專題38排列組合與圖論第一緝（解析版）-備戰(zhàn)2025年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題分類(lèi)匯編

1/2備戰(zhàn)2025年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題分類(lèi)匯編專題38排列組合與圖論第一緝1．【2021年重慶預(yù)賽】已知xi∈{?1,1},i=1,2,…,2021,并且x1+x2+?+xk≥0(k=1,2,…,2020)，【答案】11011【解析】由x1+所以x2021=?1,所以在x1,x2,?,且隨時(shí)保證x1+即為卡特蘭數(shù)11011C2．【2021年浙江預(yù)賽】對(duì)于正整數(shù)n,若(xy?5x+3y?15)n展開(kāi)式經(jīng)同類(lèi)項(xiàng)合并，xiyj(i,j=0,1,?,n)合并后至少有2021項(xiàng),則n的最小值為【答案】44【解析】由(xy?5x+3y?15)n=(x+3)n(y?5)所以(n+1)2≥2021,得n≥2021?13．【2021年廣西預(yù)賽】某學(xué)校在不同時(shí)段開(kāi)設(shè)了三門(mén)選修課，要求每位學(xué)生至少選擇其中一門(mén),則A、B、C三位學(xué)生可牟的選法有 種.【答案】343【解析】每個(gè)同學(xué)有7種不同的選法，由乘法原理選法總數(shù)為73=3434．【2021年新疆預(yù)賽】將正整數(shù)中所有數(shù)碼不超過(guò)5的數(shù)從小到大排成一列，則第2021個(gè)數(shù)是 .【答案】13205【解析】方法一：所有數(shù)碼不超過(guò)5的數(shù)有5個(gè),兩位正整數(shù)有5×6=30個(gè),三位正整數(shù)有5×62=180個(gè)，四位正整數(shù)有5萬(wàn)位數(shù)為1,千位為0,共216個(gè)；萬(wàn)位數(shù)為1,千位為1,共216個(gè);萬(wàn)位數(shù)為1，千位為2，共216個(gè);共1943個(gè)，萬(wàn)位數(shù)為1,千位為3，百位是0,1各36個(gè)，共72個(gè)，一共1943+72=2015個(gè)，還差6個(gè)，百位是2，個(gè)位取0,1,2,3,4,5,所以第2021個(gè)數(shù)是13205.方法二:數(shù)碼不超過(guò)5的數(shù)可以與一個(gè)六進(jìn)制數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,2021=1×64+3×63+2×6所以答案是:13205.5．【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】現(xiàn)有10張卡片,每張卡片上寫(xiě)有1,2,3,4,5中兩個(gè)不同的數(shù),且任意兩張卡片上的數(shù)不完全相同.將這10張卡片放入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)盒子中,規(guī)定寫(xiě)有i,j的卡片只能放在i號(hào)或j號(hào)盒子中.一種放法稱為"好的",如果1號(hào)盒子中的卡片數(shù)多于其他每個(gè)盒子中的卡片數(shù).則"好的"放法共有 種.【答案】120【解析】用{i,j}表示寫(xiě)有i,j的卡片.易知這10張卡片恰為i,j(1≤i<j≤5).考慮"好的"卡片放法.五個(gè)盒子一共放有10張卡片,故1號(hào)盒至少有3張卡片.能放入1號(hào)盒的卡片僅有{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}.情況一:這4張卡片都在1號(hào)盒中,此時(shí)其余每個(gè)盒中已經(jīng)不可能達(dá)到4張卡片,故剩下6張卡片無(wú)論怎樣放都符合要求,有26情況二:這4張卡片恰有3張?jiān)?號(hào)盒中,且其余每盒最多僅有2張卡片.考慮{1,2},{1,3},{1,4}在1號(hào)盒,且{1,5}在5號(hào)盒的放法數(shù)N.卡片{2,3},{2,4},{3,4}的放法有8種可能,其中6種是在2,3,4號(hào)的某個(gè)盒中放兩張,其余2種則是在2,3,4號(hào)盒中各放一張.若{2,3},{2,4},{3,4}有兩張?jiān)谝粋€(gè)盒中,不妨設(shè){2,3},{2,4}在2號(hào)盒,則{2,5}只能在5號(hào)盒,這樣5號(hào)盒已有{1,5},{2,5},故{3,5},{4,5}分別在3號(hào)與4號(hào)盒,即{2,5},{3,5},{4,5}的放法唯一;若{2,3},{2,4},{3,4}在2,3,4號(hào)盒中各一張,則2,3,4號(hào)盒均至多有2張卡片,僅需再使5號(hào)盒中不超過(guò)2張卡片,即{2,5},{3,5},{4,5}有0張或1張?jiān)?