專題15勾股定理及兩點間的距離公式（知識精講綜合訓練）

章節(jié)復習知識精講與綜合訓練專題15勾股定理及兩點間的距離公式知識精講知識精講知識點01直角三角形全等的判定圖形定理符號如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：H.L）在中，，【典例分析】1．滿足下列條件的中，不是直角三角形的為（

）A． B．C． D．【答案】．C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及角的度數(shù)對各選項進行逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵，且，∴，是直角三角形，不符合題意；B、∵，則設，∵，∴，∴∴，是直角三角形，不符合題意；C、∵，∴設，∴，不是直角三角形，正確；D、由得，是直角三角形，不符合題意；故選：C【點睛】此題主要考查了直角三角形的判定方法，靈活運用直角三角形的定義及勾股定理的逆定理是解決問題的關鍵．2．等邊中，，于點、是的中點，點在線段上運動，則取得最小值時，的長為（

）A．1 B． C． D．【答案】．B【分析】因為點關于直線的對稱點為點，所以連接，與的交點即為點F，此時最小，且此時有，再通過等邊三角形的性質和勾股定理即可求得的長度，從而即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，與的交點即為點F，是等邊三角形，且，點和點關于直線對稱，，且此時最小，是等邊三角形，且是的中點，，，，在中，，，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱、等邊三角形的性質、兩點之間線段最短等知識點，解題的關鍵是找到取得最小值時點所在的位置．3．如圖，中，，平分，交于點，，，，則的長為（）A．2.4 B．3 C．3.6 D．4【答案】．B【分析】過點D作，垂足為E，證明，從而求出，然后利用勾股定理即可解答．【詳解】解：過點D作，垂足為E，∵平分，交于點，，，∴，在和中，∴∴，∴，設，則，在中，，即，解得：故選：B．【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等三角形得的判定和性質，勾股定理，據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．知識點02勾股定理的證明及應用勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方．利用勾股定理往往構造方程，已達到解決問題的目的；應用勾股定理解決實際問題，要注意分析題目的條件，關注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根據(jù)所給的三邊條件，建立方程，從而解決問題；如果問題中沒有直角三角形，可以通過添加輔助線構造出直角三角形，尋求等量關系，再根據(jù)勾股定理建立相應的方程，因此，在解決直角三角形中有關邊長的問題時，要靈活的運用方程的思想．【典例分析】4．如圖，，，，，則四邊形的面積為（

）A．48 B．60 C．36 D．72【答案】．C【分析】連接，過點作于點，勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質得出，在中，勾股定理求得，進而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，∵，，，∴，∵，，∴，在中，∴四邊形的面積為，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．5．如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個正方形，面積分別為．若，則=（）A．183 B．87 C．119 D．81【答案】．B【分析】連接，根據(jù)勾股定理可得，即，即可求解．【詳解】解：連接，根據(jù)勾股定理可得，即，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)直角的信息提示，作出輔助線，構造出直角三角形，是解題的關鍵．知識點03勾股定理的逆定理的證明及應用1、逆定理：如果三角形一條邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形；利用逆定理來判斷三角形是否為直角三角形．在直角三角形的三邊中，首先弄清楚哪條邊是斜邊，另外應用逆定理時，最大邊的平方和等于較小兩邊的平方和．【典例分析】6．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點B離點C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．10【答案】．A【分析】分三種情況討論：把左側面展開到水平面上，連結AB；把右側面展開到正面上，連結AB，；把向上的面展開到正面上，連結AB；然后利用勾股定理分別計算各情況下的AB，再進行大小比較．【詳解】把左側面展開到水平面上，連結AB，如圖1把右側面展開到正面上，連結AB，如圖2把向上的面展開到正面上，連結AB，如圖3∵∴∴需要爬行的最短距離為25cm故選：A．【點睛】本題考查了平面展開及其最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構造直角三角形解決問題．7．如圖，高速公路上有A、B兩點相距25km，C、D為兩村莊，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個服務站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則AE的長是（）km．A．5 B．10 C．15 D．25【答案】．C【分析】根據(jù)題意設出AE的長為x，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設AE＝x，則BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由題意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．所以，E應建在距A點15km處．故選：C．【點睛】本題考查正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵．知識點04兩點間的距離公式1、①數(shù)軸上兩點A、B分別表示實數(shù)m、n，則AB的距離為.②距離公式：如果平面內有兩點、，則A、B兩點間的距離為：．當、兩點同在軸上或平行于軸的直線上，則有，AB=；當、兩點同在軸上或平行于軸的直線上，則有，AB=．【典例分析】8．如圖圖中，不能用來證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】．D【分析】根據(jù)圖形的面積得出a，b，c的關系，即可證明勾股定理，分別分析得出即可．【詳解】A，B，C都可以利用圖形面積得出a，b，c的關系，即可證明勾股定理；故A，B，C選項不符合題意；D、不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項正確．故選D．【點睛】此題主要考查了勾股定理的證明方法，根據(jù)圖形面積得出是解題關鍵．9．如圖，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，黑、白兩個甲殼蟲同時從點A出發(fā)，以相同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA1→A1D1→……，白甲殼蟲爬行的路線是AB→BB1→……，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n＋2與第n條棱所在的直線必須是既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)）．那么當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2018條棱分別停止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是（

