diǎn)∴，又∵，∴，∴．（2）如圖3，∵為正六邊形的中心角，∴，，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正六邊形的邊分別交于點(diǎn)∴，又∵，∴，∴．∵四邊形面積為，∴正六邊形的面積為．（3）如圖4，∵為正多邊形的中心角，∴，，∵繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，的兩邊與正多邊形的邊分別交于點(diǎn)∴，又∵，∴，∴．∵四邊形面積為，∴正多邊形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的中心角，三角形的全等，圖形的割補(bǔ)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八正多邊形與圓中的證明】1．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，正五邊形的對(duì)角線AC和BE相交于點(diǎn)M．（1）求證：AC∥ED；（2）求證：ME＝AE．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）作出正五邊形的外接⊙O，則的度數(shù)為，由∠EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，得到∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，則∠EAC+∠AED＝180°，即可證明ED∥AC；（2）由∠AEB的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，得到∠AEB=36°，則∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，可推出∠EAM＝∠EMA＝72°，即可證明EA＝EM．【詳解】解：∵正多邊形必有外接圓，∴作出正五邊形的外接⊙O，則的度數(shù)為，∵∠EAC的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，∴∠EAC＝，同理，∠AED＝×72°×3＝108°，∴∠EAC+∠AED＝180°，∴ED∥AC；（2）∵∠AEB的度數(shù)等于的度數(shù)的一半，∴∠AEB=36°，∴∠EMA＝180°－∠AEB－∠EAC＝72°，∴∠EAM＝∠EMA＝72°，∴EA＝EM．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形與圓，平行線的判定，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)．2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知等腰中，AB＝AC．（1）如圖1，若為的外接圓，求證：；（2）如圖2，若，，I為的內(nèi)心，連接IC，過(guò)點(diǎn)I作交AC于點(diǎn)D，求ID的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】(1)連接OB、OC，可得AB＝AC,利用垂直平分線的判定可得;(2)連接AI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)I分別作于點(diǎn)G，于點(diǎn)H,通過(guò)，I為的內(nèi)心，可知,利用勾股定理可求,設(shè)，由，可得：,再設(shè)，則，再求解證明,所以設(shè)，，