第二十一章一元二次方程考點(diǎn)大梳理

第二十一章一元二次方程考點(diǎn)大梳理考點(diǎn)1一元二次方程的相關(guān)概念一元二次方程的定義；等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。注意三要素：整式、一個(gè)未知數(shù)、最高次2次。一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解，解決此類問題，通常是將方程的根或解反代回去再進(jìn)行求解.下列選項(xiàng)中，是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程判定即可．【詳解】解：選項(xiàng)A中的方程分母含有未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；選項(xiàng)B中的方程含有2個(gè)未知數(shù)，所以它不是一元二次方程；當(dāng)時(shí)，選項(xiàng)D中的方程不含二次項(xiàng)，所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是明確一元二次方程的定義．下列等式是一元二次方程的是（

）A．（為常數(shù)） B．C． D．【答案】C【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式為．根據(jù)一元二次方程的定義逐項(xiàng)分析判定即可．【詳解】解：A.（為常數(shù)），若，則該方程不是一元二次方程，故不符合題意；B.可整理得，不是一元二次方程，故不符合題意；C.，是一元二次方程，符合題意；D.，不是整數(shù)方程，故不符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，理解并掌握一元二次方程的定義是解題關(guān)鍵．若關(guān)于的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義：含有一個(gè)未知數(shù)，且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為2的整式方程，叫做一元二次方程．若方程是一元二次方程，則m的值為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】通過(guò)化簡(jiǎn)后，只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．【詳解】解：根據(jù)題意，得且，解得．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義．掌握相關(guān)定義即可．一元二次方程化成一般形式后，其二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為（

）A．1，8，4 B． C．5，8，4 D．【答案】B【分析】方程經(jīng)過(guò)展開、移項(xiàng)、整理可得一般形式，接下來(lái)就可得到二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：將左邊展開得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，∴二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般形式（a、b、c為常數(shù)，），其特征是等式左邊是含一個(gè)未知數(shù)的二次三項(xiàng)式，右邊是0，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)，叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)，c叫做常數(shù)項(xiàng)．若a是方程的一個(gè)根，則的值為（

）A．2021 B． C．2019 D．【答案】A【分析】先把a(bǔ)代入方程，變形得，再把代數(shù)式變形求解即可．【詳解】解：∵a是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根和求代數(shù)式的值，把根代入方程和對(duì)代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵．已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)非零根，則的值為（

