專題05 平行線中的拐點(diǎn)模型之蛇形模型（5字模型）（原卷版）

專題05平行線中的拐點(diǎn)模型之蛇形模型（5字模型）平行線中的拐點(diǎn)模型在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點(diǎn)模型（蛇形模型（“5”字模型））進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。拐點(diǎn)（平行線）模型的核心是一組平行線與一個(gè)點(diǎn)，然后把點(diǎn)與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點(diǎn)模型，這個(gè)點(diǎn)叫做拐點(diǎn)，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點(diǎn)作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB.∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠+∠FCB=180°，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°例1．（2023下·廣東七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)為°．例2．（2023下·廣東深圳·七年級(jí)校聯(lián)考期中）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)，拐彎后與原來方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°例3．（2023下·上海徐匯·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，那么三者之間的關(guān)系為（

）．

A． B．C． D．例4．（2023下·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一盞可調(diào)節(jié)臺(tái)燈，圖2為示意圖，固定支撐桿底座于點(diǎn)O，與是分別可繞點(diǎn)A和B旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺(tái)燈燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，最外側(cè)光線組成的始終保持不變，現(xiàn)調(diào)節(jié)臺(tái)燈使外側(cè)光線，，若，則的度數(shù)為．

例5．（2023下·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，平分，的反向延長(zhǎng)線交的平分線于點(diǎn)M，則與的數(shù)量關(guān)系是（

）

A．B．C．D．例6．（2023下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）課題學(xué)習(xí)：平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能．(1)閱讀理解：如圖，已知點(diǎn)是外一點(diǎn)，連接、，求的度數(shù)．閱讀并補(bǔ)充下面推理過程．

解：過點(diǎn)作，所以，，又因?yàn)椋裕忸}反思：從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，將、、“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系，使問題得以解決．(2)方法運(yùn)用：如圖1，已知，求的度數(shù)；(3)深化拓展：已知直線，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．①如圖2，已知，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；②如圖3，請(qǐng)判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

例7．（2023下·重慶江津·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知直線，為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接、．(1)如圖，已知，，求的度數(shù)；(2)如圖，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系為．(3)如圖，在（2）的條件下，，平分，若，求的度數(shù)．例8．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)?？计谥校W(xué)習(xí)了平行線的判定與性質(zhì)后，某興趣小組進(jìn)行如下探究：已知．【初步感知】（1）如圖1，若，求的度數(shù)．【拓展延伸】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)在兩平行線之間，且B、E、F、C四點(diǎn)不在同一條直線上時(shí)．求證：．【類比探究】（3）如圖3，若，，，，直接寫出的度數(shù)．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023下·福建龍巖·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．（2023上·甘肅張掖·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線，，，則（

）

A． B． C． D．3．（2023下·陜西西安·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖是自來水公司安裝的一條自來水管道，已知，，，則等于（

）A． B． C． D．4．（2023下·湖北襄陽·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，且，若要使，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·河南商丘·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某城市新修建的地下管道流經(jīng)三點(diǎn)拐彎后與原來方向相同，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．6．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．7．（2023下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．8．（2023下·山東威海·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平定鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，水渠從村沿北偏東方向到村，從村沿北偏西方向到村，若水渠從村保持與的方向一致修建，則度．9．（2023下·寧夏石嘴山·七年級(jí)校考期末）如圖，要修建一條公路，從A村沿北偏東方向到B村，從B村沿北偏西方向到C村．從C村到D村的公路平行于從A村到B村的公路，則C，D兩村與B，C兩村公路之間夾角的度數(shù)為．

10．（2023下·安徽宿州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，若直線，，，則．

11．（2023下·浙江·七年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，圖1是一盞可折疊臺(tái)燈，圖2為其平面示意圖，底座點(diǎn)O，支架，為固定支撐桿，是的兩倍，燈體可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)，現(xiàn)把燈體從水平位置旋轉(zhuǎn)到位置（如圖2中虛線所示），此時(shí)，燈體所在的直線恰好垂直支架，且，則．

12．（2023下·上海虹口·七年級(jí)上外附中?？计谀┤鐖D，，則∠B、∠C、∠D的關(guān)系是．

13．（2023下·廣東佛山·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，且，則與的數(shù)量關(guān)系為

14．（2023下·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，，則．

15．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，如果，則角，，則．

16．（2023下·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，，，則．

17．（2023下·廣東廣州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，．求證：．

18．（2023上·黑龍江大慶·七年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，某煤氣公司安裝煤氣管道，他們從點(diǎn)A處鋪設(shè)到點(diǎn)B處時(shí)，由于有一個(gè)人工湖擋住了去路，需要改變方向經(jīng)過點(diǎn)C，再拐到點(diǎn)D，然后沿與平行的方向繼續(xù)鋪設(shè)．如果，，那么的度數(shù)應(yīng)為多少？

19．（2023下·甘肅平?jīng)觥て吣昙?jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，若，且，，求．

20．（2023下·福建泉州·七年級(jí)校考期中）我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉(zhuǎn)化”的功能，通過添加平行線可將不同位置的角“湊”在一起，得出角之間的關(guān)系．根據(jù)平行線的“等角轉(zhuǎn)化”功能，解答下列問題：(1)閱讀理解：如圖1，，，相交于點(diǎn)，請(qǐng)說明．閱讀并補(bǔ)充下面推理過程．

解：過點(diǎn)作∴______∵∴____________∴______∴即．(2)方法掌握：如圖2，已知，，交于點(diǎn)．請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)拓展運(yùn)用：如圖3，已知，點(diǎn)在直線上，平分，平分．若，求度數(shù)．（用含的式子表示）

21．（2023下·黑龍江佳木斯·七年級(jí)校考期末）（1）如圖①，直線，是與之間的一點(diǎn)，連接，，易證：．（2）如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：．（3）如圖③，，其他條件不變，，則有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出，不需證明．

22．（2023下·山東臨沂·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖為一臺(tái)燈示意圖，其中燈頭連接桿始終和桌面平行，燈腳始終和桌面垂直，

(1)當(dāng)時(shí)，求．(2)連桿、可以繞著、和進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，燈頭始終在左側(cè)，設(shè)，，的度數(shù)分別為，，，請(qǐng)求出，，之間的數(shù)量關(guān)系．23．（2023下·江蘇鹽城·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【閱讀理解】?jī)蓷l平行線間的拐點(diǎn)問題經(jīng)?？梢酝ㄟ^作一條直線的平行線進(jìn)行轉(zhuǎn)化．例如：如圖1，，點(diǎn)、分別