專題04 雙角平分線模型與角n等分線模型（解析版）

專題04雙角平分線模型與角n等分線模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，關(guān)于角的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來(lái)講，這類題通常由問(wèn)題出發(fā)，先由角的和差確定解題方向，然后輔以角平分線來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的雙角平分線模型，可以寫出角的和差種類較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的角的和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

雙角平分線模型圖1圖2圖31）雙角平分線模型（兩個(gè)角無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.2）雙角平分線模型（兩個(gè)角有公共部分）條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC；結(jié)論：.3）拓展模型：雙角平分線模型（三個(gè)角圍成一個(gè)周角）條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；結(jié)論：.例1．（2023春·山東菏澤·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平分，平分，，，（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義和角的運(yùn)算求解即可．【詳解】解：∵平分，平分，，∴，，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義和角度的運(yùn)算，熟練掌握與角平分線的有關(guān)的角度運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．例2．（2023秋·廣東七年級(jí)月考）如圖，射線平分，平分，有以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義得出，，即可得出，依次進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵射線平分，平分，∴，，∴，故①正確；∵，，∴，故②正確；∵，∴，故③正確；，故④錯(cuò)誤；綜上分析可知，正確的是①②③，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的定義，得出．例3．（2023秋·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在外部，，分別是，的平分線．，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用角平分線平分角，及大角等于小角加小角，小角等于大角減小角，進(jìn)行角度的轉(zhuǎn)化計(jì)算即可．【詳解】解：，，，平分，平分，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，掌握從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的角平分線是關(guān)鍵．例4．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，，射線平分，射線平分，射線OE平分，則等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由角平分線的定義，則，，，直接求值即可．【詳解】解：∵，射線平分，∴；∵射線平分，∴；∵射線平分，∴；∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，先找角與角之間的關(guān)系，再運(yùn)算．例5．（2023·河南·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數(shù)是．

【答案】【分析】由角平分線性質(zhì)推理得，，，據(jù)此規(guī)律可解答．【詳解】解：，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，、分別是和的平分線，，，…，由此規(guī)律得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、圖形規(guī)律等知識(shí)，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．例6．（2023秋·山西太原·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，，在的內(nèi)部，在的內(nèi)部，是的一三等分線，若，則的度數(shù)為．

