專題01 相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型（解析版）

專題01相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，是等腰三角形，．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結論：①；②；③；④當時，．其中正確結論的個數(shù)是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與，得到，根據(jù)角平分線定義得到，根據(jù)線段垂直平分線性質得到，得到，推出，得到，推出，①正確；根據(jù)等角對等邊得到，，根據(jù)三角形外角性質得到，得到，推出，②正確；根據(jù)，得到，推出，③錯誤；根據(jù)時，，得到,推出，④正確．【詳解】∵中，，，∴，由作圖知，平分，垂直平分，∴，，∴，∴，∴，∴，①正確；，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，②正確；設，，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即，③錯誤；當時，，∵，∴,∴，④正確∴正確的有①②④，共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質，相似三角形的判定和性質，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質．例2．（2022·重慶九年級期中）如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，∠AED＝∠B，線段AG分別交線段DE，BC于點F，G，且ADAC=DFCG．（1）求證：△ADF∽△ACG；（2）若【解答】（1）證明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，又∵ADAC=DFCG，∴△（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，∵ADAC例3．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，矩形的頂點D、E在上，點F、G分別在、上，若，，且，則的長為________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質得到GF∥AB，證明△CGF∽△CAB，可得，證明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．【詳解】解：∵DE=2EF，設EF=x，則DE=2x，∵四邊形DEFG是矩形，∴GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴，即，∴，∴AD+BE=AB-DE==，∵AC=BC，∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，∴△ADG≌△BEF（AAS），∴AD=BE==，在△BEF中，，即，解得：x=或（舍），∴EF=，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等邊對等角，解題的關鍵是根據(jù)相似三角形的性質得到AB的長．例4.（2023·江蘇九年級期中）如圖，在中，，，，平分，交邊于點，過點作的平行線，交邊于點．（1）求線段的長；（2）取線段的中點，聯(lián)結，交線段于點，延長線段交邊于點，求的值．【答案】（1）4；（2）【解析】解：（1）∵平分，，∴．在中，，，，∴．在中，，，，∴．∴．∵，∴∴．∴．∵點是線段的中點，∴．∵，∴∴．∴．∵，∴∴∴．例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根據(jù)中點和平行兩個條件可得中點，從而可得DE是△ABC的中位線，進而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一性質可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行線的性質可得∠EDA＝∠CAD，從而可得∠BAD＝∠EDA，進而可得EA＝ED，即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，從而可得＝，＝，然后把兩個式子相加進行計算，即可解答．【解答】（1）證明：∵點D是邊BC的中點，DE∥CA，∴點E是AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵點D是邊BC的中點，DF∥AB，∴點F是AC的中點，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）證明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值為1．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，分式的化簡求值，菱形的判定與性質，熟練掌握菱形的判定與性質，以及A字模型相似三角形的關鍵．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（

