專題04用二次函數(shù)解決實際問題與壓軸題七種模型全（原卷版）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題（浙教版）

專題04用二次函數(shù)解決實際問題與壓軸題七種模型全攻略考點一用二次函數(shù)解決增長率問題考點二用二次函數(shù)解決銷售問題考點三用二次函數(shù)解決拱橋問題考點四用二次函數(shù)解決噴水問題考點五用二次函數(shù)解決投球問題考點六用二次函數(shù)解決圖形問題考點七用二次函數(shù)解決圖形運動問題典型例題典型例題考點一用二次函數(shù)解決增長率問題例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某工廠實行技術(shù)改造，產(chǎn)量年均增長率為x，已知2020年產(chǎn)量為1萬件，那么2022年的產(chǎn)量y（萬件）與x間的關(guān)系式為___________．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·七年級期末）某廠有一種產(chǎn)品現(xiàn)在的年產(chǎn)量是2萬件，計劃今后兩年增加產(chǎn)量，如果每年都比上一年的產(chǎn)量增加x倍，那么兩年后這種產(chǎn)品的產(chǎn)量y（萬件）將隨計劃所定的x的值而確定，那么y與x之間的關(guān)系式應(yīng)表示為________．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）為積極響應(yīng)國家“舊房改造”工程，該市推出《加快推進(jìn)舊房改造工作的實施方案》推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化建設(shè)，改善民生，優(yōu)化城市建設(shè)．（1）根據(jù)方案該市的舊房改造戶數(shù)從2020年底的3萬戶增長到2022年底的4.32萬戶，求該市這兩年舊房改造戶數(shù)的平均年增長率；（2）該市計劃對某小區(qū)進(jìn)行舊房改造，如果計劃改造300戶，計劃投入改造費用平均20000元/戶，且計劃改造的戶數(shù)每增加1戶，投入改造費平均減少50元/戶，求舊房改造申報的最高投入費用是多少元？考點二用二次函數(shù)解決銷售問題例題：（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級期中）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．(1)若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為件：(2)當(dāng)每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤最大？【變式訓(xùn)練】1．（2021·廣東·陸豐市甲東鎮(zhèn)鐘山中學(xué)九年級期中）某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元/件，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是25元/件時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件．求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；最大利潤為多少元？2．（2022·山東德州·九年級期末）某商廈燈具部投資銷售一種進(jìn)價為每件20元的護眼臺燈，銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：y＝﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．(1)設(shè)每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍．(2)如果想要每月獲得的利潤為2000元，那么每月的單價定為多少元？(3)當(dāng)銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？考點三用二次函數(shù)解決拱橋問題例題：（2022·四川廣安·中考真題）如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2米時，水面寬6米，水面下降________米，水面寬8米．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東德州·九年級期末）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂高距離水面2m時，水面寬4m，如果水面上升1.5m，則水面寬度為________．2．（2022·甘肅定西·模擬預(yù)測）有一個拋物線的拱形橋洞，橋洞離水面的最大高度為，跨度為，如圖所示，把它的圖形放在直角坐標(biāo)系中．(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖，在對稱軸右邊處，橋洞離水面的高是多少？考點四用二次函數(shù)解決噴水問題例題：（2022·河南·中考真題）小紅看到一處噴水景觀，噴出的水柱呈拋物線形狀，她對此展開研究：測得噴水頭P距地面0.7m，水柱在距噴水頭P水平距離5m處達(dá)到最高，最高點距地面3.2m；建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)拋物線的表達(dá)式為，其中x（m）是水柱距噴水頭的水平距離，y（m）是水柱距地面的高度．(1)求拋物線的表達(dá)式．(2)爸爸站在水柱正下方，且距噴水頭P水平距離3m，身高1.6m的小紅在水柱下方走動，當(dāng)她的頭頂恰好接觸到水柱時，求她與爸爸的水平距離．【變式訓(xùn)練】1．