專題04 圓中的重要模型之圓中的翻折模型（解析版）

專題04圓中的重要模型之圓中的翻折模型知識儲備：1、翻折變換的性質(zhì)：翻折前后，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)點(diǎn)之間的連線被折痕垂直平分；2、圓的性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等，所對的弦也相等；同弧或等弧所對的圓周角相等；3、等圓相交：如圖，圓O和圓G為兩個(gè)相等的圓，圓O和圓G相交，相交形成的弦為AB，則弦AB為整個(gè)圖形的對稱軸，圓心O和圓心G關(guān)于AB對稱，弧ACB和弧ADB為等弧，且關(guān)于AB對稱；4、弧翻折（即等圓相交）：如圖，以弦BC為對稱軸，將弧BC翻折后交弦AB于點(diǎn)D，那么弧CDB所在的圓圓G與圓O是相等的圓，且兩個(gè)圓關(guān)于BC對稱，故圓心O、G也關(guān)于BC對稱。模型1.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如圖，以圓O的一條弦BC為對稱軸將弧BC折疊后與弦AB交于點(diǎn)D，則CD=CA特別的，若將弧BC折疊后過圓心，則CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·福建莆田·九年級?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過的中點(diǎn)．若的半徑為5，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AC、OB、OD、CD，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知于點(diǎn)D，由勾股定理可知OD的值，再利用折疊性質(zhì)判斷AC=DC，利用等腰三角形性質(zhì)得出，再證明四邊形ODFE為正方形，得到△CFB為等腰三角形，計(jì)算出弧AC所對圓周角度數(shù)，進(jìn)而得弧AC所對圓周角度數(shù)，再代入弧長公式可得弧長．【詳解】解：連接AC、OB、OD、CD，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知于點(diǎn)D，又CA、CD所對的圓周角為、，且，△CAD為等腰三角形又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=四邊形ODFE為正方形故△CFB為等腰三角形，所對的圓心角為故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算、圓的折疊的性質(zhì)、圓周角定理和垂徑定理，熟練掌握性質(zhì)定理和弧長公式是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，將劣弧沿弦所在的直線翻折，交于點(diǎn)，則的度數(shù)等于(

)．A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再根據(jù)優(yōu)弧所對的圓周角為，得到，然后根據(jù)，計(jì)算求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，是直徑，，，．根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角為，優(yōu)弧所對的圓周角為，，，，故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)題意作出直徑所對的圓周角，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．難點(diǎn)是理解.例3．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，已知是的直徑，且，是上一點(diǎn)，將弧沿直線翻折，使翻折后的圓弧恰好經(jīng)過圓心，則（1）的長是．（2）劣弧的長是．【答案】【分析】（1）首先利用垂徑定理以及“30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”得出∠EAO為30°，由此進(jìn)一步利用三角函數(shù)即可得出AC；（2）由（1）進(jìn)一步得出∠COB=60°，然后進(jìn)一步結(jié)合題意直接計(jì)算出劣弧BC的長即可.【詳解】如圖，作交于，交于，連接，，則：OA=OF=OC=OB，（1）由折疊的性質(zhì)可知，，∴，∴在Rt△AOE中，30°，∵AB=4，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°∴在Rt△CAB中，cos∠CAB，∴，故答案為：；（2）由（1）可得∠CBO=90°?∠CAB=60°，又∵CO=OB，∴∠COB=60°，∴劣弧的長，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的性質(zhì)和弧的長度計(jì)算與三角函數(shù)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.例4．（2022春·湖北荊州·九年級專題練習(xí)）如圖，為的直徑，將沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】連結(jié)AC，DC，過點(diǎn)C作CE⊥AB與E，點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，連結(jié)CD′，BD，設(shè)AC=x，根據(jù)直徑時(shí)圓周角性質(zhì)得出∠ACB=90°，利用三角函數(shù)求出，然后利用勾股定理構(gòu)建方程，即，求出，，利用面積橋求出斜邊上高CE與AE，根據(jù)BC為折痕，點(diǎn)D與點(diǎn)D′對稱，得出∠ABC=∠D′BC，，可得AC=CD，利用等腰三角形性質(zhì)求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化求即即可．【詳解】解：連接AC，DC，過點(diǎn)C作CE⊥AB與E，點(diǎn)D關(guān)于BC的對稱點(diǎn)D′，連接CD′，BD′設(shè)AC=x，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，∴AE=，∵BC為折痕，點(diǎn)D與點(diǎn)D′對稱，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S陰影=S△ACD=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的性質(zhì)綜合，折疊性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，不規(guī)則圖形的面積，掌握圓周角的性質(zhì)綜合，折疊性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，不規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵．例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，點(diǎn)C，D分別是和上的點(diǎn)，且，將扇形沿翻折，翻折后的恰好經(jīng)過點(diǎn)O．若，則圖中陰影部分的面積是．