【答案】或【分析】先根據(jù)余角的定義可得，再根據(jù)是的一三等分線可得或，據(jù)此分兩種情況解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∵是的一三等分線，∴或，∵，，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，的度數(shù)為110或130．故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直的定義、余角的性質(zhì)、等分線等知識(shí)點(diǎn)，掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．例7．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，，在同一條直線上，，分別平分和．(1)求的度數(shù)；(2)如果．①求的度數(shù)；②若，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)；(2)①；②或．【分析】（1）由角平分線定義可知，，再根據(jù)和可得結(jié)果；（2）①利用角之間的和差關(guān)系求解即可；②分當(dāng)在上方時(shí)，當(dāng)在下方時(shí)，利用角之間的和差關(guān)系求解即可．【詳解】（1）解：∵，分別平分和，∴，，則，∵，∴；（2）①∵，，∴，由（1）可知，，則，∴，②由①可知，，∵平分，∴，當(dāng)在上方時(shí)，；當(dāng)在下方時(shí)，；綜上，為或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，利用角的和差關(guān)系求解的度數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形，找角之間的和差關(guān)系．例8．（2023秋·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)?？计谀┙獯痤}：(1)如圖，若，，、分別平分、，求的度數(shù)；(2)若，是平面內(nèi)兩個(gè)角，，，、分別平分、，求的度數(shù)．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，；當(dāng)射線在的外部時(shí)，．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，即可得出答案；（2）由于無(wú)法確定射線的位置，所以需要分類討論：若射線在的內(nèi)部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；若射線在的外部時(shí)，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】（1）∵，平分，∴∵分別平分，．∴∴．（2）若射線在的內(nèi)部，如圖2∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的內(nèi)部時(shí)，．若射線在外部時(shí)，如圖3∵，，、分別平分、．∴∴．所以當(dāng)射線在的外部時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義和角的有關(guān)計(jì)算，利用角平分線的定義求解角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．例9．（2022秋·河南商丘·七年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與探究：如圖1，在的內(nèi)部畫射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若這兩個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數(shù)為_(kāi)_________．(2)如圖2，已知，過(guò)點(diǎn)O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數(shù)（）．【答案】(1)或(2)或或或【分析】（1）根據(jù)“3等分線”的定義分和兩種情況求解即可；（2）分為的“3等分線”和為的“3等分線”兩種情況求解即可．【詳解】（1）根據(jù)“3等分線”的定義可得，或∵∴或故答案為：或（2）①當(dāng)OA在的內(nèi)部時(shí)，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或②當(dāng)OB在的內(nèi)部時(shí)，如圖，根據(jù)“3等分線”的定義可得，或此時(shí)，或綜上，的度數(shù)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的和差倍分，熟練掌握“3等分線”的定義是解答本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023北京市昌平區(qū)七年級(jí)月考）如圖，已知射線OC平分∠AOB，射線OD，OE三等分∠AOB，又OF平分∠AOD，圖中等于∠BOE的角共有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的定義和三等分線分析求解即可.【詳解】解：∵射線OD，OE三等分∠AOB，∴∵OF平分∠AOD，OC平分∠AOB，∴又∵射線OD，OE三等分∠AOB，∴∴,共3個(gè)故選C.【點(diǎn)睛】利用角平分線和角的三等分點(diǎn)證明角的等量關(guān)系是本題的解題關(guān)鍵.2．（2023·湖北七年級(jí)期中）如圖，OB，OC是的兩條三等分線，則下列說(shuō)法①；②；③；④OC平分，其中不正確的是（只填序號(hào)）．【答案】②【分析】由OB、OC是∠AOD的兩條三等分線，得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD，以此判斷即可．【詳解】解：OB、OC是∠AOD的兩條三等分線，故∠AOB＝∠BOC＝∠COD∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3∠BOC，故①正確；∠AOD＝3∠BOC，2∠AOC＝2（∠AOB＋∠BOC）＝4∠BOC故②不正確，故③正確；∠COD＝∠BOC，故④正確；故答案為：②．【點(diǎn)睛】本題考查了角的n等分線的定義，熟練掌握角等分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽合肥·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）平面內(nèi)，，為內(nèi)部一點(diǎn)，射線平分，射線平分，射線平分，當(dāng)時(shí)，的度數(shù)是．【答案】【分析】首先根據(jù)角平分線的定義可得，再設(shè)，用含的代數(shù)式表示出和，根據(jù)題意列出方程可得答案．【詳解】解：當(dāng)在外部時(shí)，

射線平分，射找平分，，，，射線平分，，設(shè)，則，，，解得，∴；當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，

射線平分，射找平分，，，，射線平分，，設(shè)，則，，，解得：，不合題意；綜上，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義和角的有關(guān)計(jì)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生計(jì)算能力和推理能力，注意要分類討論．4．（2023秋·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若，，分，平分，則的度數(shù)是．【答案】或【分析】根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，當(dāng)在外部時(shí)，再根據(jù)角平分線是定義以及角度之間的和差關(guān)系即可進(jìn)行解答．【詳解】解：當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，∵分，平分，∴，，∴；當(dāng)在外部時(shí)，∵分，平分，∴，，∴；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義以及角度之間的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，進(jìn)行分類討論．5．（2023·廣東梅州·七年級(jí)期末）如圖，是直線上一點(diǎn)，為任一條射線，平分，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)猜想：與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)先求出的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義即可求出；（2）根據(jù)角平分線的定義表示出與，然后整理即可得解．【詳解】（1），，，平分，；（2）．平分，；平分，；，．【點(diǎn)睛】本題考查了余角和補(bǔ)角的概念，角度的計(jì)算，以及角平分線的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟記概念是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江蘇七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，平分，平分．

