2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市岳麓實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市岳麓實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三（上）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z=2i?1?ii+1，則|z|=(

)A.5 B.2 C.3 D.2.計(jì)算(lg2)2+lg20×lg5的結(jié)果是A.1 B.2 C.lg2 D.lg53.已知集合S={x∈R||x+1|≥2}，T={?2,?1,0,1,2}，則S∩T的子集的個(gè)數(shù)(

)A.2 B.4 C.5 D.74.若函數(shù)f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1)A.4 B.2 C.22 5.李明開發(fā)的小程序經(jīng)過t天后，用戶人數(shù)A(t)=500ekt，其中k為常數(shù).已知小程序發(fā)布經(jīng)過10天后有2000名用戶，則用戶超過50000名至少經(jīng)過的天數(shù)為(????)(取A.31 B.32 C.33 D.346.橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于AA.57 B.22 C.7.已知函數(shù)f(x)=x2+4a,x>01+loga|x?1|,x≤0在R上單調(diào)遞增，且關(guān)于x的方程A.[14,34]∪{1316}8.定義：設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的附近有定義，當(dāng)y固定在y0而x在x0處有改變量Δx時(shí)，相應(yīng)的二元函數(shù)z=f(x,y)有改變量Δz=f(x0+Δx,y0)?f(x0,y0)，如果Δx→0limΔzΔx存在，那么稱此極限為二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作A.(?∞,2] B.[?2,2] C.(0,2] D.[2,+∞)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z=?1+ii，則下列選項(xiàng)正確的是(

)A.z的虛部為1B.|z|=2C.z2為純虛數(shù)D.z10.設(shè)A，B為兩個(gè)互斥的事件，且P(A)>0，P(B)>0，則下列各式正確的是(

)A.P(AB)=0B.P(AB)=P(A)P(B)C.P(A?∪B)=P(11.已知函數(shù)f(x)=x2?sinx在x=xA.x0<12 B.x0>三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.從原點(diǎn)向圓x2+y13.已知函數(shù)f(x)=(12)x(x≥4)14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A(a,b)，若函數(shù)y=f(x)滿足：?x∈[a?1,a+1]，都有y∈[b?1,b+1]，則稱這個(gè)函數(shù)是點(diǎn)A的“界函數(shù)”.已知點(diǎn)B(m,n)在函數(shù)y=?12x2的圖象上，若函數(shù)y=?12x四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

計(jì)算：

(1)1?312?12+16.(本小題15分)

如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠ADC=60°，將面DAC沿AC折疊成二面角P?AC?B，其二面角的平面角大小為θ∈(0,π)．

(1)求證：PB⊥AC；

(2)若θ=90°，且PM=2MB，求直線AM與平面17.(本小題15分)

石墨烯有超級(jí)好的保溫功能，從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學(xué)氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結(jié)晶.現(xiàn)在有A材料、B材料可供選擇，研究人員對(duì)附著在A材料、B材料上的石墨各做了5次再結(jié)晶試驗(yàn)，得到如下等高堆積條形圖．A材料B材料合計(jì)實(shí)驗(yàn)成功實(shí)驗(yàn)失敗合計(jì)單位：次

(1)由等高堆積條形圖提供的信息，填寫2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)；

(2)以實(shí)驗(yàn)結(jié)果成功的頻率為概率，用A材料制作保溫產(chǎn)品2件，僅從石墨烯結(jié)晶成功與否的角度考慮，求產(chǎn)品制作成功件數(shù)的分布列與期望．

附：χ2=n(ad?bc)α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82818.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=ex+aex+1+b是定義在R上的奇函數(shù)．

(1)求a，b的值；

(2)對(duì)任意的t∈R，都有19.(本小題17分)

已知圓C：x2+y2?6x?8y?5t=0，直線l：x+3y+15=0．

(1)若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為210，求實(shí)數(shù)t的值；

(2)當(dāng)t=1時(shí)，由直線l上的動(dòng)點(diǎn)P引圓C的兩條切線，若切點(diǎn)分別為A，參考答案1.C

2.A

3.B

4.A

5.D

6.A

7.A

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.π313.11614.[?115.解：(1)1?312?12+3?(338)1316.(1)證明：取AC中點(diǎn)O，連接PO，BO，

由已知有

AC⊥PO，AC⊥BC，又BO∩PO=O

所以

AC⊥面POB，又PB?面POB，

又所以AC⊥PB，

(2)解：由題意，O為原點(diǎn)，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,3)，B(0,3,0)，A(1,0,0)，C(?1,0,0)，

則PB=(0,3,?3)，CB=(1,3,0)

設(shè)平面PBC的法向量為m=(x,y,z)，

則3y?3z=0x+3y=0，令x=17.解：(1)由題意可得如下表格：A材料B材料合計(jì)實(shí)驗(yàn)成功437實(shí)驗(yàn)失敗123合計(jì)5510提出假設(shè)H0：實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與材料無關(guān)，

χ2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=10×(4×2?3×1)25×5×7×3=1021≈0.476<2.706，

所以沒有90%的把握認(rèn)為，試驗(yàn)的結(jié)果與材料有關(guān)；

(2)設(shè)產(chǎn)品制作成功件數(shù)為X，由題意可知X服從二項(xiàng)分布，

成功的概率為45，即X～B(2,45)，

則XX012P1816∴E(X)=0×12518.解：(1)由題意知：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f(0)=1+ae+b=0，∴a=?1，

即f(?x)=e?x?1e?x+1+b=1?exexe+bexex=1?exe+bex=?ex?1ex+1+b，

∴b=e，

∴a=?1，b=e；

(2)由(1)知f(x)=ex?1ex+1+e=19.解：(1)圓C的方程可化為(x?3)2+(y?4)2=25+5t，

故圓心為C(3,4)，半徑r=25+5t，

則圓心C到直線l的距離為d=|3+12+15|12+32=310，

又弦長(zhǎng)為210，則r=(310)2+(10)2=10，即25+5t=10，解得t=15．

(2)當(dāng)t=1時(shí)，圓C的方