）A．1 B． C．0 D．【答案】A【分析】由于關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)非零根，那么代入方程中即可得到，再將方程兩邊同時(shí)除以即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)非零根，∴，∵，∴，方程兩邊同時(shí)除以，得，∴．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是把已知方程的根直接代入方程進(jìn)而解決問題．若關(guān)于的一元二次方程有一根為，則方程必有一根為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得到，設(shè)，得到，所以，即可得到進(jìn)而得到答案．【詳解】解：由得到，對(duì)于一元二次方程，設(shè)，，而關(guān)于的一元二次方程有一根為，有一個(gè)根為，則，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解是解答本題的關(guān)鍵．關(guān)于的一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根為，則方程一定有實(shí)數(shù)根(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】將代入方程得，兩邊同時(shí)除以得：，即，所以一定有實(shí)數(shù)根．【詳解】解：∵是一元二次方程一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，兩邊同時(shí)除以得：，即：，∴一定有實(shí)數(shù)根．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根，解題的關(guān)鍵是理解一元二次方程根的定義，得到．若方程是關(guān)于的一元二次方程，那么的值為．【答案】或0【分析】方程整理后根據(jù)一元二次方程的定義可知有兩種情況：①，②，分別求解即可．【詳解】解：方程整理得，∵它是關(guān)于的一元二次方程，∴有以下兩種情況：①，即，∴；②，即，綜上，的值為或0，故答案為：或0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，正確分類討論是解題的關(guān)鍵．關(guān)于x的方程是一元二次方程，則k的值為．【答案】3【分析】由一元二次方程的概念滿足的條件：未知數(shù)最高次數(shù)為2，構(gòu)造方程，解出字母取值，并利用二次項(xiàng)系數(shù)不為0排除使二次項(xiàng)系數(shù)為0的字母取值，從而確定字母取值．【詳解】解：∵方程是一元二次方程，∴，解得：．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)最高次數(shù)為2的方程是一元二次方程．將一元二次方程化成一般式：．【答案】【分析】根據(jù)整式運(yùn)算法則和移項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握去括號(hào)法則、合并同類項(xiàng)法則和移項(xiàng)的法則．已知m是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為．【答案】2020【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義可得，然后整體代入所求式子解答即可．【詳解】解：∵m是一元二次方程的一個(gè)根，∴，即，∴；故答案為：2020．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解的定義和代數(shù)式求值，熟知方程解的定義、靈活應(yīng)用整體思想是關(guān)鍵．已知關(guān)于x的方程的解是，，則關(guān)于x的方程的解是．【答案】或【分析】把后面方程中的看作整體，相當(dāng)于前面方程中的，據(jù)此求解即可．【詳解】解：關(guān)于x的方程的解是，，方程可變形為，此方程中或，解得：或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程及方程的解的定義，由兩個(gè)方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算是解題關(guān)鍵．已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根是1，那么．【答案】0【分析】由題意，將代入得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意，將代入得，，解得；故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元一次方程．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．已知關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)根為，則的值為．【答案】4【分析】把代入方程得，然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．【詳解】解：把代入方程得，，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．將下列方程化為一元二次方程的一般形式，并指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；(3)；(4)【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】先分別將各方程化為一般形式，再指出它們的各部分的名稱．【詳解】（1）解：方程化為一般形式為，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是；（2）解：方程化為一般形式為，二次項(xiàng)系數(shù)是9，一次項(xiàng)系數(shù)是0，常數(shù)項(xiàng)是；（3）解：方程化為一般形式為，二次項(xiàng)系數(shù)是6，一次項(xiàng)系數(shù)是2，常數(shù)項(xiàng)是；（4）解：方程化為一般形式為，二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常數(shù)且）特別要注意的條件．這是在做題過(guò)程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中叫二次項(xiàng)，叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．特別要注意確認(rèn)各項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)一定要包括前面的符號(hào)．若是方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】將a代入方程再將方程變換，代入所求代數(shù)式即可求解；【詳解】解：∵是方程的一個(gè)根，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根、代數(shù)式化簡(jiǎn)求值，將方程正確進(jìn)行變換是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2一元二次方程的解法一元二次方程的四種解法：（1）直接開平方法：如果，則（2）配方法：要先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后方程兩變同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成左邊是完全平方式，右邊是非負(fù)常數(shù)的形式，然后用直接開平方法求解；（3）公式法：一元二次方程的求根公式是；（4）因式分解法：如果則。一元二次方程四種解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的頻率最高，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意選擇最恰當(dāng)?shù)姆椒ń狻Ｓ弥苯娱_平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）將方程變形為，開平方求解，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，求解；（2）將方程變形為，開平方求解，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，求解；【詳解】（1）解：，，，，．（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查開平方法求解一元二次方程；掌握求平方根的方法是解題的關(guān)鍵．用配方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)原方程無(wú)實(shí)數(shù)根(2)，【分析】（1）將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，左邊化的形式，方程右邊小于0，故無(wú)解；（2）將方程化為，開平方求解；【詳解】（1）原方程為，則，∴，∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根；（2）原方程為，∴，∴，∴，∴，即，．【點(diǎn)睛】本題考查配方法求解一元二次方程；根據(jù)等式性質(zhì)，將方程化為是解題的關(guān)鍵．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)(3)，(4)，(5)，(6)，【分析】（1）利用配方法即可求解．（2）利用配方法即可求解．（3）利用配方法即可求解．（4）利用配方法即可求解．（5）利用配方法即可求解．（6）利用配方法即可求解．【詳解】（1）解：原方程變形為：，原方程配方得：，即：，開方得：，解得：，．（2）原方程配方得：，開方得：，解得：．（3）原方程變形為：，配方得：，即：，開方得：，解得：，．（4）原方程變形為：，配方得：，即：，開方得：，解得：，．（5）原方程變形為：，配方得：，即：，開方得：，解得：，．（6）原方程變形為：，配方得：，即：，開方得：，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)，(3)原方程沒有實(shí)數(shù)根(4)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的一般形式，可以直接確定a，b，c的值，并計(jì)算判別式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；（2）先化為一般形式，然后根據(jù)公式法，即可求解；（3）根據(jù)一元二次方程的一般形式，可以直接確定a，b，c的值，并計(jì)算判別式的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根；（4）先化為一般形式，然后根據(jù)公式法，即可求解；【詳解】（1）∴，∴解得：（2）即，，解得：，（3）∴，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根；（4）即∴，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的求根公式是解題的關(guān)鍵．用公式法解一元二次方程時(shí)，一定要先將方程化為一般形式，再確定的值．用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)．【答案】(1)，(2)，(3)(4)，(5)，(6)原方程無(wú)實(shí)數(shù)根(7)(8)，(9)原方程無(wú)實(shí)數(shù)根【分析】利用一元二次方程的解法中的公式法進(jìn)行求解即可．【詳解】（1），（2），（3）（4），（5），（6）原方程無(wú)實(shí)數(shù)根（7）（8），（9）原方程無(wú)實(shí)數(shù)根【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法，通常先化為一般形式，明確各項(xiàng)系數(shù)，再計(jì)算根的判別式的值，根據(jù)值的符號(hào)進(jìn)行求解．用因式分解法解下列一元二次方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，(2)，(3)，【分析】（1）利用提公因式法進(jìn)行因式分解，求解即可；（2）通過(guò)移項(xiàng)，提公因式法進(jìn)行因式分解，求解即可；（3）利用平方差公式，進(jìn)行因式分解，求解即可．【詳解】（1）解：因式分解，得．于是，，解得，；（2）移項(xiàng)，得，因式分解，得，于是，，解得，；（3）因式分解，得，于是，，解得，．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解法求解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的有關(guān)方法．用因式分解法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用提公因式法把方程的左邊變形，進(jìn)而解出方程；（2）先把方程的右邊運(yùn)用平方差公式因式分解，再提公因式，進(jìn)而解出方程；（3）先移項(xiàng)，再利用平方差公式把方程的左邊變形，進(jìn)而解出方程．【詳解】（1）解：則，，，；（2），則，，，，；（3），則，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．解下列方程：（1）x24x＋3＝0；（2）x22x3＝0；（3）10x2x3＝0；（4）(x＋6)(x7)＝14【答案】（1）；（2）；(3);(4)【詳解】試題分析：把方程整理成一般形式，用十字相乘法分解因式即可．試題解析：解：（1）（x3）（x1）=0，∴，；（2）（x+1）（x3）=0，∴，；（3）（2x+1）（5x3）=0，∴，；（4），∴（x+7）（x8）=0，∴，．點(diǎn)睛：此題考查了因式分解十字相乘法，熟練掌握十字相乘的方法是解答本題的關(guān)鍵．選擇合適的方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【分析】（1）先移項(xiàng)，再用直接開平方法求解即可；（2）先化系數(shù)為1，再直接開平方求解即可；（3）兩邊直接開平方，即可求解；（4）兩邊直接開平方，即可求解；（5）用配方法，兩邊同時(shí)加上1，即可求解；（6）先將方程化為一般式，再用公式法求解即可；（7）根據(jù)平方差公式，用因式分解法求解即可；（8）用十字相乘法將方程左邊因式分解，即可求解；（9）用公式法求解即可；（10）先將方程化為一般式，再用配方法求解即可；（11）先將方程化為一般式，再用十字相乘法將方程左邊因式分解，即可求解；（12）根據(jù)平方差公式，用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，，；（3）解：，，；（4）解：，，或，解得：；（5）解：，，，，；（6）解：，，，，∴，解得：；（7）解：，，，或，解得：；（8）解：，，或，解得：；（9）解：，，，∴，解得：（10）解：，，，；（11）解：，，，，或，解得：；（12）解：，，，，或，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟，解一元二次方程的方法有：直接開平方法、配方法，公式法，因式分解法．考點(diǎn)3判別式及根與系數(shù)的關(guān)系判別式：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程的根由其系數(shù)、、確定，它的根的情況（是否有實(shí)數(shù)根）由確定．設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．③方程沒有實(shí)數(shù)根．根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：若一元二次方程有兩個(gè)根，，那么，關(guān)于的一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定根的情況【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，，，再計(jì)算，即可判斷方程根的情況．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，關(guān)于的一元二次方程的根的情況為有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，②，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，③，方程沒有實(shí)數(shù)根．若關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根可知道判別式大于等于零，解不等式及可求解；【詳解】解：∵一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴且，∴且．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的情況求參數(shù)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A．且 B．且 C． D．【答案】D【分析】分兩種情況討論：①，為一元一次方程；②，為一元二次方程，根據(jù)根的判別式計(jì)算即可．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為，有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為為一元二次方程，∵方程有實(shí)數(shù)根∴，解得：綜上所述：故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實(shí)數(shù)根．分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定是否有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)根的判別式進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵方程中，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2021 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】根據(jù)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得出，，變形，然后整體代入求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的兩個(gè)根，，滿足，．若關(guān)于的方程有兩實(shí)根，那么的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程有兩實(shí)根，∴方程是一元二次方程，∴且，∴且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義和判別式的意義，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．已知，且，則的值為．【答案】【分析】可得出與為方程的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得出，，再將其代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意得：與為方程的兩根，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)之間的關(guān)系．