24.5相似三角形的性質(zhì)（第1課時）（作業(yè)）

24.5相似三角形的性質(zhì)（第1課時）（作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?金山區(qū)校級月考）已知兩個相似三角形的相似比為1：4，則它們的對應高的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：因為兩個相似三角形的相似比為1：4，所以這兩個三角形的對應高的比為1：4．故選：B．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面積的比等于相似比的平方．2．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如果兩個相似三角形對應角平分線之比是2：3，那么它們的對應邊之比是（）A．2：3 B．4：9 C．16：81 D．：【分析】根據(jù)相似三角形對應角平分線的比等于相似比解答即可．【解答】解：∵相似三角形對應角平分線的比是2：3，∴它們的相似比為2：3，故選：A．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，主要利用了相似三角形對應角平分線的比，對應高的比，對應中線的比都等于相似比的性質(zhì)．3．（2019秋?青浦區(qū)期末）如果兩個相似三角形對應邊之比是1：2，那么它們的對應高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：6 D．1：8【分析】根據(jù)相似三角形對應高的比等于相似比解答．【解答】解：∵兩個相似三角形對應邊之比是1：2，∴它們的對應高之比是1：2，故選：A．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比．4．（2021秋?寶山區(qū)校級月考）如果兩個相似三角形對應邊中線之比是1：4，那么它們的對應高之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【分析】先根據(jù)相似三角形的對應中線之比是1：4得出其相似比，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵兩個相似三角形的對應中線之比是1：4，∴其相似比等于1：4，∴它們的對應高之比是1：4．故選：B．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形對應中線的比和對應高的比的比等于相似比是解答此題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題）5．（2021秋?浦東新區(qū)校級期末）已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是，BE、B1E1分別是對應角的角平分線，且BE＝12，則B1E1＝9．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)周長比等于相似比等于對應角的角平分線的比求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周長與△A1B1C1的周長的比值是，∴相似比為，∴＝，∵BE＝12，∴B1E1＝9，故答案為：9．【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．6．（2021秋?閔行區(qū)期中）已知兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個內(nèi)角分別為65°、37°，則另一個三角形的最大的內(nèi)角度數(shù)為78°．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠D，∠B＝∠E，求出∠D和∠E的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∵∠A＝65°，∠B＝37°，∴∠D＝65°，∠E＝37°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣37°＝78°，即△DEF的最大的內(nèi)角度數(shù)是78°，故答案為：78°．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的對應角相等．7．（2021秋?閔行區(qū)期末）兩個相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，那么另一個三角形對應邊上的高為3厘米．【分析】設(shè)另一個三角形對應邊上的高為x厘米，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出＝，再求出x即可．【解答】解：設(shè)另一個三角形對應邊上的高為x厘米，∵兩個相似三角形的面積之比是9：25，其中較大的三角形一邊上的高是5厘米，∴＝，解得：x＝3，∴另一個三角形對應邊上的高為3厘米，故答案為：3．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：①相似三角形的面積之比等于相似比的平方，②相似三角形的對應高之比等于相似比．8．（2021秋?金山區(qū)校級期中）已知△ABC∽△A1B1C1，頂點A、B、C分別與A1、B1、C1對應，AB：A1B1＝3：2，BE、B1E1分別是它們的對應角平分線，則BE：B1E1＝3：2．【分析】根據(jù)相似三角形對應角平分線的比都等于相似比解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴BE：B1E1＝AB：A1B1＝3：2，故答案為：3：2．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋?楊浦區(qū)期中）已知△ABC∽△DEF，且點D與點A對應，點E與點B對應，若∠A＝50°，∠B＝70°，則∠F＝60度．【分析】根據(jù)相似三角形的對應角相等解得．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°；故答案為：60．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應角相等的應用，三角形內(nèi)角和的應用是解題關(guān)鍵．10．（2020秋?虹口區(qū)期末）已知△ABC∽△A'B'C'，頂點A、B、C分別與頂點A'、B'、C'對應，AD、A'D'分別是BC、B'C'邊上的中線，如果BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，那么A'D'的長是1.6．【分析】利用“相似三角形的周長比等于對應的中線的比”求解即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它們的對應中線，BC＝3，AD＝2.4，B'C'＝2，∴BC：B′C′＝AD：A′D′，∴2.4：A′D′＝3：2，∴A'D'的長是1.6，故答案為：1.6．【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是記住相似三角形的性質(zhì)，靈活運用所學知識解決問題．11．（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，AB、CD都是BD的垂線，AB＝4，CD＝6，BD＝14，P是BD上一點，聯(lián)結(jié)AP、CP，所得兩個三角形相似，則BP的長是2或12或．【分析】分△ABP∽△PDC、△ABP∽△CDP兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程計算即可．【解答】解：設(shè)BP＝x，則PD＝14﹣x，當△ABP∽△PDC時，＝，即＝，解得，x1＝2，x2＝12，當△ABP∽△CDP時，＝，即＝，解得，x＝，綜上所述，當所得兩個三角形相似時，則BP的長為2或12或，故答案為：2或12或．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應邊成比例、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．12．（2021秋?松江區(qū)月考）已知△ABC與△A′B′C′相似，并且點A與點A′、點B與點B′、點C與點C′是對應頂點，其中∠A＝80°∠B′＝60°，則∠C＝40度．【分析】根據(jù)相似三角形對應角相等求出∠B＝∠B′，再利用三角形內(nèi)角和等于180°列式進行計算即可得解．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∠B′＝60°，∴∠B＝∠B′＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°．故答案為：40．【點評】本題考查了相似三角形對應角相等，三角形內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準確找出對應角是解題的關(guān)鍵．13．（2021秋?青浦區(qū)期末）如果兩個相似三角形的周長比為2：3，那么它們的對應高的比為2：3．【分析】根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比可求得其相似比，再根據(jù)對應高線的比等于相似比可得到答案．【解答】解：∵兩個相似三角形的周長比為2：3，∴這兩個相似三角形的相似比為2：3，∴它們的對應高的比為：2：3，故答案為：2：3．【點評】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的周長比、對應高線比等于相似比是解題的關(guān)鍵．14．（2021秋?靜安區(qū)校級期中）在△ABC中，AB＝8，AC＝5，點D為邊AB的中點，點E在邊AC上，如果△ABC∽△ADE，那么AE＝．【分析】當△ABC∽△ADE時，，代入相關(guān)數(shù)值解答．【解答】解：當△ABC∽△ADE時，，∵點D為邊AB的中點，∴AD＝AB＝4，∴，即AE＝．故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一．選擇題（共4小題）1．（2019秋?黃浦區(qū)期末）在△ABC與△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E的度數(shù)是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵∠A＝∠D＝60°，，∴△ABC∽△DFE，∴∠B＝∠F＝50°，∠C＝∠E＝180°﹣60°﹣50°＝70°故選：C．【點評】考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面積的比等于相似比的平方．2．（2018秋?浦東新區(qū)期中）一個三角形的三邊分別為3，4，5，另一個與它相似的三角形中有一條邊長為8，則這個三角形的邊長不可能是（）A． B． C．9 D．10【分析】題干中另一個與它相似的三角形中有一條邊長為8，則其可能與三角形的三邊分別為3，4，5，中邊長為3的對應成比例，也可能也邊長為4的對應成比例，亦有可能與邊長為5的成比例，所以應分開討論．【解答】解：當邊長為8的邊長與三角形的三邊分別為3，4，5，中邊長為3的對應成比例時，則另兩條邊長分別為：，；當與邊長為4的對應成比例時，其另兩條邊長分別為：6，10；當與邊長為5的對應成比例是，其另兩條邊長分別為：，；則這個三角形的邊長不可能是9，故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確分類討論是解題關(guān)鍵．3．