蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步精講精練專題1-1配方法的應(yīng)用(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》專題1-1配方法的應(yīng)用題型一完全平方公式中的配方題型一完全平方公式中的配方【例題1】（2021春?潛山市期末）已知x2﹣mx+16是一個(gè)完全平方式，則m的值為（）A．4 B．﹣4 C．8或﹣8 D．4或﹣4【變式1-1】填空：（1）x2++16＝（x+）2．（2）3x2+12x+＝3（x+）2；（3）12x2﹣5x+=12（x﹣（4）4x2﹣12x+＝4（x﹣）2．【變式1-2】（2022秋?漢陰縣期末）已知x2﹣2kx+64可以寫成某一個(gè)式子的平方的形式，則常數(shù)k的值為（）A．8 B．±8 C．16 D．±1【變式1-3】（2023春?安鄉(xiāng)縣期中）若4x2﹣mx+4是一個(gè)完全平方式，則m的值是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8【變式1-4】（2023春?濟(jì)南期中）已知代數(shù)式x2+mx+16是一個(gè)完全平方式，則m的值為．【變式1-5】（2022春?漳州期中）已知9x2+mxy+16y2能運(yùn)用完全平方公式因式分解，則m的值為（）A．12 B．±12 C．24 D．±24【變式1-6】（2022秋?龍江縣期末）若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，則n的值為（）A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣9題型二配方變形求字母的值題型二配方變形求字母的值【例題2】（2023春?譙城區(qū)校級(jí)月考）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方成（x+k）2＝h的形式，則k，h的值為（）A．k＝1，h=32 B．k＝1，h＝2 C．k＝﹣1，h=32 D．【變式2-1】（2023春?瑞安市期中）用配方法將方程x2﹣4x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，則b的值是（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【變式2-2】（2022秋?寧強(qiáng)縣期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝．【變式2-3】如果將一元二次方程x2+4x﹣5＝0化為（x+m）2＝n的形式，則m+n的值為．【變式2-4】（2023?東城區(qū)一模）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0時(shí)，將它化為（x+m）2＝n的形式，則m﹣n的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．2【變式2-5】（2022秋?南充期末）小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，將它化成（x﹣p）2＝q的形式，則p+q的值為．【變式2-6】（2023春?金安區(qū)校級(jí)期中）把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化為（x+m）2＝n的形式，則mn的值是．題型三題型三利用配方法比較代數(shù)式的大小【例題3】（2023春?即墨區(qū)期中）已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，則m和n的大小關(guān)系中正確的是（）A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n【變式3-1】（2022秋?仙桃校級(jí)期末）設(shè)M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，則M，N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M≥N C．M＝N D．M≤N【變式3-2】（2022秋?黔江區(qū)期末）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，則A、B的大小關(guān)系為（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B【變式3-3】（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）已知a、b滿足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，則x，y的大小關(guān)系是（）A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．x≥y【變式3-4】（2022?順德區(qū)校級(jí)三模）已知a、b滿足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），則x、y的大小關(guān)系是（）A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y【變式3-5】若代數(shù)式M＝10a2+b2﹣7a+8，N＝a2+b2+5a+1．請(qǐng)比較M、N的大?。咀兪?-6】（2023春?屏南縣期中）對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)a，b的大小比較，有下面的方法：當(dāng)a﹣b＞0時(shí)，一定有a＞b；當(dāng)a﹣b＝0時(shí)，一定有a＝b；當(dāng)a﹣b＜0時(shí)，一定有a＜b．反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫做“求差法”．請(qǐng)根據(jù)以上材料完成下面的題目：（1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，試判斷y的符號(hào)；（2）已知a、b、c為三角形的三邊，比較a2+c2和2ac+b2的大?。}型四利用配方法判斷二次多項(xiàng)式的符號(hào)問題題型四利用配方法判斷二次多項(xiàng)式的符號(hào)問題【例題4】求證：無論x、y為何值，4x2﹣12x+9y2+30y+35的值恒為正．【變式4-1】下列代數(shù)式，不論x取何值，它總是正值的是（）A．x2﹣4x+4 B．x2+2x+3 C．x2﹣4x+1 D．以上答案都不對(duì)【變式4-2】求證：無論x、y取何值時(shí)，代數(shù)式x2+y2﹣2x﹣4y+10的值是正數(shù)．【變式4-3】試證明：不論x、y取何值，x2﹣4x+y2﹣6y+13的值不小于0．【變式4-4】求證：無論x，y為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣2x+6y+10的值恒大于非負(fù)數(shù)．【變式4-5】用配方法證明：﹣2x2+4x﹣10的值恒小于0．【變式4-6】（2022秋?高陵區(qū)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：我們可以通過以下方法，求代數(shù)式x2+2x﹣3的最小值．x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣4，∵（x+1）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x﹣3有最小值﹣4．請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：（1）x2+6x+10＝x2+2×3x+32﹣32+10＝（x+a）2+b，則a＝，b＝；（2）求證：無論x取何值，代數(shù)式x2+23x+5的值都是正數(shù)；（3）若代數(shù)式x2﹣2kx+7的最小值為3，求k的值．題型五利用配方法解決二次三項(xiàng)式的最值問題題型五利用配方法解決二次三項(xiàng)式的最值問題【例題5】（2023春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）已知x是實(shí)數(shù)，則多項(xiàng)式x2+4x+5的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【變式5-1】不論x，y為什么數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．總大于7 B．總不小于9 C．總不小于﹣9 D．為任意有理數(shù)【變式5-2】（2022秋?海門市期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足b2+12＝4b（1﹣a），則4a2+b2的最小值為（）A．8 B．5 C．4 D．0【變式5-3】（2023?天門三模）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，則（m+1）2+（n+1）2的最小值是（）A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14【變式5-4】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題．例題：求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y(tǒng)2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4，∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數(shù)式m2+2m+3的最小值；（2）求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值．【變式5-5】（2022秋?東湖區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其它重要應(yīng)用．例如：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．