已知，是方程的兩個(gè)根，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)“，是方程的兩個(gè)根”，結(jié)合“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根，則，”，得出“，”，將原式變形為，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，是方程的兩個(gè)根，∴，，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，將原式變形、運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為．【答案】2020【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：根據(jù)題意得，，所以，故答案為：2020．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．利用整體代入法是本題的關(guān)鍵．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；(2)已知是方程的一個(gè)根，求的值．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得，由此可證明無(wú)論取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）把代入方程即可求出．【詳解】（1）證明：由題意得：，∴無(wú)論取何值，該方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：把代入方程，得：，解得：，∴的值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：①方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③方程沒有實(shí)數(shù)根，也考查了一元二次方程的根的定義以及一元一次方程的解法．已知關(guān)于x的方程．(1)試說(shuō)明：無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個(gè)根為3，求的值．【答案】(1)詳見解析(2)2039，詳見解析【分析】（1）計(jì)算出即可得出答案；（2）由方程的解的概念得出，代入到計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，∴無(wú)論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵方程有一個(gè)根為3，∴，整理，得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查根的判別式和方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．已知，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系分別求得兩根之和和兩根之積：①，②；先通分，然后將①②代入求值；（2）利用整式的乘法展開，再整理代入①②即可；（3）把原式變?yōu)?，代入①②即可．【詳解】?）解：、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，；原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．已知a，b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)13(2)(3)【分析】（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得出，整體代入計(jì)算可得；（2）根據(jù)，，代入即可得出答案；（3）由a是方程的一個(gè)根得到，將原式整理成，再將、的值整體代入計(jì)算可得．【詳解】（1）解：∵a、b是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，∴，則；（2）解：由（1）得，∴；（3）解：由（1）得，∵a是方程的根，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握是一元二次方程的兩根時(shí)，，．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，．(1)求的取值范圍；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，再根據(jù)已知條件得到方程，解方程即可得到答案．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴；（2）解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，，∴，∵，∴，∴，解得或（舍去）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則；若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒有實(shí)數(shù)根．已知關(guān)于x的一元二次方程(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，請(qǐng)求出k的值及相應(yīng)的實(shí)數(shù)根．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或【分析】（1）計(jì)算其判別式，判斷其為正數(shù)，即可證得結(jié)論；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可求得和的值，代入已知等式可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，∵，∴，即，解得或，當(dāng)時(shí)，方程為，解得或，當(dāng)時(shí)，方程為，解得或．【點(diǎn)睛】本題主要考查方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根積與兩根和是解題的關(guān)鍵．已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程兩個(gè)根均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，求k的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）求出，由即可得到結(jié)論；（2）利用公式法求出，根據(jù)方程兩個(gè)根均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：關(guān)于x的一元二次方程，，∵，∴，∴一元二次方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2），∵，∴，，∵方程兩個(gè)根均為整數(shù)，且k為正整數(shù)，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式和解法，求出是解題的關(guān)鍵．已知關(guān)于的一元二次方程：．(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)根；(2)若是整數(shù)，方程的根也是整數(shù)，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）計(jì)算，即可得出結(jié)論；（2）公式法解一元二次方程，得出，根據(jù)題意，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，方程總有兩個(gè)實(shí)根．（2），，均為整數(shù)，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用（一）握手、比賽問題首屆中國(guó)象棋比賽采用單循環(huán)制，每位棋手與棋手比賽一盤制，已知第一輪比賽共下了105場(chǎng)，那么參加第一輪比賽的共有幾名選手？【答案】參加第一輪比賽的共有15名選手【分析】設(shè)參加第一輪比賽的共有名選手，根據(jù)“每位棋手與棋手比賽一盤制，第一輪比賽共下了105場(chǎng)”，列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)參加第一輪比賽的共有名選手，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），參加第一輪比賽的共有15名選手．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．某校九年級(jí)學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了張相片，全班有多少名學(xué)生？【答案】全班有名同學(xué)【分析】設(shè)全班有x名學(xué)生，根據(jù)全班共送了張相片得：，解方程可得答案．【詳解】解：設(shè)此班有x名同學(xué)，則，解得:，(舍去)，答：此班有名同學(xué)．【點(diǎn)睛】本題一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列出方程．參加研討會(huì)的教師每?jī)扇宋找淮问郑参帐?6次，這次參加研討會(huì)的教師共有多少名？【答案】9人【分析】設(shè)參加研討會(huì)的教師有x人，每個(gè)人都與另外的人握手一次，則每個(gè)人握手（x?1）次，且其中任何兩人的握手只有一次，因而共有x（x?1）次，設(shè)出未知數(shù)列方程解答即可．【詳解】設(shè)參加研討會(huì)的教師有x人，根據(jù)題意列方程得，x（x?1）＝36，解得x1＝9，x2＝?8（不合題意，舍去）；答：參加研討會(huì)的教師有9人．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，理解：設(shè)有x人參加聚會(huì)，每個(gè)人都與另外的人握手一次，則每個(gè)人握手（x?1）次是關(guān)鍵．某市要組織一次籃球聯(lián)賽，賽制為單循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都賽一場(chǎng)），計(jì)劃安排15場(chǎng)比賽．（本題第一問要求列方程作答）（1）應(yīng)該邀請(qǐng)多少支球隊(duì)參加比賽？（2）若某支球隊(duì)參加3場(chǎng)后，因故不參與以后的比賽，問實(shí)際共比賽多少場(chǎng)？【答案】（1）6；（2）13【分析】（1）設(shè)應(yīng)該邀請(qǐng)x支球隊(duì)參加比賽，則比賽的總場(chǎng)數(shù)為場(chǎng)，與總場(chǎng)數(shù)為15場(chǎng)建立方程求出其解即可；（2）用3加上余下的5支球隊(duì)比賽的總場(chǎng)數(shù)即可．【詳解】（1）設(shè)應(yīng)該邀請(qǐng)x支球隊(duì)參加比賽，依題意得：，解得：或（不合題意，舍去）．答：應(yīng)邀請(qǐng)6支球隊(duì)參加比賽；（2）由題可得：（場(chǎng)）．答：實(shí)際共比賽13場(chǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元二次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用，解答時(shí)以單循環(huán)形式比賽規(guī)則的總場(chǎng)數(shù)作為等量關(guān)系建立方程是解題的關(guān)鍵．（二）傳播問題某校有200臺(tái)學(xué)生電腦和1臺(tái)教師用電腦，現(xiàn)在教師用電腦被某種電腦病毒感染，且該電腦病毒傳播非?？欤绻慌_(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有16臺(tái)電腦被感染．（1）每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦?（2）若病毒得不到有效控制，______輪感染后機(jī)房?jī)?nèi)所有電腦都被感染．【答案】（1）3臺(tái)；（2）四【分析】（1）設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染臺(tái)電腦，根據(jù)“如果一臺(tái)電腦被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有16臺(tái)電腦被感染”，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）分別求出三輪及四輪感染后感染病毒電腦的數(shù)量，結(jié)合機(jī)房共臺(tái)電腦，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染臺(tái)電腦，依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染3臺(tái)電腦．（2）經(jīng)過(guò)三輪感染后感染病毒的電腦數(shù)量為（臺(tái)，經(jīng)過(guò)四輪感染后感染病毒的電腦數(shù)量為（臺(tái)，，四輪感染后機(jī)房?jī)?nèi)所有電腦都被感染．故答案為：四．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．某?！吧镅袑W(xué)”活動(dòng)小組在一次野外研學(xué)實(shí)踐時(shí)，發(fā)現(xiàn)某種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支．若主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是多少？【答案】9【分析】設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是91，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．【詳解】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是，根據(jù)題意，可得，整理得，解得，（不合題意，舍去），答：這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是9．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．某年，豬肉價(jià)格不斷上漲，主要是由非洲豬瘟疫情導(dǎo)致，非洲豬瘟疫情發(fā)病急，蔓延速度快，某養(yǎng)豬場(chǎng)第一天發(fā)現(xiàn)頭生豬發(fā)病，兩天后發(fā)現(xiàn)共有頭生豬發(fā)?。?1)求每頭發(fā)病生豬平均每天傳染多少頭生豬？(2)若疫情得不到有效控制，按照這樣的傳染速度，天后生豬發(fā)病頭數(shù)會(huì)超過(guò)頭嗎？【答案】(1)每頭發(fā)病生豬平均每天傳染頭生豬(2)若疫情得不到有效控制，天后生豬發(fā)病頭數(shù)會(huì)超過(guò)頭【分析】（1）設(shè)每頭發(fā)病生豬平均每天傳染頭生豬，根據(jù)“第一天發(fā)現(xiàn)頭生豬發(fā)病，兩天后發(fā)現(xiàn)共有頭生豬發(fā)病”，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)天后生豬發(fā)病頭數(shù)=天后生豬發(fā)病頭數(shù)，即可求出天后生豬發(fā)病頭數(shù)，再將其與進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)每頭發(fā)病生豬平均每天傳染頭生豬，依題意，得，解得：，（不合題意，舍去）．答：每頭發(fā)病生豬平均每天傳染7頭生豬．（2）（頭），．答：若疫情得不到有效控制，3天后生豬發(fā)病頭數(shù)會(huì)超過(guò)1500頭．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．某種病毒傳播非常快，如果一個(gè)人被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有121個(gè)人被感染．（1）每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染幾個(gè)人？（2）若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)不會(huì)超過(guò)1300人？【答案】（1）每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染10個(gè)人；（2）若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)超過(guò)1300人．【分析】（1）設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染x個(gè)人，根據(jù)“如果一個(gè)人被感染，經(jīng)過(guò)兩輪感染后就會(huì)有121個(gè)人被感染”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每輪感染中平均一個(gè)人感染的人數(shù)；（2）利用經(jīng)過(guò)三輪感染后被感染的人數(shù)＝經(jīng)過(guò)兩輪感染后被感染的人數(shù)×（1＋每輪感染中平均一個(gè)人感染的人數(shù)），即可求出經(jīng)過(guò)三輪感染后被感染的人數(shù)，再將其與1300比較后可得出：若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)超過(guò)1300人．【詳解】（1）設(shè)每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染x個(gè)人，依題意得：1+x+x（1+x）＝121，整理得：（x+1）2＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（不合題意，舍去）．答：每輪感染中平均一個(gè)人會(huì)感染10個(gè)人．（2）121×（1+10）＝1331（人），∴1331＞1300，∴若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的人會(huì)超過(guò)1300人．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（三）面積問題某駐村工作隊(duì)，為帶動(dòng)群眾增收致富，鞏固脫貧攻堅(jiān)成效，決定在該村山腳下，圍一塊面積為600的矩形試驗(yàn)茶園，便于成功后大面積推廣．如圖所示，茶園一面靠墻，墻長(zhǎng)35m，另外三面用69m長(zhǎng)的籬笆圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆），求這個(gè)茶園的寬．【答案】20m【分析】設(shè)這個(gè)茶園的寬為xm，則另一邊的長(zhǎng)度為m，根據(jù)茶園的面積為列出方程并解答即可．【詳解】解：設(shè)這個(gè)茶園的寬為xm，則另一邊的長(zhǎng)度為m，根據(jù)題意，得，整理，得，解得，當(dāng)時(shí)，，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意．答：這個(gè)茶園的寬為20m．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．如圖，有長(zhǎng)為30米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為10米），圍成中間隔有一道籬笆（平行于）的矩形花圃，設(shè)花圃一邊的長(zhǎng)為x米，面積為y平方米．

