專(zhuān)題20旋轉(zhuǎn)相似解題方法專(zhuān)練-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練

專(zhuān)題20旋轉(zhuǎn)相似解題方法專(zhuān)練第I卷（選擇題）一、單選題1．如圖，正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，以為對(duì)角線作正方形，邊與正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，連接．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)第II卷（非選擇題）二、解答題2．在和中，，，且，點(diǎn)E在的內(nèi)部，連接EC，EB，EA和BD，并且．

（觀察猜想）（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________，線段EA，EB，EC的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．（探究證明）（2）如圖②，當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展應(yīng)用）（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積．3．一次小組合作探究課上，老師將兩個(gè)正方形按如圖所示的位置擺放（點(diǎn)E、A、D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)且．小組討論后，提出了下列三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖1），還能得到嗎？若能，請(qǐng)給出證明，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）把背景中的正方形分別改成菱形和菱形，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖2），試問(wèn)當(dāng)與的大小滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，；（3）把背景中的正方形分別改寫(xiě)成矩形和矩形，且，，（如圖3），連接，．試求的值（用a，b表示）．4．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師拿出兩塊不同大小的含30度角的三角板讓同學(xué)們?cè)诓煌恢脟L試操作．（1）如圖1擺放，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，得知，，求的長(zhǎng)．（2）如圖2，在（1）的條件下，連結(jié)，求的面積．（3）如圖3擺放，把這同樣的兩塊三角板的直角頂點(diǎn)互相重合放置，小三角板繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連結(jié)、，當(dāng)時(shí)，求的值．（4）不變，當(dāng)?shù)娜呴L(zhǎng)擴(kuò)大一倍后，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，直線與交于點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)路徑．5．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，點(diǎn)P是△ABC外一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，連接BD，CD，AP．觀察猜想：（1）如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值為，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為°；類(lèi)比探究：（2）如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，求出的值及直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)；拓展應(yīng)用：（3）如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FE的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)A，D，P三點(diǎn)在一條直線上，BD交PF于點(diǎn)G，CD交AB于點(diǎn)H.若CD＝2＋，求BD的長(zhǎng)．6．如圖，和均為等腰直角三角形，．現(xiàn)將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，若三點(diǎn)共線，，求點(diǎn)B到直線的距離；（2）如圖2，連接，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，連接，求證：；（3）如圖3，若點(diǎn)G在線段上，且，在內(nèi)部有一點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．7．某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在一次活動(dòng)中，對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題作如下探究：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，在等邊中，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，連接，以為邊作等邊，連接CQ，BP與CQ的數(shù)量關(guān)系是________；（2）變式探究：如圖2，在等腰中，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，，連接，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，在正方形中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，以為邊作正方形，是正方形的中心，連接．若正方形的邊長(zhǎng)為5，，求正方形的邊長(zhǎng)．8．如圖，正方形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于O，Q為線段DB上的一點(diǎn)，，點(diǎn)M、N分別在直線BC、DC上．（1）如圖1，當(dāng)Q為線段OD的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）如圖2，當(dāng)Q為線段OB的中點(diǎn)，點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，則線段DN、BM、BC的數(shù)量關(guān)系為；（3）在（2）的條件下，連接MN，交AD、BD于點(diǎn)E、F，若，，求EF的長(zhǎng)．9．如圖1，分別是的內(nèi)角的平分線，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，如果，且，求的值；（3）如果是銳角，且與相似，求的度數(shù)，并直接寫(xiě)出的值．10．如圖1，在中，，，，點(diǎn)D，E分別為，的中點(diǎn)．繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（，記直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn)P．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________，與的位置關(guān)系為_(kāi)______；（2）當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)直接寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度和P點(diǎn)到直線距離的最大值．11．如圖，以的兩邊、分別向外作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，已知，，．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)、分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點(diǎn)），連接、、，作出圖象，求的長(zhǎng)．12．如圖1，在中，，在斜邊上取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，交于點(diǎn)E．現(xiàn)將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置（點(diǎn)D在的內(nèi)部），使得．（1）①求證：；②若，求的長(zhǎng)；（2）如圖3，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，設(shè)，若，，求k的值；（3）如圖4，將原題中的條件“”去掉，其它條件不變，若，設(shè)，，試探究三者之間滿足的等量關(guān)系．（直接寫(xiě)出結(jié)果，不必寫(xiě)出解答過(guò)程）13．如圖1所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α≤360°），直線BE、DF相交于點(diǎn)P．（1）若AB＝AD，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系是．（2）若AD＝nAB（n≠1），將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖3所示的情況加以證明，若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論，并說(shuō)明理由．（3）若AB＝8，BC＝12，將△AEF旋轉(zhuǎn)至AE⊥BE，請(qǐng)算出DP的長(zhǎng)．14．（1）觀察猜想：如圖1，在中，，點(diǎn)D，E分別在邊，上，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，則值為_(kāi)_____，的度數(shù)為_(kāi)____．（2）類(lèi)比探究：如圖3，當(dāng)，時(shí)，請(qǐng)求出的值及的度數(shù)．（3）拓展應(yīng)用：如圖4，在四邊形中，，，．若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出A，D兩點(diǎn)之間的距離．15．在矩形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，且．（1）求的值．（2）求證：．（3）作射線與射線交于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．16．如圖，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，點(diǎn)D在邊AC上（不與點(diǎn)A、C重合）連接BD，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，連結(jié)CK，EK，CE，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度（旋轉(zhuǎn)角小于90度)(1)如圖1．若a=45，則的形狀為_(kāi)_________________；(2)在（1)的條件下，若將圖1中的三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K為線段BD的中點(diǎn)，如圖2所示，求證：；(3)若三角形ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，使得D，E，B三點(diǎn)共線，點(diǎn)K仍為線段BD的中點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出BE，AE，CK三者之間的數(shù)量關(guān)系（用含a的三角函數(shù)表示）17．