蘇科版數(shù)學七年級上冊全程通關培優(yōu)(專項卷+章節(jié)復習+期中期末備考)專題3.3代數(shù)式(章節(jié)復習+能力強化卷)特訓（學生版+解析）

2023-2024學年蘇科版數(shù)學七年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題3.3代數(shù)式（章節(jié)復習+能力強化卷）知識點01：代數(shù)式如：16n，2a+3b，34，，等式子，它們都是用運算符號(＋、－、×、÷、乘方、開方)把連接而成的，像這樣的式子叫做代數(shù)式，也是代數(shù)式．知識要點：代數(shù)式的書寫規(guī)范：（1）字母與數(shù)字或字母與字母相乘時，通常把乘號寫成（2）除法運算一般以的形式表示；（3）相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；（4）字母前面的數(shù)字是分數(shù)的，如果既能寫成又能寫成，一般寫成的形式；（5）如果字母前面的數(shù)字是，通常知識點02：整式的相關概念1．單項式：由組成的代數(shù)式叫做單項式，也是單項式．知識要點：（1）單項式的系數(shù)是指（2）單項式的次數(shù)是指單項式中．2．多項式：叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做．知識要點：（1）在多項式中，叫做常數(shù)項．（2）多項式中的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．（3）多項式的次數(shù)是次，有個單項式，我們就把這個多項式稱為．3.多項式的降冪與升冪排列：

把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母．另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母知識要點：（1）利用重新排列時，各項應連同它的符號一起移動位置；

