2024-2025學年浙江省四校高二上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年浙江省四校高二上學期10月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線3x?3y?1=0的傾斜角為(

)A.30° B.60° C.120° D.150°2.若圓錐的表面積為12π，底面圓的半徑為2，則該圓錐的體積為(

)A.433π B.433.設a∈R，則“a=1”是“直線l1：ax+2y?1=0與直線l2：x+(a+1)y+4=0平行”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.在四面體OABC中，記OA=a，OB=b，OC=c，若點M，N分別為棱OA，BC的中點，則A.12a+12b+125.直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A,B兩點，點P在圓x?22+y2=2上，則A.[2,6] B.[4,8] C.6.已知圓C：x2+y2?2x=0，直線l：x+y+1=0，P為l上的動點，過點P作圓C的兩條切線PA、PB，切點分別A、B，當|PC|·|AB|最小時，直線A.x?y=0 B.x+y=0 C.2x?2y+1=0 D.2x+2y+1=07.設函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，則aA.?2 B.?1 C.2 D.18.已知三棱錐A?BCD的所有頂點都在球O的球面上，AD⊥平面ABC，∠BAC=90°，AD=2，若球O的表面積為29π，則三棱錐A?BCD的側(cè)面積的最大值為(

)A.52+254 B.5二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知圓C：(x+2)2+y2=4，直線lA.直線l恒過定點(?1,1)

B.直線l與圓C有兩個交點

C.當m=1時，圓C上恰有四個點到直線l的距離等于1

D.圓C與圓x210.定義在R上的偶函數(shù)f(x)，滿足f(x+2)?f(x)=f(1)，則(

)A.f(1)=0 B.f(1?x)+f(1+x)=0

C.f(1+2x)=f(1?2x) D.i=111.球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科．如圖，球O的半徑為R，A，B，C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設Oa表示以O為圓心，且過B，C的圓，同理，圓Ob,Oc的劣弧AC,AB的弧長分別記為b,c，曲面ABC(陰影部分)叫做曲面三角形，a=b=c，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面?ABC圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面O?ABC.設∠BOC=α,∠AOC=β,∠AOB=γ，則下列結論正確的是A.若平面?ABC是面積為34R2的等邊三角形，則a=b=c=R

B.

若a2+b2=c2，則α2+β2=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若圓C1：(x?2)2+y2=1與圓C13.已知函數(shù)y=2sin(ωx+φ)(ω>0,0?φ?π2)的圖象經(jīng)過點(0,2)，且在y軸右側(cè)的第一個零點為π4，當x∈[0,2π]時，曲線14.如圖，在長方形ABCD中，AB=3，BC=2，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上一動點．現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD內(nèi)過點D作DK⊥AB，K為垂足．設AK=t，則t的取值范圍是__________．

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)某校為提高學生對交通安全的認識，舉辦了相關知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，發(fā)現(xiàn)得分均在區(qū)間[30,90]內(nèi)．現(xiàn)將100個樣本數(shù)據(jù)按[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖．(1)請估計樣本數(shù)據(jù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)和中位數(shù)(精確到0.1)；(2)學校決定表彰成績排名前30%的學生，學生甲的成績是76，請估計該學生能否得到表彰，并說明理由．16.(本小題12分)在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為(1,1)，動點P滿足|PA|=(1)求動點P的軌跡C的方程(2)若直線l過點Q(1,2)且與軌跡C相切，求直線l的方程．17.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=b?a2xax?x(a>0且a≠1