（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合）將線段AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連結(jié)EC，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；（探究證明）（2）如圖2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，BD與CE具有怎樣的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）如圖3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，將△ACD繞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠CAE為α（0°＜α＜360°），當(dāng)點(diǎn)C，D，E在同一直線時(shí)，畫(huà)出圖形，并求出線段BE的長(zhǎng)度．18．（1）嘗試探究：如圖①，在中，，，點(diǎn)、分別是邊、上的點(diǎn)，且EF∥AB．①的值為_(kāi)________；②直線與直線的位置關(guān)系為_(kāi)_________；（2）類(lèi)比延伸：如圖②，若將圖①中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展運(yùn)用：若，，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)線段的長(zhǎng)．19．△ABE內(nèi)接于⊙O，C在劣弧AB上，連CO交AB于D，連BO，∠COB＝∠E．（1）如圖1，求證：CO⊥AB；（2）如圖2，BO平分∠ABE，求證：AB＝BE；（3）如圖3，在(2)條件下，點(diǎn)P在OC延長(zhǎng)線上，連PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半徑的長(zhǎng)．20．矩形中，，點(diǎn)分別在邊上，且，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)為射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)．（1）特例發(fā)現(xiàn)，如圖，若點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，填空：①________；②與的等量關(guān)系為_(kāi)________．（2）拓展探究如圖，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與能否相等？若能，求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）思維延伸如圖，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作直線，交直線于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使相等？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．21．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，把線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2α°得到線段EF，連接FG，F(xiàn)D．（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值；（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確的結(jié)論，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AD上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)的值最?。钚≈凳嵌嗌?？（用含α的三角函數(shù)表示）22．如圖，函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（m，0），B（0，n）兩點(diǎn)，m，n分別是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n．（Ⅰ）求m，n的值以及函數(shù)的解析式；（Ⅱ）設(shè)拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D，連接AB，BC，BD，CD．求證：△BCD∽△OBA；（Ⅲ）對(duì)于（Ⅰ）中所求的函數(shù)y＝﹣x2+bx+c，（1）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，求函數(shù)y的最大值和最小值；（2）設(shè)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的最大值為p，最小值為q，若p﹣q＝3，求t的值．23．如圖1，在正方形中，為線段上一點(diǎn)，連接，過(guò)作交于，連接．（1）求證：；（2）如圖2，，為中點(diǎn)，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，滿足，則在，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)以為對(duì)角線的正方形的一邊恰好落在的某一邊上時(shí)，直接寫(xiě)出正方形的面積．24．如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，C，F(xiàn)，G三點(diǎn)在一直線上，連接AF并延長(zhǎng)交邊CD于點(diǎn)M．（1）求證：△MFC∽△MCA；（2）求的值，（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的邊長(zhǎng)．25．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)DP到點(diǎn)E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G點(diǎn)在DE上．（1）如圖1，若∠B＝45°，則＝；（2）如圖2，若∠DCG＝30°，，求：＝；（3）如圖3，若∠ABC＝60°，延長(zhǎng)CG至點(diǎn)M，使得MG＝GC，連接AM，BM．在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，探究：當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，線段AM與DM的長(zhǎng)度之和取得最小值？26．如圖1所示，矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°＜≤360°），直線BE，DF相交于點(diǎn)P．（1）若AB＝AD，將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋至如圖2所示的位置上，則線段BE與DF的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是．（2）若AD＝nAB（n≠1）將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)就圖3所示的情況加以證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出正確結(jié)論，并說(shuō)明理由．（3）若AB＝6，BC＝8，將△AEF旋轉(zhuǎn)至AE⊥BE時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出DP的長(zhǎng)．27．如圖（1），在矩形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，連接．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)在圖（1）中，_________；（2）拓展探究將圖（1）中的矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖（2）的情形給出證明；（3）問(wèn)題解決當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．28．如圖1，若點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且有∠PBC=∠PCA=∠PAB，則稱(chēng)點(diǎn)P是△ABC的“等角點(diǎn)”（1）如圖1，∠ABC=70°，則∠APB=（2）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是△ABC的“等角點(diǎn)”，若∠BAC=45°①求的值；②求tan∠PBC的值；29．（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=180°，且=，過(guò)E作EF交AD于點(diǎn)F，若∠EFA=∠AEB，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G．求證：BG=CG．30．發(fā)現(xiàn)規(guī)律：（1）如圖①，與都是等邊三角形，直線交于點(diǎn)．直線，交于點(diǎn)．求的度數(shù)（2）已知：與的位置如圖②所示，直線交于點(diǎn)．直線，交于點(diǎn)．若，，求的度數(shù)應(yīng)用結(jié)論：（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，，求線段長(zhǎng)度的最小值31．在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角至的位置．（1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為時(shí)，連接與交于點(diǎn)，則．（2）如圖2，在（1）條件下，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，連線所在直線交于點(diǎn)，那么的長(zhǎng)有沒(méi)有最大值?如果有，求出的最大值：如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．32．問(wèn)題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．33．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于A，B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，2）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸于點(diǎn)M．交直線BC于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥PM于點(diǎn)N．連接PC；①若△PCQ為以CQ為腰的等腰三角形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；②點(diǎn)G為點(diǎn)N關(guān)于PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G落在坐標(biāo)軸上時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．34．將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為，連接，可求出的值為；

