專題15勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式（知識(shí)精講綜合訓(xùn)練）

章節(jié)復(fù)習(xí)知識(shí)精講與綜合訓(xùn)練專題15勾股定理及兩點(diǎn)間的距離公式知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01直角三角形全等的判定圖形定理符號(hào)如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等（簡記：H.L）在中，，【典例分析】1．滿足下列條件的中，不是直角三角形的為（

）A． B．C． D．【答案】．C【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及角的度數(shù)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵，且，∴，是直角三角形，不符合題意；B、∵，則設(shè)，∵，∴，∴∴，是直角三角形，不符合題意；C、∵，∴設(shè)，∴，不是直角三角形，正確；D、由得，是直角三角形，不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】此題主要考查了直角三角形的判定方法，靈活運(yùn)用直角三角形的定義及勾股定理的逆定理是解決問題的關(guān)鍵．2．等邊中，，于點(diǎn)、是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則取得最小值時(shí)，的長為（

）A．1 B． C． D．【答案】．B【分析】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，所以連接，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，此時(shí)最小，且此時(shí)有，再通過等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求得的長度，從而即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，與的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，是等邊三角形，且，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，，且此時(shí)最小，是等邊三角形，且是的中點(diǎn)，，，，在中，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、等邊三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是找到取得最小值時(shí)點(diǎn)所在的位置．3．如圖，中，，平分，交于點(diǎn)，，，，則的長為（）A．2.4 B．3 C．3.6 D．4【答案】．B【分析】過點(diǎn)D作，垂足為E，證明，從而求出，然后利用勾股定理即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)D作，垂足為E，∵平分，交于點(diǎn)，，，∴，在和中，∴∴，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得：故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形得的判定和性質(zhì)，勾股定理，據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的證明及應(yīng)用勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方．利用勾股定理往往構(gòu)造方程，已達(dá)到解決問題的目的；應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題，要注意分析題目的條件，關(guān)注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根據(jù)所給的三邊條件，建立方程，從而解決問題；如果問題中沒有直角三角形，可以通過添加輔助線構(gòu)造出直角三角形，尋求等量關(guān)系，再根據(jù)勾股定理建立相應(yīng)的方程，因此，在解決直角三角形中有關(guān)邊長的問題時(shí)，要靈活的運(yùn)用方程的思想．【典例分析】4．如圖，，，，，則四邊形的面積為（