）A．5 B．6 C． D．【答案】C【分析】證明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根據(jù)三角形的面積關系求得結果．【詳解】解：∵CD∥AB，∴△ABE∽△CDE，∴=2，∴，故選：C【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質與判定，三角形的面積公式，關鍵在于證明三角形相似．例2.（2022·廣西·中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點D在BE延長線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．【答案】見解析【解答】證明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，∵BA?BC＝BD?BE．即ABBC=BDBE，∴△（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝例3．（2023·上海市九年級期中）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質即可得到結論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．在運用相似三角形的性質時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側，，與相交于點O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當與重合時，連接，若，求的長；②如圖3，當時，連接并延長交直線l于點F，連接．求證：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見解析【分析】（1）過點C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質即可求解．（2）①過點E作于點H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉得，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質即可求證結論．(1)解：過點C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．(2)①過點E作于點H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點D順時針旋轉后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了矩形的判定及性質、三角形相似的判定及性質、等邊三角形的判定及性質、勾股定理的應用，熟練掌握三角形相似的判定及性質和勾股定理的應用，巧妙借助輔助線是解題的關鍵．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結論：AF=AG例1．（2022?惠山區(qū)一模）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，且DE∥BC，BE、CD相交于點O，若S△DOE：S△EOC＝1：3，則當S△ADE＝1時，四邊形DBCE的面積是．【分析】由題意可得出，由相似三角形的性質可得出答案．【解答】解：∵S△DOE：S△EOC＝1：3，∴＝，∵DE∥BC，∴△ODE∽△OCB，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵S△ADE＝1，∴S△ABC＝9，∴四邊形DBCE的面積＝S△ABC﹣S△ADE＝9﹣1＝8．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，解題關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質．例2．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點O，，E為延長線上一點，過點E作，交的延長線于點F．（1）求證；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定兩三角形全等即可；（2）先分別求出BE和DC的長，再利用相似三角形的判定與性質進行計算即可．【詳解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質等，解決本題的關鍵是牢記相關概念與公式，能結合圖形建立線段之間的關聯(lián)等，本題較基礎，考查了學生的幾何語言表達和對基礎知識的掌握與應用等．例3.（2022·成都市九年級期中）如圖：AD∥EG∥BC，EG交DB于點F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．（1）求EB的長；（2）求FG的長．【答案】見解析【解答】解：（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴BEBA=EFAD，即BEBE+6（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴EGBC=AE∴EG=163，∴FG＝EG﹣EF例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質將比例式相加，從而得出結論；（3）作DF∥OB交OC于點F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，對比例式進行恒等變形是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，是邊的中點，于點，則下列結論：①；②；③．其中正確結論的個數(shù)是（

）

A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】A【分析】①先證明，再由，即可證明；②先得到，由矩形的性質可得，由此證明，根據(jù)相似三角形對應邊成比例的性質即可得到結論；③可證根據(jù)相似三角形對應邊成比例的性質即可得到結論．【詳解】解：，∴，，∵四邊形是矩形，∴，，，又，，故①正確；是邊的中點，∴，∵四邊形是矩形，∴，，故②正確；，，，，，，，故③正確，故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，矩形的性質，數(shù)控掌握相關知識是解題關鍵．2．（2023秋·廣東惠州·九年級校考階段練習）如圖，將平行四邊形繞點A逆時針旋轉到平行四邊形的位置，使點落在上，與交于點E，若，，，則的長為（

）

A． B． C． D．1【答案】A【分析】先結合旋轉的性質證明，求出，再證點在同一條直線上，推出，再證明，得出，設，，代入可得，解出x的值即可．【詳解】解：由旋轉的性質可知，，，，∴，∴，∴，，∵，∴，又∵，，∴，即點在同一條直線上，∴，又∵，，∴，∴，即，設，，∴，解得，∴，故選：A．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、旋轉的性質以及相似三角形的判定與性質，有一定難度，解題的關鍵是利用旋轉的性質得出對應邊相等、對應角相等．3．（2023春·福建福州·八年級校考期末）如圖，已知四邊形為矩形，點E在的延長線上，．連接，于點G．若交于點F，，則的長度是（

）

A． B． C．6 D．【答案】A【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出，再由其性質確定，利用矩形的性質及相似三角形的判定和性質求解即可．【詳解】解：，∴，∵，，∴，∵四邊形為矩形，∴，，∵，∴∴，∵，∴∴，設，∴，解得：，負值舍去，故選：A．【點睛】題目主要考查全等三角形及相似三角形的判定和性質，矩形的性質，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．4．（2023春·重慶九龍坡·八年級校考期末）如圖，小明站在兩路燈之間的點處，兩路燈底部的距離，兩路燈的高度均為，小明身高，他在路燈下的影子，在路燈下的影子為，則．

【答案】【分析】先通過證明可求得，進而得到；再證明得到求解即可．【詳解】解：∵,∴,∴,即,解得：∴,∵,∴,∴,即,解得：故答案為．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，靈活應用判定性質判定三角形相似是解答本題的關鍵．5．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點，且，若菱形的面積等于24，，則．