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)如果要圍成面積為63平方米的花圃，的長(zhǎng)是多少？【答案】(1)(2)7米【分析】（1）根據(jù)各邊之間的關(guān)系，可得出的長(zhǎng)為米，利用矩形的面積計(jì)算公式，可用含的代數(shù)式表示，再結(jié)合邊的長(zhǎng)大于0且長(zhǎng)度不超過(guò)米，即可得出的取值范圍；（2）根據(jù)圍成花圃的面積為平方米，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：的長(zhǎng)為米，且籬笆的總長(zhǎng)度為米，的長(zhǎng)為米．花圃的面積，∵墻的長(zhǎng)度為，∴，，∴；（2）解：依題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去），．答：的長(zhǎng)是米．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，用含的代數(shù)式表示出；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．飼養(yǎng)場(chǎng)準(zhǔn)備利用現(xiàn)成的一堵“”字形的墻面（粗線表示墻面）建飼養(yǎng)場(chǎng)，已知，米，米，現(xiàn)計(jì)劃用總長(zhǎng)為米的籬笆圍建一個(gè)“日”字形的飼養(yǎng)場(chǎng)，并在每個(gè)區(qū)域開一個(gè)寬米的門，如圖（細(xì)線表示籬笆，飼養(yǎng)場(chǎng)中間用籬笆隔開），點(diǎn)在線段上．