（2022·四川南充·中考真題）如圖，水池中心點O處豎直安裝一水管，水管噴頭噴出拋物線形水柱，噴頭上下移動時，拋物線形水柱隨之豎直上下平移，水柱落點與點O在同一水平面．安裝師傅調(diào)試發(fā)現(xiàn)，噴頭高時，水柱落點距O點；噴頭高時，水柱落點距O點．那么噴頭高_(dá)______________m時，水柱落點距O點．2．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口離地豎直高度為（單位：）．如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線的部分圖象；把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度，豎直高度為的長．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點離噴水口的水平距離為，高出噴水口，灌溉車到的距離為（單位：）．(1)若，；①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程；②求下邊緣拋物線與軸的正半軸交點的坐標(biāo)；③要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，求的取值范圍；(2)若．要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，請直接寫出的最小值．考點五用二次函數(shù)解決投球問題例題：（2022·上海市張江集團中學(xué)八年級期末）如圖，以地面為x軸，一名男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y（單位：米）與水平距離x（單位：米）之間的關(guān)系是．則他將鉛球推出的距離是___米．【變式訓(xùn)練】1．（2022·重慶實驗外國語學(xué)校八年級期末）小明在期末體育測試中擲出的實心球的運動路線呈拋物線形．若實心球運動的拋物線的解析式為，其中y是實心球飛行的高度，x是實心球飛行的水平距離．已知該同學(xué)出手點A的坐標(biāo)為，則實心球飛行的水平距離OB的長度為（

）A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m2．（2022·貴州安順·九年級階段練習(xí)）如圖是小明站在點O處長拋籃球的路線示意圖，球在點A處離手，且．第一次在點D處落地，然后彈起在點E處落地，籃球在距O點的點B處正上方達(dá)到最高點，最高點C距地面的高度，點E到籃球框正下方的距離，籃球框的垂直高度為．據(jù)試驗，兩次劃出的拋物線形狀相同，但第二次的最大高度為第一次的，以小明站立處點O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)求籃球第二次的落地點E到點O的距離．（結(jié)果保留整數(shù)）(3)若小明想一次投中籃球框，他應(yīng)該向前走多少米？（結(jié)果精確到）（參考數(shù)據(jù)：）考點六用二次函數(shù)解決圖形問題例題：（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）如圖，利用一面墻（墻長26米），用總長度49米的柵欄（圖中實線部分）圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設(shè)柵欄BC長為米．(1)AB＝米（用含的代數(shù)式表示）；(2)若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；(3)能圍成比210平方米更大的矩形圍欄ABCD嗎？如果能，請求出最大面積；如果不能，請說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2021·寧夏·吳忠市利通區(qū)扁擔(dān)溝中心學(xué)校九年級期中）如圖，利用一面墻（墻長10米）用20米的籬笆國成一個矩形場地．設(shè)垂直于墻的一邊為x米．矩形場地的面積為s平方米．(1)求s與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；(2)若矩形場地的面枳最大，應(yīng)該如何設(shè)計長與寬．2．（2022·山東煙臺·九年級期中）某城門的截面由一段拋物線和一個正方形（OMNE為正方形）的三條邊圍成，已知城門寬度為4米，最高處距地面6米．如圖1所示，現(xiàn)以O(shè)點為原點，OM所在的直線為x軸，OE所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系．(1)求上半部分拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出其自變量的取值范圍；(2)有一輛寬3米，高4.5米的消防車需要通過該城門，請問該消防車能否正常進(jìn)入？(3)為營造節(jié)日氣氛，需要臨時搭建一個矩形“裝飾門”ABCD，該“裝飾門”關(guān)于拋物線對稱軸對稱，如圖2所示，其中AB，AD，CD為三根承重鋼支架，A、D在拋物線上，B，C在地面上，已知鋼支架每米70元，問搭建這樣一個矩形“裝飾門”，僅鋼支架一項，最多需要花費多少元？考點七用二次函數(shù)解決圖形運動問題例題：（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖1，在中，，已知點P在直角邊AB上，以的速度從點A向點B運動，點Q在直角邊BC上，以的速度從點B向點C運動．若點P，Q同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點B時，點Q恰好到達(dá)點C處．