【答案】【詳解】過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，連接OC，CE，由折疊的性質(zhì)結(jié)合所作輔助線可得出為等邊三角形，即．再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出，從而可求出，進(jìn)而可求出，利用銳角三角函數(shù)可求出，最后根據(jù)，結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式求解即可．【分析】解：過點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，連接，如圖，

∴，∴為等邊三角形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，扇形的面積公式，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識．正確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．例6．（2023·吉林長春·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD＝CD；根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得AD＝BD；根據(jù)垂徑定理可作判斷③；延長OD交⊙O于E，連接CE，根據(jù)垂徑定理可作判斷④．【詳解】過D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，連接CD'、BD'，由折疊得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正確；∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正確；∴，由折疊得：，∴；故③正確；延長OD交⊙O于E，連接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了圓周角定理和垂徑定理．例7．（2022秋·山東九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，將⊙O上的沿弦BC翻折交半徑OA于點(diǎn)D，再將沿BD翻折交BC于點(diǎn)E，連接DE．若AD＝2OD，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接AC，CD，OC，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．首先證明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AC，CD，OC，過點(diǎn)C作CH⊥AB于H．設(shè)OA＝3a，則AB＝6a．∵在同圓或等圓中，∠ABC所對的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝，在Rt△ACH中，AC＝，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，翻折變換，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)解決問題．例8．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？计谀┤鐖D，是半徑為2的的弦，將沿著弦折疊，正好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)C是折疊后的上一動點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接，．則的最小值為．【答案】/【分析】首先證明是等邊三角形，再證明，求出，可得結(jié)論．【詳解】解：連接，作．連接．由題知：沿著弦折疊，正好經(jīng)過圓心O，∴，∴，∴，∴，，∴，∴是等邊三角形，∵E是中點(diǎn)，∴，又∵，∴F是中點(diǎn)，∴，即，E點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動．所以，當(dāng)E、O、F在同一直線時(shí)，長度最小，此時(shí)，，∵的半徑是2，即，∴（勾股定理），∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．例9．（2022·廣西南寧·統(tǒng)考三模）綜合實(shí)踐：在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，第一小組同學(xué)展示了如下的操作及問題：如圖1，同學(xué)們先畫出半徑為的，將圓形紙片沿著弦折疊，使對折后劣弧恰好過圓心，同學(xué)們用尺子度量折痕的長約為，并且同學(xué)們用學(xué)過的知識驗(yàn)證度量的結(jié)果是正確的．驗(yàn)證如下：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并延長交虛線劣弧于點(diǎn)，∴，由折疊知，，連接，在中，，根據(jù)勾股定理得，，∴，通過計(jì)算：，同學(xué)們用尺子度量折痕的長約為是正確的．請同學(xué)們進(jìn)一步研究以下問題：(1)如圖2，的半徑為，為的弦，，垂足為點(diǎn)，劣弧沿弦折疊后經(jīng)過的中點(diǎn)，求弦的長（結(jié)果保留根號）；(2)如圖3，在中劣弧沿弦折疊后與直徑相交于點(diǎn)，若，，求弦的長（結(jié)果保留根號）．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，延長交于點(diǎn)，求出，再根據(jù)勾股定理可得出結(jié)論；（2）作點(diǎn)關(guān)于弦的對稱點(diǎn)，連接并延長與的延長線相交于，連接，先證明，可得，，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，利用勾股定理可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：連接，延長交于點(diǎn)，由題意可知，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：作點(diǎn)關(guān)于弦的對稱點(diǎn)，連接并延長與的延長線相交于，連接，，，，有折疊性質(zhì)可知：，，，∴，∴，，∴，．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴，即．則，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題是圓的綜合題，主要考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，E是上一點(diǎn)，將沿BC翻折后E點(diǎn)的對稱點(diǎn)F落在OA中點(diǎn)處，則BC的長為（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】連接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF?OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解決問題；【詳解】解：連接OC．由翻折不變性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF?OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知內(nèi)接于，，將弧沿弦翻折后恰好經(jīng)過弦的中點(diǎn)，則的半徑為(

)