（2）含有多個字母時，只按給定的字母進行排列．4．整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．知識點03：整式的加減1．同類項：所含相同，并且也相同的項叫做同類項．所有的都是同類項．知識要點：辨別同類項要把準“兩相同，兩無關”：（1）“兩相同”是指：①所含相同；②相同；（2）“兩無關”是指：①與無關；②與無關．2．合并同類項：把，叫做合并同類項．知識要點：合并同類項時，只是相加減，所得結果作為系數(shù)，保持不變．3．去括號法則：括號前面是“+”，把括號和它前面的“+”去掉后，原括號里各項的符號都；括號前面是“-”，把括號和它前面的“-”號去掉后，原括號里各項的符號都要．4．添括號法則：添括號后，括號前面是“+”，括號內(nèi)各項的符號都；添括號后，括號前面是“-”，括號內(nèi)各項的符號都要．5．整式的加減運算法則：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用連接，然后一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)1．（2分）（2023七上·龍華期末）某種商品進價為a元，在銷售旺季，提價30%銷售，旺季過后，商品以7折價格開展促銷活動，這時一件商品的售價為（）A．a(chǎn) B．0.7a C．1.03a D．0.91a2．（2分）（2023七上·蒼南期末）圖1是由3個相同小長方形拼成的圖形其周長為24，圖2中的長方形內(nèi)放置10個相同的小長方形，則長方形的周長為（）A． B． C． D．3．（2分）（2023七上·洛川期末）已知，，則代數(shù)式的值為A．38 B．35 C．-35 D．-324．（2分）（2022七上·趙縣期末）嘉琪在進行解方程的思維訓練，其中有一個方程“2y-=y+■”中的■沒印清晰，嘉琪問老師，老師只是說：“■是一個有理數(shù)，該方程的解與當×=2時代數(shù)式5(x-1)-2(x-2)-4的值相同．”嘉琪很快補上了這個有理數(shù)．你認為嘉琪補的這個有理數(shù)是（）A．1 B．-1 C．2 D．-25．（2分）（2023七上·洛川期末）已知x+2y＝7，4m﹣3n＝8，則代數(shù)式（9n﹣4y）﹣2（6m+x）+3的值為（）A．38 B．35 C．﹣35 D．﹣326．（2分）（2023七上·澄城期末）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A． B．C． D．7．（2分）（2022七上·南寧月考）按如圖所示的運算程序，若開始輸入x的值為343，則第2022次輸出的結果為（）A．343 B．1 C．7 D．498．（2分）（2021七上·奉化期末）已知長方形ABCD，，，將兩張邊長分別為a和b（）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．當時，AB的值是（）A．7 B．8 C．9 D．109．（2分）（2021七上·普寧期中）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，如果開始輸入的x的值為10，那么第1次輸出的結果是5，返回進行第二次運算，那么第2次輸出的結果是16，……以此類推，第204次輸出的結果是（）A．1 B．2 C．4 D．510．（2分）（2022·寧波模擬）將四張邊長各不相同的正方形紙片按如圖方式放入矩形內(nèi)（相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙），未被四張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示.設右上角與左下角陰影部分的周長的差為.若知道的值，則不需測量就能知道周長的正方形的標號為（）A．① B．② C．③ D．④二、填空題(共10題；每題2分，共20分)11．（2分）（2023七上·杭州期末）單項式的系數(shù)是；次數(shù)是.12．（2分）（2023七上·江北期末）若，則的值是.13．（2分）（2023七上·蘭溪期末）如圖所示，一塊磚的外墻面積為x，那么圖中殘缺墻面的面積為.14．（2分）（2023七上·慈溪期末）已知，，則.15．（2分）（2023七上·義烏期末）有一個長方體水箱，從里面量得它的深度為，底面長為，寬為，水箱里已盛有深度為的水.若往水箱里放入一個棱長為的立方體鐵塊，則水箱的水深為.16．（2分）（2021七上·安吉期末）《孫子算經(jīng)》是中國古代時期重要的數(shù)學專著，其中包含了“雞兔同籠”“物不知數(shù)”等許多有趣的數(shù)學問題．《孫子算經(jīng)》中記載：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”其譯文為：“有一個正整數(shù)，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的正整數(shù)．”請用含k(k為自然數(shù)）的代數(shù)式表示滿足條件的所有正整數(shù).17．（2分）（2021七上·深圳期中）數(shù)學真奇妙：兩個有理數(shù)a和b，如果分別計算a＋b，a﹣b，ab，的值，發(fā)現(xiàn)有三個結果恰好相同，則b＝．18．（2分）（2020七上·江夏月考）已知a、b、c是非零有理數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc＜0，求＝.19．（2分）（2020七上·海曙月考）下圖是一個程序運算圖，若開始輸入的數(shù)是125，則2020次之后輸出的數(shù)是.20．（2分）（2020七上·南潯期末）已知長方形ABCD，AD>AB，AD=10，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當S2-S1=3b時，AB=。三、解答題(共8題；共61分)21．（5分）（2022七上·利川期末）化簡下列各式：（1）（2分）；（2）（3分）.22．（5分）（2022七上·昌邑期末）一塊三角尺的形狀和尺寸如圖所示，如果圓孔的半徑是r，三角尺的厚度是h，用式子表示這塊三角尺的體積V．若，求V的值（取3）．（5分）（2022七上·豐滿期末）歷史上的數(shù)學巨人歐拉最先把關于x的多項式用記號來表示，把x等于某數(shù)m時的多項式的值用來表示．例如，對于多項式，當時，多項式的值為，若，求的值．24．（8分）（2020七上·高平期中）某電器商銷售一種微波爐和電磁爐，微波爐每臺定價800元，電磁爐每臺定價200元．“雙十一”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一臺微波爐送一臺電磁爐；方案二：微波爐和電磁爐都按定價的90%付款．現(xiàn)某客戶要到該賣場購買微波爐2臺，電磁爐x臺（x＞2）．（1）（4分）若該客戶按方案一購買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）；若該客戶按方案二購買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）（2）（2分）若x＝5時，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？（3）（2分）當x＝5時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．25．（8分）（2023七上·龍華期末）甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，但為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案.在甲超市累計購買商品超過400元后，超出的部分按原價收?。涸谝页匈徺I商品只按原價的收取.設某顧客預計累計購物x元.（1）（4分）當時，分別用代數(shù)式表示顧客在兩家超市購物所付的費用；（2）（4分）當時，該顧客應選擇哪一家超市購物比較合算?說明理由.26．（8分）（2023七上·武義期末）如圖，兩疊規(guī)格相同的杯子整齊地疊放在桌面上，請根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：（1）（4分）按如圖所示疊放一起時，相鄰兩個杯子杯口之間的高度相差cm.（2）（4分）若x個杯子按如圖所示整齊疊放在桌面上，求這些杯子的頂部距離桌面的距離（用含x的代數(shù)式表示）.當時，求這些杯子的頂部距離桌面的距離.27．（12分）（2023七上·成都期末）已知是最小的正整數(shù)，，滿足，且，，分別對應數(shù)軸上的點，，．（1）（4分）請直接寫出，，的值：，，．（2）（3分）若點為一動點，從點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向右運動，則點運動幾秒后，點到點的距離是點到點的距離的2倍？（3）（5分）點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點和點分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為假設運動時間為，的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．28．（10分）（2022七上·大田期中）如圖（1）（3分）【操作感知】如圖①，長方形透明紙上有一條數(shù)軸，是周長為4的圓的直徑，點與數(shù)軸原點重合，將圓從原點出發(fā)沿數(shù)軸正方向滾動1周，點落在數(shù)軸上的點處；將圓從原點出發(fā)沿數(shù)軸負方向滾動半周，點落在數(shù)軸上的點處，折疊長方形透明紙，使數(shù)軸上的點與點重合，此時折痕與數(shù)軸交點表示的數(shù)為.（2）（2分）【建立模型】折疊長方形透明紙，使得數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點重合，則折痕與數(shù)軸交點表示的數(shù)為（用含，的代數(shù)式表示）.（3）（2分）【問題解決】若，，為數(shù)軸上不同的三點，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為-2，如果，，三點中的一點到其余兩點的距離相等，求點表示的數(shù)；（4）（3分）如圖②，若是周長為的圓的直徑，點與數(shù)軸原點重合，將圓從原點出發(fā)沿數(shù)軸正方向滾動2周，點落在數(shù)軸上的點處；將圓從原點出發(fā)沿數(shù)軸負方向滾動周，點落在數(shù)軸上的點處.將此長方形透明紙沿，剪開，將點，之間一段透明紙對折，使其左、右兩端重合，這樣連續(xù)對折次后，再將其展開，求最右端折痕與數(shù)軸交點表示的數(shù).