(1)求a，b的值；(2)解不等式f(1?x218.(本小題12分)在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M，N分別在正方形對角線BD和BF上移動，且BM和BN的長度保持相等，記BM=BN=a(0<a<(1)證明：MN//平面BCE；(2)當a=22時，求平面MNA與平面19.(本小題12分)“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題，該問題是“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學家托里拆利給出了解答，當△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點P即為費馬點；當△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，最大內(nèi)角的頂點為費馬點；在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c(1)若內(nèi)角A，B，C滿足cos(A?C)+①求B；②若△ABC的面積為3，設點P為△ABC的費馬點，求PA(2)若△ABC內(nèi)一點P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，且PB平分∠ABC，試問是否存在常實數(shù)t使得b2=tac？若存在，求出常數(shù)t，若不存在，請說明理由．參考答案1.A

2.C

3.A

4.D

5.A

6.B

7.B

8.A

9.ABD

10.AC

11.BC

12.?23

13.6

14.(415.解：(1)100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為

x=(35×0.005+45×0.010+55×0.010+65×0.020+75×0.030+85×0.025)×10=68.5

根據(jù)圖象可得，

30,40

對應的頻率為0.05，

40,50

對應的頻率為0.10，

50,60

對應的頻率為0.10，

60,70

對應的頻率為0.20，

70,80

對應的頻率為0.30，

80,90

對應的頻率0.25．設中位數(shù)為t，則t在

70,80

中．(0.005+0.010×2+0.020)×10+(t?70)×0.030=0.5

，解得

t≈71.7

．(2)成績低于70分的頻率為0.45，成績低于80分的頻率為0.75，則被表彰的最低成績?yōu)榈?0%分位數(shù)：

70+0.7?0.450.30所以估計甲不能得到表彰．

16.解：(1)設

Px,y

，

由|PA|=2|PO|

，

化簡得x2+所以P點的軌跡

C

的方程為x2+(2)由(1)知，軌跡

C：(x+1)2+(y+1)2=4表示圓心為當直線l的斜率不存在時，方程為

x=1

，圓心

C(?1,?1)

到直線l的距離為2，

l

與

C

相切；當直線l的斜率存在時，

設

l:y?2=kx?1

，

即

kx?y+2?k=0

，于是

|?2k+3|k2+1=2

，

解得

k=512

，

因此直線

l

的方程為

512所以直線l的方程為

x=1

或

5x?12y+19=0

．

17.解：(1)因為函數(shù)f(x)=b?a2xax?x是定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(0)=0，所以b=1．

又因為f(1)=?52，即b?a2a?1=?52，得a=2，

所以a=2，b=1．

(2)不等式f(1?x2)+f(5x?7)<0可化為f(1?x2)<?f(5x?7)．

又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以得不等式f(1?x2)<f(7?5x)．18.(1)證明：連接DF，CE，

因為正方形ABCD，ABEF邊長均為1，所以BD=BF，

又BM=BN=a(0<a<2)，所以MN//DF．

因為AB/?/EF，AB=EF，AB/?/CD，AB=CD，

所以CD/?/EF，CD=EF，所以四邊形CDFE為平行四邊形，

所以MN//CE，又MN?平面BCE，CE?平面BCE，

所以MN?//平面BCE；

(2)因為面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，CB⊥AB，所以CB⊥面ABEF，又AB⊥BE．

所以以B為原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y因為正方形ABCD，ABEF的邊長為1，BM=BN=則B(0,0,0)，

A(1,0,0),M(12設平面MNA的一個法向量為n1=x,y,z，

則n1·設平面MNB的一個法向量為n2=x′,y′,z′，

則n2·設面MNA與面MNB的夾角為θ，

所以cosθ=n1·n2n1·n2

19.解：(1)?①因為cos(A?C)+cosB=tanAtanCtanAtanC?1，且A+B+C=π，

所以cos(A?C)?cos(A+C)=tanAtanCtanAtanC?1，

所以cosAcosC+sinAsinC?(cosAcosC?sinAsinC)=sinAsinCsinAsinC?cosAcosC，

即2sinAsinC=sinAsinC?cos(A+C)，

因為A∈(0,π)，C∈(0,π)，所以sinA≠0，sinC≠0，所以cosB=12，

因為B∈(0,π)，