(1)設(shè)的長(zhǎng)為米，則______米；（用含的代數(shù)式表示）(2)若圍成的飼養(yǎng)場(chǎng)的面積為平方米，求飼養(yǎng)場(chǎng)的寬的長(zhǎng)；(3)所圍成的飼養(yǎng)場(chǎng)的面積能否為平方米？如果能達(dá)到，求出的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)11米(3)不能達(dá)到，理由見解析【分析】（1）據(jù)各邊之間的關(guān)系，即可用含的代數(shù)式表示出的長(zhǎng)；（2）利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合不超過(guò)米，即可得出飼養(yǎng)場(chǎng)的寬的長(zhǎng)為米；（3）不能達(dá)到，設(shè)的長(zhǎng)為米，則米，利用矩形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于的一元二次方程，由根的判別式，可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根，即不能達(dá)到．【詳解】（1）設(shè)的長(zhǎng)為米，則（米）．故答案為：．（2）依題意得：，整理得：，解得：，．當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意．答：飼養(yǎng)場(chǎng)的寬的長(zhǎng)為米．（3）不能達(dá)到，理由如下：設(shè)的長(zhǎng)為米，則米，依題意得：，整理得：，，該方程沒有實(shí)數(shù)根．不能達(dá)到．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）牢記“當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根”．如圖，學(xué)校準(zhǔn)備在圍墻邊用柵欄圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地（靠墻一面不用柵欄），用于修建自行車棚，若所用柵欄的總長(zhǎng)度為34米，墻的最大可用長(zhǎng)度為18米，為了出入方便，在垂直于墻的一邊留了一個(gè)2米寬的門（門用其他材料），設(shè)柵欄的長(zhǎng)為x米，解答下列問題：

