專題04 垂直模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）-（解析版）

垂直模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）1．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交AB于E，交BC于D，求BD的長(zhǎng)．【解答】BD＝【解析】連接AD，∵AB的垂直平分線交AB于E，∴AD＝BD，設(shè)BD＝x，則AD＝8﹣x，在Rt△ACD中，∵AC＝3，CD＝8﹣x，AD＝x，∴AC2+CD2＝AD2，即32+（8﹣x）2＝x2，解得x＝，即BD＝．2．已知：如圖，△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠BCA的平分線與AB邊的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別是E、F．（1）求證：AE＝BF；（2）求AE的長(zhǎng)；（3）求線段DG的長(zhǎng)．【解答】（1）見解析；（2）AE＝1；（3）DG＝5【解析】（1）證明：如圖連接AD、BD．∵∠DCE＝∠DCB，DE⊥CA，DF⊥CB，∴DE＝DF，∠AED＝∠DFB＝90°，∵DG垂直平分AB，∴DA＝DB，在RT△DEA和RT△DFB中，，∴△DEA≌△DFB，∴AE＝BF．（2）設(shè)AE＝BF＝x，在RT△CDE和RT△CDF中，，∴△CDE≌△CDF，∴CE＝CF，∴6+x＝8﹣x，∴x＝1，∴AE＝1．（3）∵△DEA≌△DFB，∴∠ADE＝∠BDF，∴∠EDF＝∠ADB，∵AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵∠CED＝∠CFD＝∠ECF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠ADB＝90°，∵AG＝GB，∴DG＝AB＝5．3．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D在AB上，PD始終保持與PA相等，BD的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接DE．（1）判斷DE與DP的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AC＝6，BC＝8，PA＝2，求線段DE的長(zhǎng)．【解答】（1）DE⊥DP，理由見解析；（2）DE＝4.75【解析】（1）DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A＝∠PDA，∵EF是BD的垂直平分線，∴EB＝ED，∴∠B＝∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB＝90°，∴∠PDE＝180°﹣90°＝90°，∴DE⊥DP；（2）連接PE，設(shè)DE＝x，則EB＝ED＝x，CE＝8﹣x，∵∠C＝∠PDE＝90°，∴PC2+CE2＝PE2＝PD2+DE2，∴42+（8﹣x）2＝22+x2，解得：x＝4.75，則DE＝4.75．4．（1）如圖1，將兩個(gè)全等的三角板如圖擺放，其中△ABC和△ADE的直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)A處，∠ADE＝∠ABC＝60°，且點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于點(diǎn)F．求證：CF＝EF．（2）如圖2，將這兩個(gè)三角板如圖擺放，直角頂點(diǎn)A仍然重合，BC與DE相交于點(diǎn)F，AC與DE交于點(diǎn)M，AE和BC交于點(diǎn)N．猜想CF和EF還相等嗎？說明理由．（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，若∠DAM＝30°．求證：線段DF和AC互相垂直平分．【解答】（1）見解析；（2）相等，理由見解析；（3）見解析【解析】（1）證明：∵AB＝AD，AC＝AE∴AC﹣AD＝AE﹣AB，即CD＝EB，在△CDF和△EBF中，，∴△CDF≌△EBF（AAS）∴CF＝EF；（2）相等．理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAN＝∠DAM，在△BAN和△DAM中，，∴△BAN≌△DAM（ASA）∴AN＝AM，∴AC﹣AM＝AE﹣AD，即CM＝EN，在△CMF和△ENF中，，∴△CMF≌△ENF（AAS）∴CF＝EF；（3）證明：連接AF，當(dāng)∠DAM＝30°時(shí)，∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC⊥DF，即∠AMD＝∠AMF＝∠CMF＝90°，∠CAN＝∠DAE﹣∠DAM＝90°﹣30＝60°，在△ACF和△AEF中，，∴△ACFA≌△AEF（SSS），∴∠CAF＝∠EAF，∴∠CAF＝∠EAF＝∠CAN＝30°，在△ADM和△AFM中，，∴△ADM≌△AFM（ASA）∴DM＝FM，即AC平分DF，在△CFM和AFM中，∴△CFM≌AFM（ASA）∴AM＝CM，即DF平分AC，綜上所述，AC和DF互相垂直平分．