解答過程如下：解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x+5有最小值，是1．（1）仿照上述方法，求代數(shù)式x2﹣6x+12的最小值；（2）﹣x2+8x﹣1有最（直接填“大”或“小”）值，是（直接填空）．【變式5-6】（2022秋?東湖區(qū)校級(jí)期末）老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的各種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式x2+4x+5最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1即：當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，x2+4x+5＝（x+2）2+1的值最小，最小值是1，請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）直接寫出：（x+1）2﹣2的最小值為；（2）求出代數(shù)式x2+10x+28的最小值；（3）若x2+7x+y+2＝0，求x+y的最大值．題型六利用配方法恒等變形后求值題型六利用配方法恒等變形后求值【例題6】（2023春?安慶期中）已知a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，則（a﹣b）2023的值為．【變式6-1】（2023?龍湖區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知a，b，c滿足a2+2b＝﹣4，b2+4a＝﹣1，則a+b的值為（）A．1 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣7【變式6-2】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知x2y2+x2+y2+6xy+4＝0，則2x+2y?1xy的值為【變式6-3】（2022春?江北區(qū)校級(jí)期末）已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y+16，則4x?32y＝．【變式6-4】（2022秋?博羅縣期中）若a2+6a+b2﹣2b+10＝0，則2a+3b的值為（）A．3 B．﹣9 C．9 D．﹣3【變式6-5】（2022春?宣城期末）已知a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b﹣c的值為（）A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7【變式6-6】（2022春?法庫(kù)縣期中）閱讀材料：已知x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求yx解：x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，即（x+2）2+（y﹣4）2＝0，所以（x+2）2＝0，（y﹣4）2＝0，所以x＝﹣2，y＝4，所以yx根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，則mn的值為（2）已知x2﹣4x+4y2﹣12y+13＝0，求xy的值．【變式6-7】（2022秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0．∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知a2+2b2﹣2ab+4b+4＝0，求ab的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的最長(zhǎng)邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．【變式6-8】（2023春?錦江區(qū)校級(jí)期中）已知常數(shù)a、b、c是△ABC的三條邊長(zhǎng)．（1）若x2﹣（2a+14）x+144是完全平方式，求a的值；（2）在（1）的條件下，若b，c滿足b2+4+|c﹣5|＝4b，試判斷△ABC的形狀．題型七利用配方法的綜合應(yīng)用問題題型七利用配方法的綜合應(yīng)用問題【例題7】（2022秋?隆昌市校級(jí)月考）（閱讀材料）把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式（或其一部分）經(jīng)過適當(dāng)變形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、證明恒等式．利用a2≥0求代數(shù)式最值等問題中都有廣泛應(yīng)用．例如：利用配方法將x2﹣6x+8變形為a（x+m）2+n的形式，并把二次三項(xiàng)式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）（解決問題）根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）利用配方法將多項(xiàng)式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式；（2）利用配方法把二次三項(xiàng)式x2﹣2x﹣35分解因式；（3）若a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（4）求證：無論x，y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒為正數(shù)．【變式7-1】（2023春?平果市期中）閱讀理解：在教材中，我們有學(xué)習(xí)到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比較整式x2+4和4x的大小關(guān)系，因?yàn)閤2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．請(qǐng)類比以上的解題過程，解決下列問題：【初步嘗試】比較大小：x2+12x；96x﹣x2．【知識(shí)應(yīng)用】比較整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小關(guān)系，并請(qǐng)說明理由．【拓展提升】比較整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小關(guān)系，并請(qǐng)說明理由．【變式7-2】（2023春?灌南縣期中）閱讀下列材料：“a2≥0”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問題：（1）填空：x2﹣6x+12＝（x﹣）2+；（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，求c的取值范圍；（3）比較代數(shù)式x2+2y2與2xy+4y﹣8的大?。咀兪?-3】（2023春?禪城區(qū)校級(jí)月考）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．（1）解決問題：已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），求mn的值．（3）探究問題：已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．【變式7-4】（2022秋?臨西縣期末）請(qǐng)閱讀下列材料：若m2﹣2m+n2+6n+10＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2m+n2+6n+10＝0，∴（m2﹣2m+1）+（n2+6n+9）＝0，∴（m﹣1）2+（n+3）2＝0，∴（m﹣1）2＝0，（n+3）2＝0，∴m＝1，n＝﹣3．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）若a2+2ab+2b2+6b+9＝0，則a的值為；b的值為．（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+b2﹣2b+5＝0，求c的值．（3）若A＝2a2+3a﹣5，B＝a2+5a﹣7，試比較A與B的大小關(guān)系，并說明理由．【變式7-5】（2023春?江都區(qū)期中）將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式x2+2x+3的最小值．解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x+3的最小值是2．（1）在橫線上添加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，使代數(shù)式x2+10x+成為完全平方式；（2）請(qǐng)仿照上面的方法求代數(shù)式x2+6x﹣1的最小值；（3）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周長(zhǎng)．【變式7-6】（2023春?南岸區(qū)校級(jí)期中）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴m＝4，n＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知x2+4xy+5y2+2y+1＝0．則2x+3y的值為；（2）已知△ABC的邊長(zhǎng)a、b、c是三個(gè)互不相等的正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，求c的值；（寫出求解過程）．（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣10c+41＝0，求a+b﹣c的值．【變式7-7】（2022?南京模擬）利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決方程或代數(shù)式的一些問題，請(qǐng)閱讀下列材料：閱讀材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，試比較A與B的大小關(guān)系，并說明理由．【變式7-8】（2022秋?石獅市期末）在求解一類代數(shù)問題時(shí)，我們常常將二次三項(xiàng)式x2+bx+c化成（x+m）2+n的形式，并利用（x+m）2的非負(fù)性解決問題．請(qǐng)閱讀下列材料，并解決相關(guān)問題：【例1】求代數(shù)式x2+4x+7的最小值．解：x2+4x+7＝x2+4x+4+3＝（x+2）2+3．因?yàn)椋▁+2）2≥0，所以（x+2）2+3≥3，即代數(shù)式x2+4x+7的最小值為3．【例2】若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：因?yàn)閙2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，所以（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，即（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，因?yàn)椋╩﹣n）2≥0，（n﹣4）2≥0，所以m?n=0n?4=0即m＝n＝4．（1）求代數(shù)式x2+6x+10的最小值；（2）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c．①若△ABC是等腰三角形，且滿足a2﹣8a+b2﹣14b+65＝0，求△ABC的周長(zhǎng)；②若c﹣b＝1，且c（b﹣25）+2a2﹣20a+219＝0，求△ABC中最大邊上的高．

