第12講實(shí)數(shù)（5種題型）（原卷版）

第12講實(shí)數(shù)（5種題型）【知識(shí)梳理】一、有理數(shù)與無(wú)理數(shù)有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都稱為有理數(shù).無(wú)限不循環(huán)小數(shù)又叫無(wú)理數(shù).要點(diǎn)：（1）無(wú)理數(shù)的特征：無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限.無(wú)理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式.（2）常見的無(wú)理數(shù)有三種形式：①含類.②看似循環(huán)而實(shí)質(zhì)不循環(huán)的數(shù)，如：1.313113111…….③帶有根號(hào)的數(shù)，但根號(hào)下的數(shù)字開方開不盡，如.二、實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù).1.實(shí)數(shù)的分類按定義分：實(shí)數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實(shí)數(shù)2.實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的關(guān)系我們嘗試用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示．由前面的學(xué)習(xí)，我們知道兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形可以拼成一個(gè)面積為2的正方形ABCD，它的邊長(zhǎng)為．觀察正方形ABCD，可知它的一邊是一個(gè)直角三角形的斜邊，這個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)都是1．這樣，就在數(shù)軸上確定一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示．要點(diǎn)：每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，而且這些點(diǎn)是唯一的；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。3.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大?、儇?fù)數(shù)小于0,0小于正數(shù)；兩個(gè)正數(shù)絕對(duì)值大的數(shù)較大，兩個(gè)負(fù)數(shù)絕對(duì)值大的數(shù)較??；從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)比左邊的大。②數(shù)軸上，如果點(diǎn)A,點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b，那么A,B兩點(diǎn)的距離4.估算：怎樣估算無(wú)理數(shù)(①誤差小于1)？(②誤差小于0.1)？誤差小于0.1就是指估算出來(lái)的值與準(zhǔn)確值之間的差的絕對(duì)值小于0.1.估算無(wú)理數(shù)的方法是： （1）通過(guò)平方運(yùn)算，采用“夾逼法”，確定真正值所在范圍；（2）根據(jù)問(wèn)題中誤差允許的范圍內(nèi)取出近似值。（3）“精確到”與“誤差小于”意義不同。如精確到1m是四舍五入到個(gè)位，答案惟一；誤差小于1m，答案在真正值左右1m都符合題意，答案不惟一。在本章中誤差小于1m就是估算到個(gè)位，誤差小于10m就是估算到十位。記憶常用數(shù)的近似值：≈1.414≈1.732≈2.236【考點(diǎn)剖析】題型一．實(shí)數(shù)例1、指出下列各數(shù)中的有理數(shù)和無(wú)理數(shù)：【變式1】（2022?樂(lè)清市開學(xué)）給出四個(gè)實(shí)數(shù)，3.14，0，，其中無(wú)理數(shù)是（）A． B．3.14 C．0 D．【變式2】在下列語(yǔ)句中：①無(wú)理數(shù)的相反數(shù)是無(wú)理數(shù)；②一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是非負(fù)數(shù)；③有理數(shù)比無(wú)理數(shù)小；④無(wú)限小數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)．其中正確的是（）A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④【變式3】把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相鄰兩個(gè)3之間7的個(gè)數(shù)逐次增加1）…有理數(shù)集合…無(wú)理數(shù)集合【變式4】判斷正誤，在后面的括號(hào)里對(duì)的用“√”，錯(cuò)的記“×”表示，并說(shuō)明理由.

(1)無(wú)理數(shù)都是開方開不盡的數(shù).()

(2)無(wú)理數(shù)都是無(wú)限小數(shù).()

(3)無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù).()

(4)無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、零、負(fù)無(wú)理數(shù).()

(5)不帶根號(hào)的數(shù)都是有理數(shù).()

(6)帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù).()

(7)有理數(shù)都是有限小數(shù).()

(8)實(shí)數(shù)包括有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù).()

