高一數(shù)學(xué)下冊期末考點(diǎn)大串講(人教A版)第5講數(shù)列求和(專題測試)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

第5講數(shù)列求和（專題測試）第Ⅰ卷（選擇題）一．選擇題（共10小題）1．（2019秋?內(nèi)蒙古期末）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝2，公比q＝2的等比數(shù)列，且bn＝an+an+1．若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝（）A．3?2n﹣3 B．3?2n+1﹣3 C．3?2n D．3?2n+1﹣62．（2018秋?湘西州期末）數(shù)列，，，…，的前n項(xiàng)和為Sn＝（）A． B．+2n C． D．3．（2020?黃州區(qū)校級模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．4．（2019秋?中原區(qū)校級月考）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝5，S5＝20，則數(shù)列{}的前1000項(xiàng)和為（）A． B． C． D．5．（2019秋?沙坡頭區(qū)校級月考）某工廠投資100萬元開發(fā)新產(chǎn)品，第一年獲利10萬元，從第二年開始每年獲利比上一年增加20%，若從第n年開始，前n年獲利總和超過投資的100萬元，則n為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2≈0.3010，lg3＝0.4771）A．5 B．6 C．7 D．86．（2019?龍鳳區(qū)校級模擬）數(shù)列1，，，…，的前n項(xiàng)和為（）A． B． C． D．7．（2018?漳州二模）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，a1+a5＝10，a4是a1和a5的等比中項(xiàng)，則（）A．有最大值9 B．有最大值25 C．沒有最小值 D．有最小值﹣248．（2018秋?渝水區(qū)校級月考）已知函數(shù)（其中0＜φ＜π）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），令an＝f（n），則a1+a2+a3+…+a2019＝（）A．2019 B． C．6057 D．9．（2019秋?廣東期末）已知函數(shù)f（x）的圖象連續(xù)且在（2，+∞）上單調(diào)，又函數(shù)y＝f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a4）＝f（a2016），則{an}的前2019項(xiàng)之和為（）A．0 B．2019 C．4038 D．404010．（2019秋?陜西月考）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：對?n∈N*都有Sn≤M（M為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列{an}為“和斂數(shù)列”，則數(shù)列an＝，bn＝（）n，cn＝，dn＝中是“和斂數(shù)列”的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

第Ⅱ卷（非選擇題）二．填空題（共4小題）11．（2020?安徽模擬）已知數(shù)列{an}中，，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S2n＝．12．（2020?丹東一模）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2＝3，an+1＝Sn+1，則Sn＝．13．（2020?蘇州模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a12＝2，且當(dāng)n≥2時，為Sn和Sn﹣1的等差中項(xiàng)，則S32的值為14．（2020?重慶模擬）數(shù)列{an}滿足an＝（2n﹣1）cos（nπ+2019π），則其前2021項(xiàng)的和S2021＝．評卷人得分三．解答題（共3小題）15．（2020?遼寧一模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿足Sn＝an﹣a1，且a1＝3．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．16．（2020?邢臺模擬）設(shè)等差數(shù)列{an﹣bn}的公差為2，等比數(shù)列{an+bn}的公比為2，且a1＝2，b1＝1．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{2an+2n}的前n項(xiàng)和Sn．17．（2020?綿陽模擬）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，an+1＝2Sn（n∈N*）．（1）求Sn；（2）設(shè)bn＝log3Sn，求使得＞0.99成立的最小自然數(shù)n．第5講數(shù)列求和（專題測試）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2019秋?內(nèi)蒙古期末）已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝2，公比q＝2的等比數(shù)列，且bn＝an+an+1．若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn＝（）A．3?2n﹣3 B．3?2n+1﹣3 C．3?2n D．3?2n+1﹣6【解析】解：數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1＝2，公比q＝2的等比數(shù)列，可得bn＝an+an+1＝2n+2n+1＝3?2n，Sn＝＝6?2n﹣6，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查化簡運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2018秋?湘西州期末）數(shù)列，，，…，的前n項(xiàng)和為Sn＝（）A． B．+2n C． D．