A． B． C．5 D．【答案】B【分析】連接，作于，連接并延長交于，連接，可由推出，進(jìn)而求得，，，，，再在中列方程求得．【詳解】解：如圖，

連接，作于，連接并延長交于，連接，，，，，在中，，，，在中，，，，根據(jù)對稱性可得，，，在中，，，，設(shè)，

在中，由勾股定理得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，得出3．（2023·四川南充·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△EDC，使點(diǎn)E在⊙O上，再將△EDC沿CD翻折，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，已知∠BAC=36°，則∠DCE的度數(shù)是（

）A．24 B．27 C．30 D．33【答案】B【分析】延長CD交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，則由CD經(jīng)過圓心O可得∠CAF＝90°，先由翻折得到∠BCA＝∠DCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，然后得到∠FAD＝54°，再由圓周角定理得到AB＝AF，進(jìn)而得到AF＝AD，也就有∠ADF＝∠AFD＝63°，再由三角形的外角性質(zhì)得到∠ACD的大小，最后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠DCE的大?。驹斀狻拷猓喝鐖D，延長CD交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，由題可知，,垂直平分,CD經(jīng)過圓心O，∴∠CAF＝90°，由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，∴∠FAD＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，∴AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝（180°﹣∠DAF）＝（180°﹣54°）＝63°，∵∠ADF是△ACD的外角，∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，∴∠BCA＝27°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠DCE＝∠BCA＝27°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知“直徑所對的圓周角為直角”求得∠DAF的大?。?．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考期末）如圖，的半徑為6，將劣弧沿弦翻折，恰好經(jīng)過圓心，點(diǎn)為優(yōu)弧上的一個(gè)動點(diǎn)，則面積的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AB于點(diǎn)T，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)K，連接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CT⊥AB于點(diǎn)T，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，交⊙O于點(diǎn)K，連接AO，AK．由題意AB垂直平分線段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA?sin60°＝6×＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝6，∵OC＋OH≥CT，∴CT≤6＋3＝9，∴CT的最大值為9，∴△ABC的面積的最大值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的面積，垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是求出CT的最大值，屬于中考常考題型．5．（2023·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期中）⊙O的直徑AB長為10，弦CD⊥AB于E，將⊙O沿CD翻折，翻折后點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′，若AB′＝6，CB′的長為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分點(diǎn)B'在線段AB上，點(diǎn)B'在BA延長線上兩種情況討論，根據(jù)勾股定理可求CB'的長度．【詳解】解：①如圖：當(dāng)點(diǎn)B'在線段AB上，連接OC，∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝4，∴BE＝B'E＝2，B'O＝1，∴OE＝3，∵CD⊥ABCE＝，B'C＝；②若點(diǎn)B'在BA的延長線上，連接OC，∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝16，∴BE＝B'E＝8，B'O＝11，∴OE＝3，∵CD⊥AB,CE＝，B'C＝；綜上所述B'C＝2或故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折問題，圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，勾股定理，利用分類思想解決問題是本題的關(guān)鍵．6．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D,AB為O直徑,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),將劣弧AC?沿弦AC翻折交AB于點(diǎn)D,連接CD,若點(diǎn)D與圓心O不重合,∠BAC=20°,則∠DCA的度數(shù)是()A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】連接BC，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出∠ACB，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠B，再根據(jù)翻折及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到所對的圓周角，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和，計(jì)算即可得解．【詳解】如圖，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－20°=70°，根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對的圓周角為∠B,所對的圓周角為∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°－∠B=110°，∴∠DCA=180°－∠BAC－∠ADC=180°－20°－110°=50°.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，難度適中，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.7．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，的半徑，弦，將沿向上翻折，與翻折后的弧相切于點(diǎn)，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，根據(jù)圓的對稱性與勾股定理即可求解.【詳解】解析：作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，則，設(shè)垂足為點(diǎn)，，中由勾股定理得.故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考查垂徑定理與切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的對稱性解題.8．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，折痕為，則陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，由折疊的性質(zhì)可得，從而得到為等邊三角形，再求出，從而得出，進(jìn)行得出，最后由與面積相等及，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：如圖，連接，

，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，為等邊三角形，，，，，，與面積相等，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算—求不規(guī)則圖形的面積，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，得到是解題的關(guān)鍵．9．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考二模）如圖，AB是的直徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，將劣弧BC沿弦BC折疊交直徑AB于點(diǎn)D，連接CD，若，則下列式子正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連，由AB是的直徑，可知，由折疊，和所在的圓為等圓，可推得，再利用正弦定義求解即可．【詳解】解：連，

∵是的直徑，∴，由折疊，和所在的圓為等圓，又∵，∴和所對的圓周角相等，∴，∴，在中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理和圓心角、弦、弧之間的關(guān)系以及正弦、余弦定義，解答關(guān)鍵是通過折疊找到公共的圓周角推出等弦．10．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，的半徑為，為的弦，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留與根號）