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第1章一元二次方程》專題1-1配方法的應(yīng)用題型一完全平方公式中的配方題型一完全平方公式中的配方【例題1】（2021春?潛山市期末）已知x2﹣mx+16是一個(gè)完全平方式，則m的值為（）A．4 B．﹣4 C．8或﹣8 D．4或﹣4【分析】根據(jù)完全平方式得出﹣mx＝±2?x?4，再求出m即可．【解答】解：∵x2﹣mx+16是一個(gè)完全平方式，∴﹣mx＝±2?x?4，解得：m＝±8，即m＝8或﹣8，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式是解此題的關(guān)鍵，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2兩個(gè)．【變式1-1】填空：（1）x2++16＝（x+）2．（2）3x2+12x+＝3（x+）2；（3）12x2﹣5x+=12（x﹣（4）4x2﹣12x+＝4（x﹣）2．【分析】根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)：前平方、后平方、積的2倍在中央進(jìn)行配方即可．【解答】解：（1）x2+8x+16＝（x+4）2．（2）3x2+12x+12＝3（x2+4x+4）＝3（x+2）2；（3）12x2﹣5x+252=12（x2﹣10x（4）4x2﹣12x+9＝4[x2﹣3x+(32)2]＝4（x?故答案為：（1）；8；4（2）12；2；（3）252；5．（4）9，3【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵，完全平方式是：前平方、后平方、積的2倍在中央．【變式1-2】（2022秋?漢陰縣期末）已知x2﹣2kx+64可以寫成某一個(gè)式子的平方的形式，則常數(shù)k的值為（）A．8 B．±8 C．16 D．±1【分析】利用完全平方公式得出答案．【解答】解：∵x2﹣2kx+64＝x2+kx+82是一個(gè)完全平方式，∴﹣2kx＝±2x?8，解得k＝±8．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春?安鄉(xiāng)縣期中）若4x2﹣mx+4是一個(gè)完全平方式，則m的值是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．±8【分析】利用完全平方公式判斷即可．【解答】解：∵4x2﹣mx+4＝（2x）2﹣mx+22是一個(gè)完全平方式，∴m＝±8，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023春?濟(jì)南期中）已知代數(shù)式x2+mx+16是一個(gè)完全平方式，則m的值為．【分析】根據(jù)完全平方式：a2±2ab+b2＝（a±b）2求解即可．【解答】解：∵代數(shù)式x2+mx+16是一個(gè)完全平方式，∴m＝±2×1×4＝±8，故答案為：±8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方式是解題的關(guān)鍵．【變式1-5】（2022春?漳州期中）已知9x2+mxy+16y2能運(yùn)用完全平方公式因式分解，則m的值為（）A．12 B．±12 C．24 D．±24【分析】這里首末兩項(xiàng)是3x和4y個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去3x和4y乘積的2倍，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用完全平方公式是解題關(guān)鍵．【變式1-6】（2022秋?龍江縣期末）若x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，則n的值為（）A．6 B．﹣4或6 C．1 D．﹣9【分析】由完全平方式的特點(diǎn)可得﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10，再解方程即可．【解答】解：∵x2﹣2（n﹣1）x+25是完全平方式，∴﹣2（n﹣1）＝10或﹣2（n﹣1）＝﹣10．解得：n＝﹣4或n＝6，故B正確．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是完全平方式的特點(diǎn)，掌握“利用完全平方式的特點(diǎn)建立方程求解”是解本題的關(guān)鍵．題型二配方變形求字母的值題型二配方變形求字母的值【例題2】（2023春?譙城區(qū)校級(jí)月考）用配方法解一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0時(shí)，配方成（x+k）2＝h的形式，則k，h的值為（）A．k＝1，h=32 B．k＝1，h＝2 C．k＝﹣1，h=32 D．【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．【解答】解：∵2x2﹣4x﹣1＝0，∴x2﹣2x=1則x2﹣2x+1=12+1，即（x﹣1）∴k＝﹣1，h=3故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春?瑞安市期中）用配方法將方程x2﹣4x+3＝0化成（x+a）2＝b的形式，則b的值是（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得．【解答】解：∵x2﹣4x+3＝0，∴x2﹣4x＝﹣3，則x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接開平方法、公式法、因式分解法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法求解．【變式2-2】（2022秋?寧強(qiáng)縣期末）如果方程x2+4x+n＝0可以配方成（x+m）2＝3，那么（n﹣m）2020＝．【分析】先根據(jù)配方法求出m、n的值，再代入計(jì)算可得．【解答】解：∵x2+4x＝﹣n，∴x2+4x+4＝4﹣n，即（x+2）2＝4﹣n，又（x+m）2＝3，∴m＝2，n＝1，則（n﹣m）2020＝（1﹣2）2020＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如果將一元二次方程x2+4x﹣5＝0化為（x+m）2＝n的形式，則m+n的值為．【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，兩邊加上4，利用完全平方公式得到（x+2）2＝9，從而得到m＝2，n＝9，然后計(jì)算m+n即可．【解答】解：x2+4x＝5，x2+4x+4＝9，（x+2）2＝9，所以m＝2，n＝9，所以m+n＝2+9＝11．故答案為11．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，掌握配方法是解題關(guān)鍵．【變式2-4】（2023?東城區(qū)一模）用配方法解一元二次方程x2+6x+3＝0時(shí)，將它化為（x+m）2＝n的形式，則m﹣n的值為（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．2【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右側(cè)，再把方程兩邊加上9，接著把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到m、n的值，然后計(jì)算m﹣n的值．【解答】解：x2+6x+3＝0，x2+6x＝﹣3，x2+6x+9＝6，（x+3）2＝6，所以m＝3，n＝6，所以m﹣n＝3﹣6＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2022秋?南充期末）小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，將它化成（x﹣p）2＝q的形式，則p+q的值為．【分析】把常數(shù)項(xiàng)5移項(xiàng)后，應(yīng)該在左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)6的一半的平方．【解答】解：把方程x2﹣6x+5＝0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到x2﹣6x＝﹣5，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x2﹣6x+9＝﹣5+9，配方得（x﹣3）2＝4，∴p＝3，q＝4，∴p+q＝3+4＝7，故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時(shí)，最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1，一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù)．【變式2-6】（2023春?金安區(qū)校級(jí)期中）把方程x2+4x﹣2＝0用配方法化為（x+m）2＝n的形式，則mn的值是．