號(hào)盒中,對(duì)C3因此N=6×1+2×4=14.由對(duì)稱性,在情況二下有4N=56種好的放法.綜上,好的放法共有64+56=120種.6．【2020年四川預(yù)賽】已知正四面體的四個(gè)表面上分別寫(xiě)有數(shù)字1、2、3、,將四個(gè)這樣的密度均勻的正四面體同時(shí)投擲于桌面上,與桌面接觸的四個(gè)面上的四個(gè)數(shù)的和能被4整除的概率為 .【答案】14【解析】和能被4整除的情況可分為以下幾種:(1)四個(gè)面上的數(shù)字相同,共有4種;(2)四個(gè)面上的數(shù)字為1、3、2、2,共有A42(3)四個(gè)面上的數(shù)字為1、3、1、3,共有C42(4)四個(gè)面上的數(shù)字為1、3、4、4,共有A42(5)四個(gè)面上的數(shù)字為2、2、4、4，共有C42(6)四個(gè)面上的數(shù)字為1、1、2、4,共有A42(7)四個(gè)面上的數(shù)字為3、3、2、4,共有A42綜上,共有4+4A4因此,所求概率為64447．【2020年重慶預(yù)賽】有長(zhǎng)為2n(n=0,1,?,1009)的線段各三條,則由這3030條線段能構(gòu)成不全等的三角形的個(gè)數(shù)為 【答案】510555【解析】(1)若0?i<j<k?1009,則2i+故2i,2(2)若0?i<j?1009,則2i+故2i,2(3)若0?i<j?1009,則2i+故2i,2(4)若0?k?1009,則2k,綜合(1)~(4),知構(gòu)成三角形的只能是2i,C101028．【2019年全國(guó)】將6個(gè)數(shù)2，0，1，9，20，19按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)（首位不為0），則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為 .【答案】498【解析】所有首位非0的8位數(shù)：6!-5！2、0相鄰的不同8位數(shù)：5!21、9相鄰的不同8位數(shù)：5!?4!22、0與1、9均相鄰的不同8位數(shù)：4!故所求的8位數(shù)個(gè)數(shù)為：(6!?5!)?5!9．【2019年內(nèi)蒙古預(yù)賽】方程x12+x2【答案】1135【解析】當(dāng)x1=0時(shí),則非負(fù)整數(shù)解當(dāng)x1=1時(shí),則非負(fù)整數(shù)解當(dāng)x1=2時(shí),則非負(fù)整數(shù)解當(dāng)x1共1135個(gè).10．【2019年新疆預(yù)賽】設(shè)n為正整數(shù).若1+2+?+n的和恰好等于一個(gè)三位數(shù)且該三位數(shù)的每個(gè)數(shù)字均相同，則所有可能的n值為 .【答案】36【解析】設(shè)1+2+?+n=aaa，化簡(jiǎn)可得n(n+1)2=111×a.由于111=3×37且37是素?cái)?shù)，故n和n+1中要有一個(gè)被37整除.再由1+2+?+n<1000，可知n<45.因此n=36或37.經(jīng)計(jì)算，1+2+?+36=666且1+2+?+37=70311．【2019年浙江預(yù)賽】在復(fù)平面上，任取方程z100?1=0的三個(gè)不同的根為頂點(diǎn)組成三角形，則不同的銳角三角形的數(shù)目為 【答案】39200【解析】易知z100?1=0的根在單位圓上，且兩根之間弧長(zhǎng)相等，都為2π100首先選取任意一點(diǎn)A為三角形的頂點(diǎn)，共有100種取法.按順時(shí)針?lè)较蛞来稳№旤c(diǎn)B和頂點(diǎn)C，設(shè)AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，則△ABC為銳角三角形的等價(jià)條件為x+y+z=1001≤x,y,z≤49?x+y+z=97計(jì)算方程組(1)的整數(shù)解個(gè)數(shù)，記P1P3P=C由于重復(fù)計(jì)算3次，所以所求銳角三角形個(gè)數(shù)為100×1176312．【2019年貴州預(yù)賽】若(a+b)n的展開(kāi)式中有連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列,則最大的三位正整數(shù)n= .