當(dāng)且時(shí)，①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

35．如圖，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的邊長(zhǎng)為2，將正方形BDEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，連接AE、BE、CD．(1)請(qǐng)找出圖中與△ABE相似的三角形，并說(shuō)明理由；(2)求當(dāng)點(diǎn)E在線段AF上時(shí)CD的長(zhǎng)；(3)設(shè)AE的中點(diǎn)為M，連接FM，試求FM長(zhǎng)的取值范圍．36．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝．點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點(diǎn)E按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點(diǎn)為G．（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)．①如圖1，若AD＝BD，求BF的長(zhǎng)．②當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．（2）當(dāng)AE＝3，點(diǎn)G在△DEF一邊所在直線上時(shí)，求AD的長(zhǎng)．37．在中，，CD是中線，，一個(gè)以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的45°角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長(zhǎng)線相交，交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，DF與AE交于點(diǎn)M，DE與BC交于點(diǎn)N．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，在繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試證明恒成立；（3）若，，求DN的長(zhǎng)．38．（1）問(wèn)題探究：如圖1所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG．AE＜AB，連接BE與DG，請(qǐng)判斷線段BE與線段DG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．并請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）理解應(yīng)用：如圖2所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)正方形ABCD和正方形AEFG，AE＜AB，AB＝10，將正方形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠ABE＝15°，且點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3所示，有公共頂點(diǎn)A的兩個(gè)矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝4，AB＝4，AG＝4，AE＝4，將矩形AEFG繞點(diǎn)A在平面內(nèi)任意旋轉(zhuǎn)，連接BD，DE，點(diǎn)M，N分別是BD，DE的中點(diǎn)，連接MN，當(dāng)點(diǎn)D、E、G三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)39．幾何探究：（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）（1）如圖1所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等邊三角形，BD、CE的關(guān)系是_______（選填“相等”或“不相等”）；（請(qǐng)直接寫(xiě)出答案）（類(lèi)比探究）（2）如圖2所示，△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的含有角的直角三角形，（1）中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展延伸）（3）如圖3所示，△ADE和△ABC是有公共頂點(diǎn)且相似比為1:2的兩個(gè)等腰直角三角形，將△ADE繞點(diǎn)A自由旋轉(zhuǎn)，若，當(dāng)B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫(xiě)出BD的長(zhǎng)．40．如圖1，點(diǎn)E為△ABC邊AB上的一點(diǎn)，⊙O為△BCE的外接圓，點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1．(n≥2，且n為正整數(shù))．（1）求證：∠CAE+∠CDE=90°；（2）①如圖2，當(dāng)CD過(guò)圓心O時(shí)，①將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AEF，連接DF，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，猜想CD、DE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；②若n=3，求AD的長(zhǎng)．41．如圖，在中，，，正方形的邊長(zhǎng)為2，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，連接、、．（1）猜想：的值是__________，直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是__________；（2）探究：直線與垂直時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）拓展：取的中點(diǎn)，連接，直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的取值范圍．42．如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，將△COD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EOF（旋轉(zhuǎn)角為銳角），連AE，BF，DF，則AE=BF．（1）如圖2，若（1）中的正方形為矩形，其他條件不變．①探究AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若BD=7，AE=，求DF的長(zhǎng)；（2）如圖3，若（1）中的正方形為平行四邊形，其他條件不變，且BD=10，AC=6，AE=5，請(qǐng)直接寫(xiě)出DF的長(zhǎng)．43．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，在和中，，，，連接交于點(diǎn).填空：①的值為_(kāi)_____；②的度數(shù)為_(kāi)_____．（2）類(lèi)比探究如圖2，在和中，，，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).請(qǐng)判斷的值及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸在（2）的條件下，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，所在直線交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)在同一條直線上時(shí)的長(zhǎng)．44．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AD平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線分別交AC、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，DG⊥AB于點(diǎn)G，連接BD．(1)求證：△AED∽△DGB；(2)求證：EF是⊙O的切線；(3)若，OA＝4，求劣弧的長(zhǎng)度(結(jié)果保留π)．45．如圖1，拋物線y＝a（x+2）（x﹣6）（a＞0）與x軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A．（1）若△ACD的面積為16．①求拋物線解析式；②S為線段OD上一點(diǎn)，過(guò)S作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)P，將線段SC，SP繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意相同的角到SC1，SP1的位置，使點(diǎn)C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C1，P1都在x軸上方，C1C與P1S交于點(diǎn)M，P1P與x軸交于點(diǎn)N．求的最大值；（2）如圖2，直線y＝x﹣12a與x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)M在拋物線上，且滿足∠MAB＝75°的點(diǎn)M有且只有兩個(gè)，求a的取值范圍．三、填空題46．如圖，在一個(gè)的網(wǎng)格中，點(diǎn)都在格點(diǎn)上，，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，將線段OA沿直線OP進(jìn)行翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，連接BC，以BC為斜邊在直線BC的左側(cè)（或下方）構(gòu)造等腰直角三角形，則點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中，線段BC的長(zhǎng)的最小值為_(kāi)___________，線段BD所掃過(guò)的區(qū)域內(nèi)的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（不包含所掃過(guò)的區(qū)域邊界上的點(diǎn)）____________．

47．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，線段繞著點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，且，連接，以為邊作正方形，為邊的中點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)最小時(shí)，______．48．如圖，在△ABC中，AB＝5，D為邊AB上－動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊作正方形CDEF，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________．49．已知正方形的邊長(zhǎng)為12，、分別在邊、上，將沿折疊，使得點(diǎn)落在正方形內(nèi)部（不含邊界）的點(diǎn)處，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若點(diǎn)在正方形的對(duì)稱(chēng)軸上，且滿足，則折痕的長(zhǎng)為_(kāi)_____________．50．如圖，已知四邊形ABCD與四邊形CFGE都是矩形，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)H為AG的中點(diǎn)，，，，，則DH的長(zhǎng)為_(kāi)_____．參考答案1．D【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，∠EAB、∠GAD與∠BAG的和均為90°，即可證明∠EAB與∠GAD相等；②由題意易得AD=DC，AG=FG，進(jìn)而可得，∠DAG=∠CAF，然后問(wèn)題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAF∽△FAC，則有，然后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知∠ADG=∠ACF=45°，則問(wèn)題可求證．【詳解】解：①∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴∠EAG=∠BAD=90°又∵∠EAB=90°∠BAG，∠GAD=90°∠BAG∴∠EAB=∠GAD∴①正確②∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形∴AD=DC，AG=FG∴AC=AD，AF=AG∴，即又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC∴∠DAG=∠CAF∴∴②正確③∵四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對(duì)角線∴∠AFH=∠ACF=45°又∵∠FAH=∠CAF∴△HAF∽△FAC∴即又∵AF=AE∴∴③正確④由②知又∵四邊形ABCD為正方形，AC為對(duì)角線∴∠ADG=∠ACF=45°∴DG在正方形另外一條對(duì)角線上∴DG⊥AC∴④正確故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運(yùn)用，同時(shí)利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找到需要的相似三角形進(jìn)而證明．2．（1），；（2）不成立，理由見(jiàn)解析；（3）2【分析】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．由題意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想辦法證明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解決問(wèn)題；（3）首先證明AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）如圖①中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°，