【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上4，接著把方程左邊寫成完全平方的形式，從而得到m、n的值．【解答】解：x2+4x﹣2＝0，x2+4x＝2，x2+4x+4＝6，（x+2）2＝6．所以m＝2，n＝6，所以mn＝12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關(guān)鍵．題型三題型三利用配方法比較代數(shù)式的大小【例題3】（2023春?即墨區(qū)期中）已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，則m和n的大小關(guān)系中正確的是（）A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n【分析】首先求得m﹣n＝2b﹣b2﹣1，進(jìn)一步分解因式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判定即可．【解答】解：∵m＝2b+2022，n＝b2+2023，∴m﹣n＝2b﹣b2﹣1＝﹣（b﹣1）2≤0，∴m≤n．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查完全平方公式的運(yùn)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，作差比較大小是一種常用的方法．【變式3-1】（2022秋?仙桃校級(jí)期末）設(shè)M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，則M，N的大小關(guān)系是（）A．M＜N B．M≥N C．M＝N D．M≤N【分析】利用作差法，結(jié)合完全平方公式比較大小即可．【解答】解：∵M(jìn)＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，∴M﹣N＝2x2﹣7x+6﹣（x2﹣3x+2）＝2x2﹣7x+6﹣x2+3x﹣2＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，∴M≥N，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查整式的性質(zhì)，熟練掌握作差法比較大小的方法，靈活應(yīng)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022秋?黔江區(qū)期末）若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，則A、B的大小關(guān)系為（）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B【分析】利用作差法和配方法作答即可．【解答】解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣10）＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+10＝x2﹣2x+y2﹣6y+10＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9＝（x﹣1）2+（y﹣3）2，∵（x﹣1）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x﹣1）2+（y﹣3）2≥0，即A﹣B≥0，∴A≥B．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，能夠運(yùn)用作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)比較大小是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）已知a、b滿足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，則x，y的大小關(guān)系是（）A．x＝y(tǒng) B．x＞y C．x＜y D．x≥y【分析】利用作差法判斷即可．【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2，∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0，∴x≥y．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022?順德區(qū)校級(jí)三模）已知a、b滿足等式x＝a2+b2+5，y＝2（2b﹣a），則x、y的大小關(guān)系是（）A．x＜y B．x＞y C．x≤y D．x≥y【分析】把x與y代入x﹣y中，判斷差的正負(fù)即可得到大小關(guān)系．【解答】解：∵x﹣y＝a2+b2+5﹣2（2b﹣a）＝a2+b2+5﹣4b+2a＝（a+1）2+（b﹣2）2≥0，∴x≥y．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式3-5】若代數(shù)式M＝10a2+b2﹣7a+8，N＝a2+b2+5a+1．請(qǐng)比較M、N的大小．【分析】利用作差法判斷大小即可．【解答】解：∵M(jìn)＝10a2+b2﹣7a+8，N＝a2+b2+5a+1，∴M﹣N＝10a2+b2﹣7a+8﹣（a2+b2+5a+1）＝9a2﹣12a+7＝（3a﹣2）2+3＞0，∴M＞N【點(diǎn)評(píng)】此題考查了整式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【變式3-6】（2023春?屏南縣期中）對(duì)于任意兩個(gè)數(shù)a，b的大小比較，有下面的方法：當(dāng)a﹣b＞0時(shí)，一定有a＞b；當(dāng)a﹣b＝0時(shí)，一定有a＝b；當(dāng)a﹣b＜0時(shí)，一定有a＜b．反過來也成立．因此，我們把這種比較兩個(gè)數(shù)大小的方法叫做“求差法”．請(qǐng)根據(jù)以上材料完成下面的題目：（1）已知，A＝x2y+4y，B＝4xy，且A＞B，試判斷y的符號(hào)；（2）已知a、b、c為三角形的三邊，比較a2+c2和2ac+b2的大?。痉治觥浚?）根據(jù)題意得到x2y+4y﹣4xy＞0，因式分解得到y(tǒng)（x﹣2）2＞0，進(jìn)而得到y(tǒng)的符號(hào)即可；（2）將a2+c2和2ac+b2作差，結(jié)合已知及三角形的兩邊之和大于第三邊可求．【解答】解：（1）∵A＞B，∴A﹣B＞0，即x2y+4y﹣4xy＞0，∴y（x2+4﹣4x）＝y(tǒng)（x﹣2）2＞0，∴（x﹣2）2＞0，y＞0；（2）∵a、b、c為三角形的三邊，∴a+b＞c，a＜b+c，∵a2﹣b2+c2﹣2ac＝a2+c2﹣2ac﹣b2＝（a﹣c）2﹣b2＝（a﹣c﹣b）（a﹣c+b），∴（a﹣c﹣b）（a﹣c+b）＜0，所以a2﹣b2+c2﹣2ac的符號(hào)為負(fù)．∴a2+c2＜2ac+b2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作差法比較兩個(gè)式子的大小以及因式分解，解題的關(guān)鍵是理解題中的“求差法”比較兩個(gè)數(shù)的大小，并熟練掌握因式分解的方法．題型四利用配方法判斷二次多項(xiàng)式的符號(hào)問題題型四利用配方法判斷二次多項(xiàng)式的符號(hào)問題【例題4】求證：無論x、y為何值，4x2﹣12x+9y2+30y+35的值恒為正．【分析】將式子配方，寫成完全平方式加常數(shù)項(xiàng)的形式，再判斷式子的取值范圍即可解答．【解答】解：∵4x2﹣12x+9y2+30y+35＝4x2﹣12x+9+9y2+30y+25﹣9﹣25+35＝（2x﹣3）2+（3y+5）2+1≥1，∴多項(xiàng)式4x2﹣12x+9y2+30y+35的值恒為正．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．主要考查了學(xué)生的應(yīng)用能力，解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．【變式4-1】下列代數(shù)式，不論x取何值，它總是正值的是（）A．x2﹣4x+4 B．x2+2x+3 C．x2﹣4x+1 D．以上答案都不對(duì)【分析】通過配方把代數(shù)式變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)是性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：由于x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，x2+2x+3＝（x+1）2+2＞0，x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，故x2+2x+3不論x取何值，它總是正值，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是配方法、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】求證：無論x、y取何值時(shí)，代數(shù)式x2+y2﹣2x﹣4y+10的值是正數(shù)．【分析】先把原代數(shù)式利用配方法轉(zhuǎn)化為（x﹣1）2+（y﹣2）2+5的形式，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來討論代數(shù)式x2+y2﹣2x﹣4y+10的值的正負(fù)．【解答】解：∵x2+y2﹣2x﹣4y+10，＝x2﹣2x+1+y2﹣4y+4+5，＝（x﹣1）2+（y﹣2）2+5；無論x，y取何值，（x﹣1）2≥0，（y﹣2）2≥0，故（x﹣1）2+（y﹣2）2+5≥5＞0．因此代數(shù)式的值總是正數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)﹣﹣偶次方．解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．【變式4-3】試證明：不論x、y取何值，x2﹣4x+y2﹣6y+13的值不小于0．【分析】利用配方法得到原式＝（x﹣2）2+（y﹣3）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．