2023-2024學年蘇科版數(shù)學七年級上冊同步專題熱點難點專項練習專題3.3代數(shù)式（章節(jié)復習+能力強化卷）知識點01：代數(shù)式如：16n，2a+3b，34，，等式子，它們都是用運算符號(＋、－、×、÷、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接而成的，像這樣的式子叫做代數(shù)式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式．知識要點：代數(shù)式的書寫規(guī)范：（1）字母與數(shù)字或字母與字母相乘時，通常把乘號寫成“·”或省略不寫；（2）除法運算一般以分數(shù)的形式表示；（3）字母與數(shù)字相乘時，通常把數(shù)字寫在字母的前面；（4）字母前面的數(shù)字是分數(shù)的，如果既能寫成帶分數(shù)又能寫成假分數(shù)，一般寫成假分數(shù)的形式；（5）如果字母前面的數(shù)字是1，通常省略不寫．知識點02：整式的相關概念1．單項式：由數(shù)與字母的乘積組成的代數(shù)式叫做單項式，單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式．知識要點：（1）單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù)．（2）單項式的次數(shù)是指單項式中所有字母的指數(shù)和．2．多項式：幾個單項式的和叫做多項式．在多項式中，每個單項式叫做多項式的項．知識要點：（1）在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項．（2）多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)．（3）多項式的次數(shù)是n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式．3.多項式的降冪與升冪排列：

把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列．另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列．知識要點：（1）利用加法交換律重新排列時，各項應連同它的符號一起移動位置；