∴△ABC，△ADE都是等邊三角形，

∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°，

∴∠DAB=∠EAC，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=EC，∠ABD=∠ACE，

∵∠ACE+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE=90°，

∴∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，

∵EA=DE，BD=EC，

∴EA2=BE2+EC2．

故答案為：BD=EC，EA2=EB2+EC2．

（2）結(jié)論：EA2=EC2+2BE2．

理由：如圖②中，

∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°，

∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠DAE=∠BAC=45°，

∴∠DAB=∠EAC，

∵=，=，

∴，

∴△DAB∽△EAC，

∴=，∠ACE=∠ABD，

∵∠ACE+∠ABE=90°，

∴∠ABD+∠ABE=90°，

∴∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2，

∵EA=DE，BD=EC，

∴EA2=EC2+BE2，

∴EA2=EC2+2BE2．

（3）如圖③中，

∵∠AED=45°，D，E，C共線，

∴∠AEC=135°，

∵△ADB∽△AEC，

∴∠ADB=∠AEC=135°，

∵∠ADE=∠DBE=90°，

∴∠BDE=∠BED=45°，

∴BD=BE，

∴DE=BD，

∵EC=BD，

∴AD=DE=EC，設(shè)AD=DE=EC=x，

在Rt△ABC中，∵AB=BC=2，

∴AC=2，

在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2，

∴x2+4x2=40，

∴x=2（負(fù)根已經(jīng)舍棄），

∴AD=DE=2，

∴BD=BE=2，

∴S△BDE=×2×2=2．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．3．（1）見(jiàn)解析；（2）當(dāng)時(shí)，，理由見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出，，，，得出，則可證明，從而可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，則可證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，證明，得出，得出，連接，，由勾股定理可求出答案．【詳解】（1）∵四邊形為正方形，∴，，又∵四邊形為正方形，∴，，∴∴，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，理由如下：∵，∴∴，又∵四邊形和四邊形均為菱形，∴，，在△AEB和△AGD中，，∴，∴；（3）設(shè)與交于Q，與交于點(diǎn)P，由題意知，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，連接，，∴，∵，，，∴，，在Rt△EAG中，由勾股定理得：，同理，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由(3)可得結(jié)論：當(dāng)四邊形的對(duì)角線相互垂直時(shí)，四邊形兩組對(duì)邊的平方和相等．4．（1）；（2）；（3）或；（4）．【分析】（1）根據(jù)題意算出的長(zhǎng)，利用直角三角形心中對(duì)應(yīng)的邊等于斜邊的一半求出，同理求出，再作差即可；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出、AC即可求出；（3）延長(zhǎng)AM，BC交于點(diǎn)D，作延長(zhǎng)BN使得，利用旋轉(zhuǎn)相似證明，得，再三角形中通過(guò)角之間的關(guān)系來(lái)證明，得四邊形是矩形，再根據(jù)條件及勾股定理求解；（4）確定的軌跡是以為直徑的圓弧，，求出最大值為，由此得出路徑所對(duì)圓心角為120°，從而求解．【詳解】解：（1）∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，∴．（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∴，.，即的面積．（3）I．若點(diǎn)M在外，延長(zhǎng)BN交AM于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)G，由（1）得中，，，，在中，，，，∵，，∴，∴，又∵，，∴∴，又∵，，，又∵，，∴四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴∴；II．若點(diǎn)M在內(nèi)部，則如圖32：同理可求：∴，，∴∴；（4）不變，當(dāng)?shù)娜呴L(zhǎng)擴(kuò)大一倍后，∴在中，，，，同（3）理可證明，∴直線與交點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)路徑是以為直徑的圓弧，當(dāng)M點(diǎn)在AC右側(cè)時(shí)，如圖41：當(dāng)CM⊥AM時(shí)最大，此時(shí)，∴當(dāng)CM⊥AM時(shí)，此時(shí)AM與AB重合，B點(diǎn)與H點(diǎn)重合；當(dāng)M點(diǎn)在AC左側(cè)時(shí)，如圖42：當(dāng)CM⊥AM時(shí)，最大，此時(shí)，∴當(dāng)CM⊥AM時(shí)，此時(shí)；故如圖所示：直線與交點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)路徑為，弧長(zhǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了含的直角三角形性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)相似、點(diǎn)的遠(yuǎn)動(dòng)路徑等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，題目較難，解題的關(guān)鍵是：能利用勾股定理及銳角三角函數(shù)知識(shí)解直角三角形；針對(duì)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，要添加適當(dāng)?shù)剌o助線．5．（1）1，60；（2），直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°；（3）BD＝．【分析】（1）根據(jù)α＝60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，再證明△PBA≌△DBC，即可求解，再得到直線CD與AP所成的度數(shù)；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△PBA∽△DBC，再得到=，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出直線CD與AP所成的度數(shù)；（3）延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得∠BCD＝∠KCD，由（2）的結(jié)論求出AP的長(zhǎng)，再利用在Rt△PBD中，設(shè)PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝x＝AD，再列出方程即可求出x，故可得到BD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵α＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=CB∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD，∴△BDP是等邊三角形，∴BP=BD∵∠PBA=∠PBD∠ABD=60°∠ABD，∠DBC=∠ABC∠ABD=60°∠ABD，∴∠PBA=∠DBC∴△PBA≌△DBC，∴AP=CD∴=1如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)G，H，則∠AHC為直線CD與AP所成的較小角，∵△PBA≌△DBC∴∠PAB=∠DCB∵∠HGA=∠BGC∴∠AHC＝∠ABC＝60°故答案為：1，60；（2）解：如圖，延長(zhǎng)CD交AB，AP分別于點(diǎn)M，N，則∠ANC為直線CD與AP所成的較小角，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°.在Rt△ABC中，＝cos∠ABC＝cos45°＝.∵PB＝PD，∠BPD＝90°，∴∠PBD＝∠PDB＝45°.在Rt△PBD中，＝cos∠PBD＝cos45°＝.∴＝，∠ABC＝∠PBD.∴∠ABC－∠ABD＝∠PBD－∠ABD.即∠PBA＝∠DBC.∴△PBA∽△DBC.∴＝＝，∠PAB＝∠DCB.∵∠AMN＝∠CMB，∴∠ANC＝∠ABC＝45°.即＝，直線CD與AP所成的較小角的度數(shù)為45°.(3)延長(zhǎng)CA，BD相交于點(diǎn)K，如圖.∵∠APB＝90°，E為AB的中點(diǎn)，∴EP＝EA＝EB.∴∠EAP＝∠EPA，∠EBP＝∠EPB.∵點(diǎn)E，F(xiàn)為AB，AC的中點(diǎn)，∴PFBC.∴∠AFP＝∠ACB＝∠PBD＝45°.∵∠BGP＝∠FGK，∴∠BPE＝∠K.∴∠K＝∠EBP，