(1)________米．（用含x的代數(shù)式表示）(2)若圍成的自行車棚的面積為平方米，求柵欄的長(zhǎng)．(3)圍成的自行車棚的面積能為平方米嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)柵欄的長(zhǎng)為14米(3)自行車棚的面積不能為平方米，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可知且有，整理即可得出用含的代數(shù)式表示矩形的長(zhǎng)的式子；（2）根據(jù)矩形場(chǎng)地面積為平方米列出方程，解出此時(shí)的值然后求出柵欄的長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)矩形場(chǎng)地面積為平方米列出方程，再根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可得出答案．【詳解】（1）解：依題意得：，，米，故答案為：；（2）解：根據(jù)圖形，可列方程：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意，柵欄的長(zhǎng)為14米；（3）解：不能，理由如下：依題意得：，整理得：，，方程沒有實(shí)數(shù)根，自行車棚的面積不能為平方米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問題的關(guān)鍵．自我縣開展文明城市創(chuàng)建工作以來(lái)，全縣人民凝聚力量，眾志成城全力打造精神文明高地，掀起了一場(chǎng)又一場(chǎng)“美麗風(fēng)暴”“整治風(fēng)暴”“文明風(fēng)暴”．某小區(qū)原有一塊寬為30m的長(zhǎng)方形荒地，物業(yè)部門計(jì)劃將其分為，，三部分，分別種植不同的花卉，美化人居環(huán)境．若，地塊為正方形，地塊的面積比地塊的面積少，試求該長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)．

【答案】長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)為【分析】設(shè)地塊的邊長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)為，根據(jù)“地塊的面積比地塊的面積少”，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)地塊的邊長(zhǎng)為，則長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)為，根據(jù)題意，得．解得，，因?yàn)椴环项}意，舍去，所以取，此時(shí)．答：長(zhǎng)方形荒地的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，理清題意列出方程是解題的關(guān)鍵．如圖，矩形草地中，m，m，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，草地內(nèi)鋪了一條長(zhǎng)和寬分別相等直角折線甬路（，），若草地總面積（兩部分陰影之和）為，求甬路的寬．【答案】2m【分析】設(shè)甬路的寬為m，先得出，即，再據(jù)題意列一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】解：設(shè)甬路的寬為m，∵矩形中，，，∴四邊形是正方形，∵點(diǎn)為邊中點(diǎn)，m，∴，∴，即，即據(jù)題意列方程，得：．整理，得．解得

，（不合題意，舍去）．答：甬路的寬為2m．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是得出以及找到等量關(guān)系．改善小區(qū)環(huán)境，爭(zhēng)創(chuàng)文明家園．如圖，某社區(qū)決定在一塊長(zhǎng)，寬的矩形場(chǎng)地上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與平行，另一條與平行，其余部分種草．要使每一塊草坪部分的面積都為，則小路的寬應(yīng)為多少？

【答案】小路的寬應(yīng)為【分析】設(shè)小路的寬為x米，那么草坪的總長(zhǎng)度和總寬度分別為米，米，再根據(jù)草坪的面積得出方程，解方程即可．【詳解】解：設(shè)小路的寬為x米，根據(jù)題意得：，解得：，（舍去），答：小路的寬應(yīng)為．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，表示出“草坪的總長(zhǎng)度和總寬度”是解決本題的關(guān)鍵．學(xué)校課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)條利用長(zhǎng)為8m的墻和一段長(zhǎng)為26m的籬笆圍建一個(gè)矩形的苗圃園，設(shè)平行于墻一邊長(zhǎng)為xm．