）A．48 B．60 C．36 D．72【答案】．C【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，，，∴，∵，，∴，在中，∴四邊形的面積為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為．若，則=（）A．183 B．87 C．119 D．81【答案】．B【分析】連接，根據(jù)勾股定理可得，即，即可求解．【詳解】解：連接，根據(jù)勾股定理可得，即，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)直角的信息提示，作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)03勾股定理的逆定理的證明及應(yīng)用1、逆定理：如果三角形一條邊的平方等于其他兩邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形；利用逆定理來判斷三角形是否為直角三角形．在直角三角形的三邊中，首先弄清楚哪條邊是斜邊，另外應(yīng)用逆定理時(shí)，最大邊的平方和等于較小兩邊的平方和．【典例分析】6．如圖，長方體的長為15cm，寬為10cm，高為20cm，點(diǎn)B離點(diǎn)C5cm，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是（）cm．A．25 B．20 C．24 D．10【答案】．A【分析】分三種情況討論：把左側(cè)面展開到水平面上，連結(jié)AB；把右側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，；把向上的面展開到正面上，連結(jié)AB；然后利用勾股定理分別計(jì)算各情況下的AB，再進(jìn)行大小比較．【詳解】把左側(cè)面展開到水平面上，連結(jié)AB，如圖1把右側(cè)面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖2把向上的面展開到正面上，連結(jié)AB，如圖3∵∴∴需要爬行的最短距離為25cm故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開及其最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．7．如圖，高速公路上有A、B兩點(diǎn)相距25km，C、D為兩村莊，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，現(xiàn)要在AB上建一個(gè)服務(wù)站E，使得C、D兩村莊到E站的距離相等，則AE的長是（）km．A．5 B．10 C．15 D．25【答案】．C【分析】根據(jù)題意設(shè)出AE的長為x，再由勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)AE＝x，則BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由題意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．所以，E應(yīng)建在距A點(diǎn)15km處．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正確運(yùn)用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)04兩點(diǎn)間的距離公式1、①數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)m、n，則AB的距離為.②距離公式：如果平面內(nèi)有兩點(diǎn)、，則A、B兩點(diǎn)間的距離為：．當(dāng)、兩點(diǎn)同在軸上或平行于軸的直線上，則有，AB=；當(dāng)、兩點(diǎn)同在軸上或平行于軸的直線上，則有，AB=．【典例分析】8．如圖圖中，不能用來證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【答案】．D【分析】根據(jù)圖形的面積得出a，b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理，分別分析得出即可．【詳解】A，B，C都可以利用圖形面積得出a，b，c的關(guān)系，即可證明勾股定理；故A，B，C選項(xiàng)不符合題意；D、不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明方法，根據(jù)圖形面積得出是解題關(guān)鍵．9．如圖，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，黑、白兩個(gè)甲殼蟲同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA1→A1D1→……，白甲殼蟲爬行的路線是AB→BB1→……，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n＋2與第n條棱所在的直線必須是既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)）．那么當(dāng)黑、白兩個(gè)甲殼蟲各爬行完第2018條棱分別停止在所到的正方體頂點(diǎn)處時(shí)，它們之間的距離是（

）A．0 B． C． D．1【答案】．B【分析】根據(jù)爬行規(guī)則找出黑、白兩個(gè)甲殼蟲爬行規(guī)律，推導(dǎo)出爬行完第2018條棱黑、白兩個(gè)甲殼蟲所處的頂點(diǎn)位置.【詳解】根據(jù)爬行規(guī)則，黑、白兩個(gè)甲殼蟲爬行軌跡如下圖：從圖中發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)周期為6條棱……2,即黑棋子在D1處，白棋子在B1處，它們之間的距離為線段D1B1的長,由勾股定理得：D1B1=

，故選B【點(diǎn)睛】本題考查猜想與找規(guī)律，勾股定理.10．如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)大的正方形，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理.已知小正方形的面積是1，直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，則圖中大正方形的邊長為（

）A．5 B． C．4 D．3【答案】．B【分析】根據(jù)大正方形面積等于4個(gè)三角形面積與小正方形面積和即可求解．【詳解】解：∵直角三角形的兩直角邊分別為a、b且ab=6，∴S△=，大正方形的面積為：4S△+小正方形面積=4×3＋1＝13，所以大正方形的邊長為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查勾股弦圖的應(yīng)用，算術(shù)平方根，掌握勾股弦圖的應(yīng)用，算術(shù)平方根是解題關(guān)鍵綜合訓(xùn)練綜合訓(xùn)練一、單選題1．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，小于的長為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)；再分別以點(diǎn)，為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn).若的面積為9，，，則的面積為（

）A．12 B．15 C．24 D．302．如圖，點(diǎn)在等邊的邊上，，射線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，，則的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，，，．下列結(jié)論：①；②；③四邊形的面積是；④；⑤該圖可以驗(yàn)證勾股定理．其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)4．下列條件下，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有若干個(gè)相同的直角三角形，，，，按如圖中的規(guī)律擺放．動(dòng)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，第一次運(yùn)動(dòng)到，第二次運(yùn)動(dòng)到，第三次運(yùn)動(dòng)到，…，按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，動(dòng)點(diǎn)第101次運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．6．如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)為外一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，若，，則線段的長度為（

）A．12 B．13 C．15 D．177．如圖，在中，是高，是角平分線，是中線，與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，下面說法正確的有（