∵∠EBP＝∠PEB，∠PEB=∠DBC，∴∠K＝∠CBD.∴CB＝CK.∴∠BCD＝∠KCD.由(2)知∠ADC＝∠PDB＝45°，△PBA∽△DBC，∴∠PAB＝∠DCB.∴∠BDC＝180°－45°－45°＝90°＝∠BAC.∵∠BHD＝∠CHA，∴∠DBA＝∠DCA.∴∠DBA＝∠PAB.∴AD＝BD.由(2)知DC＝AP，∴AP＝.在Rt△PBD中，PB＝PD＝x，由勾股定理可得BD＝=x＝AD.∴AD＋PD＝x＋x＝AP＝1＋.∴x＝1.∴BD＝．【點(diǎn)睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法．6．（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)易證，從而可得，，再求的CE邊高即可；（2）通過(guò)倍長(zhǎng)中線構(gòu)造，得，由即可證明；（3）利用費(fèi)馬點(diǎn)模型構(gòu)造圖形，過(guò)點(diǎn)G作，且，過(guò)點(diǎn)G作，且，可得，，將問(wèn)題由轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間距離最短即可解答．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，，∵，，∴，∵若三點(diǎn)共線，∴，如圖，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥CE交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∴，∴，即：點(diǎn)B到直線的距離為；（2）延長(zhǎng)CF到N，使FN=CF，連接BN，∵FD=FB，，∴（SAS）∴，∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，，∴（SAS），∴，又∵，∴，∴，即，（3）的最小值為；過(guò)程如下：如解圖3，過(guò)點(diǎn)G作，且，過(guò)點(diǎn)G作，且，連接OC、、，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，僅當(dāng)C、O、、在同一條直線上等號(hào)成立；如解圖4，過(guò)點(diǎn)作，垂足為H，過(guò)點(diǎn)作，垂足為P，∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，∴的最小值為：，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，涉及了三角形旋轉(zhuǎn)全等和旋轉(zhuǎn)相似的綜合、解三角形等知識(shí)點(diǎn)，解（2）關(guān)鍵是倍長(zhǎng)中線構(gòu)造三角形全等證明；解（3）關(guān)鍵是掌握費(fèi)馬點(diǎn)求最值模型，利用旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化線段關(guān)系．7．（1）；（2）；理由見(jiàn)解析；（3）4．【分析】（1）利用定理證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；（2）先證明，得到，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接、，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：∵和都是等邊三角形，∴A，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）變式探究：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解決問(wèn)題：連接、，如圖所示:∵四邊形是正方形，∴，，∵是正方形的中心，∴，，∴，即，∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，（舍去），，∴正方形的邊長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)、三角形相似的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（1）見(jiàn)解析；（2）BM?DN=BC；（3）EF的長(zhǎng)為．【分析】（1）如圖1，過(guò)Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△QPN∽△QBM，就可以得出結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，通過(guò)證明△QHM∽△QDN，由相似三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；（3）由條件設(shè)CM=x，MB=3x，就用CB=4x，得出BH=2x，由（2）相似的性質(zhì)可以求出MQ的值，再根據(jù)勾股定理就可以求出MN的值，可以表示出ND，由△NDE∽△NCM就可以求出NE，也可以表示出DE，最后由△DEF∽△BMF而求出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QP⊥BD交DC于P，∴∠PQB=90°．∵∠MQN=90°，∴∠NQP=∠MQB，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠BDC=∠DBC=45°．DO=BO，∴∠DPQ=45°，DQ=PQ，∴∠DPQ=∠DBC=45°，∴△QPN∽△QBM，∴，∵Q是OD的中點(diǎn)，且PQ⊥BD，∴DO=2DQ，DP=DC，∴BQ=3DQ，DN+NP=DC=BC，∴BQ=3PQ，∴，∴NP=BM，∴DN+BM=BC；（2）如圖，過(guò)Q點(diǎn)作QH⊥BD交BC于H，∴∠BQH=∠DQH=90°，∴∠BHQ=45°，∵∠COB=90°，∴QH∥OC，∵Q是OB的中點(diǎn)，∴BH=CH=BC，∵∠NQM=90°，∴∠NQD=∠MQH，∵∠QND+∠NQD=45°，∠MQH+∠QMH=45°，∴∠QND=∠QMH，∴△QHM∽△QDN，∴，∴HM=ND，∵BMHM=HB，∴BM?DN=BC．故答案為：BM?DN=BC；（3）∵M(jìn)B：MC=3：1，設(shè)CM=x，∴MB=3x，∴CB=CD=4x，∴HB=2x，∴HM=x．∵HM=ND，∴ND=3x，∴CN=7x，∵四邊形ABCD是正方形，∴ED∥BC，∴△NDE∽△NCM，△DEF∽△BMF，∴，

∴，∴DE=x，∴，∵NQ=9，∴QM=3，在Rt△MNQ中，由勾股定理得：，∴，∴，∴，設(shè)EF=a，則FM=7a，∴，∴．∴EF的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用及平行線等分線段定理的運(yùn)用，在解答時(shí)利用三角形相似的性質(zhì)求出線段的比是解答本題的關(guān)鍵．9．（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3），或，．【分析】（1）由題意：，根據(jù)三角形外內(nèi)角性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可得，由此即可解決問(wèn)題．（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明，可得，，由，可得．（3）因?yàn)榕c相似，，所以中必有一個(gè)內(nèi)角為因?yàn)槭卿J角，推出．接下來(lái)分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，，，，平分，平分的，，，，，，．（2）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，又∵，，，，，，．（3）與相似，，中必有一個(gè)內(nèi)角為是銳角，．①當(dāng)時(shí)，，，，，，如圖，過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AE，∵，AD平分∠BAC，∴∠BAH=45°，∴AH=BH，，∵，∴，∴，∵，∴．②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，，，如解圖（3）2；過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AE，，分別是的內(nèi)角的平分線，∴，∴BD=AD，又∵，∴，，∴，∴，∴，∴在中，∴綜上所述，，或，．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．10．（1）；（2）依然成立，證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）分別求出AD，BE的長(zhǎng)，即可求解；

（2）通過(guò)證明△BCE∽△ACD，可得，∠CBO=∠CAD，可得結(jié)論；

（3）利用銳角三角函數(shù)可求∠EBC=30°，由弧長(zhǎng)公式可求P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度，由直角三角形的性質(zhì)可求P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【詳解】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，

∴AC=BC=，AB=2BC=2，AD⊥BE，

∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，

∴AD=CD=AC=，BE=EC=BC=，

∴AD=BE，

故答案為：AD=BE，AD⊥BE；

（2）結(jié)論仍然成立，

理由如下：∵AC=，BC=1，CD=，EC=，

∴，，

∴，

∵△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

∴∠BCE=∠ACD，

∴△BCE∽△ACD，

∴，∠CBO=∠CAD，

∴AD=BE，

∵∠CBO+∠BOC=90°，

∴∠CAD+∠AOP=90°，

∴∠APO=90°，

∴BE⊥AD；

（3）∵∠APB=90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，

如圖3，取AB的中點(diǎn)G，作⊙G，以點(diǎn)C為圓心，CE為半徑作⊙C，當(dāng)BE是⊙C切線時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于H，連接GP，

∵BE是⊙C切線，

∴CE⊥BE，

∵sin∠EBC=，

∴∠EBC=30°，

∴∠GBP=30°，

∵GB=GP，

∴∠GBP=∠GPB=30°，

∴∠BGP=120°，

∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為點(diǎn)C→點(diǎn)P→點(diǎn)C→點(diǎn)B→點(diǎn)C，

∴P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度=，

∵∠ABP=30°，BP⊥AP，

∴AP=AB=1，BP=AP=，

∵∠CBP=30°，PH⊥BH，

∴PH=BP=．

∴P點(diǎn)到直線BC距離的最大值．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵．11．（1）見(jiàn)解析；（2）60°，12；（3）【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，得到∠DAC=∠BAE，即可證明△ADC≌△ABE；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到∠DPB=∠DAB=60°；在PE上取點(diǎn)F，使∠PCF=60°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AQ=2x，AG=x，AB=x，證明△ABE∽△AQR，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABD和△ACE都為等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠AEC=∠ACE=60°，∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△ADC與△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS）；（2）∵△ADC≌△ABE；∴∠ADP=∠ABP，設(shè)AB，PD交于O，∵∠AOD=∠POB，∴∠DPB=∠DAB=60°；如圖①，在PE上取點(diǎn)F，使∠PCF=60°，同（1）可得△APC≌△EFC，∠EPC=∠EAC=60°，∴EF=AP=3，△CPF為等邊三角形，∴BE=PB+PF+FE=4+5+3=12；（3）如圖②，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AD于G，設(shè)QG=x，∵點(diǎn)Q、R分別是等邊△ABD和等邊△ACE的重心，∴AQ=2x，AG=x，AB=x，∵，∠QAR=∠QAB+∠BAC+∠RAC=30°+∠BAC+30°=60°+∠BAC，∴∠QAR=∠BAE，∴△ABE∽△AQR，∴QR：BE=AQ：AB，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．12．（1）①見(jiàn)解析；②；（2）；（3）4p2=9m2+4n2．【分析】（1）①先利用平行線分線段成比例定理得，進(jìn)而得出結(jié)論；②利用①得出的比例式求出CE，再判斷出∠DCE=90°，利用勾股定理即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法判斷出△ABD∽△ACE，即可得出AE=4k，CE=3k，同（1）的方法得出∠DCE=90°，利用勾股定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；（3）同（2）的方法得出，即可得出結(jié)論；【詳解】解：（1）①∵DE∥BC，∴，由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，

