廣東省梅州市梅縣東山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期月考（一） 數(shù)學(xué)試卷

東山中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)試題說明：1．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。2．填空題直接把答案填寫在答題卡相應(yīng)橫線上。3．試卷滿分150分，考試用時120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．點到直線的距離為（）A．B．C．D．2．已知直線的傾斜角為，若直線過點，且與直線的傾斜角互余，則直線的方程為（）A．B．C．D．3．已知，與的夾角為，則（）A．B．C．D．4．已知直線，若，則實數(shù)a的值為（）A．B．C．D．5．如圖在一個二面角的棱上有兩個點A，B，線段AC，BD分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，，則這個二面角的度數(shù)為（）A．B．C．D．6．己知直線與的交點在第四象限，則實數(shù)k的取值范圍為（）A．B．C．D．7．已知P為平行四邊形ABCD外的一點，且，則下列結(jié)論正確的是（）A．與是共線向量B．與同向的單位向量為C．與夾角的余弦值為D．平面PBD的一個法向量為8．己知點在直線，點在直線上，且，的最小值為（）A．B．C．D．5二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．若三條直線可以圍成一個三角形，則實數(shù)a的值可以為（）A．B．0C．1D．310．下列說法正確的是（）A．若直線l的方向向量為，直線m的方向向量為，則l與m垂直B．若，則P，A，B，C四點共面C．對空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若點P滿足，則P，A，B，C四點共面D．若為空間的一個基底，則不可構(gòu)成空間的另一個基底11．如圖，在多面體ABCDES中，平面ABCL，四邊形ABCD是正方形，且，，M，N分別是線段BC，SB的中點，Q是線段DC上的一個動點（含端點D，C），則下列說法正確的是（）A．存在點Q，使得B．存在點Q，使得異面直線NQ與SA所成的角為C．三棱錐體積的最大值是D．當點Q自D向C處運動時，直線DC與平面QMN所成的角逐漸增大三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．在空間直角坐標系中，點關(guān)于上平面對稱點的坐標是__________．13．在中，己知，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則頂點C的坐標為__________．14．空間四邊形ABCD中，，且異面直線AD與BC成，求異面直線AB與CD所成角的余弦值為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知直線和直線的交點為P．（1）求過點P且與直線平行的直線方程；（2）若點P到直線距離為，求m的值．16．（15分）如圖，在空間四邊形OABC中，，點E為AD的中點，設(shè)．（1）試用向量表示向量；（2）若，求的值．17．（15分）己知的三個頂點是．（1）求邊AC上的高所在直線的方程；（2）求的角平分線所在直線的方程．18．（17分）如圖，等腰梯形ABCD中，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且．（1）證明：平面平面ACD；（2）若M為PD上的一點，點P到平面ACM的距離為，求平面ACM與平面ACD夾角的余弦值．19．（17分）在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的長，寬，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點與坐標原點重合，如下圖所示．將矩形折疊，使A點落在線段DC上．（I）求折疊前直線AC與直線BD所成角隊銳角）的余弦值；（II）若折痕所在直線的斜率為k，求折痕所在直線的方程（用斜率k表示）；（III）求折痕的長的最大值．可能用到的結(jié)論：函數(shù)在上遞減，在上遞增．

東山中學(xué)2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期月考（一）數(shù)學(xué)參考答案一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.題號12345678答案BBCCBDCD二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得3分。題號91011答案BDABDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。題號121314答案四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．解：（1）聯(lián)立方程組，解得，所以點3分又所求直線與直線平行，所以所求直線的斜率為5分則所求的直線方程為：，即．7分（2）點P的距離為，解方程可得．13分16．解（1），，故，點E為AD的中點，故．7分（2）由題意得，故，故．15分17．解：（1）設(shè)AC邊上的高所在直線的斜率為k，直線AC的斜率，所以，所以，故所求直線方程為，即．6分（2）由題意得，所以，則為等腰三角形，BC的中點為，故，由等腰三角形的性質(zhì)知，AD為的平分線，故所求直線方程為，即．15分18．解：（1）在梯形ABCD中，取AD中點N，連接CN，四邊形ABCN為平行四邊形，，；平面PAC，平面PAC，平面ACD，平面平面ACD．6分（2）分別取AC，AD中點O，G，連接PO，OG，，O為AC中點，，又平面平面ACD，平面平面，平面PAC，平面ACD，O，G分別為AC，AD中點，平面PAC，8分則以O(shè)為坐標原點，正方向為x，y，z軸的正方向，可建立如圖所示空間直角坐標系，9分則，，設(shè)，則，設(shè)平面ACM的法向量，則，解得12分點P到平面ACM的距離，解得：；14分平面軸，平面ACD的一個法向量，15分，16分所以，平面ACD與平面ACM夾角的余弦值為17分19．解：（I）法一：設(shè)AC與BD交于點O，則．在中，，在中，由余弦定理得，故直線AC與直線BD所成角的余弦值為．4分法二：由題設(shè)得．，，故直線AC與直線BD所成角的余弦值為．4分法三：由題設(shè)得．，，，故直線AC與直線BD所成角的余法弦為4分（II）①當時，此時A點與D點重合，折痕所在的直線方程．5分②當時，將矩形折疊后A點落在線段CD上的點為，所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，即．故G點坐標為從而折痕所在的直線與AG的交點坐標（即線段AG的中點）為．折痕所在的直線方程，即．由①②得折痕所在的直線方程為．9分（II）（i）當時，折痕的長為2；10分（ii）當時，①如下圖，折痕所在的直線與邊AD．BC的交點坐標為．這時．12分②如下圖，折痕所在的直線與邊AD、AB的交點坐標為．這時．令，其中，則，令．函數(shù)在上遞減，在上遞增．在上遞減，在上遞增．．，即14分③如下圖，折痕所在的直線與邊CD、AB的交點坐標為．這時．16分綜上述，即折痕的長度平方的最大值為，所以折痕的長度的最大值．17分（不化簡不扣分）部分小題詳解：6．【解析】由題意可得，兩條直線不平行，故它們的斜率不相等，即，由，解得，兩直線的交點在第四象限，則有，解得或，所以實數(shù)k的取值范圍為．故選：D．8．【解折】由已知表示點到點的距離，表示點到點的距離，所以，過點A作，垂足為C，因為直線的方程為，所以，又直線與直線平行，，所以，所以，所以四邊形AMNC為平行四邊形，所以,所以,又，當且僅當C，N，B三點共線時等號成立，所以當點N為線段CB與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，所以點C的坐標為，所以，所以的最小值為5，故選：D．10．【解析】對A，由題意知，所以直線l與m垂直，故A正確；對B，若P，A，B，C四點共面，則共面，因為，所以P，A，B，C四點共面，故B正確；對C，若P，A，B，C四點共面，則且，而，可知，所以P，A，B，C不共面，故C錯誤；對D，不能做為基底，則線性相關(guān)，假設(shè)存在m，n使得，化簡解之可得，則不可作為基底，故D正確．故選：ABD．11．【解析】以A為坐標原點，正方向為x，y，z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，；對于A，假設(shè)存在點，使得，則，又，所以，解得，即點Q與D重合時，，A正確；對于B，假設(shè)存在點，使得異面直線NQ與SA所成的角為，因為．所以，方程無解；所以不存在點Q，B錯誤；對于C，連接AQ，AM，AN，設(shè)，因為，所以當，即點Q與點D重合時，取得最大值2