【答案】6【分析】連接，交于點O，由題意易得，，，，則有，然后可得，設，則有，進而根據(jù)相似三角形的性質可進行求解．【詳解】解：連接，交于點O，如圖所示：

∵四邊形是菱形，，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，設，則有，∵，∴，∴，即，∴，同理可得，即，∴，∴；故答案為6．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定及菱形的性質，熟練掌握菱形的性質及相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．6．（2023春·福建福州·八年級福建省福州第十九中學校考期末）如圖，已知在中，，，是邊上的一點，與交于點，若，則．【答案】【分析】如圖，取的中點I，連接并延長，交于點J，中，，于是，，，可證，于是，由平行線分線段成比例，得，，得，，由中位線定理，得，，推出，由可推證，所以．【詳解】如圖，取的中點I，連接并延長，交于點J，中，∴，∵，∴∴∴，∵，∴，∴，∴∴∵∴，

∴∴故答案為：．【點睛】本題考查平行線的判定，平行線分線段成比例定理，中位線定理，相似三角形，直角三角形斜邊中線性質，添加輔助線，構造中線，同時形成中位線是解題的關鍵．7．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在中，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，連接．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，將繞點D順時針旋轉一定角度，得到，當射線交于點G，射線交于點N時，連接并延長交射線于點M，判斷與的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，當時，求的長．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）連接，可得，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，根據(jù)中位線定理可得，即可得證；（2）證明，根據(jù)（1）的結論即可得；（3）連接，過點作于，證明，可得，勾股定理求得，根據(jù)，，可得，進而求得，根據(jù)求得，根據(jù)（2）的結論，即可求解．(1)證明：如圖，連接，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，，，，，(2)，理由如下，連接，如圖，，D，E，F(xiàn)分別為的中點，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，將繞點D順時針旋轉一定角度，得到，，，，，，，(3)如圖，連接，過點作于，中，,，，，，，，，中，，中，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線的性質定理，相似三角形的性質與判定，求角的正確，掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．8．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）己知四邊形中，E，F(xiàn)分別是邊上的點，與交于點G．特例解析：

(1)如圖1，若四邊形是矩形，且，求證：；類比探究：(2)如圖2，若四邊形是平行四邊形，且，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得到，，再根據(jù)同角的余角相等得到，從而可證明，利用相似三角形對應邊成比例即可證明結論；（2）如圖，在的延長線上取點，使，利用平行線的性質以及同角的補角相等證明，利用相似三角形對應邊成比例即可得證．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴；（2）證明：如圖，在的延長線上取點，使，∴，∵四邊形是平行四邊形，

∴，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題主要考查了矩形的性質，平行四邊形的性質，相似三角形的判定與性質，等邊對等角，平行線的性質，同等的余角（或補角）相等．熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．9．（2023春·廣東河源·九年級?？奸_學考試）如圖，已知梯形中，，又，．

(1)對角線與相交于點，交于點，試求的長．(2)如圖，動點由點出發(fā)沿向點移動，速度為單位/分，同時動點由點出發(fā)沿向點移動，速度為單位/分，又與交于點，與交于點．猜想：對于動點和在運動過程中的任一時刻（分別不與，和，重合），始終有，請加以證明．

(3)設梯形的面積為，試問，在（）題點，的運動過程中，四邊形的面積是否發(fā)生變化？如發(fā)生變化，請加以說明；如不發(fā)生變化，請求出它的面積（用的代數(shù)式表示）．【答案】(1)(2)見解析(3)面積不變，面積為【分析】（1）證明和，進而即可得到結論；（2）設點P、Q的運動時間為x分，則，結合，，進而得到，即可求解；（3）由，可得，設梯形的高為h，結合，即可得到荅案.【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）證明：設點P、Q的運動時間為x分，則，∴，∵，∴，∴，同理：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：四邊形的面積不發(fā)生變化，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設梯形的高為h，則，，，∴，，∴，，∴【點睛】本題主要考查相似三角形的性質和判定，平行線的性質，設運動時間為x，用含有x的代數(shù)式表示相關線段是關鍵.10．（2022秋·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，，交于點，點是的中點，連接交于點，．

