第19講四邊形的存在性（練習(xí)）

第19講四邊形的存在性（練習(xí)）1．（2019·上海八年級(jí)期末）如圖，直線分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn).（1）點(diǎn)坐標(biāo)為（，），B為（，）.（2）在線段上有一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，若四邊形是平行四邊形時(shí)，求出此時(shí)的值.（3）若點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，則在軸上是否存在一點(diǎn)，使得四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)梯形若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是；（2）；（3）符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）先將點(diǎn)C坐標(biāo)代入直線l1中，求出直線l1的解析式，令x=0和y=0，即可得出結(jié)論；

（2）先求出直線l2的解析式，表示出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，在判斷出OB=EF，建立方程求解，即可得出結(jié)論；

（3）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，分兩種情況求出直線PQ，AQ的解析式，即可得出結(jié)論．【詳解】解:（1）∵點(diǎn)C（2，）在直線l1：上，

∴，

∴直線l1的解析式為，令x=0，∴y=3，∴B（0，3），

令y=0，∴，∴x=4，∴A（4，0），

故答案為：點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.（2）∵軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為，∵直線與直線交于點(diǎn)∵點(diǎn)是直線的一點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是，∵點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是∵當(dāng)（3）若點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，，，∴，.當(dāng)時(shí)直線AB的解析式為：直線PQ的解析式為∴點(diǎn)的坐標(biāo)是當(dāng)時(shí)直線BP的解析式為，直線AQ的解析式為∴點(diǎn)的坐標(biāo)是綜上，在平面直角坐標(biāo)系中存在點(diǎn)，使得四個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)梯形，符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．2．（2017·上海八年級(jí)期末）如圖1，已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)，過P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N．（1）那么∠MPN=______，并求證PM+PN=3a；（2）如圖2，聯(lián)結(jié)OM、ON．求證：OM=ON；（3）如圖3，OG平分∠MON，判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形，并說明理由．【答案】60°；【解析】（1）由∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC即可得出∠MPN的度數(shù)；作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G，BH⊥MP于點(diǎn)H，CL⊥PN于點(diǎn)L，DK⊥PN于點(diǎn)K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解；（2）由SAS證明△OMA≌△ONE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可；（3）由△OMA≌△ONE得出∠MOA=∠EON，再證出△GOE≌△NOD，得出OG=ON，由△ONG是等邊三角形和△MOG是等邊三角形即可得出四邊形MONG是菱形．（1）解：∵△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和△OFA均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形∴六邊形ABCDEF是邊長(zhǎng)為a的正六邊形，∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°又∴PM∥AB，PN∥CD，∴∠BPM=60°，∠NPC=60°，∴∠MPN=180°﹣∠BPM﹣∠NPC=180°﹣60°﹣60°=60°，故答案為60°；作AG⊥MP交MP于點(diǎn)G，BH⊥MP于點(diǎn)H，CL⊥PN于點(diǎn)L，DK⊥PN于點(diǎn)K，如圖所示：MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN∵正六邊形ABCDEF中，PM∥AB，作PN∥CD，∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，∴GM=AM，HP=BP，PL=PC，NK=ND，∵AM=BP，PC=DN，∴MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a，∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a．（2）證明：由（1）得：六邊形ABCDEF是正六邊形，AB∥MP，PN∥DC，∴AM=BP=EN，∵∠MAO=∠OEN=60°，OA=OE，在△OMA和△ONE中，，∴△OMA≌△ONE（SAS）∴OM=ON．（3）解：四邊形MONG是菱形；理由如下：由（2）得，△OMA≌△ONE，∴∠MOA=∠EON，∵EF∥AO，AF∥OE，∴四邊形AOEF是平行四邊形，∴∠AFE=∠AOE=120°，∴∠MON=120°，∴∠GON=60°，∵∠GOE=60°﹣∠EON，∠DON=60°﹣∠EON，∴∠GOE=∠DON，∵OD=OE，∠ODN=∠OEG，在△GOE和△DON中，，∴△GOE≌△NOD（ASA），∴OG=ON，又∵∠GON=60°，∴△ONG是等邊三角形，∴ON=NG，又∵OM=ON，∠MOG=60°，∴△MOG是等邊三角形，∴MG=GO=MO，∴MO=ON=NG=MG，∴四邊形MONG是菱形．“點(diǎn)睛”本題是四邊形的綜合題目，考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正六邊形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，需要多次證明三角形全等和等邊三角形才能得出結(jié)論．3．（2017·上海八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，以線段AB為邊作菱形ABCD（點(diǎn)C、D在第一象限），且點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9．（1）求點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線DC的解析式；（3）除點(diǎn)C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否還存在點(diǎn)P，使點(diǎn)A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）點(diǎn)A（0，4）；點(diǎn)B（，0）．（2）直線DC的解析式為．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣5）或（﹣，13）．【解析】（1）分別令一次函數(shù)中x=0、y=0，求出與之對(duì)應(yīng)的y、x的值，由此即可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，由點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9即可得出AE的長(zhǎng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=AD，結(jié)合勾股定理即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由DC∥AB可設(shè)直線DC的解析式為，代入點(diǎn)D的坐標(biāo)求出b值即可得出結(jié)論；（3）假設(shè)存在，點(diǎn)C時(shí)以BD為對(duì)角線找出的點(diǎn)，再分別以AB、AD為對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分）結(jié)合點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）令中x=0，則y=4，∴點(diǎn)A（0，4）；令中y=0，則﹣x+4=0，解得：x=2，∴點(diǎn)B（2，0）．（2）過點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，如圖1所示．∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為9，OA=4，∴AE=5．∵四邊形是ABCD是菱形，∴AD=AB=，∴DE==，∴D（，9）．∵四邊形是ABCD是菱形，∴DC∥AB，∴設(shè)直線DC的解析式為，∵直線DC過點(diǎn)D（，9），∴b=11，∴直線DC的解析式為．（3）假設(shè)存在．