題型二．實(shí)數(shù)的性質(zhì)例2．若有一個(gè)實(shí)數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．【變式1】．的相反數(shù)是．【變式2】在電視臺(tái)一檔互動(dòng)節(jié)目中，主持人問(wèn)這樣一道題目：“a是最小的正整數(shù)，b是最大的負(fù)整數(shù)，c是絕對(duì)值最小的實(shí)數(shù)，d是倒數(shù)是它本身的數(shù)，”請(qǐng)問(wèn)：a﹣b+c+d＝．【變式3】已知a、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，|m|＝2，且m＜0；（1）求2a﹣（cd）2018+2b﹣3m的值．（2）若＝m，c＝，求b﹣4d+m的值．題型三、實(shí)數(shù)與數(shù)軸例3．如圖，順次連結(jié)4×4方格四條邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)正方形ABCD．設(shè)每一個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位．（1）正方形ABCD的邊長(zhǎng)介于哪兩個(gè)相鄰的整數(shù)之間，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如果把正方形ABCD放到數(shù)軸上，使得邊AB與數(shù)軸重合，且點(diǎn)A與數(shù)軸的原點(diǎn)重合，數(shù)軸的單位長(zhǎng)度就是小方格的邊長(zhǎng)．請(qǐng)寫出點(diǎn)B在數(shù)軸上所表示的數(shù)．【變式1】如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．【變式2】如圖，實(shí)數(shù)﹣1在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能是（）A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn)【變式3】定義：有A、B兩只電子跳蚤在同一條數(shù)軸上跳動(dòng)，它們?cè)跀?shù)軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a、b．若實(shí)數(shù)a、b滿足b＝3a+2時(shí)，則稱A、B處于“和諧位置”，A、B之間的距離為“和諧距離”．（1）當(dāng)A在原點(diǎn)位置，且A、B處于“和諧位置”時(shí)，“和諧距離”為．（2）當(dāng)A、B之間的“和諧距離”為2022時(shí)，求a、b的值．【變式4】設(shè)a，b在數(shù)軸上表示的實(shí)數(shù)到原點(diǎn)的距離相等，且位于原點(diǎn)的兩側(cè)，c，d互為倒數(shù)，e的絕對(duì)值為3，請(qǐng)求出下列代數(shù)式的值：5a+5b﹣+e．【變式5】數(shù)軸是一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)工具，它使實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，揭示了數(shù)與點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，它是“數(shù)形結(jié)合”的基礎(chǔ)．【閱讀理解】|3﹣1|表示3與1的差的絕對(duì)值，也可理解為3與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；同理|x﹣1|可以理解為x與1兩數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到﹣1的距離．（1）【嘗試應(yīng)用】①數(shù)軸上表示﹣4和2的兩點(diǎn)之間的距離是（寫出最后結(jié)果）；②若|x﹣（﹣2）|＝3，則x＝；（2）【動(dòng)手探究】小明在草稿紙上畫了一條數(shù)軸，并折疊紙面，若表示2的點(diǎn)與表示﹣4的點(diǎn)重合．①則表示10的點(diǎn)與表示的點(diǎn)重合；②這時(shí)如果A，B（A在B的左側(cè)）兩點(diǎn)之間的距離為2022，且A，B兩點(diǎn)經(jīng)過(guò)折疊后重合，則A表示的數(shù)是，B表示的數(shù)是；③若點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b（A在B的左側(cè)），且A，B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后剛好重合，那么a與b之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）【拓展延伸】①當(dāng)x＝時(shí)，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是；②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是5，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是．題型四、實(shí)數(shù)大小比較例4.實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則，1，0的大小順序是（）A． B． C． D．0＜1且1和的大小無(wú)法確定【變式1】若|x﹣y|﹣|x﹣z|＝|y﹣z|，則實(shí)數(shù)x、y、z之間的大小關(guān)系可能為（）A．x＞y＞z B．z＞y＞x C．y＞x＞z D．x＞z＞y【變式2】請(qǐng)用符號(hào)“＜”將下面實(shí)數(shù)﹣32，，﹣3連接起來(lái)．【變式3】已知a，b，c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，且|a|＝|b|；（1）根據(jù)數(shù)軸判斷：a+b0，c﹣b0．