【解答】證明：x2﹣4x+y2﹣6y+13＝x2﹣4x+4+y2﹣6y+9＝（x﹣2）2+（y﹣3）2，∵（x﹣2）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴x2﹣4x+y2﹣6y+13≥0，即不論x、y取何值，x2﹣4x+y2﹣6y+13的值不小于0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程；利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．【變式4-4】求證：無論x，y為何值時(shí)，多項(xiàng)式x2+y2﹣2x+6y+10的值恒大于非負(fù)數(shù)．【分析】先用配方法把代數(shù)式x2+y2﹣2x+6y+10化成（x﹣1）2+（y+3）2的形式，然后然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．【解答】證明：x2+y2﹣2x+6y+10＝（x﹣1）2+（y+3）2．∵（x﹣1）2，≥0，（y+3）2≥0，∴（x﹣1）2+（y+3）2≥0，即x2+y2﹣2x+6y+10≥0，∴多項(xiàng)式x2+y2﹣2x+6y+10的值恒大于非負(fù)數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)﹣﹣偶次方．解題時(shí)要注意配方法的步驟．注意在變形的過程中不要改變式子的值．【變式4-5】用配方法證明：﹣2x2+4x﹣10的值恒小于0．【分析】先利用配方法把原式變形為﹣2x2+4x﹣10＝﹣2（x﹣1）2﹣8，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行證明．【解答】證明：﹣2x2+4x﹣10＝﹣2（x2﹣2x）﹣10＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）﹣10＝﹣2（x﹣1）2﹣8，∵2（x﹣1）2≥0，∴﹣2（x﹣1）2≤0，∴﹣2（x﹣1）2﹣8＜0，即﹣2x2+4x﹣10＜0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用：用配方法解一元二次方程，配方法的理論依據(jù)是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2；利用配方法求二次三項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值．也考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．【變式4-6】（2022秋?高陵區(qū)期末）請(qǐng)閱讀下列材料：我們可以通過以下方法，求代數(shù)式x2+2x﹣3的最小值．x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣4，∵（x+1）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x﹣3有最小值﹣4．請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：（1）x2+6x+10＝x2+2×3x+32﹣32+10＝（x+a）2+b，則a＝，b＝；（2）求證：無論x取何值，代數(shù)式x2+23x+5的值都是正數(shù)；（3）若代數(shù)式x2﹣2kx+7的最小值為3，求k的值．【分析】（1）將x2+6x+10配方，然后與x2+6x+10＝（x+a）2+b比較，可得a與b的值，則問題得解；（2）先利用完全平方公式配方，再根據(jù)偶次方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求解；（3）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式配方時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，故先將代數(shù)式配方，然后根據(jù)代數(shù)式x2﹣2kx+7的最小值為3，可得關(guān)于k的方程，求解即可．【解答】解：（1）x2+6x+10＝x2+2×3x+32﹣32+10＝（x+3）2+1，∴（x+3）2+1＝（x+a）2+b，∴a＝3，b＝1故答案為：3，1；（2）證明：x=x=(x+3∵(x+3∴x2∴無論x取何值，代數(shù)式x2（3）x2﹣2kx+7＝x2﹣2kx+k2﹣k2+7＝（x﹣k）2﹣k2+7，∵（x﹣k）2≥0，∴x2﹣2kx+7的最小值為﹣k2+7，又∵代數(shù)式x2﹣2kx+7的最小值為3，∴﹣k2+7＝3，解得k＝2或﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．配方法的關(guān)鍵是：先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方再減去一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可完成配方．題型五利用配方法解決二次三項(xiàng)式的最值問題題型五利用配方法解決二次三項(xiàng)式的最值問題【例題5】（2023春?拱墅區(qū)校級(jí)期中）已知x是實(shí)數(shù)，則多項(xiàng)式x2+4x+5的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】將代數(shù)式配方后討論最值即可．【解答】解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴（x+2）2+1的最小值是1，即x2+4x+5的最小值為1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式配方的應(yīng)用，判斷實(shí)數(shù)a2的取值是解題關(guān)鍵．【變式5-1】不論x，y為什么數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．總大于7 B．總不小于9 C．總不小于﹣9 D．為任意有理數(shù)【分析】先將原式化簡(jiǎn)，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性質(zhì)，判斷出代數(shù)式的值總不小于﹣9即可．【解答】解：4x2+3y2+8x﹣12y+7＝4x2+8x+4+3y2﹣12y+3＝4（x2+2x+1）+3（y2﹣4y+1）＝4（x+1）2+3（y2﹣4y+4﹣4+1）＝4（x+1）2+3（y﹣2）2﹣9，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴4x2+3y2+8x﹣12y+7≥﹣9．即不論x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值總不小于﹣9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，以及偶次方的非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握．解決本題的關(guān)鍵是掌握配方法．【變式5-2】（2022秋?海門市期末）已知實(shí)數(shù)a，b滿足b2+12＝4b（1﹣a），則4a2+b2的最小值為（）A．8 B．5 C．4 D．0【分析】先把等式變形配方得出﹣4ab≥8，再把代數(shù)式變形求解．【解答】解：∵b2+12＝4b（1﹣a），∴b2﹣4b+4+8＝﹣4ab，∴﹣4ab＝（b﹣2）2+8≥8，∴4a2+b2＝（2a+b）2﹣4ab，∵（2a+b）2≥0，﹣4ab≥8，∴（2a+b）2﹣4ab≥8，即：4a2+b2的最小值為8，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，理解非負(fù)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023?天門三模）已知實(shí)數(shù)m，n滿足m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，則（m+1）2+（n+1）2的最小值是（）A．18 B．16 C．﹣6 D．﹣14【分析】根據(jù)一元二次方程判別式的意義得出a≥2，利用根與系數(shù)關(guān)系得到m+n和mn的值，代入（m﹣1）2+（n﹣1）2變形后的代數(shù)式，再利用配方法以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值．【解答】解：∵m、n滿足m2﹣2am+a2﹣2a+4＝0，n2﹣2an+a2﹣2a+4＝0，∴m、n是方程x2﹣2ax+a2﹣2a+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣2a+4）＝8a﹣16≥0，且m+n＝2a，mn＝a2﹣2a+4，∴a≥2，∴（m+1）2+（n+1）2＝m2+2m+1+n2+2n+1＝m2+n2+2（m+n）+2＝（m+n）2﹣2mn+2（m+n）+2＝4a2﹣2（a2﹣2a+4）+4a+2＝2a2+8a﹣6＝2（a+2）2﹣14，∴a≥2，∴當(dāng)a＝2時(shí)，（m+1）2+（n+1）2的最小值是18，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了代數(shù)式求值，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，配方法的運(yùn)用，熟練掌握根和系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式5-4】先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題．例題：求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y(tǒng)2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，∴（y+2）2+4≥4，∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代數(shù)式m2+2m+3的最小值；（2）求代數(shù)式4﹣x2+2x的最大值．【分析】（1）先根據(jù)題意將原代數(shù)式化為（m+1）2+2，再運(yùn)用平方數(shù)的非負(fù)性即可求解；（2）先將原式化為﹣（x﹣1）2+5，再運(yùn)用平方數(shù)的非負(fù)性即可求解．