【解析】解：數(shù)列1，2，3，…的前n項(xiàng)和為Sn＝（1+2+3+…+n）+（++…）＝+（）＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．3．（2020?黃州區(qū)校級模擬）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【解析】解：∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為＝（﹣1）n﹣1，則數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)和為：＝1＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列求和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4．（2019秋?中原區(qū)校級月考）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝5，S5＝20，則數(shù)列{}的前1000項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【解析】解：設(shè)首項(xiàng)為a1公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4＝5，S5＝20，所以，解得，所以an＝2+（n﹣1）＝n+1，所以＝．所以＝，所以＝．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．5．（2019秋?沙坡頭區(qū)校級月考）某工廠投資100萬元開發(fā)新產(chǎn)品，第一年獲利10萬元，從第二年開始每年獲利比上一年增加20%，若從第n年開始，前n年獲利總和超過投資的100萬元，則n為（）（參考數(shù)據(jù)：1g2≈0.3010，lg3＝0.4771）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】解：設(shè)經(jīng)過n年后獲利總和超過投資的100萬元，所以10+10（1+20%）1+…+10（1+20%）n﹣1＞100，即＞100，所以＝．故n＝7．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．6．（2019?龍鳳區(qū)校級模擬）數(shù)列1，，，…，的前n項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【解析】解：∵所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為＝＝故選：B．【點(diǎn)睛】求數(shù)列的前n項(xiàng)和的問題，一般先求出數(shù)列的通項(xiàng)，利用通項(xiàng)的特點(diǎn)，選擇合適的求和方法．7．（2018?漳州二模）已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，a1+a5＝10，a4是a1和a5的等比中項(xiàng)，則（）A．有最大值9 B．有最大值25 C．沒有最小值 D．有最小值﹣24【解析】解：公差d不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，a1+a5＝10，可得2a1+4d＝10，a4是a1和a5的等比中項(xiàng)，可得a42＝a1a5，即（a1+3d）2＝a1（a1+4d），化為2a1+9d＝0，解得a1＝9，d＝﹣2，則＝＝，可令t＝11﹣2n，可得2n＝11﹣t，則f（t）＝＝﹣（t﹣﹣2），當(dāng)n＝1，t＝9，f（t）＝1；當(dāng)n＝5，t＝1，f（t）＝25，可得f（t）在n＝1到n＝5遞增；當(dāng)n＝6，t＝﹣1，f（t）＝﹣24，n＝7，t＝﹣3，f（t）＝﹣7，可得f（t）在n≥6遞增，則有最小值﹣24，而無最大值，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的單調(diào)性和最值，以及方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．8．（2018秋?渝水區(qū)校級月考）已知函數(shù)（其中0＜φ＜π）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），令an＝f（n），則a1+a2+a3+…+a2019＝（）A．2019 B． C．6057 D．【解析】解：由函數(shù)（0＜φ＜π）的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），則f（3）＝3sin（2π+φ）﹣1＝3sinφ﹣1＝2，所以sinφ＝1，結(jié)合0＜φ＜π，可得φ＝，an＝ncos﹣1，所以a3k﹣2＝（3k﹣2）（﹣）﹣1＝﹣k，a3k﹣1＝（3k﹣1）（﹣）﹣1＝﹣k﹣，a3k＝3k﹣1，所以a3k﹣2+a3k﹣1+a3k═﹣，所以a1+a2+a3+…+a2019＝673×（﹣）＝﹣，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，以及數(shù)列的求和，注意運(yùn)用數(shù)列的并項(xiàng)求和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．9．（2019秋?廣東期末）已知函數(shù)f（x）的圖象連續(xù)且在（2，+∞）上單調(diào)，又函數(shù)y＝f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，若數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a4）＝f（a2016），則{an}的前2019項(xiàng)之和為（）A．0 B．2019 C．4038 D．4040【解析】解：∵函數(shù)y＝f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，且函數(shù)f（x）的圖象連續(xù)且在（2，+∞）上單調(diào)，∴y＝f（x）的圖象關(guān)于x＝2對稱，由數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，且f（a4）＝f（a2016），∴a4+a2016＝4，又{an}是等差數(shù)列，∴a4+a2016＝a1+a2019＝4，∴{an}的前2019項(xiàng)之和為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的平移變換、等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，需熟記公式與性質(zhì)，屬中檔題．