∴△ABD∽△ACE，

②在Rt△ABC中，AC=BC，∴，由①知，△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

∵△ABD∽△ACE，，∴，∵∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE=2，

在Rt△ADE中，AE=DE，∴（2）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，，∴△ABD∽△ACE，∵AD=4，BD=3，

∴AE=kAD=4k，CE=kBD=3k，

∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，DE2=CD2+CE2=1+9k2，

在Rt△ADE中，DE2=AD2AE2=1616k2，

∴1+9k2=1616k2，∴或（舍），（3）由旋轉(zhuǎn)知，∠EAC=∠DAB，∴△ABD∽△ACE，∵AD=p，BD=n，∴，∵△ABD∽△ACE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ACD+∠ABD=90°，

∴∠ACE+∠ACD=90°，

∴∠DCE=90°，

在Rt△CDE中，，∵，，∴4p2=9m2+4n2．【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出∠DCE=90°和利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等來(lái)判斷兩三角形相似的方法應(yīng)用．13．（1）BE＝DF；（2）不成立，結(jié)論：DF＝nBE；理由見(jiàn)解析（3）或【分析】（1）如圖2中，結(jié)論：BE＝DF，BE⊥DF．證明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論：DF＝nBE，BE⊥DF，證明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）分兩種情形畫(huà)出圖形，利用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理求解即可．【詳解】解：（1）結(jié)論：BE=DF，BE⊥DF，理由：∵四邊形ABCD是矩形，AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形，AE=AB，AF=AD，∴AE=AF，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE=DF，故答案為：BE=DF；（2）結(jié)論不成立，結(jié)論：DF=nBE，∵AE=AB，AF=AD，AD=nAB，∴AF=nAE，∴AF∶AE=AD∶AB，∴AF∶AE=AD∶AB，∵∠DAB=∠EAF=90°，∴∠BAE=∠DAF，∴△BAE∽△DAF，∴DF∶BE=AF∶AE=n，∠ABE=∠ADF，∴DF=nBE；（3）如圖41中，當(dāng)點(diǎn)P在BE的延長(zhǎng)線上時(shí)，在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=AB=4，∴BE==，∵△ABE∽△ADF，∴=，∴=，∴DF=，∵四邊形AEPF是矩形，∴AE=PF=4，∴PD=DFPF=；如圖42中，當(dāng)點(diǎn)P在線段BE上時(shí)，同法可得DF=，PF=AE=4，∴PD=DF＋PF=，綜上所述，滿足條件的PD的值為或．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，注意應(yīng)用分類(lèi)思想解決問(wèn)題，是一道較難的幾何綜合題．14．（1），45°；（2），30°；（3）2【分析】（1）由題意得△ABC和△ADE為等腰直角三角形，則，證△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，進(jìn)而得出∠BFC=∠BAC=45°；

（2）由直角三角形的性質(zhì)得DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，則，證△BAD∽△CAE，得，∠ABD=∠ACE，證出∠BFC=∠BAC=30°；

（3）以AD為斜邊在AD右側(cè)作等腰直角三角形ADM，連接CM，由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BAC=∠DAM=45°，，證△BAD∽△CAM，得∠ABD=∠ACM，，則CM=3，證出∠DCM=90°，由勾股定理得DM=，則AD=DM=2．【詳解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=∠DAE=45°，DE=AE，∴?ABC和?ADE為等腰直角三角形，∴，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴?BAD~?CAE，∴，∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=45°，故答案是：，45°；（2）∵∠ACB=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，∴DE=AD，BC=AB，AE=DE，AC=BC，∴，∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴?BAD~?CAE，∴，∠ABD=∠ACE，又∵∠AGB=∠FGC，∴∠BFC=∠BAC=30°；（3）以AD為斜邊，在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADM，連接CM，如圖，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴?ABC為等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAM=45°，，∴∠BAC∠DAC=∠DAM∠DAC，即∠BAD=∠CAM，∴?BAD~?CAM，∴∠ABD=∠ACM，，又∵BD=6，∴CM==3，∵四邊形ABDC的內(nèi)角和為360°，∠BDC=45°，∠BAC=45°，∠ACB=90°∴∠ABD+∠BCD=180°，∴∠ACM+∠BCD=180°，∴∠DCM=90°，∴DM=，∴AD=DM=2，即A，D兩點(diǎn)之間的距離是2．

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，第（3）小題，添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，是解題的關(guān)鍵．15．（1）；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）取AB的中點(diǎn)N，連接PN，PM．只要證明△PMF∽△PNE，可得；

（2）利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（3）延長(zhǎng)CD交EG與H．由BE：AF=3：4，EN=2MF，設(shè)BE=3x，AF=4x，F(xiàn)M=a，EN=2a，由AM=2BN，可得4xa=2（3x2a），推出a=x，可得AM=AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，，在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可得（x）2+（4x）2=29，解得x=，推出，根據(jù)DH//AE，，可得，設(shè)DG=y，根據(jù)DH∥BE，可得，由此構(gòu)建方程即可．【詳解】解：（1）解：取AB的中點(diǎn)N，連接PN，PM．

∵AM=MD，PB=PD，AN=NB，

∴PM=AB，PN=AD，PM∥AB，PN∥AD，

∴四邊形ANPM是平行四邊形，

∵∠A=90°，

∴四邊形ANPM是矩形，

∴∠MPN=∠EPF=90°，

∴∠EPN=∠EPM，∵∠PMF=∠PNE=90°，

∴△PMF∽△PNE，∴故答案為：；（2）∵為的中位線，∴為中點(diǎn)，∴，又∵∽（已證），∴，∴，∴．（3）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵BE：AF=3：4，EN=2MF，