(1)求證：；(2)求的長；(3)若的面積為2，直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)的長為6(3)四邊形的面積為5【分析】（1）由題意易得，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得，，，則有，設，然后可得，進而問題可求解；（3）由題意易得，，然后問題可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，∵為中點，∴，∴，∴，設，∴，∴，，∴，解得：，∴，∴的長為6；（3）解：∵，∴，∵的面積為2，∴，，∴，∴，∴四邊形的面積為5．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質及平行四邊形的性質是解題是關鍵．11．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預測）問題背景：如圖1，在四邊形中，點F，E，G分別在上，，，求證：嘗試應用：如圖2，是的中線，點E在上，直線交于點G，直線交于點F，若，求的值．遷移拓展：如圖3，在等邊中，點D在上，點E在上，若，，直接寫出的值．（用含m的式子表示）

【答案】問題背景：見解析；嘗試應用：；遷移拓展：【分析】問題背景：根據(jù)，，推出，根據(jù)對應邊成比例即可得到結論；嘗試應用：延長至D，使得，連接，證得四邊形是平行四邊形，得到，由圖（1）得，，即可得到，利用，得到；遷移拓展：過點E作，交于點M，交于點N，得到也是等邊三角形，推出，證明，得到，即，由圖（1）可得，設，則，求出，即可得到．【詳解】問題背景：如圖（1），證明：∵，，∴，∴，∴；嘗試應用：如圖（2），解：延長至D，使得，連接，

∵是的中線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，由圖（1）得，，∴，∴，∵，∴；遷移拓展：如圖（3），

過點E作，交于點M，交于點N，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴也是等邊三角形，∴∴，又∵∴∴，即，∴由圖（1）可得，設，則，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質，應用類比的方法解決問題，正確掌握相似三角形的判定和性質及類比方法是解題的關鍵．12．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長為的正方形中，點在邊上（不與點，重合），射線與射線交于點．(1)若，求的長．(2)求證：．(3)以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．若，求的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明，利用相似三角形的對應邊成比例求解；（2）證明，利用相似三角形的對應邊成比例證明；（3）設，則，，在中，利用勾股定理求解．【詳解】（1）解：由題知，，若，則．四邊形是正方形，，又，，，即，．（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，．（3）解：設，則，．在中，，即，解得．．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理的應用，正方形的性質等，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．13．（2022·上海市九年級期中）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DEBC，．（1）求證：DFBE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求證△ADE∽△AEB．【分析】（1）由題意易得，則有，進而問題可求證；（2）由（1）及題意可知，然后可得，進而可證，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DEBC，∴，∵，∴，∴DFBE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，，AE=6，∵AB＝6，∴，∴，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．14．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．(1)當F為BE的中點時，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質，證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點E為CD的中點，即可證明結論；(2)利用△BMF∽△ECF，得，從而求出BM的長，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的長，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的長，由（2）同理可得答案．(1)證明：∵F為BE的中點，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵點E為CD的中點，∴CE＝CD，∵AB＝CD，∴，∴，∴AM＝CE；(2)∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；(3)∵MN∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴，由（2）同理得，，∴，解得：AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，三角函數(shù)等知識，求出BM的長是解決（2）和（3）的關鍵．15．（2022?重慶中考模擬）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結論：？方法回顧：兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當兩個三角形的底成高具有一定的關系時，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個結論，請你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．結論應用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點，延長GA到E，連接DE交BA的延長線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．【答案】探究一：（2）見解析；延伸探