(1)如圖1，如果矩形花園的一邊靠墻，另三邊由籬笆圍成，當(dāng)苗圃園的面積為60時(shí)，求x的值；(2)如圖2，如果矩形苗圃園的一邊由墻和一節(jié)籬笆構(gòu)成，另三邊由籬笆圍成，當(dāng)苗圃園的面積為60時(shí)，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）可求，根據(jù)矩形的面積，列出方程，求出的解根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求解；（2）可求，根據(jù)矩形的面積，列出方程，求出的解根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求解．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，由題意得：，整理得：，解得：，，，不合題意舍去，．答：當(dāng)苗圃園的面積為60時(shí)，x的值為．（2）解：四邊形是矩形，，，解得：，由題意得：，整理得：，解得：，，不合題意舍去，．答：當(dāng)苗圃園的面積為60時(shí)，x的值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程在面積問題中的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（四）增長(zhǎng)率問題臺(tái)風(fēng)“杜蘇芮”牽動(dòng)著全國(guó)人民的心，某單位開展了“一方有難，八方支援”賑災(zāi)捐款活動(dòng)，第一天收到捐款元，第三天收到捐款元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同，求捐款增長(zhǎng)率；(2)按照（1）中收到的捐款的增長(zhǎng)速度，第四天該單位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增長(zhǎng)率為(2)第四天該單位能收到元捐款【分析】（1）設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)“第一天收到捐款元，第三天收到捐款元，第二天、第三天收到捐款的增長(zhǎng)率相同”列方程，解方程即可得到答案；（2）用第三天收到的捐款乘以即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)捐款增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列方程得，，解得，（不合題意，舍去）；答：捐款增長(zhǎng)率為.（2）第四天收到捐款為：（元），答：第四天該單位能收到元捐款．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．隨旅游旺季的到來(lái)，北湖濕地公園的游客人數(shù)逐月增加，3月份游客人數(shù)為8萬(wàn)人，5月份游客人數(shù)為12.5萬(wàn)人．(1)求這兩個(gè)月中北湖濕地公園游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(2)預(yù)計(jì)6月份北湖濕地公園游客人數(shù)會(huì)繼續(xù)增長(zhǎng)，但增長(zhǎng)率不超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率．已知北湖濕地公園6月1日至6月10日已接待游客6.625萬(wàn)人，則6月份后20天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬(wàn)人？【答案】(1)這兩個(gè)月平均增長(zhǎng)率為(2)6月份后20天日均接待游客人數(shù)最多是0.45萬(wàn)人【分析】（1）設(shè)這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，由2月份游客人數(shù)為1.6萬(wàn)人，4月份游客人數(shù)為2.5萬(wàn)人，列出方程可求解；（2）設(shè)5月份后10天日均接待游客人數(shù)是a萬(wàn)人，由增長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)前兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率，列出不等式，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個(gè)月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得解得，，（舍）答：這兩個(gè)月平均增長(zhǎng)率為．（2）解：設(shè)6月份后20天日均接待游客人數(shù)是萬(wàn)人，山題意可得，答：6月份后20天日均接待游客人數(shù)最多是0.45萬(wàn)人．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．(1)求進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率；(2)因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不超過(guò)人次，在進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)能，見解析．【分析】（）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為，再分別表示出第二個(gè)月和第三個(gè)月的進(jìn)館人次，最后根據(jù)三個(gè)月進(jìn)館人次等于的等量關(guān)系列方程解答即可；（）根據(jù)（）計(jì)算出的月平均增長(zhǎng)率，計(jì)算出第四個(gè)月的進(jìn)館人次，最后與比較即可．【詳解】（1）解：設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為，則由題意得：，化簡(jiǎn)得：，∴，∴或（舍）；答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為．（2）解：能，理由：∵進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為，∴第四個(gè)月的進(jìn)館人次為：．即校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．隨著我國(guó)數(shù)字化閱讀方式的接觸人群持續(xù)增多，數(shù)字閱讀憑借獨(dú)有的便利性成為了更快獲得優(yōu)質(zhì)內(nèi)容的重要途徑．某市2020年數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模為500萬(wàn)元，2022年為845萬(wàn)元．(1)求2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模的年平均增長(zhǎng)率．(2)若年平均增長(zhǎng)率不變，問2023年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模是否可以達(dá)到1000萬(wàn)元？【答案】(1)(2)可以達(dá)到【分析】（1）設(shè)兩次平均增長(zhǎng)率為x，（）；據(jù)此模型列方程即可求解；（2）可得，可預(yù)計(jì)出2023年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模，將其與700萬(wàn)元比較后即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得，解得，（不符合題意，舍去）．答：2020年到2022年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模的年平均增長(zhǎng)率為．（2）解：由題意得（萬(wàn)元）．，預(yù)計(jì)2023年該市數(shù)字閱讀市場(chǎng)規(guī)模能達(dá)到1000萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程在增長(zhǎng)率問題中的應(yīng)用，掌握典型模型是解題的關(guān)鍵．某樓盤7月份的均價(jià)為16000元/，受新型冠狀病毒肺炎疫情的影響，開發(fā)商連續(xù)兩次下調(diào)房?jī)r(jià)，9月份的均價(jià)為14440元/．(1)求該樓盤7月到9月期間均價(jià)的月平均下降率；(2)林叔叔決定等到均價(jià)低于14000元/時(shí)買房子，按這樣的月平均下降率，林叔叔能在10月份買房子嗎？【答案】(1)該樓盤7月到9月期間均價(jià)的月平均下降率為(2)林叔叔能在10月份買房子【分析】（1）設(shè)該樓盤7月到9月期間均價(jià)的月平均下降率為，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可；（2）根據(jù)題意列式求出10月份的均價(jià)，然后比較求解即可．【詳解】（1）設(shè)該樓盤7月到9月期間均價(jià)的月平均下降率為，根據(jù)題意，得，，解得，（不合題意，舍去），∴，答：該樓盤7月到9月期間均價(jià)的月平均下降率為；（2）10月份的均價(jià)為（元/m2），∵，∴林叔叔能在10月份買房子．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，此題和實(shí)際生活結(jié)合比較緊密，正確理解題意，找到關(guān)鍵的數(shù)量關(guān)系，然后列出方程是解題的關(guān)鍵．（五）利潤(rùn)問題返校復(fù)學(xué)之際，某班家委會(huì)出于對(duì)學(xué)生衛(wèi)生安全考慮，為每位學(xué)生準(zhǔn)備了便攜式免洗抑菌洗手液，去市場(chǎng)購(gòu)買時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)購(gòu)買量不超過(guò)100瓶時(shí)，免洗抑菌洗手液的單價(jià)為8元；超過(guò)100瓶時(shí)，每增加10瓶，單價(jià)就降低0.2元，但最低價(jià)格不能低于每瓶5元，設(shè)家委會(huì)共買了x瓶免洗抑菌洗手液．(1)當(dāng)時(shí)，每瓶洗手液的價(jià)格是元；當(dāng)時(shí)，每瓶洗手液的價(jià)格是元．(2)如果家委會(huì)購(gòu)買洗手液共花費(fèi)1200元，問一共購(gòu)買了多少瓶洗手液？【答案】(1)8；(2)一共購(gòu)買了200瓶洗手液．【分析】（1）根據(jù)題意，分別計(jì)算出當(dāng)以及時(shí)，每瓶洗手液的價(jià)格即可；（2）100瓶洗手液價(jià)格為800，由花費(fèi)1200元可得購(gòu)買瓶數(shù)超出了100瓶，設(shè)一共購(gòu)買了x瓶洗手液，根據(jù)題意表示出每瓶單價(jià)進(jìn)而表示出花費(fèi)，列方程，解出x的值，再根據(jù)最低價(jià)不能低于每瓶5元對(duì)x的值進(jìn)行取舍即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，每瓶洗手液的價(jià)格是8元；當(dāng)時(shí)，（元）．故答案為：8；；（2）解：，，，解得：，當(dāng)時(shí)，洗手液?jiǎn)蝺r(jià)為：（元）；當(dāng)時(shí)，洗手液?jiǎn)蝺r(jià)為：（元）．最低價(jià)不能低于每瓶5元，，．答：一共購(gòu)買了200瓶洗手液．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系列方程是解題關(guān)鍵．某商場(chǎng)銷售一批A型襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，為了增加盈利并盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．(1)若商場(chǎng)平均每天贏利元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？(2)在（1）的定價(jià)情況下，襯衫的成本價(jià)是120元，為了更快的盈利和清理庫(kù)存，商店選擇一種領(lǐng)帶與A型襯衫成套出售，領(lǐng)帶的成本價(jià)不高于襯衫成本價(jià)的一半，領(lǐng)帶按照標(biāo)價(jià)的8折出售，領(lǐng)帶標(biāo)價(jià)是其成本價(jià)的2倍，每套的利潤(rùn)為w元，領(lǐng)帶的成本價(jià)為m元，當(dāng)m為多少元時(shí)，才能使每套的利潤(rùn)最大，最大值是多少？【答案】(1)每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元(2)當(dāng)m＝60時(shí)，有最大利潤(rùn)，每套最大利潤(rùn)為56元【分析】（1）設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每天多銷售件．根據(jù)平均每天贏利元列出方程，解方程即可得到答案；（2）由題意得到，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元，則每天多銷售件．，或，∵為了增加盈利并盡快減少庫(kù)存∴每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元．（2）由題意得：∵領(lǐng)帶的成本價(jià)不高于襯衫成本價(jià)的一半，∴，∵，∴w隨m的增大而增大∴當(dāng)時(shí)，有最大利潤(rùn)，每套最大利潤(rùn)為元．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出函數(shù)解析式和方程是解題的關(guān)鍵．商場(chǎng)銷售一批襯衫，每件成本為50元，如果按每件60元出售，可銷售800件；如果每件提價(jià)5元出售，其銷售量就減少100件．如果商場(chǎng)銷售這批襯衫要獲利潤(rùn)12000元，又使顧客獲得更多的優(yōu)惠，那么這種襯衫售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】這種襯衫的銷售價(jià)定為70元【分析】設(shè)這種襯衫應(yīng)提價(jià)x元，則這種襯衫的銷售價(jià)為元，根據(jù)總利潤(rùn)＝一件利潤(rùn)×銷售數(shù)量列方程解答．【詳解】解：設(shè)這種襯衫應(yīng)提價(jià)x元，則這種襯衫的銷售價(jià)為元，整理，得解得：．為使顧客獲得更多的優(yōu)惠，∴．∴答：這種襯衫的銷售價(jià)定為70元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銷售問題的關(guān)系式．某商店進(jìn)了一批服裝，進(jìn)價(jià)為每件50元．按每件60元出售時(shí)，可銷售800件；若單價(jià)每提高1元，則其銷售量就減少20件．今商店計(jì)劃獲利12000元且銷售成本不超過(guò)24000元，問銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)應(yīng)進(jìn)多少件服裝？【答案】這種服裝銷售單價(jià)應(yīng)定為80元為宜，這時(shí)應(yīng)進(jìn)400件服裝．【分析】設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，則銷售量為件，然后根據(jù)利潤(rùn)（售價(jià)進(jìn)價(jià)）銷售量列出方程求解即可．【詳解】解：（件），設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)定為x元，則銷售量為件，由題意得，，整理得：，解得或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，∴銷售單價(jià)應(yīng)定為80元，此時(shí)應(yīng)進(jìn)400件服裝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子、紅豆粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子60袋和紅豆粽子90袋，總費(fèi)用為4800元；第二次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子40袋和紅豆粽子80袋，總費(fèi)用為3600元．(1)求蛋黃粽子、紅豆粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)當(dāng)?shù)包S粽子銷售價(jià)為每袋70元時(shí)；每天可售出20袋，為了促銷，該超市決定對(duì)蛋黃粽子進(jìn)行降價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷售價(jià)每降低1元，則每天的銷售量將增加5袋．當(dāng)?shù)包S粽子每袋的銷售價(jià)為多少元時(shí)，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤(rùn)為220元？【答案】(1)蛋黃粽子每袋進(jìn)價(jià)50元，紅豆粽子每袋進(jìn)價(jià)20元(2)52元【分析】（1）設(shè)蛋黃粽子的進(jìn)價(jià)是元袋，紅豆粽子的進(jìn)價(jià)是元袋，根據(jù)“第一次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子60袋和紅豆粽子90袋，總費(fèi)用為4800元；第二次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子40袋和紅豆粽子80袋，總費(fèi)用為3600元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)蛋黃粽子的銷售價(jià)格為元袋，則每袋的銷售利潤(rùn)為元，每天可售出袋，利用總利潤(rùn)每袋的銷售利潤(rùn)日銷售量，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)蛋黃粽子的進(jìn)價(jià)是元袋，紅豆粽子的進(jìn)價(jià)是元袋，根據(jù)題意得：，解得：．答：蛋黃粽子的進(jìn)價(jià)是50元袋，紅豆粽子的進(jìn)價(jià)是20元袋；（2）設(shè)蛋黃粽子的銷售價(jià)格為元袋，則每袋的銷售利潤(rùn)為元，每天可售出袋，根據(jù)題意得：，解得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：當(dāng)?shù)包S粽子每袋的銷售價(jià)為52元時(shí)，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤(rùn)為220元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．蘭溪聯(lián)華超市今年三月初以每件元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批水磨年糕，當(dāng)年糕售價(jià)為每件元時(shí)，三月份共銷售件．四、五月該批年糕銷售量持續(xù)走高，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到件．(1)求四、五兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率；(2)從六月份起，在五月份的基礎(chǔ)上，聯(lián)華超市決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該年糕每件降價(jià)2元，月銷售量增加件，在顧客獲得最大實(shí)惠的前提下，當(dāng)年糕每件降價(jià)多少元時(shí)，聯(lián)華超市六月份仍可獲利為元？【答案】(1)(2)每件降價(jià)4元【分析】（1）設(shè)四、五兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)五月份的銷售量達(dá)到件列方程求解即可得到答案；（2）設(shè)年糕每件降價(jià)m元時(shí)，商場(chǎng)六月仍可獲利為元，根據(jù)利潤(rùn)列方程求解即可得到答案；【詳解】（1）解：設(shè)四、五兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意得，，解得：，（不合題意，舍去），∴四、五兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)率為；（2）解：設(shè)年糕每件降價(jià)m元時(shí)，商場(chǎng)六月仍可獲利為元，由題意，得：，化簡(jiǎn)，得：，解得：或，顧客獲得最大實(shí)惠的前提下，，∴在顧客獲得最大實(shí)惠的前提下，當(dāng)年糕每件降價(jià)4元時(shí)，六月份仍可獲利為元；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程解實(shí)際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系式．某景區(qū)5月份的游客人數(shù)比4月份增加，6月份的游客人數(shù)比5月份減少了．(1)設(shè)該景區(qū)4月份的游客人數(shù)為萬(wàn)人，請(qǐng)用含的代數(shù)式分別表示5月份和6月份的游客人數(shù)；(2)求該景區(qū)5月份、6月份游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；(3)景區(qū)特色商品營(yíng)銷店推出一款成本價(jià)為40元的文化衫，如果按每件60元銷售，每天可賣出20件．通過(guò)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件售價(jià)每降低1元，日銷售量增加2件；若日利潤(rùn)保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】(1)五月的人數(shù)為萬(wàn)人，六月的人數(shù)為萬(wàn)人(2)(3)50元【分析】（1）先根據(jù)增長(zhǎng)的情況，計(jì)算出五月份的人數(shù)，再計(jì)算出六月份的人數(shù)即可；（2）設(shè)該風(fēng)景區(qū)5月份、6月份游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)四月份人數(shù)和六月份的人數(shù)列出方程求解即可；（3）設(shè)每件的售價(jià)定為元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，每天可賣出件，根據(jù)利潤(rùn)不變列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵該景區(qū)5月份的游客人數(shù)比4月份增加，6月份的游客人數(shù)比5月份減少了，且該景區(qū)4月份的游客人數(shù)為萬(wàn)人，∴該景區(qū)5月份的游客人數(shù)為萬(wàn)人，∴6月份的游客人數(shù)為萬(wàn)人．∴五月的人數(shù)為萬(wàn)人，六月的人數(shù)為萬(wàn)人；（2）解：設(shè)該風(fēng)景區(qū)5月份、6月份游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該風(fēng)景區(qū)5月份、6月份游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為；（3）解：設(shè)每件的售價(jià)定為元，則每件的銷售利潤(rùn)為元，每天可賣出件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：每件售價(jià)應(yīng)定為50元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．某超市于今年年初以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品．當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，一月份銷售256件．二、三月該商品十分暢銷．銷售量持續(xù)走高．在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，三月底的銷售量達(dá)到400件．設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率不變．(1)求二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率；(2)從四月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，銷售量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)獲利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x，則二月份的銷售量為：件；三月份的銷售量為：件，又知三月份的銷售量為400件，由此等量關(guān)系列出方程求出x的值即可解答；（2）設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，再利用“銷量每件商品的利潤(rùn)4250”列出方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：二、三這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)率為25%．（2）解：設(shè)當(dāng)商品降價(jià)m元時(shí)，商品獲利4250元，根據(jù)題意可得：，解得：，（不合題意舍去）．答：當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商品獲利4250元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意、找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．今年超市以每件25元的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到400件．(1)求四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率．(2)經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場(chǎng)為了減少庫(kù)存，采用降價(jià)促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，月銷量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場(chǎng)六月份可獲利4250元？【答案】(1)25%(2)5元【分析】（1）設(shè)四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率為，利用五月份的銷售量三月份的銷售量（月平均增長(zhǎng)率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解方程即可得到答案；（2）設(shè)商品降價(jià)元，則每件獲利元，月銷售量為件，利用商場(chǎng)銷售該商品月銷售利潤(rùn)每件的銷售利潤(rùn)月銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長(zhǎng)百分率為，根據(jù)題意得：，解得：或（不符合題意，舍去）；四、五這兩個(gè)月的月平均增長(zhǎng)百分率為；（2）解：設(shè)商品降價(jià)元，則每件獲利元，月銷售量為件，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：或（不符合題意，舍去）；當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商場(chǎng)六月份可獲利4250元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，讀懂題意，根據(jù)題意正確的列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（六）動(dòng)點(diǎn)問題如圖，在矩形中，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度向終點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為？(3)當(dāng)___，以點(diǎn)P、Q、D為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？【答案】(1)(2)或(3)或或或【分析】（1）先求出，再直接用梯形的面積公式即可；（2）分當(dāng)，當(dāng)，兩種情況過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先表示出，再用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三種情況，利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，，∵在矩形中，，∴，，，．當(dāng)時(shí)，，，，．（2）解：如圖1所示，當(dāng)，即，即時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，，在中，由勾股定理得：，，或(舍去)．