（2）含有多個字母時，只按給定的字母進行降冪或升冪排列．4．整式：單項式和多項式統(tǒng)稱為整式．知識點03：整式的加減1．同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫做同類項．所有的常數(shù)項都是同類項．知識要點：辨別同類項要把準“兩相同，兩無關”：（1）“兩相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)相同；（2）“兩無關”是指：①與系數(shù)無關；②與字母的排列順序無關．2．合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項．知識要點：合并同類項時，只是系數(shù)相加減，所得結果作為系數(shù)，字母及字母的指數(shù)保持不變．3．去括號法則：括號前面是“+”，把括號和它前面的“+”去掉后，原括號里各項的符號都不改變；括號前面是“-”，把括號和它前面的“-”號去掉后，原括號里各項的符號都要改變．4．添括號法則：添括號后，括號前面是“+”，括號內(nèi)各項的符號都不改變；添括號后，括號前面是“-”，括號內(nèi)各項的符號都要改變．5．整式的加減運算法則：幾個整式相加減，通常用括號把每一個整式括起來，再用加、減號連接，然后去括號，合并同類項．一、選擇題(共10題；每題2分，共20分)1．（2分）（2023七上·龍華期末）某種商品進價為a元，在銷售旺季，提價30%銷售，旺季過后，商品以7折價格開展促銷活動，這時一件商品的售價為（）A．a(chǎn) B．0.7a C．1.03a D．0.91a【答案】D【規(guī)范解答】解：這時商品的售價為（元），故答案為：D.【思路點撥】由題意可得：售價為(1+30%)a，然后乘以70%可得打折后的售價.2．（2分）（2023七上·蒼南期末）圖1是由3個相同小長方形拼成的圖形其周長為24，圖2中的長方形內(nèi)放置10個相同的小長方形，則長方形的周長為（）A． B． C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：設小長方形的長為x，寬為y，由圖1得：，∴，由圖2得：長方形ABCD的長AB表示為：，寬AD表示為，∴周長為：故答案為：C.【思路點撥】設小長方形的長為x，寬為y，利用平移的思想，結合圖1可得4x+4y=24，即x+y=6；結合圖2，用含x、y的式子表示出AB、AD、進而根據(jù)矩形的周長計算方法列出式子，根據(jù)整式加減法化簡后再整體代入計算即可.3．（2分）（2023七上·洛川期末）已知，，則代數(shù)式的值為A．38 B．35 C．-35 D．-32【答案】C【規(guī)范解答】解：，當，時，原式.故答案為：C.【思路點撥】根據(jù)去括號、合并同類項法則即可將代數(shù)式變形為-3(4m-3n)-2(x+2y)+3，然后將已知條件代入進行計算.4．（2分）（2022七上·趙縣期末）嘉琪在進行解方程的思維訓練，其中有一個方程“2y-=y+■”中的■沒印清晰，嘉琪問老師，老師只是說：“■是一個有理數(shù)，該方程的解與當×=2時代數(shù)式5(x-1)-2(x-2)-4的值相同．”嘉琪很快補上了這個有理數(shù)．你認為嘉琪補的這個有理數(shù)是（）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】A【規(guī)范解答】當x＝2時代數(shù)式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4

＝5x﹣5﹣2x+4﹣4

＝3x﹣5

＝3×2﹣5

＝1，

即y＝1，

代入方程中，即可得出補的這個有理數(shù)是1

故答案為：A

【思路點撥】先去括號，再合并同類項，得到化簡后的結果，再把a＝1，b＝﹣2代入化簡后的代數(shù)式進行計算即可．5．（2分）（2023七上·洛川期末）已知x+2y＝7，4m﹣3n＝8，則代數(shù)式（9n﹣4y）﹣2（6m+x）+3的值為（）A．38 B．35 C．﹣35 D．﹣32【答案】C【規(guī)范解答】解：∵x+2y＝7，4m-3n＝8，

∴(9n-4y)-2(6m+x)+3=9n-4y-12m-2x+3=-2(x+2y)-3(4m-3n)+3=-2×7-3×8+3=-14-24+3=-35.

故答案為：C.

【思路點撥】待求式可變形為-2(x+2y)-3(4m-3n)+3，然后將已知條件代入進行計算.6．（2分）（2023七上·澄城期末）下面四個整式中，不能表示圖中陰影部分面積的是（）A． B．C． D．【答案】C【規(guī)范解答】解：陰影部分的面積可以表示為：（x+3）（x+2）-2x=x2+3x+6，故A不符合題意；

或表示為x（x+3）+2×3=x（x+3）+6，故B不符合題意；

或表示出為3（x+2）+x2，故D不符合題意；

∵x2+3x+6≠x2+5x，故C符合題意；

故答案為：C

【思路點撥】利用圖形中的數(shù)據(jù)，可知陰影部分的面積可表示為（x+3）（x+2）-2x=x（x+3）+2×3=3（x+2）+x2，據(jù)此可得到不符合題意的選項.7．（2分）（2022七上·南寧月考）按如圖所示的運算程序，若開始輸入x的值為343，則第2022次輸出的結果為（）A．343 B．1 C．7 D．49【答案】C【規(guī)范解答】解：由圖所示的運算程序可知：