5．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點(diǎn)M，與BD相交于點(diǎn)O，與BC相交于點(diǎn)N，連接BM、DN．（1）求證：四邊形BMDN是菱形；（2）若AB＝4，AD＝8，求MD的長(zhǎng)．【解答】（1）見解析；（2）MD長(zhǎng)為5【解析】（1）∵四邊形ABCD是矩形∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵在△DMO和△BNO中∴△DMO≌△BNO（ASA），∴OM＝ON，∵OB＝OD，∴四邊形BMDN是平行四邊形，∵M(jìn)N⊥BD，∴平行四邊形BMDN是菱形；（2）∵四邊形BMDN是菱形，∴MB＝MD，設(shè)MD長(zhǎng)為x，則MB＝DM＝x，在Rt△AMB中，BM2＝AM2+AB2即x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5，答：MD長(zhǎng)為5．6．如圖，AD為△ABC的高，點(diǎn)H為AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)，HC＝AB．（1）如圖1，求證：∠B＝2∠C；（2）如圖2，若2∠DAF＝∠B﹣∠C①求證：AC＝BF+BA；②直接寫出的值．【解答】（1）見解析；（2）①見解析；②2【解析】證明：（1）連接AH∵H為AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)∴HA＝HC＝AB∴∠B＝∠AHC＝2∠C（2）①∵2∠DAF＝∠B﹣∠C∴∠DAF＝∠B﹣∠C在Rt△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠FAC﹣∠C∴90°﹣∠FAC﹣∠C＝∠B﹣∠C∴∠FAC＝90°﹣∠B﹣∠C＝∠BAC，即AF平分∠BAC在AC上截取AG＝AB，連接FG∴△BAF≌△GAF（SAS），∴BF＝FG∴∠B＝∠AGF∵∠B＝2∠C∴∠AGF＝2∠C∴∠GFC＝∠C∴FG＝GC∴AC＝AG+GC＝BF+BA②在DB上截取DM＝DF，連接AM∴△ADF≌△ADM（SAS）∴∠DAF＝∠DAM∴∠MAC＝2∠DAF+∠FAC＝∠B﹣∠C+（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°+∠B﹣∠C又∠AMC＝∠AFM＝∠C+∠FAC＝∠C+∠BAC＝∠C+（180°﹣∠B﹣∠C）＝90°﹣∠B+∠C∵∠B＝2∠C∴∠MAC＝∠AMC＝90°﹣∠C∴AC＝MC∴＝2．7．已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B，PD交⊙O于點(diǎn)C、D，PE是⊙O的切線，E為切點(diǎn)，連結(jié)AE，交CD于點(diǎn)F．（1）證明：PE＝PF；（2）若PF＝26，sinA＝，求EF的長(zhǎng)．【解答】（1）見解析；（2）EF＝20【解析】（1）∵PE是⊙O的切線，∴∠PEO＝90°，∴∠PEF＝90°﹣∠AEO，∠PFE＝∠AFB＝90°﹣∠A，∵OE＝OA，∴∠A＝∠AEO，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF；（2）過點(diǎn)P作PG⊥EF于點(diǎn)G，∴∠PGF＝∠ABF＝90°，∵∠PFG＝∠AFB，∴∠FPG＝∠A，∴FG＝PF?sinA＝26×＝10，∵PE＝PF，∴EF＝2FG＝20．8．如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點(diǎn)C作DA的平行線與AF相交于點(diǎn)F，CD＝2，BE＝1．求證：（1）四邊形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切線．【解答】（1）見解析；（2）見解析【解析】證明：（1）連接OC，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝×2＝，設(shè)OC＝x，∵BE＝1，∴OE＝x﹣1，在Rt△OCE中，OC2＝OE2+CE2，∴x2＝（x﹣1）2+（）2，解得：x＝2，∴OA＝OC＝2，OE＝2，∴AE＝3，在Rt△AED中，AD＝，∴AD＝CD，∵AF是⊙O切線，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四邊形FADC是平行四邊形，∵AD＝CD，∴平行四邊形FADC是菱形；（2）連接OF，AC，∵四邊形FADC是菱形，∴FA＝FC，∴∠FAC＝∠FCA，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠FAC+∠OAC＝∠FCA+∠OCA，即∠OCF＝∠OAF＝90°，即OC⊥FC，∵點(diǎn)C在⊙O上，∴FC是⊙O的切線．