專(zhuān)題05線段的數(shù)量和位置關(guān)系的探究題-中考數(shù)學(xué)壓軸大題專(zhuān)項(xiàng)突破

專(zhuān)題05線段的數(shù)量和位置關(guān)系的探究題線段的數(shù)量關(guān)系一般是指線段的相等、和差關(guān)系、乘積關(guān)系和比例關(guān)系，線段的位置關(guān)系一般是指平行關(guān)系、垂直關(guān)系和夾角問(wèn)題。線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的探究題，一般通過(guò)以下方式求解：（1）通過(guò)證明三角形全等或者三角形相似，再根據(jù)全等三角形或相似三角形的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)轉(zhuǎn)化可以求解。（2）通過(guò)利用勾股定理和直角三角形的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量與位置關(guān)系。（3）通過(guò)證明或者構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和三線合一的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量與位置關(guān)系。（4）通過(guò)證明或構(gòu)造平行四邊形或特殊的平行四邊形，利用平行四邊形或特殊的平行四邊形的性質(zhì)，得到線段的數(shù)量與位置關(guān)系。 （2022·遼寧朝陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）【思維探究】如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝AD，連接AC．求證：BC+CD＝AC．(1)小明的思路是：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE＝BC，連接AE．根據(jù)∠BAD+∠BCD＝180°，推得∠B+∠ADC＝180°，從而得到∠B＝∠ADE，然后證明ADE≌ABC，從而可證BC+CD＝AC，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．(2)【思維延伸】如圖2，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，連接AC，猜想BC，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)【思維拓展】在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD＝，AC與BD相交于點(diǎn)O．若四邊形ABCD中有一個(gè)內(nèi)角是75°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段OD的長(zhǎng)．（1）如圖1中，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．證明△ADE≌△ABC（SAS），推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等邊三角形，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：CB+CD=AC．如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．證明△AMD≌△ANB（AAS），推出DM=BN，AM=AN，證明Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），推出CM=CN，可得結(jié)論；（3）分兩種情形：如圖31中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．如圖32中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，分別求解即可．【答案】(1)AC=BC+CD；理由見(jiàn)詳解；(2)CB+CD=AC；理由見(jiàn)詳解；(3)或【詳解】（1）證明：如圖1中，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使DE=BC，連接AE．∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADE+∠ADC=180°∴∠B=∠ADE，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴∠DAE=∠BAC，AE=AC，∴∠CAE=∠BAD=60°，∴△ACE的等邊三角形，∴CE=AC，∵CE=DE+CD，∴AC=BC+CD；（2）解：結(jié)論：CB+CD=AC．理由：如圖2中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于點(diǎn)M，AN⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠CDA+∠CBA=180°，∵∠ABN+∠ABC=180°，∴∠D=∠ABN，∵∠AMD=∠N=90°，AD=AB，∴△AMD≌△ANB（AAS），∴DM=BN，AM=AN，∵AM⊥CD，AN⊥CN，∴∠ACD=∠ACB=45°，∴AC=CM，∵AC=AC．AM=AN，∴Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM=CN，∴CB+CD=CNBN+CM+DM=2CM=AC；（3）解：如圖31中，當(dāng)∠CDA=75°時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥CB于點(diǎn)P，CQ⊥CD于點(diǎn)Q．∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD=CB，∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴，∴，∵AB=AD=，∠DAB=90°，∴BD=AD=2，∴OD=．如圖32中，當(dāng)∠CBD=75°時(shí)，同法可證，，綜上所述，滿足條件的OD的長(zhǎng)為或．本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線．(1)如圖1，點(diǎn)E、F分別是線段BD、AD上的點(diǎn)，且DE＝DF，AE與CF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，則AE與CF的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是；(2)如圖2，點(diǎn)E、F分別在DB和DA的延長(zhǎng)線上，且DE＝DF，EA的延長(zhǎng)線交CF于點(diǎn)M．①（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②連接DM，求∠EMD的度數(shù)；③若DM＝6，ED＝12，求EM的長(zhǎng)．