專題08 圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）（原卷版）

專題08圓中的最值模型之瓜豆原理（曲線軌跡）動(dòng)點(diǎn)軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學(xué)生受解析幾何知識(shí)的局限和思維能力的束縛，該壓軸點(diǎn)往往成為學(xué)生在中考中的一個(gè)坎，致使該壓軸點(diǎn)成為學(xué)生在中考中失分的集中點(diǎn)。掌握該壓軸題型的基本圖形，構(gòu)建問題解決的一般思路，是中考專題復(fù)習(xí)的一個(gè)重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓弧型）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！灸Ｐ徒庾x】模型1、運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧模型1-1.如圖，P是圓O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A為定點(diǎn)，連接AP，Q為AP中點(diǎn)．Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連接AO，取AO中點(diǎn)M，任意時(shí)刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，當(dāng)P在圓O運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)軌跡是？如圖，連結(jié)AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意時(shí)刻均有△APO∽△AQM，且相似比為k。則動(dòng)點(diǎn)Q是以M為圓心，MQ為半徑的圓。模型1-3.定義型：若動(dòng)點(diǎn)到平面內(nèi)某定點(diǎn)的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧。（常見于動(dòng)態(tài)翻折中）如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，但AB=AC=AP，則B、C、P三點(diǎn)共圓，則動(dòng)點(diǎn)P是以A圓心，AB半徑的圓或圓弧。模型1-4.定邊對(duì)定角（或直角）模型1）一條定邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)軌跡是以定邊為直徑的圓或圓?。鐖D，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB=90°，則動(dòng)點(diǎn)P是以AB為直徑的圓或圓弧。2）一條定邊所對(duì)的角始終為定角，則定角頂點(diǎn)軌跡是圓弧．如圖，若P為動(dòng)點(diǎn)，AB為定值，∠APB為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓弧。【模型原理】動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。例1．（2023.江蘇九年級(jí)期中）如圖，中，于點(diǎn)是半徑為2的上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，若是的中點(diǎn)，連結(jié)，則長的最大值為（）A．3 B． C．4 D．例2.（2023.廣西九年級(jí)期中）如圖，，點(diǎn)O在線段上，，的半徑為1，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，以為一邊作等邊，則的最小值為_____．例3．（2023·山東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，以D為圓心，4為半徑作⊙D，E為⊙D上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為直角邊作Rt△AEF，使∠EAF=90°，tan∠AEF=，則點(diǎn)F與點(diǎn)C的最小距離為________．例4．（2022·廣西貴港·三模）如圖，在△ABC中，，，，點(diǎn)D在AC邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上，將△PDC沿直線PD翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，則△AEB面積的最小值是（

）A． B． C．2 D．例5．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）如圖，在正方形ABCD中，，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若，則BG的最小值為__________________．例6．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知正方形的邊長為2，若動(dòng)點(diǎn)E滿足，則線段長的最大值為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·山東濟(jì)南·一模）正方形ABCD中，AB=4，點(diǎn)E、F分別是CD、BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足DE=CF，DF、AE相交于點(diǎn)G.以AG為斜邊在AG下方作等腰直角△AHG使得∠AHG=90°，連接BH．則BH的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東汕頭·?？家荒＃┤鐖D，的直徑，點(diǎn)C為中點(diǎn)，弦經(jīng)過點(diǎn)C，且．點(diǎn)F為上一動(dòng)點(diǎn)，連接．于點(diǎn)G．若，在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長度的最小值為．

3．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等腰直角中，，，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，當(dāng)填度數(shù)度時(shí)，可以取最大值，最大值等于．4．（2023春·廣東深圳·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)G是內(nèi)的一點(diǎn)，且，是等邊三角形，若，則的最大值為．5．（2023·江蘇泰州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，P為的中點(diǎn)，連接．在矩形外部找一點(diǎn)E，使得，則線段的最大值為．6．（2022秋·北京東城·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則長度的最大值與最小值的差為．7．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，AD＝2，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且∠PMA＝2∠PAD．連接PD，則PD的最小值為．8．（2022·廣東·測試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)在的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是______．9．（2022·廣東河源·二模）如圖，已知，平面內(nèi)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2，連接AP，若且，連接AB，BC，則線段BC的最小值為______．10．（2020·江蘇連云港市·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，半徑為2的與軸的正半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，則面積的最小值為________．11．（2022·重慶·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過點(diǎn)E作EF⊥AB交BC于點(diǎn)F，則CF的最大值是________．12．（2022·廣東東莞·一模）如圖，在正方形中，，E是對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)F為所在直線上方一點(diǎn)，連接，若，則長的最大值為．13．（2023·天津九年級(jí)期中）如圖，⊙O的直徑AB為2，C為⊙O上的一個(gè)定點(diǎn)，∠ABC＝30°，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè)），當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，在運(yùn)動(dòng)過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD的最大值為_________．14．（2023·浙江九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖1，在中，，以點(diǎn)B為圓心，半徑作圓．點(diǎn)Р為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使點(diǎn)落在直線的上方，且滿足，連接．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）若點(diǎn)P在上時(shí)，①在圖2中畫出；②連接，求的長；（3）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否有最大值或最小值？若有，請(qǐng)直接寫出取得最大值或最小值時(shí)的度數(shù)；若沒有，請(qǐng)說明理由．15．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）問題提出（1）如圖1，內(nèi)接于，，，則的半徑為．問題探究（2）如圖2，已知矩形，，，是矩形內(nèi)一點(diǎn)，且，連接，求的最小值．解決問題（3）如圖3，小樂家有一個(gè)四邊形菜地，他打算種植油菜花，為了提高產(chǎn)量，他計(jì)劃改造四邊形菜地，在改造的過程中始終要滿足米，，，且，求改造后四邊形菜地面積的最大值．16．（2023·河北廊坊·統(tǒng)考二模）已知如圖，是腰長為4的等腰直角三角形，，以A為圓心，2為半徑作半圓A，交所在直線于點(diǎn)M，N．點(diǎn)E是半圓A上仟意一點(diǎn)．連接，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到的位置，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)與半圓A相切時(shí)，求弧的長；(3)直接寫出面積的最大值．17．（2022秋·吉林長春·九年級(jí)校考階段練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，張老師設(shè)計(jì)了一份活動(dòng)單：已知線段，使用作圖工具作．嘗試操作后思考：這樣的點(diǎn)唯一嗎？點(diǎn)的位置有什么特征？你有什么感悟？某學(xué)習(xí)小組通過操作、觀察、討論后匯報(bào)：點(diǎn)的位置不唯一，它在以為弦的圓弧上（點(diǎn)、除外），……小華同學(xué)畫出了符合要求的一條圓?。ㄈ鐖D①）．(1)小華同學(xué)提出了下列問題，請(qǐng)你幫助解決．①該弧所在圓的半徑長為___________；②面積的最大值為___________；(2)經(jīng)過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，小明同學(xué)所畫的角的頂點(diǎn)不在小華所畫的圓弧上，而在如圖①所示的弓形外部，我們記為，請(qǐng)你利用圖①證明．(3)請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，結(jié)合以上活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，解決問題：如圖②，已知矩形的邊長，，點(diǎn)在直線的左側(cè)，且，則線段長的最小值為___________．18．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓．點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，作，使點(diǎn)落在直線的上方，且滿足，連接，．（1）求的度數(shù)，并證明；（2）如圖2，若點(diǎn)在上時(shí)，連接，求的長；（3）點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，是否有最大值或最