如圖2，當(dāng)，即，即時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，，在中，由勾股定理得：，，或(舍去)．

綜上所述：當(dāng)為或時(shí)，為．（3）解：在中，由勾股定理得，∴，．點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，，①當(dāng)時(shí)，即：，，(舍去)或．②當(dāng)時(shí)，即：，，(舍去)或．③當(dāng)時(shí)，即，，或．綜上所述：當(dāng)?shù)闹禐榛蚧蚧驎r(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，解本題的關(guān)鍵是用時(shí)間表示出，用方程的思想是解本題的難點(diǎn)．如圖，在中，，點(diǎn)P由點(diǎn)A沿方向以1個(gè)單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B沿方向以2個(gè)單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)．連，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，：

(1)t為何值時(shí)，四邊形的面積為9；(2)是否存在某一時(shí)刻t，使P點(diǎn)在線段的垂直平分線上？【答案】(1)當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為9．(2)當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【分析】（1）先表示出四邊形的面積為，令，求解即可；（2）由題意可得：、，運(yùn)用勾股定理可得，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，據(jù)此列一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：由題意可得：∴四邊形的面積為，由題意可得：，即，解得：或（舍）∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積為9．（2）解：由題意可得：，，∴，∵P點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴,即，解得：或（舍），∴當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的動(dòng)點(diǎn)問題、勾股定理、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，用t表示出相關(guān)線段是解答本題的關(guān)鍵．如圖所示，中，，，．

(1)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向以的速度移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)幾秒，使的面積等于？(2)在（1）的運(yùn)動(dòng)情況下，線段能否將分成面積相等的兩部分？若能，求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不能說(shuō)明理由．(3)若點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng)，點(diǎn)沿射線方向從點(diǎn)出發(fā)以的速度移動(dòng)，，同時(shí)出發(fā)，問幾秒后，的面積為？【答案】(1)經(jīng)過(guò)2秒或4秒，的面積等于(2)線段不能將分成面積相等的兩部分，理由見解析(3)經(jīng)過(guò)秒或5秒或秒后，的面積為【分析】(1)設(shè)經(jīng)過(guò)秒，使的面積等于，解方程即可．(2)設(shè)經(jīng)過(guò)秒，線段將分成面積相等的兩部分，判斷方程根的情況即可．(3)分類求解即可．【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)秒，使的面積等于，依題意得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意．即經(jīng)過(guò)2秒或4秒，的面積等于．（2）設(shè)經(jīng)過(guò)秒，線段將分成面積相等的兩部分，依題意得：的面積，的面積，整理得：，∵，∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴線段不能將分成面積相等的兩部分．（3）①點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，設(shè)經(jīng)過(guò)秒，的面積為，依題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合題意，舍去，；②點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在射線上，設(shè)經(jīng)過(guò)秒，的面積為，依題意得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．③點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，設(shè)經(jīng)過(guò)秒，的面積為，依題意得：，整理得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，不符合題意，舍去，；綜上所述，經(jīng)過(guò)秒或5秒或秒后，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，根的判別式，分類思想，熟練掌握解方程和根的判別式是解題的關(guān)鍵．已知：如圖，在中，．點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度勻速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)________后，的面積為；(2)幾秒后，的長(zhǎng)度為？(3)的面積能否為？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)1(2)后，的長(zhǎng)度為(3)不能，理由見解析【分析】（1）設(shè)經(jīng)過(guò)x秒鐘，的面積為，根據(jù)點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，表示出和的長(zhǎng)可列方程求解；（2）根據(jù)，利用勾股定理，求出即可；（3）通過(guò)判定方程的根的判別式即可判定能否達(dá)到．【詳解】（1）解：由題意得：，由，得，整理，得，解得．當(dāng)時(shí)，，說(shuō)明此時(shí)點(diǎn)越過(guò)點(diǎn)，不符合要求，舍去，所以后，的面積為．故答案為：1．（2）解：由題意得：，在中，由勾股定理得：，得，整理，得，解得（不合題意，舍去），，答：后，的長(zhǎng)度為；（3）解：不能．理由：假設(shè)的面積為，則由題意，得，整理，得，因?yàn)?，所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，所以的面積不能為．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿對(duì)角線方向運(yùn)動(dòng)．已知P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)______，______．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為．(3)是否存在某一時(shí)刻t，使是以為底邊的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3；6(2)當(dāng)t為1或2時(shí)，的面積為(3)存在；當(dāng)，使是以為底邊的等腰三角形【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可；（3）根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，得，再