(1)若，求的度數(shù)；(2)設(shè)，能否求出的度數(shù)？若能，請(qǐng)求出其值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若將題干中“”改為“（）”，其他條件不變，設(shè)，請(qǐng)用含的式子表示的度數(shù)【答案】(1)(2)能，(3)【分析】（1）可求，從而可求，，接可求解；（2）可求，從而可求，，接可求解；（3）可求而可求，，接可求解．【詳解】（1）解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠椒郑椒?，所以，，所以，故的度?shù)．（2）解：能；因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠椒郑椒?，所以，，所以，故的度?shù)．（3）解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槠椒?，平分，所以，，所以，故的度?shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，角的和差運(yùn)算，理解定義，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·江蘇七年級(jí)月考）根據(jù)要求，回答下列問(wèn)題：(1)如圖①，，是的平分線，，分別平分，，求的度數(shù)．(2)如圖②，在（1）中，把“是的平分線”改為“是內(nèi)任意一條射線”，其他條件都不變，試求的度數(shù)．(3)如圖③，在（1）中，若把“是的平分線”改為“是外任意一條射線”，其他條件都不變，能否求出的度數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．(4)在（2）（3）中，若把“”改為“”，其他條件不變，的度數(shù)是多少？請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【答案】(1)(2)(3)能，理由見(jiàn)解析(4)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)，分別平分，，得出，，即可得出答案；（3），分別平分，，得出，，根據(jù)求出結(jié)果；（4）分情況討論，當(dāng)是內(nèi)任意一條射線時(shí)，當(dāng)是外任意一條射線時(shí)，求出結(jié)果，最后得出結(jié)論即可．【詳解】（1）解：∵是的平分線，∴，∵，分別平分，，∴，，∴．（2）解：∵，分別平分，，∴，，∴．（3）解：能，理由如下：∵，分別平分，，∴，，∴．（4）解：當(dāng)是內(nèi)任意一條射線時(shí)，∵，分別平分，，∴，，∴；當(dāng)是外任意一條射線時(shí)，∵，分別平分，，∴，，∴；綜上分析可知，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合．8．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，已知，在的外部畫，然后分別畫出與的平分線和．(1)下面的兩個(gè)圖形都符合題意．其中，圖①中______度；圖②中______度．(2)若，且當(dāng)時(shí)，求；當(dāng)時(shí)，______．【答案】(1)圖①；圖②(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【分析】（1）求圖①中時(shí)，根據(jù)角平分線的定義可以推導(dǎo)出，，又因?yàn)?，，再推?dǎo)一下即可得出結(jié)果；求圖②中時(shí)，同樣根據(jù)角平分線的定義可以推導(dǎo)出，，又因?yàn)?，再推?dǎo)一下即可得出結(jié)果．（2）當(dāng)時(shí)，根據(jù)已知條件以及角平分線的定義可以推導(dǎo)出，，又因?yàn)?，再推?dǎo)一下可得出結(jié)果；當(dāng)時(shí)，根據(jù)已知條件以及角平分線的定義可以推導(dǎo)出，，再推導(dǎo)一下即可得出結(jié)果．【詳解】（1）兩個(gè)圖形都符合題意，對(duì)于圖①有，，，，；對(duì)于圖②有，，．（2）當(dāng)時(shí)（如圖①），，，平分，平分，，，，；當(dāng)時(shí)（如圖②），，平分，平分，，．【點(diǎn)睛】本題綜合運(yùn)用了角平分線的定義及角的和差計(jì)算方法，熟記角平分線的定義以及熟練角的和差計(jì)算是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，．(1)如圖1，若，在的左側(cè)，則_____________；(2)如圖2，平分，平分，求．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行解答：當(dāng)在左側(cè)時(shí)；當(dāng)在右側(cè)時(shí)；（2）設(shè)，先求出，再根據(jù)角平分線的定義得出，，最后根據(jù)角度之間的和差關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)在左側(cè)時(shí)；∵，，∴，∵，∴，當(dāng)在右側(cè)時(shí)；∵，，∴，∵，∴，故答案為：或；（2）設(shè)，∵，，，∴，∵平分，∴，∴，∵平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的和差運(yùn)算，和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角度的運(yùn)算規(guī)律和法則．10．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，射線在的內(nèi)部，已知（），與分別是和的平分線．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為_(kāi)_________；(3)繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)與之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)數(shù)量關(guān)系是：__________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出的度數(shù)，再由角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)求解即可；（2）先求出的度數(shù)，再由角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)求解即可；（3）用表示出的度數(shù)，再由角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）∵，，∴，∵與分別是和的平分線，∴，∴；（2）∵，，∴，∵與分別是和的平分線，∴，∴；故答案為：；（3）∵，∴，∵與分別是和的平分線，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義及角的和差，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知內(nèi)有三條射線，其中平分角，平分(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，求的度數(shù)；（用含的代數(shù)式表示）；(3)若將題中的“平分”的條件改為“，，且”，其他條件不變，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，，進(jìn)而得出，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)題意，，進(jìn)而得出．【詳解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∴，∵，∴；（2）由（1）可知，；（3）∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的相關(guān)計(jì)算，角度的和差倍分等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．12．（2023秋·江西南昌·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)C在直線上，射線，在直線的同一側(cè)．(1)如圖1，若，，則__________度；(2)如圖2，若平分，平分，，求的度數(shù)；(3)如圖3，若平分，平分，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用平角的定義直接計(jì)算即可；（2）設(shè)，，，根據(jù)角平分線的定義得到，，利用平角的定義列方程求出x值，從而根據(jù)求出結(jié)果；（3）設(shè)，表示出，根據(jù)角平分線的定義得到，，再利用得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵，，∴，故答案為：；（2）∵，∴設(shè)，，，∵平分，平分，∴，，∴，即，解得：，∴；（3）設(shè)，則，∵，則，∵平分，平分，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)校考期中）已知O為直線上一點(diǎn)，作射線、、，且平分．(1)如圖1，當(dāng)、、均在上方時(shí)，若，，則______．(2)如圖2，當(dāng)、在上方，在的下方時(shí)，若，，求的度數(shù)．(3)在（2）的條件下，作射線，若，請(qǐng)畫出圖形，并求的度數(shù)．