10．（2019秋?陜西月考）若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：對?n∈N*都有Sn≤M（M為常數(shù)）成立，則稱數(shù)列{an}為“和斂數(shù)列”，則數(shù)列an＝，bn＝（）n，cn＝，dn＝中是“和斂數(shù)列”的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解析】解：因?yàn)閍n＝＝（﹣）；∴Sn＝（﹣+﹣+…﹣）＝（﹣）；故數(shù)列{an}為“和斂數(shù)列”，因?yàn)閎n＝（）n是等比數(shù)列∴Sn＝＝2[1﹣]＜2；可得數(shù)列{bn}為“和斂數(shù)列”；由cn＝，∴Sn＝3×+5×+7×+……+①；∴Sn＝3×+5×+……++②；①﹣②可得：：Sn＝+2[++……+]﹣＝+2×﹣?Sn＝5﹣（2n+5）×＜5；可得數(shù)列{cn}為“和斂數(shù)列”；因?yàn)閐n＝；所以Sn＝1++（+）+（+++）+……+[+……+]+……＞1+2×+4×+……2n×+……＞1++n×＝；因此Sn不收斂，去括號得到原式也不收斂．可得數(shù)列{dn}不為“和斂數(shù)列”．則是“和斂數(shù)列”有3個．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和和錯位相減法、放縮法，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）11．（2020?安徽模擬）已知數(shù)列{an}中，，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，則S2n＝3（2n﹣1）．【解析】解：∵①，∴當(dāng)n＝1時可得a2＝2，又an+1an+2＝2n+1②，由②÷①可得：出＝2．所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是以a1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是以a2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．故S2n＝+＝3（2n﹣1）．故填：3（2n﹣1）．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)是等比數(shù)列的情況下前2n項(xiàng)和的求法，屬于基礎(chǔ)題．12．（2020?丹東一模）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2＝3，an+1＝Sn+1，則Sn＝2n﹣1．【解析】解：an+1＝Sn+1﹣Sn＝Sn+1，可得Sn+1＝2Sn+1，可化為Sn+1+1＝2（Sn+1），可得數(shù)列{Sn+1}是公比為2的等比數(shù)列，由S2＝3，可得Sn+1＝（S2+1）?2n﹣2＝2n，則Sn＝2n﹣1．故答案為：2n﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2020?蘇州模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a12＝2，且當(dāng)n≥2時，為Sn和Sn﹣1的等差中項(xiàng)，則S32的值為8【解析】解：正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a12＝2，且當(dāng)n≥2時，為Sn和Sn﹣1的等差中項(xiàng)，可得Sn+Sn﹣1＝＝，即為Sn2﹣Sn﹣12＝2，可得{Sn2}是首項(xiàng)、公差均為2的等差數(shù)列，即有Sn2＝2n，由題意可得Sn＝，n∈N*，則S32＝＝8，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，以及等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．14．（2020?重慶模擬）數(shù)列{an}滿足an＝（2n﹣1）cos（nπ+2019π），則其前2021項(xiàng)的和S2021＝2021．【解析】解：由題意，可知cos（nπ+2019π）＝cos（nπ+π+2018π）＝cos（n+1）π，an＝（2n﹣1）cos（n+1）π，①當(dāng)n為奇數(shù)時，n+1為偶數(shù)，此時cos（n+1）π＝1，an＝2n﹣1，②當(dāng)n為偶數(shù)時，n+1為奇數(shù)，此時cos（n+1）π＝﹣1，an＝﹣（2n﹣1），∴an＝，∴S2021＝a1+a2+a3+a4+…+a2019+a2020+a2021＝1﹣3+5﹣7+…+4037﹣4039+4041＝（1﹣3）+（5﹣7）+…+（4037﹣4039）+4041＝（﹣2）×1010+4041＝2021．故答案為：2021．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合，以及運(yùn)用分組求和法計(jì)算前n項(xiàng)和．考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力．本題屬中檔題．三．解答題（共3小題）15．（2020?遼寧一模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿足Sn＝an﹣a1，且a1＝3．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解析】解：（1）由Sn＝an﹣a1①，可得Sn+1＝②，由②﹣①可得an+1＝﹣an，即an+1＝3an．又a1＝3，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，∴an＝3n；（2）由（1）知an＝3n，∵bn＝，∴bn＝，∴Tn＝+3×（）2+5×（）3+…+③，Tn＝（）2+3×（）3+…+（2n﹣3）（）n+④，由③﹣④可得Tn＝+2[（）2+（）3+…+（）n]﹣＝+2×﹣＝﹣，∴Tn＝1