第1次輸入x＝343≠1，輸出49，

第2次輸入x＝49≠1，輸出7，

第3次輸入x＝7≠1，輸出1，

第4次輸入x＝1，輸出7，

第5次輸入x＝7≠1，輸出1，

第6次輸入x＝1，輸出7，

∴第2022次輸出為7，

故答案為：C．

【思路點撥】根據(jù)給定的運算程序從輸入343開始，找出輸出的規(guī)律，即可確定第2022次輸出的結果．8．（2分）（2021七上·奉化期末）已知長方形ABCD，，，將兩張邊長分別為a和b（）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．當時，AB的值是（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【規(guī)范解答】解：S1=（AB-a）?a+（CD-b）（AD-a）=（AB-a）?a+（AB-b）（AD-a），S2=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a），∴S2-S1=AB（AD-a）+（a-b）（AB-a）-（AB-a）?a-（AB-b）（AD-a）=（AD-a）（AB-AB+b）+（AB-a）（a-b-a）=b?AD-ab-b?AB+ab=b（AD-AB），∵S2-S1=3b，AD=10，∴b（10-AB）=3b，∴AB=7．故選：A．

【思路點撥】利用面積的和差關系，分別表示出S1和S2，再表示出S2-S1=b（AD-AB），結合S2-S1=3b，AD=10即可求解.9．（2分）（2021七上·普寧期中）如圖所示，在這個數(shù)據(jù)運算程序中，如果開始輸入的x的值為10，那么第1次輸出的結果是5，返回進行第二次運算，那么第2次輸出的結果是16，……以此類推，第204次輸出的結果是（）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】A【規(guī)范解答】解：由數(shù)據(jù)運算程序得，如果開始輸入的x的值為10，那么：第1次輸出的結果是5第2次輸出的結果是16第3次輸出的結果是8第4次輸出的結果是4第5次輸出的結果是2第6次輸出的結果是1第7次輸出的結果是4……綜上可得，從第4次開始，每三個一循環(huán)由可得第204次輸出的結果與第6次輸出的結果相等故答案為：A【思路點撥】先找出規(guī)律：從第4次開始，每三個一循環(huán)，進行計算求解即可。10．（2分）（2022·寧波模擬）將四張邊長各不相同的正方形紙片按如圖方式放入矩形內(nèi)（相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙），未被四張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示.設右上角與左下角陰影部分的周長的差為.若知道的值，則不需測量就能知道周長的正方形的標號為（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【規(guī)范解答】解：設①、②、③、④四個正方形的邊長分別為a、b、c、d，由題意得,（a+d?b?c+b+a+d?b+b?c+c+c）?（a?d+a?d+d+d）=l，整理得，2d=l，則知道l的值，則不需測量就能知道正方形④的周長，故答案為：D.【思路點撥】設①、②、③、④四個正方形的邊長分別為a、b、c、d，右上角陰影部分的周長=a+d?b?c+b+a+d?b+b?c+c+c，左下角陰影部分的周長=a?d+a?d+d+d，根據(jù)兩陰影周長差為l建立方程，求解即可.二、填空題(共10題；每題2分，共20分)11．（2分）（2023七上·杭州期末）單項式的系數(shù)是；次數(shù)是.【答案】；3【規(guī)范解答】解：①由題意可知單項式的系數(shù)為，故答案為：.②由題意可知單項式的次數(shù)為故答案為：3.【思路點撥】單項式的次數(shù)：所有字母的指數(shù)之和叫做這個單項式的次數(shù)；單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù).12．（2分）（2023七上·江北期末）若，則的值是.【答案】0【規(guī)范解答】解：∵，∴，故答案為：0.【思路點撥】利用添括號法則，將待求式子含字母的部分放到一個前面帶負號的括號內(nèi)，進而整體代入計算即可.13．（2分）（2023七上·蘭溪期末）如圖所示，一塊磚的外墻面積為x，那么圖中殘缺墻面的面積為.【答案】【規(guī)范解答】解：圖中殘缺墻面的面積為故答案為：.【思路點撥】由圖形可得：殘缺墻面的面積=三塊磚的外墻面積+半塊磚的外墻面積，然后結合一塊磚的外墻面積為x進行解答.14．（2分）（2023七上·慈溪期末）已知，，則.【答案】3【規(guī)范解答】解：∵，，∴.故答案為：3.【思路點撥】待求式可變形為2(x2+2xy)-(y2+xy)，據(jù)此進行計算.15．（2分）（2023七上·義烏期末）有一個長方體水箱，從里面量得它的深度為，底面長為，寬為，水箱里已盛有深度為的水.若往水箱里放入一個棱長為的立方體鐵塊，則水箱的水深為.【答案】10或30或a+2或1.25a【規(guī)范解答】解：當放入立方體鐵塊后，水面剛好與立方體鐵塊相平時，由題意，得，∴，