（填＞，＜，＝）（2）|c﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|+|c﹣1|．題型五、估算無(wú)理數(shù)的大小例5.如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)A，B，C，D，E分別對(duì)應(yīng)的數(shù)是1，2，3，4，5，那么表示的點(diǎn)應(yīng)在（）A．線段AB上 B．線段BC上 C．線段CD上 D．線段DE上【變式1】絕對(duì)值小于的整數(shù)有個(gè)．【變式3】如果一個(gè)正方形ABCD的面積為69．（1）求正方形ABCD的邊長(zhǎng)a．（2）正方形ABCD的邊長(zhǎng)滿足m＜a＜n，m，n表示兩個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，求m，n的值．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?嘉興期末）在實(shí)數(shù)3.14，，，中，屬于無(wú)理數(shù)的是（）A．3.14 B． C． D．2．（2022秋?鄞州區(qū)期末）若整數(shù)a滿足，則整數(shù)a是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2022秋?西湖區(qū)校級(jí)期中）下列結(jié)論正確的是（）A．5的絕對(duì)值是﹣5 B．任何實(shí)數(shù)都有倒數(shù) C．任何實(shí)數(shù)都有相反數(shù) D．﹣2的倒數(shù)是4．（2022秋?新昌縣期末）若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則a，b，c，d這四個(gè)實(shí)數(shù)中最大的是（）A．a(chǎn) B．b C．c D．d5．（2022秋?金華期末）若正數(shù)x滿足x2＝18，則下列整數(shù)中與x最接近的是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022秋?南潯區(qū)期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之間 B．0到1之間 C．1到2之間 D．2到3之間7．（2021秋?南潯區(qū)期末）下列關(guān)于的說(shuō)法中，正確的是（）A．是有理數(shù) B．是2的算術(shù)平方根 C．不是實(shí)數(shù) D．不是無(wú)理數(shù)8．（2021秋?溫州期中）若有一個(gè)實(shí)數(shù)為，則它的相反數(shù)為（）A． B． C． D．9．（2022秋?拱墅區(qū)期末）如圖，面積為5的正方形ABCD的頂點(diǎn)A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為1，若點(diǎn)E在數(shù)軸上，（點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)）且AB＝AE，則E點(diǎn)所表示的數(shù)為（）A． B． C． D．10．（2020秋?鄞州區(qū)期末）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示．若實(shí)數(shù)b滿足﹣a＜b＜a，則b的值可以是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2二．填空題（共8小題）11．（2022秋?慈溪市期末）比較大?。?．（填“＞”，“＝”或“＜”）12．（2022秋?義烏市校級(jí)期中）比較大?。?.5（填“＞”、“＜”或“＝”）．13．（2022秋?嘉興期末）如圖，已知數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)﹣1和，則A、B兩點(diǎn)間的距離為．14．（2022秋?杭州期中）＝，1﹣π的相反數(shù)是．15．（2023春?宣恩縣校級(jí)期中）比較大?。憨仸些?.14（選填“＞”、“＝”、“＜”）．16．（2020秋?舟山期中）請(qǐng)寫出一個(gè)大于﹣4而小于﹣3的無(wú)理數(shù)．17．（2022秋?越城區(qū)期中）設(shè)n為正整數(shù)，且，則n的值為．18．（2022秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）已知7+的整數(shù)部分是m，的小數(shù)部分是n，則m+n＝．三．解答題（共5小題）19．（2022秋?濱江區(qū)校級(jí)期中）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)，并把這些數(shù)按從小到大順序進(jìn)行排列，用“＜”連接；π，4，﹣1.5，0，﹣（不要求精確表示）20．（2022秋?北侖區(qū)期中）如圖，一只螞蟻從A點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右直爬2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示﹣，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m，（1）求m的值．（2）求|m﹣3|+m+2的值．21．（2022秋?麗水期中）把下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的橫線上：①﹣3.14，②2π，③﹣，④0.618，⑤﹣，⑥0，⑦﹣1，⑧+3，⑨，⑩﹣0.030030003……（每相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐漸多1）．整數(shù)集合：{……}；分?jǐn)?shù)集合：{……}；無(wú)理數(shù)集合：{……}．22．（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期中）已知4的算術(shù)平方根是2a﹣1，3a+b﹣1的平方根是±3，c是的整數(shù)部分．（1）求a，b，c的值；（2）求a+b﹣2c的平方根．23．（2023春?鶴峰縣期中）