（2017秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，直線l平行于BC．現(xiàn)將直線l繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，所得直線分別交邊AB和AC于點M、N，若△AMN與△ABC相似，則旋轉(zhuǎn)角為（）A．20° B．40° C．60° D．80°【分析】若△AMN∽△ACB，則∠AMN＝∠C＝40°，再根據(jù)直線l平行于BC，可得∠ADE＝∠B＝80°，進而得到∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，即可得出旋轉(zhuǎn)角的大?。窘獯稹拷猓喝鐖D，直線l繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，所得直線分別交邊AB和AC于點M、N，若△AMN∽△ACB，則∠AMN＝∠C＝40°，又∵直線l平行于BC，∴∠ADE＝∠B＝80°，∴∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，即直線l旋轉(zhuǎn)前后的夾角為40°，∴旋轉(zhuǎn)角為40°，故選：B．【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題時注意：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．4．（2018秋?楊浦區(qū)期中）如果一個直角三角形的兩條邊分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3、4及x，那么x的值（）A．只有一個 B．可以有2個 C．可以有3個 D．無數(shù)個【分析】由一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形的邊長分別是3和4及x，可得x可能是斜邊或4是斜邊，繼而求得答案．【解答】解：∵一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形的邊長分別是3和4及x，∴x可能是斜邊或4是斜邊，∴x＝5或．∴x的值可以有2個．故選：B．【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與勾股定理，注意掌握相似三角形的對應邊成比例定理的應用．二．填空題（共8小題）5．（2022春?普陀區(qū)校級期中）從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的最美分割線．在△ABC中，∠A＝50°，CD是△ABC的最美分割線．若△ACD為等腰三角形，則∠ACB的度數(shù)為100°或115°．【分析】根據(jù)△ACD為等腰三角形，需要分三種情況討論：①當AD＝CD時，②如當AD＝AC，③當AC＝CD，然后結(jié)合最美分割線的定義，可得△BDC∽△BCA，可以分別求出∠ACB的度數(shù)．【解答】解：①當AD＝AC時，如圖1，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣50°）＝65°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝65°+50°＝115°．②當AD＝CD時，如圖2，∠ACD＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝50°+50°＝100°．③當AC＝CD時，如圖3，∠ADC＝∠A＝50°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ADC＝∠BCD（不合題意）．綜上所述，∠ACB＝100°或115°．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，理解最美分割線的定義是解決本題的關(guān)鍵．6．（2021秋?閔行區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠A＝90°，D是AB邊的中點，點E在直線AC上，且△ADE與△ABC相似，則CE＝2或0.5或6或8.5．【分析】求出AD的長，先畫出符合題意的四種圖形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，求出AE的值，再求出CE即可．【解答】解：∵AB＝6，D為AB的中點，∴AD＝3，有兩種情況：①點E在射線AC上時，有兩種情況：第一種情況：如圖1，此時＝，所以＝，解得：AE＝2，所以CE＝AC﹣AE＝4﹣2＝2；第二種情況：如圖2，此時＝，所以＝，解得：AE＝4.5，所以CE＝AE﹣AC＝4.5﹣4＝0.5；②當E在AC的反向延長線時，有兩種情況：第一種情況：如圖3，此時AE＝2；所以CE＝AC+AE＝4+2＝6；第二種情況：如圖4，此時AE＝4.5，所以CE＝A+AE＝4+4.5＝8.5；故答案為：2或0.5或6或8.5．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，能求出符合的所有情況是解此題的關(guān)鍵．7．（2021秋?閔行區(qū)期中）已知兩個三角形相似，其中一個三角形的兩個內(nèi)角分別為65°、37°，則另一個三角形的最大的內(nèi)角度數(shù)為78°．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠D，∠B＝∠E，求出∠D和∠E的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A＝∠D，∠B＝∠E，∵∠A＝65°，∠B＝37°，∴∠D＝65°，∠E＝37°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣65°﹣37°＝78°，即△DEF的最大的內(nèi)角度數(shù)是78°，故答案為：78°．