（1）證明△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，由直角三角形的性質(zhì)證出∠EMC＝90°，則可得出結(jié)論；（2）①同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AE＝CF，∠E＝∠F，則可得出結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，證明△DEG≌△DFH（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出DG＝DH，由角平分線的性質(zhì)可得出答案；③由等腰直角三角形的性質(zhì)求出GM的長(zhǎng)，由勾股定理求出EG的長(zhǎng)，則可得出答案．【答案】(1)AE＝CF，AE⊥CF(2)①成立，理由見(jiàn)解析；②45°；③6+6【詳解】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分線，∴AD＝BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADE＝∠CDF＝90°，又∵DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DAE+∠DEA＝90°，∴∠DCF+∠DEA＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF．故答案為：AE＝CF，AE⊥CF；（2）①（1）中的結(jié)論還成立，理由：同（1）可證△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠E＝∠F，∵∠F+∠ECF＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∴∠EMC＝90°，∴AE⊥CF；②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AE于點(diǎn)G，DH⊥CF于點(diǎn)H，∵∠E＝∠F，∠DGE＝∠DHF＝90°，DE＝DF，∴△DEG≌△DFH（AAS），∴DG＝DH，又∵DG⊥AE，DH⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC＝90°，∴∠EMD＝∠EMC＝45°；③∵∠EMD＝45°，∠DGM＝90°，∴∠DMG＝∠GDM，∴DG＝GM，又∵DM∴DG＝GM＝6，∵DE＝12，∴EG＝∴EM＝GM+EG＝6+6．本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（2022·遼寧錦州·中考真題）在中，，點(diǎn)D在線段上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，過(guò)點(diǎn)E作，交直線于點(diǎn)F．(1)如圖1，若，請(qǐng)用等式表示與的數(shù)量關(guān)系：____________．(2)如圖2．若，完成以下問(wèn)題：①當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請(qǐng)用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)F位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，先證明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì)，即可求出答案；（2）①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，與（1）同理，證明△EDF≌△CDH，然后證明是等腰直角三角形，即可得到結(jié)論；②過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．【答案】(1)(2)①；②或；【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，如圖，∵，∴，∵，，∴△EDF≌△CDG，∴；∵在中，，，∴，∴，∴；故答案為：；（2）解：①過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于H，如圖，與（1）同理，可證△EDF≌△CDH，∴，∴，在中，，，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于G，與（1）同理可證，△EDF≌△CDG，∴，∵，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)A、D之間時(shí)，有∴，與①同理，可證是等腰直角三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)A、F之間時(shí)，如圖：∴，與①同理，可證是等腰直角三角形，∴；綜合上述，線段的長(zhǎng)為或．本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確的作出輔助線，正確得到三角形全等．1．（2022·遼寧大連·?？寄M）在中，在上，且．(1)如圖，若，，求的長(zhǎng)度．(2)如圖，作于，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，作于，探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(3)如圖，作于，，，探究與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)(2)，證明見(jiàn)解析(3)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意證明即可得到，再結(jié)合題意即可解答；（2）連接，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；（3）根據(jù)題意證明四邊形是平行四邊形，可得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證明，可得，進(jìn)而證明即可得到解答．【詳解】（1），，，，，，，，；（2），證明：連接，，，，，又，，，，，，，，，，，；（3）．證明：，，四邊形是平行四邊形，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，，，，，，，，，，，，在和中，．2．（2022·四川南充·南充市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M）如圖，已知點(diǎn)E是射線上的一點(diǎn)，以、為邊作正方形和正方形，連接，取的中點(diǎn)M，連接、．(1)如圖1，判斷線段和的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)如圖2，在圖中的正方形繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？說(shuō)明理由；(3)已知，正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)A、F、E共線時(shí)，直接寫(xiě)出的面積．【答案】(1)，(2)結(jié)論成立：，(3)滿足條件的的面積為20或34．【分析】（1）延長(zhǎng)交于H，證明，得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到答案；（2）如圖2中，延長(zhǎng)使得，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于N，交于O．利用全等三角形的性質(zhì)，想辦法證明是等腰直角三角形即可；（3）分兩種情形根據(jù)題意畫(huà)出完整的圖形，利用勾股定理解決問(wèn)題即可．【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)交于H，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，，故答案為：，；（2）解：結(jié)論成立：，，理由：如圖2中，延長(zhǎng)使得，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于N，交于O．∵，，∴，∴，，∴，∴，

∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴；（3）①如圖31中，連接．在中，，在中，，∴，∴，在中，，∴；②如圖32中，連接．同法可得，，∴，綜上所述，滿足條件的的面積為20或34．3．（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在中，點(diǎn)G是射線CB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)CA到D，使得，過(guò)點(diǎn)D作，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接交CD于點(diǎn)F．(1)①如圖1，當(dāng)時(shí)，EF與FG之間的數(shù)量關(guān)系是___________；②如圖2，當(dāng)，，點(diǎn)G在射線CB上移動(dòng)時(shí)，EF與FG之間的數(shù)量關(guān)系是否與①中的數(shù)量關(guān)系相同，若相同，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不相同，請(qǐng)求出新的數(shù)量關(guān)系；(2)設(shè)三邊的長(zhǎng)分別為，，，其中，當(dāng)點(diǎn)G在射線CB上移動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出EF與FG之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①，②不相同，(2)【分析】（1）①結(jié)論：．證明是等邊三角形，推出，利用平行線分線段成比例定理證明即可；②數(shù)量關(guān)系不同．結(jié)論：．相似三角形的性質(zhì)證明即可；（2）結(jié)論：．利用相似三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】（1）解：結(jié)論：．理由：如圖1中，∵，∴，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：；與之間有新的數(shù)量關(guān)系：．理由如下：∵，∴．∴．∵，，∴．∵，∴∵，∴．∴．∴．（2）解：結(jié)論：.理由：∵，∴，∴，設(shè)，∵，∴．4．（2022·浙江嘉興·一模）如圖1，已知正方形和正方形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，，．連接．(1)求圖1中、的長(zhǎng)（用含m的代數(shù)式表示）．(2)如圖2，正方形固定不動(dòng)，將圖1中的正方形繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（），試探究、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)如圖3，在（2）條件下，當(dāng)點(diǎn)A，F(xiàn)，E在同一直線上時(shí)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，若，求m的值．【答案】(1)BG=，AF＝(2)AF=BG(3)【分析】（1）延長(zhǎng)FG交AB于H，在Rt△BCG中，由勾股定理，求BG的長(zhǎng)，在Rt△AHG中，由勾股定理，求AF的長(zhǎng)；（2）連接AC、CF，在等腰Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=BC，在等腰Rt△FGC中，由勾股定理，得CF=CG，則，從而可證△ACF∽△BCG，得，即可得出結(jié)論；（3）連接AC，證明△AHF∽△CHA，得，又由正方形，EF=CE=1，可求得CF=，即從而求得CH=CF+FH=+=2，代入得，即可求得AH=2，DH=ADAG=m2，然后在Rt△CDH中，由勾股定理，得，即求解即可．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)FG交AB于H，如圖1，∵正方形和正方形，點(diǎn)B、C、E在同一直線上，∴∠ABC=∠BCD=∠CGD=∠CGH=90°，AB=BC=m，CG=GF=CE=1，在Rt△BCG中，由勾股定理，得；∴∠BHG=90°，∴四邊形BCGH是矩形，∠AHG=90°，∴GH=BC=m，BH=CG=1，∴AH=m1，在Rt△AHG中，由勾股定理，得；（2）解：連接AC、CF，如圖2，∵正方形和正方形，∴∠ACB=∠FCG=45°，∴∠ACB+∠ACG=∠FCG+∠ACG，∴∠BCG=∠ACF，在等腰Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=BC，在等腰Rt△FGC中，由勾股定理，得CF=CG，∴，∴△ACF∽△BCG，∴，即AF=BG；（3）解：連接AC，如圖3，∵正方形和正方形，∴∠CAD=∠CFE=45°，CD=AD=BC=m，∵∠CFE=∠CAF+∠ACF，∠CAD=∠CAF+∠FAH，∴∠FAH=∠ACF，∵∠AHF=∠CHA，∴△AHF∽△CHA，∴，∵正方形，EF=CE=1，∴CF=，∴CH=CF+FH=+=2，∴，∴AH=2，∴DH=ADAG=m2，在Rt△CDH中，由勾股定理，得，即解得：，(不符合題意，舍去)．∴m的值為．5．（2022·北京海淀·?？既＃┤鐖D，在中，，，是的中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平移到，線段的中垂線與線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接、．(1)連接，求證：；(2)依題意補(bǔ)全圖形，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)圖見(jiàn)解析，結(jié)論：，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；（2）圖形如圖所示，結(jié)論：，想辦法證明即可．【詳解】（1）證明：連接．，，，，；（2）解：圖形如圖所示，結(jié)論：．理由：連接，，取的中點(diǎn)，連接，，．點(diǎn)在的垂直平分線上，，，，，，四邊形，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，四邊形四點(diǎn)共圓，，，，，，四點(diǎn)共圓，，，．6．（2022·山東濟(jì)南·濟(jì)南育英中學(xué)?？寄M）如圖，在與中，，，點(diǎn)D