對鉤函數(shù)詳解性質圖像對比并舉例說明I2

主要內(nèi)容：本文通過對比分析，解析函數(shù)y=ax+eq\f(b,cx)當a，b，c的系數(shù)符號不同時，并舉例以四個函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x),y?=89x-eq\f(151,38x),y?=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x),說明系數(shù)符號變化與函數(shù)性質的關系，簡要畫出函數(shù)在同一個坐標系下的圖像?！?函數(shù)的定義域分析根據(jù)y?=89x+eq\f(151,38x),y?=89x-eq\f(151,38x),y?=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x)函數(shù)特征，可知均含有分式，故要求分母不為0，所以4個函數(shù)的定義域相同，定義域均為：(-∞,0)∪(0,+∞)?！?函數(shù)的單調(diào)性分析由于4個函數(shù)均是由一個正比例函數(shù)和一個反比例函數(shù)的和差函數(shù)，可以根據(jù)兩個函數(shù)的單調(diào)性綜合分析和差函數(shù)的單調(diào)性。1.對于函數(shù)y?=89x-eq\f(151,38x),是由正比例增函數(shù)和反比例減函數(shù)的差，所以相當于兩個增函數(shù)的和，故函數(shù)y2整體為增函數(shù)。2.對于函數(shù)y?=-89x+eq\f(151,38x)，是由正比例減函數(shù)和反比例減函數(shù)的和，所以相當于兩個減函數(shù)的和，故函數(shù)y3整體為減函數(shù)。3.對于函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x)，y4=-89x-eq\f(151,38x)前后兩個函數(shù)的單調(diào)性不一致，不能簡單通過上述方法解析，但可以使用導數(shù)來分析單調(diào)性?！?導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性步驟1.函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x),求函數(shù)的一階導數(shù)，有：eq\f(dy,dx)=89-eq\f(151,38x2)=eq\f(89*38x2-151,38x2),令eq\f(dy,dx)=0，即：89*38x2-151=0,所以x=±eq\f(1,3382)eq\r(510682)≈±0.21,結合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當x∈(-∞,-eq\f(1,3382)eq\r(510682))∪(eq\f(1,3382)eq\r(510682)，+∞)時，eq\f(dy,dx)＞0，函數(shù)為增函數(shù)；(2)當x∈[-eq\f(1,3382)eq\r(510682),0)∪(0,eq\f(1,3382)eq\r(510682)]時，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)。2.函數(shù)y4=-89x-eq\f(151,38x),是y1的相反函數(shù)，故單調(diào)性與之相反。同理，結合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當x∈(-∞,-eq\f(1,3382)eq\r(510682))∪(eq\f(1,3382)eq\r(510682)，+∞)時，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)；(2)當x∈[-eq\f(1,3382)eq\r(510682),0)∪(0,eq\f(1,3382)eq\r(510682)]時，eq\f(dy,dx)＞0，為增函數(shù)?！?函數(shù)的凸凹性1.函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=89-eq\f(151,38x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*151,38x3)=eq\f(2*151,38x3),可知與x的符號成正向關系，所以：(1)當x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。2.函數(shù)y?=89x-eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=89+eq\f(151,38x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*151,38x3)=-eq\f(2*151,38x3)，可知與x的符號有關系且相反，所以：(1)當x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)。3.y?=-89x+eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=-89-eq\f(151,38x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*151,38x3)=eq\f(2*151,38x3),可知與x的符號成正向關系，所以：(1)當x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。4.y4=-89x-eq\f(151,38x)有：eq\f(dy,dx)=-89+eq\f(151,38x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*151,38x3)=-eq\f(2*151,38x3)，可知與x的符號有關系且相反，所以：(1)當x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)?！?函數(shù)的極限eq\s(lim,x→-∞)89x+eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)89x+eq\f(151,38x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)89x+eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)89x+eq\f(151,38x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)89x-eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)89x-eq\f(151,38x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)89x-eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)89x-eq\f(151,38x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-89x+eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-89x+eq\f(151,38x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-89x+eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-89x+eq\f(151,38x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-89x-eq\f(151,38x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-89x-eq\f(151,38x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-89x-eq\f(151,38x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-89x-eq\f(151,38x)=+∞☆.函數(shù)的奇偶性按照奇偶性判斷方法，可知四個函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x),y?=89x-eq\f(151,38x),y?=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x),均為奇函數(shù)。所以，圖像關于原點對稱,本處以y?介紹奇偶性判斷步驟?！遞(x)=-89x+eq\f(151,38x)∴f(-x)=-89*(-x)+eq\f(151,38*(-x))=89x-eq\f(151,38x)=-[-89x+eq\f(151,38x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關于原點對稱?！?函數(shù)的五點圖x(＜0)-0.33-0.27-0.21-0.15-0.0889x+eq\f(151,38x)-41.41-38.75-37.61-39.84-56.7989x-eq\f(151,38x)-17.33-9.310.2313.1442.55-89x+eq\f(151,38x)17.339.31-0.23-13.14-42.55-89x-eq\f(151,38x)41.4138.7537.6139.8456.79x(＞0)0.080.150.210.270.3389x+eq\f(151,38x)56.7939.8437.6138.7541.4189x-eq\f(151,38x)-42.55-13.14-0.239.3117.33-89x+eq\f(151,38x)42.5513.140.23-9.31-17.33-89x-eq\f(151,38x)-56.79-39.84-37.61-38.75-41.41☆.函數(shù)的圖像示意圖四個函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x),y?=89x-eq\f(151,38x),y?=-89x+eq\f(151,38x),y4=-89x-eq\f(151,38x)在同一個坐標系下示意圖如下所示。其中：紅色曲線表示y?=89x+eq\f(151,38x)圖像；綠色曲線表示y?=89x-eq\f(151,38x)圖像；紫色曲線表示y?=-89x+eq\f(151,38x)圖像；黑色曲線表示y4=-89x-eq\f(151,38x)圖像。yy4=-89x-eq\f(151,38x)y?=89x+eq\f(151,38x)y?=-89x+eq\f(151,38x)y?=89x-eq\f(151,38x)y?=-89x+eq\f(151,38x) xy?=89x+eq\f(151,38x)y4=-89x-eq\f(151,38x)☆.主要特性歸納1.函數(shù)相反性：函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x)和函數(shù)y4=-89x-eq\f(151,38x)在同一個x處的y值互為相反數(shù)；函數(shù)y?=89x-eq\f(151,38x)和函數(shù)y?=-89x+eq\f(151,38x)也在同一個x處的y值互為相反數(shù)。2.經(jīng)過的象限：函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x)經(jīng)過第一和第三象限，函數(shù)y4=-89x-eq\f(151,38x)則經(jīng)過第二、第三象限；函數(shù)y?=89x-eq\f(151,38x)和函數(shù)y?=-89x+eq\f(151,38x)四個象限均經(jīng)過。3.曲線的交點：函數(shù)y?=89x+eq\f(151,38x)和函數(shù)y4=-89x-eq\f(151,38x)分別同另外3條曲線均沒有交點;曲線方程y?=89x-eq\f(151,38x)和函數(shù)y?=-89x+eq\f(151,38x)有公共交點，且有兩個交點，交點在x軸上，并互為相反數(shù)。4.坐標軸交點：函數(shù)y?=89x+eq\f