【解答】解：（1）m2+2m+3＝m2+2m+1+2＝（m+1）2+2，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+2≥2，∴代數(shù)式m2+2m+3的最小值為2．（2）4﹣x2+2x＝﹣x2+2x﹣1+5＝﹣（x﹣1）2+5，∵（x﹣1）2≥0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，∴4﹣x2+2x的最大值為5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是因式分解以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握例題的解答方法．【變式5-5】（2022秋?東湖區(qū)期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其它重要應(yīng)用．例如：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．解答過程如下：解：x2+4x+5＝（x2+4x+4）+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，x2+4x+5有最小值，是1．（1）仿照上述方法，求代數(shù)式x2﹣6x+12的最小值；（2）﹣x2+8x﹣1有最（直接填“大”或“小”）值，是（直接填空）．【分析】（1）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答即可．【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝（x2﹣6x+9）+3＝（x﹣3）2+3，∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+3≥3，∴當(dāng)x＝3時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+12有最小值，是3；（2）﹣x2+8x﹣1＝﹣（x2﹣8x+16）+15＝﹣（x﹣4）2+15，∵（x﹣4）2≥0，∴﹣（x﹣4）2≤0，∴﹣（x﹣4）2+15≤15，∴當(dāng)x＝4時(shí)，﹣x2+8x﹣1有最大值，是15，故答案為：大，15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握配方法的一般步驟和偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【變式5-6】（2022秋?東湖區(qū)校級(jí)期末）老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的各種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式x2+4x+5最小值？同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0∴（x+2）2+1≥1即：當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，x2+4x+5＝（x+2）2+1的值最小，最小值是1，請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題：（1）直接寫出：（x+1）2﹣2的最小值為；（2）求出代數(shù)式x2+10x+28的最小值；（3）若x2+7x+y+2＝0，求x+y的最大值．【分析】（1）根據(jù)（x+1）2≥0，以及不等式的性質(zhì)求解即可；（2）由題意知x2+10x+28＝（x+5）2+3，根據(jù)（x+5）2≥0，以及不等式的性質(zhì)求解即可；（3）由題意得x+y＝﹣x2﹣6x﹣2＝﹣（x+3）2+7，根據(jù)﹣（x+3）2≤0，以及不等式的性質(zhì)求解即可．【解答】解：（1）∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2﹣2≥﹣2，∴（x+1）2﹣2的最小值為﹣2，故答案為：﹣2；（2）x2+10x+28＝（x+5）2+3∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+3≥3，∴x2+10x+28的最小值為3；（3）∵x2+7x+y+2＝0，∴x+y＝﹣x2﹣6x﹣2＝﹣（x+3）2+7，∵﹣（x+3）2≤0，∴﹣（x+3）2+7≤7，∴x+y的最大值為7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方公式、不等式的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵在于對(duì)完全平方公式的熟練應(yīng)用．題型六利用配方法恒等變形后求值題型六利用配方法恒等變形后求值【例題6】（2023春?安慶期中）已知a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，則（a﹣b）2023的值為．【分析】根據(jù)完全平方公式求出a＝2，b＝3，進(jìn)而可以得出答案．【解答】解：∵a2+b2﹣4a﹣6b+13＝0，∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣3）2＝0，∴a＝2，b＝3，∴（a﹣b）2023＝（2﹣3）2023＝﹣1故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確求出a＝2，b＝3是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023?龍湖區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知a，b，c滿足a2+2b＝﹣4，b2+4a＝﹣1，則a+b的值為（）A．1 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣7【分析】根據(jù)題意可得a2+2b+4＝0，b2+4a+1＝0，兩式相加可得（a2+4a+4）+（b2+2a+1）＝0，根據(jù)完全平方式將其變形為（a+2）2+（b+1）2＝0，由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出a，b的值，以此即可求解．【解答】解：∵a2+2b＝﹣4，b2+4a＝﹣1，∴a2+2b+4＝0，b2+4a+1＝0，兩式相加得：a2+2b+4+b2+4a+1＝0，即（a2+4a+4）+（b2+2a+1）＝0，∴（a+2）2+（b+1）2＝0，∴a＝﹣2，b＝﹣1，∴a+b＝﹣3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解題關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．【變式6-2】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考）已知x2y2+x2+y2+6xy+4＝0，則2x+2y?1xy的值為【分析】通過配方法對(duì)原方程進(jìn)行變形，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到x+y＝0，xy＝﹣2，整體代入到代數(shù)式求值即可．【解答】解：∵x2y2+x2+y2+6xy+4＝0，∴[（xy）2+4xy+4]+（x2+2xy+y2）＝0，∴（xy+2）2+（x+y）2＝0，∵（xy+2）2≥0，（x+y）2≥0，∴xy+2＝0，x+y＝0，∴xy＝﹣2，∴原式==2×0?1=1故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：配方法，通過配方法對(duì)原方程進(jìn)行變形得到（xy+2）2+（x+y）2＝0是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022春?江北區(qū)校級(jí)期末）已知4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y+16，則4x?32y＝．【分析】首先根據(jù)完全平方公式將等式變形，然后利用積的乘方的逆運(yùn)算將2x+5y的值整體代入求解即可．【解答】解：∵4x2+20xy＝﹣25y2+12x+30y+16∴4x2+20xy+25y2﹣12x﹣30y＝16∴4x2+20xy+25y2﹣6（2x+5y）＝16∴（2x+5y）2﹣6（2x+5y）+9＝25∴（2x+5y﹣3）2＝25∴2x+5y﹣3＝﹣5或2x+5y﹣3＝5∴2x+5y＝﹣2或2x+5y＝8∴當(dāng)2x+5y＝﹣2時(shí)，4x∴當(dāng)2x+5y＝8時(shí)，4x?32y＝22x?25y＝22x+5y＝28＝256；綜上所述，4x?32y=1故答案為：256或14【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式的變形應(yīng)用，積的乘方的逆運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是將原等式利用完全平方公式正確變形．【變式6-4】（2022秋?博羅縣期中）若a2+6a+b2﹣2b+10＝0，則2a+3b的值為（）A．3 B．﹣9 C．9 D．﹣3【分析】先把a(bǔ)2+6a+b2﹣2b+10＝0化為（a+3）2+（b﹣1）2＝0形式，再根據(jù)非負(fù)性的性質(zhì)求出a、b的值，代入2a+3b計(jì)算．【解答】解：∵a2+6a+b2﹣2b+10＝0，∴a2+6a+9+b2﹣2b+1＝0，（a+3）2+（b﹣1）2＝0，∴a+3＝0，b﹣1＝0，∴a＝﹣3，b＝1，∴2a+3b＝2×（﹣3）+3×1＝﹣6+3＝﹣3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，配方法是解題關(guān)鍵．【變式6-5】（2022春?宣城期末）已知a，b，c滿足a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，則a+b﹣c的值為（）A．1 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣7【分析】題目中的式子相加，然后利用配方法變形為完全平方的形式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求得所求式子的值．