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)

∵將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，∴，又∴，∴是等邊三角形，∴，，∴,∴陰影部分面積故答案為：．11．（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖①，為半圓的直徑，點(diǎn)在上從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，將沿弦，翻折，翻折后的中點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，間的距離為，點(diǎn)，間的距離為，圖②是點(diǎn)運(yùn)動時(shí)隨變化的關(guān)系圖象，則的長為．

【答案】8【分析】由圖可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，由此即可解題．【詳解】解：由圖可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖，

取的中點(diǎn)，連接、，，根據(jù)對稱性，得，，，是等邊三角形，，，為直徑，，在中，，，，長為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象、圓周角定理及含角的直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖2得到時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此題難度一般．12．（2023·四川成都·?？既＃┤鐖D，中，，斜邊，以邊為直徑在另一側(cè)作半圓，點(diǎn)為半圓上一點(diǎn)，將半圓沿所在直線翻折，翻折后的與邊相切于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)，則的長為．

【答案】【分析】作點(diǎn)O關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，作于點(diǎn)F，證明四邊形為正方形，得，即，作于G，利用垂徑定理、勾股定理、含30度角的三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)O關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，，

∵中，，斜邊，∴，∴，，過A作于點(diǎn)F，則，∴，∴，且，∴四邊形為矩形，∵，∴四邊形為正方形，∴，∴，作于G，∴，∴，∴．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握圓的切線的性質(zhì)．13．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，點(diǎn)在圓上．將沿翻折與交于點(diǎn)．若的度數(shù)為，則．

【答案】【分析】如圖：作D關(guān)于的對稱點(diǎn)E，連接,則，然后再根據(jù)的度數(shù)為可知，然后再根據(jù)圓周角定理、鄰補(bǔ)角性質(zhì)可得，最后運(yùn)用弧長公式即可解答．【詳解】解：如圖：作D關(guān)于的對稱點(diǎn)E，連接,則，∵的度數(shù)為，∴，∴∴，∴，∴的長度為，∴的長度為．故答案為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、弧長公式等知識點(diǎn)，求得的度數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，在扇形中，，將扇形翻折，使點(diǎn)B與圓心O重合，為折痕．若，則圖中陰影部分的面積是．（結(jié)果保留）【答案】【分析】如圖，連接，由題意知，，由，可得，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由題意知，，∵，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了余弦，翻折的性質(zhì)，扇形的面積．正確的表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．15．（2022秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是半圓上一點(diǎn)，是直徑，將弧沿翻折交于點(diǎn)，再將弧沿翻折交于點(diǎn)，若是弧的中點(diǎn)，，則陰影部分面積為．【答案】/【分析】首先添加輔助線（見詳解），利用圓周角定理證明線段，設(shè)，則，構(gòu)建方程求出，再通過解直角三角形求出，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，，，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于．，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，設(shè)，則，，是直徑，，，，，，，，，在上取一點(diǎn)，使得，連接，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，弓形的面積弓形的面積，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理、等腰直角三角形判定和性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積等知識，學(xué)會添加常用輔助線，利用特殊角解決問題是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023·河北衡水·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在半徑為6的扇形中，點(diǎn)C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)所在的圓的圓心為，且．(1)求的大小及的長；(2)請?jiān)趫D中畫出線段，用其長度表示劣弧上的點(diǎn)到弦的最大距離（不說理由），并求弦的長．【答案】(1)，(2)見解析；【分析】（1）連接、、OD，由對稱性可知，即，根據(jù)與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)得，，則，，在四邊形中，，根據(jù)，，得平分，即；（2）過O作交于P，延長與交于點(diǎn)Q，由折疊可知：垂直平分，則是所在弓形的高，即的長度是劣弧上的點(diǎn)到弦的最大距離，則O、、P三點(diǎn)共線，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)得，由對稱性可知，在中，根據(jù)勾股定理得，即可得．【詳解】（1）解：如圖所示，連接、、OD，由對稱性可知，即，∵與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，∴，，∴，，在四邊形中，；∵，，∴平分，即，在中，；（2）解：如圖中的即為所求，作法：過O作交于P，延長與交于點(diǎn)Q，理由：由折疊可知：垂直平分，∴是所在弓形的高，即的長度是劣弧上的點(diǎn)到弦的最大距離，則O、、P三點(diǎn)共線，在中，，由對稱性可知，在中，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查了對稱性，切線的性質(zhì)，角平分線，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點(diǎn)．17．（2023秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)興趣小組在探究圓中圖形的性質(zhì)時(shí)，用到了半徑是6的若干圓形紙片．(1)如圖1，一張圓形紙片，圓心為，圓上有一點(diǎn)A，折疊圓形紙片使得A點(diǎn)落在圓心上，折痕交于、兩點(diǎn)，求的度數(shù)．(2)把一張圓形紙片對折再對折后得到如圖扇形，點(diǎn)是弧上一動點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)是弧中點(diǎn)時(shí)，在線段、上各找一點(diǎn)、，使得是等邊三角形．試用尺規(guī)作出，不證明，但簡要說明作法，保留作圖痕跡．②在①的條件下，取的內(nèi)心，則___________．③如圖3，當(dāng)在弧上三等分點(diǎn)S、之間（包括S、兩點(diǎn)）運(yùn)動時(shí)，經(jīng)過興趣小組探究都可以作出一個(gè)是等邊三角形，取的內(nèi)心，請問的長度是否變化．如變化，請說明理由；如不變，請求出的長度．【答案】(1)(2)①圖見解析，說明見解析；②；③不變，【分析】（1）根據(jù)折疊得出，證明是等邊三角形，，同理得出，即可得出的度數(shù)；（2）①作等邊，作垂直平分線交于點(diǎn)，以為圓心為半徑作圓交于點(diǎn)，連接、、即可；②設(shè)，則，，，求出，根據(jù)，得出，求出x，即可得出答案；③取中點(diǎn)，連接，，，作交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，，根據(jù)勾股定理得出，最后在中，根據(jù)勾股定理求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：由折疊可得，，，是等邊三角形，，同理：，；（2）解：①作等邊，作垂直平分線交于點(diǎn)，以為圓心為半徑作圓交于點(diǎn)，連接、、得；根據(jù)作圖可知，，根據(jù)折疊可知，，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，，∵為等邊三角形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴為等邊三角形；②根據(jù)解析①可知，為等邊三角形，，∴內(nèi)心的內(nèi)心N在上，，，設(shè)，則，，，∵，∴，∵，，，∴，∴，解得：，∴；故答案為：．③不變，理由如下：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，作交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，，在中，，為的中點(diǎn)，，在中，，在中，，即有化簡得，在中，；即，的值不變．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)．18．（2022秋·河北承德·九年級?？计谀┤鐖D，的直徑，是弦，沿折疊劣弧，記折疊后的劣弧為．(1)如圖1，當(dāng)與相切于時(shí)．①為畫出所在圓的圓心，請選擇你認(rèn)為正確的答案．甲：在上找一點(diǎn)，連、并分別作它們的中垂線，交點(diǎn)為；乙：分別以、為圓心，以為半徑作弧，除外兩弧另一個(gè)交點(diǎn)即為圓心．A．甲正確