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的對應角相等．8．（2019秋?黃浦區(qū)期末）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，點D、E分別在邊AB、AC上，且△ADE與△ABC相似，如果AE＝6，那么線段AD的長是8或．【分析】分類討論：當△ADE∽△ABC和當△AED∽△ABC，根據(jù)相似的性質(zhì)得出兩種比例式進而解答即可．【解答】解：如圖∵∠DAE＝∠BAC，∴當△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AD＝8，∴當△AED∽△ABC，∴，即，解得：AD＝，故答案為：8或【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．9．（2019?徐匯區(qū)校級自主招生）已知，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，點D、E分別在邊AC、AB上，且AD＝2．當△ADE∽△ACB時，AE＝．【分析】根據(jù)相似三角形對應邊成比例解答即可．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得AE＝．故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，在解答此類題目時要找出對應的角和邊．10．（2018?徐匯區(qū)二模）從三角形（非等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，該頂點與該交點間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果其中一個小三角形是等腰三角形，另一個與原三角形相似，那么我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線，如圖，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，則CD的長為．【分析】設(shè)AB＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可解決問題．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，∴，設(shè)AB＝x，∴22＝x，∵x＞0，∴x＝4，∴AC＝AD＝4﹣1＝3，∵△BCD∽△BAC，∴，∴CD＝．故答案為：【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是利用△BCD∽△BAC解答．11．（2010秋?寶山區(qū)期中）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB邊的中點，P是BC邊上一動點（點P不與B、C重合），若以D、C、P為頂點的三角形與△ABC相似，則線段PC＝4或．【分析】由Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB邊的中點，即可求得AB與CD的值，又由以D、C、P為頂點的三角形與△ABC相似，可得∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得PC的值．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB邊的中點，∴CD＝BD＝AB＝5，∵以D、C、P為頂點的三角形與△ABC相似，∴∠DPC＝90°或∠CDP＝90°，（1）若∠DPC＝90°，則DP∥AC，∴＝，∴BP＝BC＝4，則PC＝4；（2）若∠CDP＝90°，則△CDP∽△BCA，∴，即，∴PC＝．∴PC＝4或．【點評】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的對應邊成比例定理的應用與數(shù)形結(jié)合思想的應用．12．（2017秋?黃浦區(qū)期末）已知△ABC∽△DEF，其中頂點A、B、C分別對應頂點D、E、F，如果∠A＝40°，∠E＝60°，那么∠C＝80度．【分析】利用相似三角形的性質(zhì)求出∠B的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題；【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴∠B＝∠E＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°故答案為80；【點評】本題考查相似三角形的性質(zhì)、內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共2小題）13．（2009秋?南匯區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°；點P是射線AD上的一個動點（與點A不重合），BP與AC相交于點E，設(shè)AP＝x．（1）求AC的長；（2）如果△ABP和△BCE相似，請求出x的值；（3）當△ABE是等腰三角形時，求x的值．【分析】（1）過點A作AF⊥BC于F，在直角△ABF中運用三角函數(shù)即可求得AF的長，再在直角△ACF中，根據(jù)勾股定理即可求解；（2）過點P作PG⊥BC于G，在直角△BPG中，根據(jù)勾股定理即可求得：BP．根據(jù)相似三角形對應邊的比相等即可求得x的值；（3）當△ABE是等腰三角形時，應分為，AE＝AB，BE＝AB，AB＝AE（根據(jù)∠BAE是直角，可得這種情況不可能）幾種情況討論．【解答】解：（1）過點A作AF⊥BC于F．在Rt△AFB中，∠AFB＝90°，∠ABF＝60°∴AF＝ABsin∠ABF＝4si