【解答】解：∵a2+2b＝7，b2﹣2c＝﹣1，c2﹣6a＝﹣17，∴（a2+2b）+（b2﹣2c）+（c2﹣6a）＝7+（﹣1）+（﹣17），∴a2+2b+b2﹣2c+c2﹣6a＝﹣11，∴（a2﹣6a+9）+（b2+2b+1）+（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣3）2+（b+1）2+（c﹣1）2＝0，∴a﹣3＝0，b+1＝0，c﹣1＝0，解得，a＝3，b＝﹣1，c＝1，∴a+b﹣c＝3﹣1﹣1＝1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)完全平方和公式將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為偶次方的和的形式，求出a，b，c的值．【變式6-6】（2022春?法庫(kù)縣期中）閱讀材料：已知x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，求yx解：x2+4x+4+y2﹣8y+16＝0，即（x+2）2+（y﹣4）2＝0，所以（x+2）2＝0，（y﹣4）2＝0，所以x＝﹣2，y＝4，所以yx根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，則mn的值為（2）已知x2﹣4x+4y2﹣12y+13＝0，求xy的值．【分析】（1）仿照樣例先把已知等式左邊化成非負(fù)數(shù)和的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)和的性質(zhì)求得m、n的值，進(jìn)而代值計(jì)算；（2）仿照樣例先把已知等式左邊化成非負(fù)數(shù)和的形式，再根據(jù)非負(fù)數(shù)和的性質(zhì)求得x、y的值，進(jìn)而代值計(jì)算．【解答】解：（1）∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，∴m+n＝0，n﹣3＝0，∴m＝﹣3，n＝3，∴mn故答案為：﹣1；（2）∵x2﹣4x+4y2﹣12y+13＝0，∴x2﹣4x+4+4y2﹣12y+9＝0，∴（x﹣2）2+（2y﹣3）2＝0，∴x﹣2＝0，2y﹣3＝0，∴x＝2，y=3∴xy＝2×3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法，非負(fù)數(shù)和為0的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用配方法把方程化成非負(fù)數(shù)和為0的形式．【變式6-7】（2022秋?越秀區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0．∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0．∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）已知a2+2b2﹣2ab+4b+4＝0，求ab的值；（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的最長(zhǎng)邊c的值；（3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值．【分析】（1）已知等式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可求出ab的值；（2）已知等式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，再利用三角形三邊關(guān)系確定出c的值即可；（3）由a﹣b＝8得到a＝b+8，代入已知等式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b與c的值，進(jìn)而求出a的值，即可求出a+b+c的值．【解答】解：（1）∵a2+2b2﹣2ab+4b+4＝0，∴（a﹣b）2+（b+2）2＝0，∴a﹣b＝0，b+2＝0，解得：a＝b＝﹣2，則ab＝4；（2）∵a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣12b+36）＝0，即（a﹣4）2+（b﹣6）2＝0，∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，解得：a＝4，b＝6，∵6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10，∵a，b，c為正整數(shù)，∴最長(zhǎng)邊c的值為9；（3）∵a﹣b＝8，∴a＝b+8，∵ab+c2﹣16c+80＝0，∴b（b+8）+c2﹣16c+80＝0，即（b+4）2+（c﹣8）2＝0，∴b+4＝0，c﹣8＝0，解得：b＝﹣4，c＝8，a＝4，則a+b+c＝﹣4+8+4＝8．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式6-8】（2023春?錦江區(qū)校級(jí)期中）已知常數(shù)a、b、c是△ABC的三條邊長(zhǎng)．（1）若x2﹣（2a+14）x+144是完全平方式，求a的值；（2）在（1）的條件下，若b，c滿足b2+4+|c﹣5|＝4b，試判斷△ABC的形狀．【分析】（1）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可得到a的值；（2）將已知等式利用配方法變形為：（b﹣2）2+|c﹣5|＝0，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得b、c的值；然后等腰三角形的判定方法推知△ABC為等腰三角形．【解答】解：（1）∵x2﹣（2a+14）x+144是完全平方式，∴2a+14＝±2×12，解得a＝5或a＝﹣19（舍去）．故a的值是5；（2）由b2+4+|c﹣5|＝4b，得（b﹣2）2+|c﹣5|＝0，則：b﹣2＝0，c﹣5＝0，故b＝2，c＝5．由（1）知，a＝5．故a＝c＝5．所以△ABC為等腰三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，等腰三角形的判定以及完全平方公式等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)，需要注意：常數(shù)a、b、c是△ABC的三條邊長(zhǎng)，所以它們都是正數(shù)．題型七利用配方法的綜合應(yīng)用問題題型七利用配方法的綜合應(yīng)用問題【例題7】（2022秋?隆昌市校級(jí)月考）（閱讀材料）把形如ax2+bx+c的二次三項(xiàng)式（或其一部分）經(jīng)過適當(dāng)變形配成完全平方式的方法叫配方法，配方法在因式分解、證明恒等式．利用a2≥0求代數(shù)式最值等問題中都有廣泛應(yīng)用．例如：利用配方法將x2﹣6x+8變形為a（x+m）2+n的形式，并把二次三項(xiàng)式分解因式．配方：x2﹣6x+8＝x2﹣6x+32﹣32+8＝（x﹣3）2﹣1分解因式：x2﹣6x+8＝（x﹣3）2﹣1＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）＝（x﹣2）（x﹣4）（解決問題）根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）利用配方法將多項(xiàng)式x2﹣4x﹣5化成a（x+m）2+n的形式；（2）利用配方法把二次三項(xiàng)式x2﹣2x﹣35分解因式；（3）若a、b、c分別是△ABC的三邊，且a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；（4）求證：無論x，y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒為正數(shù)．【分析】（1）仿照題中例題進(jìn)行配方求解；（2）仿照題中例題進(jìn)行配方分解因式；（3）先仿照題中例題進(jìn)行配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值進(jìn)行判斷；（4）先仿照題中例題進(jìn)行配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解答】（1）解：x2﹣4x﹣5，＝x2﹣4x+22﹣22﹣5＝（x﹣2）2﹣9；（2）解：原式＝x2﹣2x+1﹣1﹣35，＝（x﹣1）2﹣62＝（x﹣1+6）（x﹣1﹣6）＝（x+5）（x﹣7）；（3）解：△ABC為等邊三角形，理由如下：∵a2+2b2+3c2﹣2ab﹣2b﹣6c+4＝0，∴（a2﹣2ab+b2）+b2﹣2b+1+3（c2﹣2c+1）＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+3（c﹣1）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0，3（c﹣1）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，c﹣1＝0，∴a＝b，b＝1，c＝1，∴a＝b＝c，△ABC為等邊三角形；（4）證明：x2+y2+4x﹣6y+15，＝x2+4x+4+y2﹣6y+9+2，＝（x+2）2+（y﹣3）2+2，∵（x+2）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x+2）2+（y﹣3）2+2≥2，∴代數(shù)式x2+y2+4x﹣6y+15的值恒為正數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了配方法，分解因式，等邊三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春?平果市期中）閱讀理解：在教材中，我們有學(xué)習(xí)到（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，又因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以（a﹣b）2≥0，即a2+b2≥2ab．例如，比較整式x2+4和4x的大小關(guān)系，因?yàn)閤2+4﹣4x＝（x﹣2）2≥0，所以x2+4≥4x．請(qǐng)類比以上的解題過程，解決下列問題：【初步嘗試】比較大?。