）①；②；③；④若，則．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③8．如圖，在中，，是的角平分線，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長至，使，連接交于點(diǎn)，平分，交的延長線于點(diǎn)，連接，，，若．有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①③④二、填空題9．如圖，在中，點(diǎn)在邊上，且滿足，當(dāng)，，，_______________．10．如圖，在桌面上的長方體中，長為8米，寬為6米，高為4米，點(diǎn)在棱上，且．一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿長方體的表面爬到點(diǎn)，則它爬行的最短路程為______米．11．如圖，在中，，，過點(diǎn)B作于E，于D，，，的周長為_______．12．如圖，中，，平分，為邊上的點(diǎn)，連接，．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中一定正確的結(jié)論有___________．（填寫序號(hào)即可）13．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B在x軸的負(fù)半軸上且，點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于直線對(duì)稱，在y軸上找到一點(diǎn)，使的值最小，則這個(gè)最小值為_______．14．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知，是兩格點(diǎn)，如果也是圖中的格點(diǎn)，且使得為等腰直角三角形，則符合條件的點(diǎn)有_____個(gè)．15．如圖所示，、分別為軸、軸上的點(diǎn)，為等邊三角形，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，且滿足，則的值______．16．如圖，將沿折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)D在上，點(diǎn)P在線段上移動(dòng)，若，則周長的最小值為________．三、解答題17．如圖，筆直的公路上A、兩點(diǎn)相距，、為兩村莊，于點(diǎn)A，于點(diǎn)，已知，，現(xiàn)在要在公路的段上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站，使得、兩村到收購站的距離相等，則收購站應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？18．【知識(shí)生成】我們知道，通過不同方法表示同一圖形的面積，可以探求相應(yīng)的等式．2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖1所示，它是由四個(gè)形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c．(1)圖中陰影部分的面積用兩種方法可分別表示為_________、________；(2)你能得出的a、b、c之間的數(shù)量關(guān)系是_______（等號(hào)兩邊需化為最簡形式）．(3)【知識(shí)應(yīng)用】一直角三角形的兩條直角邊長為5和12，則其斜邊長為______．(4)【知識(shí)遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式．如圖2表示的是一個(gè)棱長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后重新拼成一個(gè)新長方體，請(qǐng)你根據(jù)圖2中圖形的變化關(guān)系，以整式乘法形式寫出一個(gè)代數(shù)恒等式______．19．如圖，中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在邊、上，且，垂足為．(1)如圖，當(dāng)時(shí)，、的大小關(guān)系是______；(2)如圖，將繞點(diǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，（1）中的關(guān)系還成立嗎？請(qǐng)說明理由；(3)如圖，連接，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．20．（1）應(yīng)知應(yīng)會(huì)：如圖1，在中，，，點(diǎn)在上，于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，求證：；（2）深入理解：如圖2，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，于點(diǎn)交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，連接，求證：；（3）靈活應(yīng)用：如圖3，四邊形中，，，于點(diǎn)，若四邊形的面積為3，求的長．參考答案：1．B【分析】根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)的面積求出，，從而計(jì)算的面積．【詳解】解：在中，，，，∵的面積為，∴，，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，三角形面積公式，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．2．B【分析】作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的值最小，利用所對(duì)直角邊等于斜邊一半求出，最后根據(jù)邊長關(guān)系計(jì)算的長即可．【詳解】解：作E點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過作交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，連接，∴，,∴，當(dāng)三點(diǎn)共線，時(shí)，的值最小，∵是正三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱求最短距離，熟練掌握軸對(duì)稱求最短距離的方法，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】利用可證，故①正確；由全等三角形的性質(zhì)可得出，，求出，即可得到②正確；根據(jù)梯形的面積公式可得③正確；根據(jù)列式，可得④正確；整理后可得，即⑤正確．