以點(diǎn)A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形還有兩種情況（如圖2）：①以AB為對(duì)角線時(shí)，∵A（0，4），B（2，0），D（，9），∴點(diǎn)P（0+2﹣，4+0﹣9），即（，﹣5）；②以AD為對(duì)角線時(shí)，∵A（0，4），B（2，0），D（，9），∴點(diǎn)P（0+﹣2，4+9﹣0），即（﹣，13）．故除點(diǎn)C外，在平面直角坐標(biāo)系xOy中還存在點(diǎn)P，使點(diǎn)A、B、D、P組成的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣5）或（﹣，13）．“點(diǎn)睛”本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、菱形的性質(zhì)、勾股定理以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析，解題的關(guān)鍵是：（1）分別代入x=0，y=0，求出與之對(duì)應(yīng)的y、x的值；（2）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）分別以AB、AD為對(duì)角線求出點(diǎn)P的坐標(biāo).本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)角線互相平分），結(jié)合三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)求出另一頂點(diǎn)坐標(biāo)是關(guān)鍵.4．（2020·上海八年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若P，Q為某個(gè)矩形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”．圖1為點(diǎn)P，Q的“相關(guān)矩形”的示意圖．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2）．（1）如圖2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（b，0）．①若b＝﹣2，則點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積是；②若點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積是8，則b的值為．（2）如圖3，點(diǎn)C在直線y＝﹣1上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”是正方形，求直線AC的表達(dá)式；（3）如圖4，等邊△DEF的邊DE在x軸上，頂點(diǎn)F在y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0）．點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2），若在△DEF的邊上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）①6；②5或﹣3；（2）直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的取值范圍為﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；②由矩形的性質(zhì)即可得出結(jié)果；（2）過點(diǎn)A（1，2）作直線y＝﹣1的垂線，垂足為點(diǎn)G，則AG＝3求出正方形AGCH的邊長(zhǎng)為3，分兩種情況求出直線AC的表達(dá)式即可；（3）由題意得出點(diǎn)M在直線y＝2上，由等邊三角形的性質(zhì)和題意得出OD＝OE＝DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF＝OD＝，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在邊EF上時(shí)，若點(diǎn)N與E重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，2）或（1，2）；若點(diǎn)N與F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2+，2）；得出m的取值范圍為﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤1；②當(dāng)點(diǎn)N在邊DF上時(shí)，若點(diǎn)N與D重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）或（﹣1，2）；若點(diǎn)N與F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣，2）；得出m的取值范圍為2﹣≤m≤3或2﹣≤m≤1；即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）①∵b＝﹣2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），如圖2﹣1所示：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），∴由矩形的性質(zhì)可得：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積＝（1+2）×2＝6，故答案為：6；②如圖2﹣2所示：由矩形的性質(zhì)可得：點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積＝|b﹣1|×2＝8，∴|b﹣1|＝4，∴b＝5或b＝﹣3，故答案為：5或﹣3；（2）過點(diǎn)A（1，2）作直線y＝﹣1的垂線，垂足為點(diǎn)G，則AG＝3，∵點(diǎn)C在直線y＝﹣1上，點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的邊長(zhǎng)為3，當(dāng)點(diǎn)C在直線x＝1右側(cè)時(shí)，如圖3﹣1所示：CG＝3，則C（4，﹣1），設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y＝kx+a，則，解得；，∴直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3；當(dāng)點(diǎn)C在直線x＝1左側(cè)時(shí)，如圖3﹣2所示：CG＝3，則C（﹣2，﹣1），設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y＝k′x+b，則，解得：，∴直線AC的表達(dá)式為：y＝x+1，綜上所述，直線AC的表達(dá)式為：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，2），∴點(diǎn)M在直線y＝2上，∵△DEF是等邊三角形，頂點(diǎn)F在y軸的正半軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0），∴OD＝OE＝DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，∴OF＝OD＝，分兩種情況：如圖4所示：①當(dāng)點(diǎn)N在邊EF上時(shí)，若點(diǎn)N與E重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣3，2）或（1，2）；若點(diǎn)N與F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣2+，2）或（2﹣，2）；∴m的取值范圍為﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤1；②當(dāng)點(diǎn)N在邊DF上時(shí)，若點(diǎn)N與D重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，2）或（﹣1，2）；若點(diǎn)N與F重合，點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2﹣，2）或（﹣2+，2）；∴m的取值范圍為2﹣≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+；綜上所述，m的取值范圍為﹣3≤m≤﹣2+或2﹣≤m≤3．【點(diǎn)睛】此題主要考查圖形與坐標(biāo)綜合，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及新定義的應(yīng)用．5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，3)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；（2）如果點(diǎn)C、D分別在x軸、y軸上，四邊形ABCD是平行四邊形，求直線CD的表達(dá)式．【難度】★★【解析】（1）（2）【總結(jié)】本題考查了一次函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的綜合應(yīng)用及平行四邊形的判定和性質(zhì)．6.已知一條直線y=kx+b在y軸上的截距為2，它與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，且△ABO的面積為4．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）若k<0，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)D，使四邊形ABOD是一個(gè)梯形，且AD∥BO，其面積又等于20，試求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【難度】★★【解析】（1