B．乙正確

C．甲乙都正確

D．都不正確②選擇合適的方法做出圓心，求的長；直接寫出此時(shí)的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)經(jīng)過圓心時(shí)，求的長；(3)如圖3，當(dāng)覆蓋圓心且與直徑交于點(diǎn)，若，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)①C②，(2)(3)【分析】（1）①確定圓心最常見思路為不在同一直線的三點(diǎn)共圓，利用其外心可確定圓心；②連接、，易證得四邊形為菱形，加上，所以四邊形為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得可得結(jié)果；（2）作于，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得，由，根據(jù)垂徑定理得，再在中，利用勾股定理計(jì)算出，進(jìn)而容易得出；（3）連接，作關(guān)于的對稱軸點(diǎn)在上，并連接、，，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，再由翻折可求得，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）①甲：在上找一點(diǎn)，連、并分別做它們的中垂線，即做的外心，故甲正確；乙：由切線長定理可知，為切線，且，故也為的切線，易知為正方形（證明見②），故乙正確；故選：C；②如圖，連接、，∵，∴四邊形為菱形，而，∴四邊形為正方形，∴，；（2）作于，交劣弧于，如圖，∵沿折疊劣弧，記折疊后的劣弧為，即∴，∵，∴，在中，，，∴，∴；（3）連接，作關(guān)于的對稱軸點(diǎn)在上，并連接、，如圖，∵是的直徑，∴，又∵，∴，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，可得：，∴【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和切線的性質(zhì)；會利用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計(jì)算；理解折疊的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)，作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．19．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模）如圖1，扇形中，，，點(diǎn)在半徑上，連接．

(1)把沿翻折，點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)剛好落在弧上，求弧的長；②如圖2，點(diǎn)落在扇