【詳解】解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，故①正確；∴，，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴梯形的面積是，故③正確；∵，∴，故④正確；整理得：，∴該圖可以驗(yàn)證勾股定理，故⑤正確；正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是5個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，梯形的面積計(jì)算，三角形的面積計(jì)算，勾股定理等知識(shí)，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，以及三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：A、，，是直角三角形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、，設(shè)，，，，，，是直角三角形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、，，，，是直角三角形，選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、，，，，，不是直角三角形，選項(xiàng)說法正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】如圖所示，過點(diǎn)作軸于E，利用勾股定理和面積法求出，，，，進(jìn)而得到的橫縱坐標(biāo)變化規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作軸于E，在中，由勾股定理得，∵，∴，∴，∴，，同理，得，，觀察可知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是循環(huán)出現(xiàn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是每4次一個(gè)循環(huán)，每個(gè)循環(huán)橫坐標(biāo)增加10，∵，∴的縱坐標(biāo)與相同，即為，的橫坐標(biāo)為，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律探索，勾股定理，正確理解題意找到點(diǎn)之間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)和以及對(duì)頂角相等的性質(zhì)，推出，再運(yùn)用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則在中，，即，解得．∴線段的長度為15．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是推出，再運(yùn)用勾股定理求解．7．B【分析】根據(jù)以及角平分線的定義可得結(jié)論①；根據(jù)以及可得結(jié)論②；根據(jù)三角形面積可得結(jié)論③；過點(diǎn)作，垂足分別為，則可得，進(jìn)而得出，設(shè)，則，，根據(jù)三角形中線等分面積可得，進(jìn)而得出，然后可得的值．【詳解】解：∵平分，∴，∵，是高，∴，∴，∴，故①正確；∵，，∴，故②正確；∵，∴，故③錯(cuò)誤；過點(diǎn)作，垂足分別為，∵平分，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵是中線，∴，，∴，即，∴，即，∴，∴，故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，高，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8．D【分析】過點(diǎn)P分別作的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可知，，易證，推出．設(shè)，由外角的性質(zhì)可得，，所以；故①正確；由外角的性質(zhì)可得，由三角形內(nèi)角和可得，，所以，即；故②不正確；在射線上截取，延長到點(diǎn)L，使得，連接，易證，所以，易證，所以，所以，由外角的性質(zhì)可知，，所以，故③正確；因?yàn)?，，且，所以．故④正確．【詳解】解：過點(diǎn)P分別作的垂線，垂足分別為I，M，N，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，對(duì)于，，∴，對(duì)于，，∴，∴；故①正確；∵，∴，∴，∴，即；故②不正確；在射線上截取，延長到點(diǎn)L，使得，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故③正確；∵，，又∵，∴．故④正確．綜上，①③④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)定理，作出輔助線，構(gòu)造全等是解題關(guān)鍵．9．2【分析】設(shè)，由勾股定理可得,，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得，進(jìn)而得到、，最后在中用勾股定理求得x即可．【詳解】解：設(shè)∵，，∴,,∵，，∴∴∵，，，∴,即，解得：或（舍）．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)、用x表示出其他線段是解答本題的關(guān)鍵．10．【分析】先求解，再分三種情況討論：如圖，把長方體沿前面與上面展開，過作于，如圖，把長方體沿左邊面與上面展開，如圖，把長方體沿左邊面與后面展開，過作于，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵長方體中，長為8米，，∴，如圖，把長方體沿前面與上面展開，過作于，則，∴，如圖，把長方體沿左邊面與上面展開，則，∴，如圖，把長方體沿左邊面與后面展開，過作于，則，∴，而，∴一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿長方體的表面爬到點(diǎn)，則它爬行的最短路程為米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，立體圖形的表面展開圖的認(rèn)識(shí)，掌握“利用勾股定理構(gòu)建直角三角形”是解本題的關(guān)鍵．11．11【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角及平行線的性質(zhì)得出平分，再由角平分線的性質(zhì)得出，利用全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形求周長即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴的周長為：，故答案為：11．