【答案】959【解析】解法1:設(shè)(a+b)n的展開(kāi)式中連續(xù)三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：Cn因?yàn)??n=4k+1±8k+92由n為正整數(shù),則8k+9應(yīng)為奇完全平方數(shù),故設(shè)8k+9=(2m+1)2(m∈N),即2k=m2+m-2,代入①式得n=(m+1)2-2或n=m2-2.所以,三位正整數(shù)n的最大值為959.解法2:同解法1得,n2?(4k+1)n+4k2?2=0因?yàn)?12=961,32則n+2=312=961,所以n=959.此時(shí)n±n+213．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】將6個(gè)數(shù)2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)(首位不為0)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為 .【答案】498【解析】將2、0、1、9、20、19的首位不為0的排列的全體記為A.易知|A|=5×5!=600(這里及以下，|X|表示有限集X的元素個(gè)數(shù)).將A中2的后一項(xiàng)是0，且1的后一項(xiàng)是9的排列的全體記為B；A中2的后一項(xiàng)是0，但1的后一項(xiàng)不是9的排列的全體記為C；A中1的后一項(xiàng)是9，但2的后一項(xiàng)不是0的排列的全體記為D.易知|B|=4!，|B|+|C|=5!，|B|+|D|=4×4!，即|B|=24,|C|=96,?由B中排列產(chǎn)生的每個(gè)8位數(shù)，恰對(duì)應(yīng)B中的2×2=4個(gè)排列(這樣的排列中，20可與“2，0”互換，19可與“1，9”互換)類(lèi)似地，由C或D中排列產(chǎn)生的每個(gè)8位數(shù)，恰對(duì)應(yīng)C或D中的2個(gè)排列因此滿足條件的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為|A\(B∪C∪D)|+=|A|?=600?18?48?36=498.14．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】將5個(gè)數(shù)2，0，1，9，2019按任意次序排成一行，拼成一個(gè)8位數(shù)(首位不為0)，則產(chǎn)生的不同的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為 .【答案】95【解析】易知2，0，1，9，2019的所有不以0為開(kāi)頭的排列總共有4×4!=96個(gè).其中，除了(2，0，1，9，209)和(2019，2，0，1，9)這兩種排列對(duì)應(yīng)同一個(gè)數(shù)20192019，其余的數(shù)互不相等因此滿足條件的8位數(shù)的個(gè)數(shù)為96－1=95.15．【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)整數(shù)n>4，(x+2y?1)n的展開(kāi)式中xn?4與xy兩項(xiàng)的系數(shù)相等，則n的值為【答案】51【解析】注意到(x+2y其中xn?4項(xiàng)，僅出現(xiàn)在求和指標(biāo)r=4時(shí)的展開(kāi)式Cn4xn?4而xy項(xiàng)僅出現(xiàn)在求和指標(biāo)r=n－1時(shí)的展開(kāi)式Cn其xy項(xiàng)系數(shù)為Cn因此有n(n?1)(n?2)(n?3)24注意到n>4，化簡(jiǎn)得n?3=(?1)n?348，故只能是n為奇數(shù)且n16．【2018年湖南預(yù)賽】從-3、-2、-1、0、1、2、3、4八個(gè)數(shù)字中，任取三個(gè)不同的數(shù)字作為二次函數(shù)f(x)=ax【答案】24【解析】可將二次函數(shù)分為兩大類(lèi)：一類(lèi)頂點(diǎn)在第一象限；另一類(lèi)頂點(diǎn)在第三象限，然后由頂點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)分別考查.因?yàn)閳D象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以c=0.故二次函數(shù)可寫(xiě)成f(x)=a又f(x)=a(x+b2a若頂點(diǎn)在第一象限，則有b2a>0，因此，這樣的二次函數(shù)有A3若頂點(diǎn)在第三象限，則有?b2a<0，?由加法原理知，滿足條件的二次函數(shù)共有A3故答案為：2417．【2018年湖南預(yù)賽】|x|+1【答案】-20【解析】因?yàn)閨x|+1|x|?2故答案為：-2018．【2018年廣東預(yù)賽】袋中裝有m個(gè)紅球和n個(gè)白球，m＞n≥4.