∴水深為10cm；當放入立方體鐵塊后，水面剛好與水箱頂部相平時，由題意，得，∴；∴當時，水深為30cm；當時，設此時水深為，由題意，得，∴；當時，設此時水深為，由題意，得，∴，綜上所述，水箱的水深為30或a+2或1.25a.故答案為：10或30或a+2或1.25a.【思路點撥】分類討論：①當放入立方體鐵塊后，水面剛好與立方體鐵塊相平時，根據(jù)水箱的長×寬×鐵塊的棱長=水箱原來水的體積+放入的立方體鐵塊的體積建立方程，求解可得a的值；②當放入立方體鐵塊后，水面剛好與水箱頂部相平時根據(jù)水箱的長×寬×鐵塊的棱長=水箱原來水的體積+放入的立方體鐵塊的體積建立方程，求解可得a的值；根據(jù)水箱容積=水箱原來水的體積+放入的立方體鐵塊的體積建立方程，求解可得a的值，當a≥28時，水深30cm，③當8≤a≤28時，設此時水深為xcm，根據(jù)根據(jù)水箱的長×寬×現(xiàn)在水的深度=水箱原來水的體積+放入的立方體鐵塊的體積建立方程，求解可表示出x；④當a＜8時，設此時水深為ycm，根據(jù)現(xiàn)在鐵塊沒入水的體積+原來水箱中水的體積=水箱的長×寬×現(xiàn)在液面的高度建立方程，求解可表示出y，綜上即可得出答案.16．（2分）（2021七上·安吉期末）《孫子算經(jīng)》是中國古代時期重要的數(shù)學專著，其中包含了“雞兔同籠”“物不知數(shù)”等許多有趣的數(shù)學問題．《孫子算經(jīng)》中記載：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”其譯文為：“有一個正整數(shù)，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合條件的正整數(shù)．”請用含k(k為自然數(shù)）的代數(shù)式表示滿足條件的所有正整數(shù).【答案】105k+23【規(guī)范解答】解：∵一個正整數(shù)，除以3余2，除以7也余2

∴這個正整數(shù)除以21也余2

∵除以21余2的最小正整數(shù)是23

而

∴滿足條件的最小正整數(shù)為23

∵3、5、7的最小公倍數(shù)為3×5×7=105

∴滿足條件的所有正整數(shù)可以表示為：105k+23

故答案為：105k+23。

【思路點撥】根據(jù)余同先求出除以21余2的最小正整數(shù)，再求出除以5余3的最小正整數(shù)，最后利用最小公倍數(shù)將所有正整數(shù)用代數(shù)式表示出來。17．（2分）（2021七上·深圳期中）數(shù)學真奇妙：兩個有理數(shù)a和b，如果分別計算a＋b，a﹣b，ab，的值，發(fā)現(xiàn)有三個結果恰好相同，則b＝．【答案】-1【規(guī)范解答】解：∵有意義，∴b≠0，∴a+b≠a﹣b，∵a+b，a﹣b，ab，的值有三個結果恰好相同，∴ab＝，∴當a＝0，ab＝成立，當a≠0時，即，∴b＝±1，當a＝0時，a+b＝b，a﹣b＝﹣b，ab＝0，＝0，∴此時不能有三個結果恰好相同；當b＝1時，a+b＝a+1，a﹣b＝a﹣1，ab＝a，＝a，∴此時不能有三個結果恰好相同；當b＝﹣1時，a+b＝a﹣1，a﹣b＝a+1，ab＝﹣a，＝﹣a，∴a﹣1＝﹣a或a+1＝﹣a，∴a＝或a＝；∴能使三個結果恰好相同時，b的值為﹣1，故答案為：﹣1．

【思路點撥】由題意可知a=0或b=±1，再分別對a、b的值進行討論，可得b=-1，a=或a＝。18．（2分）（2020七上·江夏月考）已知a、b、c是非零有理數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc＜0，求＝.【答案】1或-1【規(guī)范解答】解：∵a、b、c是非零有理數(shù)，且a＋b＋c＝0，abc＜0，