簒2+12x；96x﹣x2．【知識(shí)應(yīng)用】比較整式5x2+2xy+10y2和（2x﹣y）2的大小關(guān)系，并請(qǐng)說明理由．【拓展提升】比較整式2a2﹣4ab+4b2和2a﹣1的大小關(guān)系，并請(qǐng)說明理由．【分析】【初步嘗試】?jī)蛇呑鞑钆浞胶罂傻么笥诘扔?，即可得大小關(guān)系；【知識(shí)應(yīng)用】?jī)墒阶鞑詈笈浞郊纯傻贸龃笮￡P(guān)系；【拓展提升】?jī)墒阶鞑詈笈浞郊纯傻贸龃笮￡P(guān)系．【解答】解：【初步嘗試】∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x，∵9﹣（﹣x2+6x）＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2≥0，∴9≥6x﹣x2，故答案為：≥，≥；【知識(shí)應(yīng)用】5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；理由如下：∵5x2+2xy+10y2﹣（2x﹣y）2＝5x2+2xy+10y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2+6xy+9y2＝（x+3y）2≥0，∴5x2+2xy+10y2≥（2x﹣y）2；【拓展提升】2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1理由如下：∵2a2﹣4ab+4b2﹣（2a﹣1）＝a2﹣4ab+4b2+a2﹣2a+1＝（a﹣2b）2+（a﹣1）2≥0，∴2a2﹣4ab+4b2≥2a﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查配方法解決問題，熟練應(yīng)用配方法比較兩數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春?灌南縣期中）閱讀下列材料：“a2≥0”這個(gè)結(jié)論在數(shù)學(xué)中非常有用，有時(shí)我們需要將代數(shù)式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．試?yán)谩芭浞椒ā苯鉀Q下列問題：（1）填空：x2﹣6x+12＝（x﹣）2+；（2）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，滿足a2+b2＝10a+8b﹣41，且c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，求c的取值范圍；（3）比較代數(shù)式x2+2y2與2xy+4y﹣8的大?。痉治觥浚?）利用配方法求解；（2）將a2+b2＝10a+8b﹣41變形為（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，根據(jù)a2≥0求出a，b的值，根據(jù)三角形三邊關(guān)系、c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，即可求c的取值范圍；（3）將x2+2y2與2xy+4y﹣8作差，參照材料中作法即可求解．【解答】解：（1）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3，故答案為：3；3．（2）∵a2+b2＝10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16＝0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2＝0，∴a﹣5＝0，b﹣4＝0，解得a＝5，b＝4．∵a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，∴5﹣4＜c＜5+4，即1＜c＜9，∵c是△ABC中最長(zhǎng)的邊，∴5≤c＜9．（3）x2+2y2﹣（2y+4y﹣8）＝x2+2y2﹣2xy﹣4y+8＝x2﹣2xy+y2+y2﹣4y+8＝（x﹣y）2+（y﹣2）2+4，∵（x﹣y）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x﹣y）2+（y﹣2）2+4≥4，∴x2+2y2＞2y+4y﹣8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查完全平方公式，平方的非負(fù)性，三角形三邊關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是看懂材料，能夠利用“配方法”解題．【變式7-3】（2023春?禪城區(qū)校級(jí)月考）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?＝22+12，所以5是“完美數(shù)”．（1）解決問題：已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式；（2）若x2﹣6x+5可配方成（x﹣m）2+n（m、n為常數(shù)），求mn的值．（3）探究問題：已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．【分析】（1）把2（9分）為兩個(gè)整數(shù)的平方即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，確定出m與n的值，即可求出mn的值；（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x與y的值，即可求出x+y的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：29＝22+52；故答案為：29＝22+52；（2）根據(jù)題意得：x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，∴m＝3，n＝﹣4，則mn＝﹣12；（3）已知等式變形得：（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0，即（x﹣1）2+（y+2）2＝0，∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得：x＝1，y＝﹣2，則x+y＝1﹣2＝﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．【變式7-4】（2022秋?臨西縣期末）請(qǐng)閱讀下列材料：若m2﹣2m+n2+6n+10＝0，求m，n的值．解：∵m2﹣2m+n2+6n+10＝0，∴（m2﹣2m+1）+（n2+6n+9）＝0，∴（m﹣1）2+（n+3）2＝0，∴（m﹣1）2＝0，（n+3）2＝0，∴m＝1，n＝﹣3．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：（1）若a2+2ab+2b2+6b+9＝0，則a的值為；b的值為．（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2﹣4a+b2﹣2b+5＝0，求c的值．（3）若A＝2a2+3a﹣5，B＝a2+5a﹣7，試比較A與B的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性分別求出a、b；（2）利用配方法把原式變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性分別求出a、b，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出c；（3）把A﹣B變形，根據(jù)偶次方的非負(fù)性判斷．【解答】解：（1）∵a2+2ab+2b2+6b+9＝0，∴a2+2ab+b2+b2+6b+9＝0，∴（a+b）2+（b+3）2＝0，∴a+b＝0，b+3＝0，∴a＝3，b＝﹣3，故答案為：3；﹣3；（2）∵a2﹣4a+b2﹣2b+5＝0，∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1＝0，∴（a﹣2）2+（b﹣1）2＝0，∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，∴a＝2，b＝1，∴2﹣1＜c＜2+1，即1＜c＜3，∵c是正整數(shù)，∴c＝2；（3）A＞B．理由如下：A﹣B＝（2a2+3a﹣5）﹣（a2+5a﹣7）＝2a2+3a﹣5﹣a2﹣5a+7＝a2﹣2a+2＝a2﹣2a+1+1＝（a﹣1）2+1＞0，∴A＞B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是配方法的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系，靈活運(yùn)用配方法、熟記偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【變式7-5】（2023春?江都區(qū)期中）將一個(gè)式子或一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式x2+2x+3的最小值．解：原式＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2．∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，x2+2x+3的最小值是2．（1）在橫線上添加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，使代數(shù)式x2+10x+成為完全平方式；（2）請(qǐng)仿照上面的方法求代數(shù)式x2+6x﹣1的最小值；（3）已知△ABC的三邊a，b，c滿足a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8．求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)可知當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，由此即可得到答案；（2）根據(jù)題干解題過程進(jìn)行求解即可；（3）由a2﹣6b＝﹣14，b2﹣8c＝﹣23，c2﹣4a＝8可得，a2﹣6b+b2﹣8c+c2﹣4a＝﹣14﹣23+8，再化簡(jiǎn)即可得a，b，c，進(jìn)而得周長(zhǎng)．【解答】解：（1）由題意得，常數(shù)項(xiàng)為(10故答