設(shè)BE=3x，AF=4x，F(xiàn)M=a，EN=2a，

∵AM=2BN，

∴4xa=2（3x2a），

∴a=x，

∴AM=x，AD=x，DF=x，AE=x，

在Rt△AEF中，∵（x）2+（4x）2=29，

解得x=，

∴，

∵DH//AE，

∴，可得，設(shè)DQ=y，

∵DH//BE，

∴，

∴，

∴．

∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．16．（1）等腰直角三角形；（2）見(jiàn)解析；（3）BEAE=2CK；【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)證明EK=KC，∠EKC=90°即可；（2）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)利用SAS可證△AEC≌△BGC，由全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)易證△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CK=EK=KG，等量代換可得結(jié)論.（3）在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BE于Q，根據(jù)等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得，易證△CAE∽△CBG，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等量代換可得結(jié)論.【詳解】（1）等腰直角三角形；理由：如圖1中，∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴CA=CB，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∵DK=KB，∴EK=KB=DK=BD，∴∠KEB=∠KBE，∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，∵∠DCB=90°，DK=KB，∴CK=KB=KD=BD，∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，∴△ECK是等腰直角三角形．（2）證明：如圖2中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BF于Q．∵∠α=45°，DE⊥AE，∴∠AED=90°，∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE=AE=BG，∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵AC=BC，∴△AEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG，∠5=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∴△ECG是等腰直角三角形，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴CK=EK=KG，∴BE－AE=BE－BG=EG=EK＋KG=2CK．（3）解：結(jié)論：BEAE?tanα=2CK．理由：如圖3中，在BD上截取BG=DE，連接CG，設(shè)AC交BE于Q．∵DE⊥AE，∠ACB=90°，∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°∵∠EQA=∠CQB，∴∠CAE=∠CBG，在Rt△ACB中，tanα=，在Rt△ADE中，tanα=，∴，DE=AE·tanα∴△CAE∽△CBG，∴∠ACE=∠BCG，∴∠ECG=∠ACB=90°，∵KD=KB，DE=BG，∴KE=KG，∴EG=2CK，∵BE－BG=EG=2CK，∴BE－DE=2CK，∴BE－AE?tanα=2CK．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等，靈活的利用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.17．（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由見(jiàn)解析；（3）畫(huà)出圖形見(jiàn)解析，線段BE的長(zhǎng)度為．【分析】（1）由題意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，從而可證△ABD≌△ACE，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可求解；（2）連接BD，由題意易得∠BAD=∠CAE，進(jìn)而可證△BAD≌△CAE，最后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)及角的等量關(guān)系可求證；（3）如圖，過(guò)A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及題意易證△BAE∽△CAD，最后根據(jù)勾股定理及等積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝45°+45°＝90°，故答案為：BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由：如圖2，連接BD，∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝AB，AE＝AD，∴△CEA≌△BDA（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，∴BD⊥CE；（3）如圖3，過(guò)A作AF⊥EC，由題意可知Rt△ABC∽R(shí)t△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴，即，∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，∴BE⊥CE，在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，∴BD＝，∵AC⊥BD，∴S△BCD＝AC?BD＝BC?AC，∴AC＝AE＝，AD＝，∴AF=，CE＝2CF＝2×，∴BE＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是根據(jù)題意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性質(zhì)得到相似三角形，進(jìn)而求解．18．（1）①，②；（2），，證明見(jiàn)解析；（3）或【分析】（1）①由銳角三角函數(shù)可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC?CF＝（BC?CE），BE＝BC?CE，即可求；②由垂直的定義可得AF⊥BE；（2）由題意可證△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性質(zhì)可證AF⊥BE；（3）分兩種情況討論，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理可求AF的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，故答案為：，；（2），如圖，連接，延長(zhǎng)交于，交于點(diǎn)，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，且，∴，∴，，∵，∴，∴；（3）①如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，且三點(diǎn)在同一直線上，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，∴，且，∴，，∴，∴；②如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，，∴，，∵，，∴，∵旋轉(zhuǎn)，∴，且，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似綜合題，考查了平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵．19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）⊙O半徑的長(zhǎng)是．【分析】（1）連接CE、OA，根據(jù)圓周角定理可得∠CEB=COB，根據(jù)∠COB＝∠AEB可得∠COA=∠COB，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OD=OF，根據(jù)垂徑定理可得BD=AB，BF=BE，根據(jù)勾股定理可得BD=BF，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AEB=∠EAB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)可得∠DBO=∠AET，根據(jù)∠P＝2∠AET可得∠P=∠ABE，進(jìn)而可得∠POB=∠PBO，即可證明OP=PB，由∠ETB=∠PDB=90°可證明△BET∽△PBD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)勾股定理即可求出PD的長(zhǎng)，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得OD的長(zhǎng)，利用勾股定理求出OB的長(zhǎng)即可得答案．【詳解】（1）如圖，連接CE、OA，∵∠COB和∠CEB分別是所對(duì)的圓心角和圓周角，∴∠CEB=COB，∵∠COB＝∠AEB，∴∠CEB=∠AEB，∴∠COA=∠COB，∵OA=OB，∴OC⊥AB．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BE于F，∵OB平分∠ABE，OD⊥AB，OF⊥BE，∴OD=OF，BD=AB，BF=BE，∵BD=，BF=，∴BD=BF，∴AB=BE．（3）∵AB=BE，∴∠AEB=∠EAB，∵∠COB=∠AEB，∴∠COB=∠BAE，∵ET⊥AB，OC⊥AB，∴∠BAE+∠AET=∠COB+∠DBO，∴∠DBO=∠AET，∵OB平分∠ABE，∴∠ABE=2∠DBO=2∠AET，∵∠P=2∠AET，∴∠P=∠ABE，∴∠AEB=∠OBO，∵∠AEB=∠EAB，∴∠POB=∠PBO，∴OP=PB，∵∠ETB=∠PDB=90°，∴△BET∽△PBD，∴，∵ET=18，OP=25，∴2BD2=18×25，解得：BD=15，（負(fù)值舍去）∴PD==20，∴OD=OPPD=5，∴OB==，即⊙O半徑的長(zhǎng)是．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條?。蝗绻粋€(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；熟練掌握相關(guān)定理是解題關(guān)鍵．20．（1）①4；②；（2）與能夠相等，理由詳見(jiàn)解析；（3）（3）能夠相等，【分析】（1）①根據(jù)，利用對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出ED長(zhǎng)；②過(guò)點(diǎn)Q作，交AB于點(diǎn)H，交DC于點(diǎn)G，設(shè)，利用，對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出x，得到這兩個(gè)三角形其實(shí)是全等的，所以；（2）過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，構(gòu)造“k”字型全等三角形，設(shè)，再利用相似三角形的性質(zhì)列式求解；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，同（2）構(gòu)造“k”字型全等三角形，，再利用相似三角形的性質(zhì)列式求解．【詳解】（1）①∵，∴，∴，，，，解得，故答案是：4；②如圖，過(guò)點(diǎn)Q作，交AB于點(diǎn)H，交DC于點(diǎn)G，可得，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，，∵，∴，∴，，得，∴，根據(jù)，得，解得，∴，∴，∴，故答案是：；（2）與能夠相等，，如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，又，設(shè)，則，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的根，；（3）能夠相等，，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)“k”字型全等得，設(shè)，則，，解得，故的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查“k”字型全等三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造“k”字型全等，再利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解．21．（1）1；（2）不成立，＝，理由見(jiàn)解析；（3）E為AD中點(diǎn)時(shí)，的最小值＝sinα【分析】（1）取AC的中點(diǎn)M，連接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等邊三角形，證明△ACE≌△BCF（SAS），可得結(jié)論．（2）連接BF，證明△ACE∽△BCF，可得結(jié)論．（3）連接BF，取AC的中點(diǎn)M，連接EM，易得∠ACE＝∠BCF，＝，證明△ACE∽△BCF，得出sinα＝的最小值，則得出的最小值＝sinα．【詳解】（1）連接BF，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EF，∴EC＝EF，∠CEF＝60°，∴△EFC都是等邊三角形，∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∴＝1．（2）不成立，結(jié)論：＝．證明：連接BF，∵AB＝AC，D是BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠BAC＝∠CEF＝90°，∴△ABC和△CEF為等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝45°，∴∠ACE＝∠BCF，∴＝＝，∴△ACE∽△BCF，∴∠CBF＝∠CAE＝α，∴＝＝．（3）結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)時(shí)，的值最小，最小值為sinα．連接BF，取AC的中點(diǎn)M，連接EM，∵AB=AC，EC＝EF，∠BAC＝∠FEC＝2α，∴∠ACB＝∠ECF，∴△BAC∽△FEC，＝，∴∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，∵D為BC的中點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，∴＝＝＝，∴＝，∵當(dāng)E為AD中點(diǎn)時(shí)，又∵M(jìn)為AC的中點(diǎn)，∴EM∥CD,∵CD⊥AD，∴EM⊥AD,此時(shí)，最小=sinα，