9．已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E、F分別在BC、CD上，連接AE、EF、AF，且∠DAE＝∠AEF．（1）求證：EF＝BE+DF；（2）線段AF的垂直平分線交AD于點(diǎn)G，連接FG，求證：∠EFG＝90°；（3）在（2）的條件下，若tan∠DFG＝，EF＝，求S△AEF．【解答】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）過點(diǎn)A作AH⊥EF于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵∠DAE＝∠AEF，∴∠BEA＝∠AEF，在△ABE和△AHE中，∵，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴AB＝AH，BE＝HE，∴AH＝AD，∴Rt△AHF≌Rt△ADF（HL），∴DF＝HF，∵EF＝HE+HF，∴EF＝BE+DF；（2）如圖2，由題意知GA＝GF，∴∠GAF＝∠GFA，由（1）知∠AFE＝∠AFD，∵∠FAD+∠AFD＝90°，∴∠GFA+∠AFE＝90°，∴∠EFG＝90°；（3）由tan∠DFG＝可設(shè)DG＝3x，DF＝4x，則，EH＝DF＝4x，∴BC＝CD＝AD＝8x，∴CF＝CD﹣DF＝4x，∵EF＝，∴BE＝EH＝EF﹣FH＝﹣4x，則EC＝BC﹣BE＝8x﹣（﹣4x）＝12x﹣，在Rt△ECF中，由EF2＝EC2+CF2得（）2＝（12x﹣）2+（4x）2，解得：x1＝0（舍），x2＝1，即AH＝AD＝8x＝8，∴S△AEF＝EF?AH＝××8＝．10．如圖，在⊙O中，直徑AB垂直于弦CD，垂足為E，連結(jié)AC，將△ACE沿AC翻轉(zhuǎn)得到△ACF，直線FC與直線AB相交于點(diǎn)G．（1）求證：FG是⊙O的切線；（2）若B為OG的中點(diǎn)，CE＝，求⊙O的半徑長(zhǎng)；（3）①求證：∠CAG＝∠BCG；②若⊙O的面積為4π，GC＝2，求GB的長(zhǎng)．【解答】（1）見解析；（2）2；（3）①見解析；②GB＝2【解析】（1）證明：連接OC，如圖，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵△ACE沿AC翻折得到△ACF，∴∠OAC＝∠FAC，∠F＝∠AEC＝90°，∴∠OCA＝∠FAC，∴OC∥AF，∴∠OCG＝∠F＝90°，∴OC⊥FG，∴直線FC與⊙O相切；（2）連接BC．∵點(diǎn)B是Rt△OCG斜邊的中點(diǎn)，∴CB＝OG＝OB＝OC，∴△OCB是等邊三角形，且EC是OB上的高，在Rt△OCE中，∵OC2＝OE2+CE2，即OC2＝OC2+（）2，∴OC＝2，即⊙O的半徑為2．（3）①∵OC＝OB，∴∠CBA＝∠OCB，∵∠CAG+∠CBA＝90°，∠BCG+∠BCO＝90°，∴∠CAG＝∠BCG．②∵4π＝π?OB2，∴OB＝2，由①可知：△GCB∽△GAC，∴，即，∴，解得GB＝2．11．如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D為BC邊上的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，BF∥AC交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AB垂直平分DF．【解答】見解析【解析】證明：連接DF，∵∠BCE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠BCE＝∠CAE．∵AC⊥BC，BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD＝∠CBF＝90°，∵AC＝CB，∴△ACD≌△CBF．∴CD＝BF．∵CD＝BD＝BC，∴BF＝BD．∴△BFD為等腰直角三角形．∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°．∵∠FBD＝90°，∴∠ABF＝45°．∴∠ABC＝∠ABF，即BA是∠FBD的平分線．∴BA是FD邊上的高線，BA又是邊FD的中線，即AB垂直平分DF．12．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為邊AB上一點(diǎn)，DO垂直平分CE于點(diǎn)O，以CE為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)F．（1）求證：AB與⊙O相切；（2）若CD?CF＝12，求⊙O的半徑長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，若AE＝OD，求AD的長(zhǎng)．【解答】（1）見解析；（2）；（3）AD＝3【解析】（1）證明：連接DE，∵DO垂直平分CE，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴DB＝DC，∴DE＝DB，∴∠DEB＝∠B，∴∠DEB+∠DEC＝∠DC