【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）先求解，結(jié)合角平分線可得，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）先求解，結(jié)合角平分線的含義可得，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（3）如圖一：當(dāng)在的上方時(shí)，先求解，再利用角的和差關(guān)系可得答案；如圖二：當(dāng)在的下方時(shí)，先求解，結(jié)合，再利用角的和差關(guān)系可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）∵，，∴，又平分，∴，∴，，；（3）如圖一：當(dāng)在的上方時(shí)，

∵，，∴∴如圖二：當(dāng)在的下方時(shí)，

∵，，∴又∵∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是角的和差運(yùn)算，角平分線的定義，熟練的利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算是解本題關(guān)鍵．14．（2022春·湖北襄陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O在直線EF上，點(diǎn)A、B與點(diǎn)C、D分別在直線EF兩側(cè)，且，．

(1)如圖1，若平分，求的度數(shù)；(2)如圖2，在（1）的條件下，平分，過(guò)點(diǎn)O作射線，求的度數(shù)；(3)如圖3，若在內(nèi)部作一射線，若，，試判斷與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和周角是可得的度數(shù)；（2）分兩種情況：當(dāng)在下方時(shí)；當(dāng)在上方時(shí)，計(jì)算即可；（3）由，，設(shè)，則，再結(jié)合角平分線的性質(zhì)可用表達(dá)出的度數(shù)，求出與的度數(shù)．【詳解】（1）平分，，，．（2）當(dāng)在下方時(shí)，

平分，，，，，，．當(dāng)在上方時(shí)，

平分，，，，，，，；（3）設(shè)，則，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的和差計(jì)算，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，結(jié)合圖形找到角度之間的和差關(guān)系是解題關(guān)鍵．15．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，平分，平分．

(1)求的度數(shù)；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)【答案】(1)(2)(3)；【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合圖形，可得，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)題意可得，進(jìn)而根據(jù)角平分線的定義即可求解；（3）同（2）的方法，即可求解．【詳解】（1）解：，平分，平分，；（2），，平分，；（3），，平分，，．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何圖形的角度計(jì)算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知O為直線上一點(diǎn)，作射線，且平分．