∴三個數(shù)中只有一個數(shù)是負數(shù)，∴當是異號時，則有，當是同號時，則有，∴的值為1或-1；故答案為：1或-1.【思路點撥】根據(jù)題意易得a、b、c的正負可能是一負兩正，然后進行分類求解即可.19．（2分）（2020七上·海曙月考）下圖是一個程序運算圖，若開始輸入的數(shù)是125，則2020次之后輸出的數(shù)是.【答案】5【規(guī)范解答】解：設n為輸入的次數(shù)，

當n=1：輸入125，∵x≠1，得125÷5=25，

當n=2：輸入25，∵x≠1，得25÷5=5，

當n=3：輸入5，∵x≠1，得5÷5=1，

當n=4：輸入1，∵x=1，得4+1=5，

當n=5：輸入5，∵x≠1，得5÷5=1，

當n=6：輸入1，∵x=1，得4+1=5，

∴當n>4時，每兩次一循環(huán)，第奇數(shù)次是1，第偶數(shù)次是5，

∴當n=2020時，輸出的數(shù)是5.

故答案為：5.

【思路點撥】根據(jù)程序運算圖，代入x的值，根據(jù)結果判斷是否等于1，分別求出每次輸出的數(shù)字，最后得出規(guī)律，當n>4時，每兩次一循環(huán)，第奇數(shù)次是1，第偶數(shù)次是5，從而推出當n=2020時，輸出的數(shù)是5.20．（2分）（2020七上·南潯期末）已知長方形ABCD，AD>AB，AD=10，將兩張邊長分別為a和b（a>b）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2，當S2-S1=3b時，AB=。【答案】7【規(guī)范解答】解：設AB=x,

則S1=10x-a2-b2+(a+b-10)b,S2=10x-a2-b2+(a+b-x)b,

∵S2-S1=3b,

∴10x-a2-b2+(a+b-x)b-10x+a2+b2-(a+b-10)b=3b,

-bx=-7b,

∴x=7.

故答案為：7.【思路點撥】本題運用設而不求的思想，設AB=x,分別吧兩個陰影部分的面積用含a、b和x的代數(shù)式表示，代入給定的關系式，整理化簡即可求值.三、解答題(共8題；共61分)21．（5分）（2022七上·利川期末）化簡下列各式：（1）（2分）；（2）（3分）.【答案】（1）解：（2）解：【思路點撥】（1）先去括號（括號前是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數(shù)要與括號里的每一項都要相乘），再合并同類項即可；

（2）先去括號（括號前是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數(shù)要與括號里的每一項都要相乘），再合并同類項化簡即可.22．（5分）（2022七上·昌邑期末）一塊三角尺的形狀和尺寸如圖所示，如果圓孔的半徑是r，三角尺的厚度是h，用式子表示這塊三角尺的體積V．若，求V的值（取3）．【答案】解：整個三角板的體積為，圓孔的體積為，所以，所求三角板的體積，若a=6cm，r=0.5cm，h=0.2cm，把它們代入上式，得：．答：V的值是3.45cm3．【思路點撥】利用這塊三角尺的體積=三棱柱的體積-圓孔（圓柱）的體積，進行計算即可.23．（5分）（2022七上·豐滿期末）歷史上的數(shù)學巨人歐拉最先把關于x的多項式用記號來表示，把x等于某數(shù)m時的多項式的值用來表示．例如，對于多項式，當時，多項式的值為，若，求的值．【答案】解：∵，，∴，即，∴，即．【思路點撥】將x=-1代入多項式可得，再將x=1代入多項式可得，然后整體代入計算即可.24．（8分）（2020七上·高平期中）某電器商銷售一種微波爐和電磁爐，微波爐每臺定價800元，電磁爐每臺定價200元．“雙十一”期間商場決定開展促銷活動，活動期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案一：買一臺微波爐送一臺電磁爐；方案二：微波爐和電磁爐都按定價的90%付款．現(xiàn)某客戶要到該賣場購買微波爐2臺，電磁爐x臺（x＞2）．（1）（4分）若該客戶按方案一購買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）；若該客戶按方案二購買，需付款元．（用含x的代數(shù)式表示）（2）（2分）若x＝5時，通過計算說明此時按哪種方案購買較為合算？（3）（2分）當x＝5時，你能給出一種更為省錢的購買方案嗎？試寫出你的購買方法．【答案】（1）200x＋1200；180x＋1440（2）解：將x＝5代入方案一的付款中得：200×5＋1200＝2200元，x＝5代入方案二的付款中得：180×5＋1440＝2340元，∵2200元＜2340元，∴當x＝5時，按方案一購買比較合算。（3）解：若該客戶按方案一購買微波爐2臺送電磁爐2臺；再按方案二購買電磁爐3臺．付款金額為：800×2＋200×3×90%＝2140元．∵2140元＜2200元，∴當x＝5時，按此方案購買更為省錢．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意：若該客戶按方案一購買，需付款：800×2＋200（x－2）＝200x＋1200元；若該客戶按方案二購買，需付款：90%×（800×2＋200x）＝180x＋1440元；故答案為：200x＋1200；180x＋1440．【思路點撥】（1）根據(jù)題目提供的兩種不同的付款方式列出代數(shù)式即可；