）A．0 B． C． D．1【答案】．B【分析】根據(jù)爬行規(guī)則找出黑、白兩個甲殼蟲爬行規(guī)律，推導出爬行完第2018條棱黑、白兩個甲殼蟲所處的頂點位置.【詳解】根據(jù)爬行規(guī)則，黑、白兩個甲殼蟲爬行軌跡如下圖：從圖中發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)周期為6條棱……2,即黑棋子在D1處，白棋子在B1處，它們之間的距離為線段D1B1的長,由勾股定理得：D1B1=

，故選B【點睛】本題考查猜想與找規(guī)律，勾股定理.10．如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形拼成一個大的正方形，是我國古代數(shù)學的驕傲，巧妙地利用面積關系證明了勾股定理.已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長為（

）A．5 B． C．4 D．3【答案】．B【分析】根據(jù)大正方形面積等于4個三角形面積與小正方形面積和即可求解．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，∴S△=，大正方形的面積為：4S△+小正方形面積=4×3＋1＝13，所以大正方形的邊長為．故選B．【點睛】本題考查勾股弦圖的應用，算術平方根，掌握勾股弦圖的應用，算術平方根是解題關鍵綜合訓練綜合訓練一、單選題1．如圖，在中，，以點為圓心，小于的長為半徑作弧，分別交，于，兩點；再分別以點，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點，作射線交于點.若的面積為9，，，則的面積為（

）A．12 B．15 C．24 D．302．如圖，點在等邊的邊上，，射線，垂足為點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當?shù)闹底钚r，，則的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．如圖，在四邊形中，，，點是邊上一點，，，．下列結論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗證勾股定理．其中正確的結論個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．下列條件下，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．5．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個相同的直角三角形，，，，按如圖中的規(guī)律擺放．動點從原點出發(fā)，第一次運動到，第二次運動到，第三次運動到，…，按這樣的運動規(guī)律，動點第101次運動到點的坐標為（