(1)如圖1，當(dāng)均在上方時(shí)，若，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)在上方，在的下方時(shí)，若，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，作射線，若與互余，請(qǐng)畫出圖形，并求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)圖見(jiàn)解析，或【分析】（1）根據(jù)圖中角之間位置關(guān)系得角之間數(shù)量關(guān)系，，計(jì)算求解．（2）設(shè)，則，，由平角建立方程求解，得，，，于是．（3）分情況討論：當(dāng)在上方，可求；當(dāng)在下方，可求得，從而．【詳解】（1）解：，平分，．．答：為；（2）設(shè)，則，，由題意得：，解得．．，．．答：的度數(shù)是；（3）當(dāng)在上方，

與互余，．．，．當(dāng)在下方，

，，．．答：是或．【點(diǎn)睛】本題主要考查角度的計(jì)算，根據(jù)圖形中角之間的位置關(guān)系導(dǎo)出角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·山東·七年級(jí)期末）如圖所示，已知OB，OC是∠AOD內(nèi)部的兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．（1）若∠BOC=25°，∠MOB=15°，∠NOD=10°，求∠AOD的大小；（2）若∠AOD=75°，∠MON=55°，求∠BOC的大?。唬?）若∠AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）∠AOD=75°；（2）∠BOC=35°；（3）．【分析】（1）利用角平分線的定義可得∠AOB=2∠MOB=30°，∠COD=2∠NOD=20°，然后利用∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD，可得結(jié)果；（2）由角的加減可得∠AOM+∠DON的度數(shù)，從而求得∠BOM+∠CON，再利用∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）可得結(jié)果；（3）由OM與ON分別為角平分線，利用角平分線的定義得到兩對(duì)角相等，根據(jù)∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON，等量代換即可表示出∠BOC的大?。驹斀狻拷猓海?）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD∴∠AOB=2∠MOB=30°，∠COD=2∠NOD=20°∴∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=30°+25°+20°=75°（2）∵∠AOD=75°，∠MON=55°，∴∠AOM+∠DON=∠AOD-∠MON=20°，∵∠BOM+∠CON=∠AOM+∠DON=20°，∴∠BOC=∠MON-（∠BOM+∠CON）=55°-20°=35°，（3）∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∴∠AOM=∠BOM=∠AOB，∠CON=∠DON=∠COD，∵∠BOC=∠MON-∠BOM-∠CON=∠MON-∠AOB-∠COD=∠MON-（∠AOB+∠COD）=∠MON-（∠AOD-∠BOC）=β-（α-∠BOC）=β-α+∠BOC，∴∠BOC=2β-α．【點(diǎn)睛】此題考查了角的計(jì)算，以及角平分線定義，利用了等量代換的思想，熟練掌握角平分線定義是解本題的關(guān)鍵．18．（2023·河北滄州·七年級(jí)?？计谀┮阎螦OB＝90°，（1）如圖1，OE、OD分別平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD＝64°，則∠BOC是°；（2）如圖2，OE、OD分別平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC＝40°，求∠EOD的度數(shù)（寫推理過(guò)程）．（3）若OE、OD分別平分∠AOC和∠BOC，∠BOC＝α（0°＜α＜180°），則∠EOD的度數(shù)是°（在稿紙上畫圖分析，直接填空）．【答案】（1）38；（2）45°；（3）45或135．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠EOD=（∠AOB+∠BOC），代入已知角度計(jì)算可求；（2）根據(jù)已知得所求∠EOD=∠EOC-∠COD，而∠COD=∠BOC，∠EOC=∠AOC，相減得出所求；（3）分析兩種可能性，當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)和90°＜α＜180°時(shí)，計(jì)算方法同（2）．【詳解】解：（1）∵OE、OD分別平分∠AOB和∠BOC，∴∠EOB=∠AOB，∠BOD=∠BOC，∴∠EOD=∠EOB+∠BOD=（∠AOB+∠BOC），∴∠BO