∴的最小值＝sinα．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，中位線定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題．22．（I）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（II）見(jiàn)解析；（III）（1）y最大值＝4；y最小值＝0；（2）t＝﹣1或t＝2．【分析】（I）首先解方程求得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；（II）根據(jù)解方程直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后確定頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可得△BDC三邊的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根據(jù)邊長(zhǎng)可得△AOB和△DBC兩直角邊的比相等，則兩直角三角形相似；（III）（1）確定拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x=1，根據(jù)增減性可知：x=1時(shí)，y有最大值，當(dāng)x=3時(shí)，y有最小值；（2）分5種情況：①當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)；②當(dāng)t+1=1時(shí)；③當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線分別在對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)；④當(dāng)t=1時(shí)，⑤函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)；分別根據(jù)增減性可解答．【詳解】（I）∵m，n分別是方程x2﹣2x﹣3＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且m＜n，用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴m＝﹣1，n＝3，∴A（﹣1，0），B（0，3），把（﹣1，0），（0，3）代入得，，解得，∴函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3．（II）證明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸的交點(diǎn)為A（﹣1，0），C（3，0），∴OA＝1，OC＝3，∴對(duì)稱(chēng)軸為，頂點(diǎn)D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），∴，，，∵CD2＝DB2+CB2，∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，∴∠AOB＝∠DBC，在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，∴，∴△BCD∽△OBA；（III）拋物線y＝﹣x2+2x+3的對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，頂點(diǎn)為D（1，4），（1）在0≤x≤3范圍內(nèi)，當(dāng)x＝1時(shí)，y最大值＝4；當(dāng)x＝3時(shí)，y最小值＝0；（2）①當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，當(dāng)x＝t時(shí)取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．②當(dāng)t+1＝1時(shí)，此時(shí)p＝4，q＝3，不合題意，舍去；③當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線分別在對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)，此時(shí)p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合題意，舍去）；④當(dāng)t＝1時(shí)，此時(shí)p＝4，q＝3，不合題意，舍去；⑤當(dāng)函數(shù)y在t≤x≤t+1內(nèi)的拋物線完全在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，當(dāng)x＝t時(shí)取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．綜上，t＝﹣1或t＝2．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的頂點(diǎn)公式，三角形相似的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，最值問(wèn)題等知識(shí)，解題時(shí)需注意運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．23．（1）證明見(jiàn)解析；（2）正方形的面積可以為：，，1，．【分析】（1）連接AC與BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，證明△AGH≌△EGI可得AG=GE即△AGE為等腰直角三角形，再證明△ABE∽△AOG，可得，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可得，從而可證明結(jié)論．（2）分正方形的一邊恰好落在AE上，正方形的一邊恰好落在AB上和正方形的一邊恰好落在BE上三種情況討論，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形，利用三角函數(shù)解直角三角形即可．【詳解】解：(1)連接AC與BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，∴∠AHG=∠BIG=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABE=90°，∠BAC=∠ABD=∠CBD=45°，∠AOG=90°,,BD=2OD，∴HG=GI（角平分線上的點(diǎn)到角兩端距離相等），∠HGI=360°∠BHG∠BIG∠ABE=90°，∵∠AGH=∠AGE∠HGE=90°∠HGE，∠IGE=∠IGH∠HGE=90°∠HGE,∴∠AGH=∠IGE，在△AGH和△EGI中，∵∴△AGH≌△EGI（ASA）∴AG=GE,∴△AGE為等腰直角三角形，∠EAG=45°，∴∠BAE=45°∠EAC=∠CAG,∵∠ABC=∠AOG,∴△ABE∽△AOG，∴,∴，∴，∴（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=4,∵為中點(diǎn)，∴BE=2,,∴,設(shè)AP=x，則①若正方形的一邊恰好落在AE上，分兩種情況如下圖，若為正方形，則，，∴，解得：，；若為正方形，則，∴解得：，；②若正方形的一邊恰好落在AB上，分兩種情況如下圖，若為正方形，則,∴,，，，解得，；若為正方形，則，∴，,則，解得，．③若正方形的一邊恰好落在BE上，由可知，Q點(diǎn)和E點(diǎn)不可能重合，若P點(diǎn)和B點(diǎn)重合，如下：此時(shí)AP=4，又，∴，，,故舍去．綜上所述：正方形的面積可以為：，，1，．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形．（1）中能正確作出輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵；（2）中能分類(lèi)討論，畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形是解題關(guān)鍵．24．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得∠ACD=∠AFG=45°，進(jìn)而根據(jù)對(duì)頂角的性質(zhì)得∠CFM=∠ACM，再結(jié)合公共角，根據(jù)相似三角形的判定得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，再證明其夾角相等，便可證明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)果；（3）由已知條件求得正方形ABCD的邊長(zhǎng)，進(jìn)而由勾股定理求得AM的長(zhǎng)度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，進(jìn)而求得正方形AEFG的對(duì)角線長(zhǎng)，便可求得其邊長(zhǎng)．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFG=45°，∵∠CFM=∠AFG，∴∠CFM=∠ACM=45°，∵∠CMF=∠AMC，∴△MFC∽△MCA；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°