）A． B． C． D．6．如圖，在等腰三角形中，，點為外一點，連接交于點，連接，若，，則線段的長度為（

）A．12 B．13 C．15 D．177．如圖，在中，是高，是角平分線，是中線，與交于點M，與交于點N，下面說法正確的有（

）①；②；③；④若，則．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③8．如圖，在中，，是的角平分線，點在上，過點作于點，延長至，使，連接交于點，平分，交的延長線于點，連接，，，若．有下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④二、填空題9．如圖，在中，點在邊上，且滿足，當，，，_______________．10．如圖，在桌面上的長方體中，長為8米，寬為6米，高為4米，點在棱上，且．一只螞蟻從點出發(fā)沿長方體的表面爬到點，則它爬行的最短路程為______米．11．如圖，在中，，，過點B作于E，于D，，，的周長為_______．12．如圖，中，，平分，為邊上的點，連接，．下列結論：①；②；③；④．其中一定正確的結論有___________．（填寫序號即可）13．在平面直角坐標系中，點A的坐標是，點B在x軸的負半軸上且，點P與點O關于直線對稱，在y軸上找到一點，使的值最小，則這個最小值為_______．14．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點，已知，是兩格點，如果也是圖中的格點，且使得為等腰直角三角形，則符合條件的點有_____個．15．如圖所示，、分別為軸、軸上的點，為等邊三角形，點在第一象限內，且滿足，則的值______．16．如圖，將沿折疊，使頂點C恰好落在邊上的點M處，點D在上，點P在線段上移動，若，則周長的最小值為________．三、解答題17．如圖，筆直的公路上A、兩點相距，、為兩村莊，于點A，于點，已知，，現(xiàn)在要在公路的段上建一個土特產(chǎn)品收購站，使得、兩村到收購站的距離相等，則收購站應建在離A點多遠處？18．【知識生成】我們知道，通過不同方法表示同一圖形的面積，可以探求相應的等式．2002年8月在北京召開的國際數(shù)學大會會標如圖1所示，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．(1)圖中陰影部分的面積用兩種方法可分別表示為_________、________；(2)你能得出的a、b、c之間的數(shù)量關系是_______（等號兩邊需化為最簡形式）．(3)【知識應用】一直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則其斜邊長為______．(4)【知識遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應的等式．如圖2表示的是一個棱長為x的正方體挖去一個小長方體后重新拼成一個新長方體，請你根據(jù)圖2中圖形的變化關系，以整式乘法形式寫出一個代數(shù)恒等式______．19．如圖，中，，，點是斜邊的中點，點、分別在邊、上，且，垂足為．(1)如圖，當時，、的大小關系是______；(2)如圖，將繞點點旋轉，（1）中的關系還成立嗎？請說明理由；(3)如圖，連接，試探究、、之間的數(shù)量關系，并證明你的結論．20．（1）應知應會：如圖1，在中，，，點在上，于點，交延長線于點，求證：；（2）深入理解：如圖2，在中，，，點為中點，于點交于點，交延長線于點，連接，求證：；（3）靈活應用：如圖3，四邊形中，，，于點，若四邊形的面積為3，求的長．參考答案：1．B【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)的面積求出，，從而計算的面積．【詳解】解：在中，，，，∵的面積為，∴，，則，故選：B．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形面積公式，掌握勾股定理是解題關鍵．2．B【分析】作E點關于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，當三點共線，時，的值最小，利用所對直角邊等于斜邊一半求出，最后根據(jù)邊長關系計算的長即可．【詳解】解：作E點關于的對稱點，過作交于點F，交于點P，連接，∴，,∴，當三點共線，時，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．3．D【分析】利用可證，故①正確；由全等三角形的性質可得出，，求出，即可得到②正確；根據(jù)梯形的面積公式可得③正確；根據(jù)列式，可得④正確；整理后可得，即⑤正確．【詳解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴梯形的面積是，故③正確；∵，∴，故④正確；整理得：，∴該圖可以驗證勾股定理，故⑤正確；正確的結論個數(shù)是5個，故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質的運用，梯形的面積計算，三角形的面積計算，勾股定理等知識，解答時證明三角形全等是關鍵．4．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，以及三角形的內角和定理進行計算即可解答．【詳解】解：A、，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；B、，設，，，，，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；C、，，，，是直角三角形，選項說法錯誤，不符合題意；D、，，，，，不是直角三角形，選項說法正確，符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內角和定理是解題的關鍵．5．B【分析】如圖所示，過點作軸于E，利用勾股定理和面積法求出，，，，進而得到的橫縱坐標變化規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點作軸于E，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，，同理，得，，觀察可知，點的縱坐標是循環(huán)出現(xiàn)，點的橫坐標是每4次一個循環(huán)，每個循環(huán)橫坐標增加10，∵，∴的縱坐標與相同，即為，的橫坐標為，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，勾股定理，正確理解題意找到點之間的規(guī)律是解題的關鍵．6．C【分析】根據(jù)和以及對頂角相等的性質，推出，再運用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，設，則在中，，即，解得．∴線段的長度為15．故選：C．【點睛】此題考查了勾股定理和等腰三角形的性質，解題的關鍵是推出，再運用勾股定理求解．7．B【分析】根據(jù)以及角平分線的定義可得結論①；根據(jù)以及可得結論②；根據(jù)三角形面積可得結論③；過點作，垂足分別為，則可得，進而得出，設，則，，根據(jù)三角形中線等分面積可得，進而得出，然后可得的值．【詳解】解：∵平分，∴，∵，是高，∴，∴，∴，故①正確；∵，，∴，故②正確；∵，∴，故③錯誤；過點作，垂足分別為，∵平分，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∵是中線，∴，，∴，即，∴，即，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的結論有①②④，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的中線，高，角平分線的性質，勾股定理，熟練掌握相關性質是解本題的關鍵．