圖2是的面積與點P的運動時間之間的函數(shù)關(guān)系圖像（點M為圖像的最高點），根據(jù)相關(guān)信息，計算線段AC的長為（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）如圖，在矩形ABCD中，BC＞CD，BC、CD分別是一元二次方程x2－7x＋12＝0的兩個根，連接BD，并過點C作CN⊥BD，垂足為N，點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BD方向勻速運動到D為止；點M沿線段DA以每秒1個單位的速度由點D向點A勻速運動，到點A為止，點P與點M同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒（t＞0）．(1)求線段CN的長；(2)在整個運動過程中，當(dāng)t為何值時△PMN的面積取得最大值，最大值是多少？2．（2022·吉林吉林·一模）如圖，，，，．，兩點分別從，同時出發(fā)，點沿折線向終點運動，在上的速度為每秒4個單位長度，在上的速度為每秒2個單位長度；點以每秒個單位長度的速度沿線段向終點A運動．過點作于點，以，為鄰邊作矩形．設(shè)運動時間為秒，矩形和重疊部分的圖形面積為．(1)當(dāng)點和點重合時，______；(2)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的取值范圍；(3)在運動過程中，連接，取中點，連接，直接寫出的最小值．課后訓(xùn)練課后訓(xùn)練一、選擇題1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）某商場降價銷售一批名牌襯衫，已知所獲利潤y（元）與降價x（元）之間的關(guān)系是y＝－2x2＋60x＋800，則利潤獲得最多為（

）A．15元 B．400元 C．800元 D．1250元2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，一拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂?shù)剿娴木嚯x為2m時，水面寬度為4m．那么水位下降1m時，水面的寬度為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江·諸暨市大唐鎮(zhèn)初級中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖1，等邊△ABC中，點P為BC邊上的任意一點（不與點B、C重合），且∠APD＝60°，PD交AB于點D．設(shè)BP＝x，BD＝y(tǒng)，如圖2是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，則等邊△ABC的邊長為（

）A．2 B．2 C．4 D．3二、填空題5．（2022·新疆·中考真題）如圖，用一段長為的籬芭圍成一個一邊靠墻的矩形圍欄（墻足夠長），則這個圍欄的最大面積為_______．6．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）一小球以15m/s的速度豎直向上拋出，它在空中的高度h（m）與時間t（s）滿足關(guān)系式：h＝15t－5t2，當(dāng)t＝_________時，小球高度為10m．小球所能達(dá)到的最大高度為________m．7．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，一位籃球運動員投籃，球沿拋物線運行，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)，已知籃筐的中心離地面的高度為，則他距籃筐中心的水平距離是_________．8．（2022·甘肅武威·中考真題）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一條拋物線．若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度（單位：m）與飛行時間（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：，則當(dāng)小球飛行高度達(dá)到最高時，飛行時間_________s．三、解答題9．（2022·廣東茂名·二模）如圖，某養(yǎng)豬戶想用29米長的圍欄設(shè)計一個矩形的養(yǎng)豬圈，其中豬圈一邊靠墻MN，另外三邊用圍欄圍住，在BC邊開個門（寬度為1米），MN的長度為15m，(1)為了讓圍成的豬圈（矩形ABCD）面積達(dá)到112m2，請你幫忙計算一下豬圈的長與寬分別是多少？(2)當(dāng)豬圈的長與寬分別是多少時，豬圈的面積達(dá)到最大？10．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）為了打造“清潔能源示范城市”，東營市2016年投入資金2560萬元用于充電樁的安裝，并規(guī)劃投入資金逐年增加，2018年在2016年的基礎(chǔ)上增加投入資金3200萬元.（1）從2016年到2018年，東營市用于充電樁安裝的資金年平均增長率為多少？（2）2019年東營市計劃再安裝A、B兩種型號的充電樁共200個.已知安裝一個A型充電樁需3.5萬元，安裝一個B型充電樁需4萬元，且A型充電樁的數(shù)量不多于B型充電樁的一半.求A、B兩種型號充電樁各安裝多少個時，所需資金最少，最少為多少？11．（2022·遼寧錦州·中考真題）某商場新進(jìn)一批拼裝玩具，進(jìn)價為每個10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)．，日銷售量y（個）與銷售單價x（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；(2)若該玩具某天的銷售利潤是600元，則當(dāng)天玩具的銷售單價是多少元？(3)設(shè)該玩具日銷售利潤為w元，當(dāng)玩具的銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？最大利潤是多少元？12．（2022·浙江·衢州市實驗學(xué)校教育集團（衢州學(xué)院附屬學(xué)校教育集團）九年級階段練習(xí)）如圖，隧道的截面由拋物線和矩形構(gòu)成，矩形的長為，寬為，以所在的直線為軸，線段的中垂線為軸