（2）將x=5分別代入（1）中兩個代數(shù)式分別求出費用，然后比較即可；

（3）根據(jù)題意考慮可以先按方案一購買微波爐2臺送電磁爐2臺；再按方案二購買電磁爐3臺的費用，然后與（2）中的結論比較即得.25．（8分）（2023七上·龍華期末）甲、乙兩家超市以相同的價格出售同樣的商品，但為了吸引顧客，各自推出不同的優(yōu)惠方案.在甲超市累計購買商品超過400元后，超出的部分按原價收?。涸谝页匈徺I商品只按原價的收取.設某顧客預計累計購物x元.（1）（4分）當時，分別用代數(shù)式表示顧客在兩家超市購物所付的費用；（2）（4分）當時，該顧客應選擇哪一家超市購物比較合算?說明理由.【答案】（1）解：當時，由題意可知，在甲超市購物所付費用為：，在乙超市購物所付費用為：；（2）解：當x=1000元時，在甲超市購物所付費用：(元)，在乙超市購物所付費用為：(元)，∵820元800元，∴顧客應選擇乙超市購物比較合算.【思路點撥】（1）當x>400時，根據(jù)400+超過400元的部分的費用即可表示出在甲超市購買的費用；根據(jù)原價×80%可得在乙超市購買的費用；

（2）將x=1000代入（1）的關系式中求出相應的值，然后進行比較即可判斷.26．（8分）（2023七上·武義期末）如圖，兩疊規(guī)格相同的杯子整齊地疊放在桌面上，請根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：（1）（4分）按如圖所示疊放一起時，相鄰兩個杯子杯口之間的高度相差cm.（2）（4分）若x個杯子按如圖所示整齊疊放在桌面上，求這些杯子的頂部距離桌面的距離（用含x的代數(shù)式表示）.當時，求這些杯子的頂部距離桌面的距離.【答案】（1）2（2）解：一個杯子的高度為：cm，每增加一個杯子，所疊杯子的總高度增加，故杯子的頂部距離桌面的距離為：，將代入中得：（cm），故這些杯子的頂部距離桌面的距離為.【規(guī)范解答】解：（1）（cm），故相鄰兩個杯子杯口之間的高度相差；故答案為：2；

【思路點撥】（1）觀察發(fā)現(xiàn)，兩個杯子整齊地疊放在一起高10cm，三個杯子整齊地疊放在一起高12cm，故作差即可得出相鄰兩個杯子杯口之間的高度；

（2）由（1）的計算結果，首先求出一個杯子的高度，進而用一個杯子的高度加上x個杯子疊放在一起增加的高度即可求出杯子的頂部距離桌面的距離；最后將x=10代入所所得的式子計算即可.27．（12分）（2023七上·成都期末）已知是最小的正整數(shù)，，滿足，且，，分別對應數(shù)軸上的點，，．（1）（4分）請直接寫出，，的值：，，．（2）（3分）若點為一動點，從點出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向右運動，則點運動幾秒后，點到點的距離是點到點的距離的2倍？（3）（5分）點以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時點和點分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為假設運動時間為，的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】（1）-1；1；5（2）解：設點P運動x秒后，點P到點A的距離是點P到點C的距離的2倍，

∴PA=2x，

∵點A，C表示的數(shù)分別為-1，5，

∴AC=5-（-1）=6

當點P在點A、C之間時，PC=6-2x，