8．D【分析】過點P分別作的垂線，根據(jù)角平分線的性質定理可知，，易證，推出．設，由外角的性質可得，，所以；故①正確；由外角的性質可得，由三角形內角和可得，，所以，即；故②不正確；在射線上截取，延長到點L，使得，連接，易證，所以，易證，所以，所以，由外角的性質可知，，所以，故③正確；因為，，且，所以．故④正確．【詳解】解：過點P分別作的垂線，垂足分別為I，M，N，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設，∴，對于，，∴，對于，，∴，∴；故①正確；∵，∴，∴，∴，即；故②不正確；在射線上截取，延長到點L，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故③正確；∵，，又∵，∴．故④正確．綜上，①③④正確．故選：D．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質與判定，角平分線的性質與判定，三角形外角的性質定理，作出輔助線，構造全等是解題關鍵．9．2【分析】設，由勾股定理可得,，再根據(jù)等腰三角形的性質和勾股定理可得，進而得到、，最后在中用勾股定理求得x即可．【詳解】解：設∵，，∴,,∵，，∴∴∵，，，∴,即，解得：或（舍）．故答案為2．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質、勾股定理等知識點，設、用x表示出其他線段是解答本題的關鍵．10．【分析】先求解，再分三種情況討論：如圖，把長方體沿前面與上面展開，過作于，如圖，把長方體沿左邊面與上面展開，如圖，把長方體沿左邊面與后面展開，過作于，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵長方體中，長為8米，，∴，如圖，把長方體沿前面與上面展開，過作于，則，∴，如圖，把長方體沿左邊面與上面展開，則，∴，如圖，把長方體沿左邊面與后面展開，過作于，則，∴，而，∴一只螞蟻從點出發(fā)沿長方體的表面爬到點，則它爬行的最短路程為米，故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，立體圖形的表面展開圖的認識，掌握“利用勾股定理構建直角三角形”是解本題的關鍵．11．11【分析】根據(jù)等邊對等角及平行線的性質得出平分，再由角平分線的性質得出，利用全等三角形的判定和性質得出，結合圖形求周長即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴的周長為：，故答案為：11．【點睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質，角平分線的性質及平行線的性質，綜合運用這些知識點是解題關鍵．12．①②④【分析】如圖，過作于，證明，可得，可判斷①符合題意；證明，，可判斷②符合題意；由，證明，可判斷③不符合題意；由，可判斷④符合題意；【詳解】解：如圖，過作于，∵平分，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，故①符合題意；∵，∴，∵，，∴，∴，故②符合題意；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即．故③不符合題意；∵，，∴故④符合題意；故答案為：①②④．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，角平分線的性質定理的應用，作出合適的輔助線構建全等三角形是解本題的關鍵．13．6【詳解】作點關于軸對稱的點，連接，交軸于點，連接，則：，∴當三點共線時，的值最小，∵，，∴，∴，∵點P與點O關于直線對稱，∴，交于點D，過點作軸，交軸于點，則：，，∴，∴，∵點和點關于軸對稱，∴，∴，∴．∴的最小值為：6；故答案為：6．【點睛】本題考查坐標系下的軸對稱，以及含角的直角三角形．熟練掌握軸對稱的性質，以及利用軸對稱法解決線段和最小問題，是解題的關鍵．14．【分析】根據(jù)題意，結合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角的底邊；②為等腰直角其中的一條腰；分別找出符合題意的點即可．【詳解】解：如圖，分情況討論：①為等腰直角的底邊時，符合條件的點有，，共個；②為等腰直角其中的一條腰時，符合條件的點有，，，，共個，綜上可得：符合條件的點有個．故答案為：．【點睛】本題考查了網(wǎng)格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性質、分情況探尋是解本題的關鍵．15．或【分析】根據(jù)平面直角坐標系中點的坐標，等邊三角形的性質可得出的邊長，進而求得的面積，則可得出的面積，然后根據(jù)題目中條件分兩種情況用含有a的代數(shù)式表示出的面積即可求得a的值．【詳解】解：過點作軸，垂足為，由、，得，，為等邊三角形，由勾股定理，得，，又，，由，得，．當在與交點的上方時，如圖過點P作垂直于的延長線于點E,過點B作于點F，==由，得故答案為：或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理和平面直角坐標系中點的坐標等知識點，解題時利用點的坐標特征表示三角形面積是解題的關鍵，另外需分析P點位置的可能性，需要考慮全面才能得出正確答案．16．【分析】首先明確要使得周長最小，即使得最小，再根據(jù)翻折的性質可知，從而可得滿足最小即可，根據(jù)兩點之間線段最短確定即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由翻折的性質可知，，垂直平分，∴，∵，，∴，，∴M點為上一個固定點，則長度固定，∴，∵周長，∴要使得周長最小，即使得最小，∵，∴滿足最小即可，當P、B、C三點共線時，滿足最小，此時，P點與D點重合，，∴周長最小值即為故答案為：12．【點睛】本題考查翻折的性質，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質，利用角平分線的性質進行推理求解，理解并熟練運用兩點之間線段最短是解題關鍵．17．收購站E應建在離A點10km處【分析】先根據(jù)“C，D兩村到E站的距離相等”得出DE=CE，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵C，D兩村到E站的距離相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴，，∴，設AE=xkm，則BE=ABAE=（25x）km．∵DA=15km，CB=10km，∴，即解得：x=10，∴AE=10km，∴收購站E應建在離A點10km處．【點睛】本題考查了勾股定理的應用及解一元一次方程，解題的關鍵是運用勾股定理將兩個直角三角形的斜邊表示出來．18．(1)、(2)(3)13(4)【分析】（1）用兩種不同的方法計算陰影部分的面積即可；（2）根據(jù)（1）的結果，即可得出答案；（3）利用（2）中的數(shù)量關系代入計算即可；（4）用兩種不同的方法表示出一個棱長為x的正方體挖去一個小長方體后的體積，即可得出答案．【詳解】（1）解：陰影部分的面積可以看做邊長為的正方形，陰影部分的面積可表示為，還可以看做邊長為c的正方形的面積減去四個直角三角形的面積，即陰影部分的