現(xiàn)從中任取兩球，若取出的兩個(gè)球是同色的概率等于取出的兩個(gè)球是異色的概率，則滿足關(guān)系m+n≤40的數(shù)組（m，n）的個(gè)數(shù)為_(kāi)______.【答案】3【解析】記“取出兩個(gè)紅球”為事件A，“取出兩個(gè)白球”為事件B，“取出一紅一白兩個(gè)球”為事件C，則PA依題意得PA+PB=PC，即Cm2+C所以m+n=9,m?n=3,解之得（m，n）=（6，3）（舍去），或（10，6），或（15，10），或（21，15）.故符合題意的數(shù)組（m，n）有3個(gè).故答案為：319．【2018年廣西預(yù)賽】把16本相同的書(shū)全部分給4名學(xué)生，每名學(xué)生至少有一本書(shū)且所得書(shū)的數(shù)量互不相同，則不同的分配方法種數(shù)為_(kāi)_________.（用數(shù)字作答）【答案】216.【解析】將16分解成四個(gè)互不相同的正整數(shù)的和有9種不同的方式：16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，16=2+3+5+6.故符合條件的不同分配方法數(shù)為9A420．【2018年安徽預(yù)賽】把1，2，…，n2按照順時(shí)針螺旋方式排成n行n列的表格Tn，第一行是1，2，…，n.例如：T3【答案】（34，95）【解析】設(shè)1≤k≤50，則T100的第k行第k列元素是1+4因此，1901在第6行第6列，1900在第6行第95列，2018在第34行第95列.故答案為：（34，95）21．【2018年河南預(yù)賽】將圓的一組n等分點(diǎn)分別涂上紅色或藍(lán)色，從任意一點(diǎn)開(kāi)始，按逆時(shí)針?lè)较蛞来斡涗沰k≤n個(gè)點(diǎn)的顏色，稱為該圓的一個(gè)“k階色序”，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)k階色序?qū)?yīng)位置上的顏色至少有一個(gè)不相同時(shí)，稱為不同的k【答案】8【解析】“3階包序”中，每個(gè)點(diǎn)的顏色有兩種選擇，故“3階色序”共有2×2×2=8種．一方面，n個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成n個(gè)“3階色序”，故該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)不多于8個(gè)．另一方面，若n=8，則必須包含全部8個(gè)“3階色序”，如按逆時(shí)針?lè)较虼_定8個(gè)的顏色為“紅，紅，紅，藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)，紅，藍(lán)”符合條件．故該圓中等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多可有8個(gè)．22．【2018年浙江預(yù)賽】在八個(gè)數(shù)字2，4，6，7，8，11，12，13中任取兩個(gè)組成分?jǐn)?shù).這些分?jǐn)?shù)中有________個(gè)既約分?jǐn)?shù).【答案】36【解析】在7，11，13中任取一個(gè)整數(shù)與在2，4，6，8，12中任取一個(gè)整數(shù)構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有2C在7，11，13中任取兩個(gè)整數(shù)也構(gòu)成既約分?jǐn)?shù)，共有A3合計(jì)有36種不同的既約分?jǐn)?shù).23．【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】若一個(gè)三位數(shù)中任意兩個(gè)相鄰數(shù)碼的差均不超過(guò)1，則稱其為“平穩(wěn)數(shù)”平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是 .【答案】75【解析】考慮平穩(wěn)數(shù)abc.若b=0，則a=1，c∈{0，1}，有2個(gè)平穩(wěn)數(shù).若b=1，則a∈{1，2}，c∈{0，1，2}，有2×3=6個(gè)平穩(wěn)數(shù).若2≤b≤8，則a，c∈{b－1，b，b+1}有7×3×3=63個(gè)平穩(wěn)數(shù).若b=9，則a，c∈{8，9}，有2×2=4個(gè)平穩(wěn)數(shù).綜上可知，平穩(wěn)數(shù)的個(gè)數(shù)是2+6+63+4=75.24．【2017年天津預(yù)賽】x+14x?15【答案】45【解析】提示:x+14的展開(kāi)式中,