【點(diǎn)睛】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．12．①②④【分析】如圖，過作于，證明，可得，可判斷①符合題意；證明，，可判斷②符合題意；由，證明，可判斷③不符合題意；由，可判斷④符合題意；【詳解】解：如圖，過作于，∵平分，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，故①符合題意；∵，∴，∵，，∴，∴，故②符合題意；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即．故③不符合題意；∵，，∴故④符合題意；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．13．6【詳解】作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，連接，交軸于點(diǎn)，連接，則：，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∵，，∴，∴，∵點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于直線對(duì)稱，∴，交于點(diǎn)D，過點(diǎn)作軸，交軸于點(diǎn)，則：，，∴，∴，∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，∴．∴的最小值為：6；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)系下的軸對(duì)稱，以及含角的直角三角形．熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，以及利用軸對(duì)稱法解決線段和最小問題，是解題的關(guān)鍵．14．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①為等腰直角的底邊；②為等腰直角其中的一條腰；分別找出符合題意的點(diǎn)即可．【詳解】解：如圖，分情況討論：①為等腰直角的底邊時(shí)，符合條件的點(diǎn)有，，共個(gè)；②為等腰直角其中的一條腰時(shí)，符合條件的點(diǎn)有，，，，共個(gè)，綜上可得：符合條件的點(diǎn)有個(gè)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格中等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，熟知等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、分情況探尋是解本題的關(guān)鍵．15．或【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)可得出的邊長，進(jìn)而求得的面積，則可得出的面積，然后根據(jù)題目中條件分兩種情況用含有a的代數(shù)式表示出的面積即可求得a的值．【詳解】解：過點(diǎn)作軸，垂足為，由、，得，，為等邊三角形，由勾股定理，得，，又，，由，得，．當(dāng)在與交點(diǎn)的上方時(shí)，如圖過點(diǎn)P作垂直于的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，==由，得故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理和平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，解題時(shí)利用點(diǎn)的坐標(biāo)特征表示三角形面積是解題的關(guān)鍵，另外需分析P點(diǎn)位置的可能性，需要考慮全面才能得出正確答案．16．【分析】首先明確要使得周長最小，即使得最小，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可知，從而可得滿足最小即可，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定即為最小值，從而求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由翻折的性質(zhì)可知，，垂直平分，∴，∵，，∴，，∴M點(diǎn)為上一個(gè)固定點(diǎn)，則長度固定，∴，∵周長，∴要使得周長最小，即使得最小，∵，∴滿足最小即可，當(dāng)P、B、C三點(diǎn)共線時(shí)，滿足最小，此時(shí)，P點(diǎn)與D點(diǎn)重合，，∴周長最小值即為故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，以及最短路徑問題等，掌握翻折的基本性質(zhì)，利用角平分線的性質(zhì)進(jìn)行推理求解，理解并熟練運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．17．收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處【分析】先根據(jù)“C，D兩村到E站的距離相等”得出DE=CE，再根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵C，D兩村到E站的距離相等．∴DE=CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，∴，，∴，設(shè)AE=xkm，則BE=ABAE=（25x）km．∵DA=15km，CB=10km，∴，即解得：x=10，∴AE=10km，∴收購站E應(yīng)建在離A點(diǎn)10km處．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用及解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用勾股定理將兩個(gè)直角三角形的斜邊表示出來．18．(1)、(2)(3)13(4)【分析】（1）用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分的面積即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，即可得出答案；（3）利用（2）中的數(shù)量關(guān)系代入計(jì)算即可；（4）用兩種不同的方法表示出一個(gè)棱長為x的正方體挖去一個(gè)小長方體后的體積，即可得出答案．【詳解】（1）解：陰影部分的面積可以看做邊長為的正方形，陰影部分的面積可表示為，還可以看做邊長為c的正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，即陰影部分的