2025屆黑龍江省哈爾濱第六中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆黑龍江省哈爾濱第六中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.2．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3．曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.4．等差數(shù)列中，，則前項的和（）A. B.C. D.5．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則的橫坐標(biāo)為（）A.1 B.C.2 D.36．一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為（）A. B.C. D.7．已知雙曲線C：的右焦點為，一條漸近線被圓截得的弦長為2b，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.8．中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：有一個人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達(dá)目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里9．已知，是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若以為直徑的圓過點P，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.10．如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點，若，則動點的軌跡在（）A.圓上 B.雙曲線上C.拋物線上 D.橢圓上11．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-112．已知橢圓的上下頂點分別為，一束光線從橢圓左焦點射出，經(jīng)過反射后與橢圓交于點，則直線的斜率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線垂直，則__________14．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是_________.15．如圖，橢圓的中心在坐標(biāo)原點，是橢圓的左焦點，分別是橢圓的右頂點和上頂點，當(dāng)時，此類橢圓稱為“黃金橢圓”，則“黃金橢圓”的離心率___________.16．如圖，棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱、的中點，G為面對角線上一個動點，則三棱錐的外接球表面積的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點，且圓心在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)k＝1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值m和最大值M.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線：，點，過點的直線l與拋物線交于A，B兩點：當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點A在第一象限，記的面積為，的面積為，求的最小值20．（12分）如圖，AC是圓O的直徑，B是圓O上異于A，C的一點，平面ABC，點E在棱PB上，且，，.（1）求證：；（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.21．（12分）已知拋物線的焦點為，點為拋物線上一點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個不同的點，為坐標(biāo)原點，若，求實數(shù)的值；22．（10分）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，證明數(shù)列的前n項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】由在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍可得【詳解】由已知，在上是增函數(shù)，則在上恒成立，即，，當(dāng)時，，所以故選：D3、A【解析】利用切點和斜率求得切線方程.【詳解】由，有曲線在點處的切線方程為，整理為故選：A4、D【解析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.5、C【解析】利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，即可求得.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為,,∴，故選：C.6、D【解析】根據(jù)點到直線的距離與點到點之間距離的關(guān)系化簡即可.【詳解】定圓的圓心，半徑為2，設(shè)動圓圓心P點坐標(biāo)為（x，y），動圓的半徑為r，d為動圓圓心到直線的距離，即r，則根據(jù)兩圓相外切及直線與圓相切的性質(zhì)可得，所以，化簡得：∴動圓圓心軌跡方程為故選：D7、A【解析】求出圓心到漸近線的距離，根據(jù)弦長建立關(guān)系即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離為，因為弦長為，圓半徑為，所以，即，因為，所以，則雙曲線的離心率為.故選：A.8、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C9、B【解析】根據(jù)題意，在中，設(shè)，則，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義得，進(jìn)而可得離心率.【詳解】在中，設(shè)，則，又由橢圓定義可知則離心率，故選：B.【點睛】本題考查橢圓離心率的計算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，在焦點三角形中根據(jù)邊角關(guān)系求解.10、A【解析】根據(jù)題意，得到兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意，得到，，再由得到，求出點的軌跡，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，兩兩垂直，以點為坐標(biāo)原點，分別以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為底面是邊長為的正方形，則，，因為為底面內(nèi)的一動點，所以可設(shè)，因此，，因為平面，所以，因此，所以由得，即，整理得：，表示圓，因此，動點的軌跡在圓上.故選：A.【點睛】本題主要考查立體幾何中的軌跡問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.11、C【解析】先通過復(fù)數(shù)的除法運算求出z，進(jìn)而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.12、B【解析】根據(jù)給定條件借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)求出直線AD的方程，進(jìn)而求出點D的坐標(biāo)計算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點，下頂點，左焦點，右焦點，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，反射光線AD必過右焦點，于是得直線AD的方程為：，由得點，則有，所以直線的斜率為.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-3【解析】因為直線與直線垂直，所以考點：本題考查兩直線垂直的充要條件點評：若兩直線方程分別為,則他們垂直的充要條件是14、5【解析】由題可知表示點與點連線的斜率，再畫出可行域結(jié)合圖像知知.【詳解】x，y滿足約束條件，滿足的可行域如圖：則的幾何意義是可行域內(nèi)的點與（﹣3，﹣2）連線的斜率，通過分析圖像得到當(dāng)經(jīng)過A時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值由可得A（﹣2，3），則的最大值是：故答案為5【點睛】(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值15、或【解析】寫出，，求出，根據(jù)以及即可求解，【詳解】由題意，，，所以，，因為，則，即，即，所以，即，解得或（舍）.故答案為：16、【解析】以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系，則，設(shè)，球心，得到外接球半徑關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求出的最小值，即可得到答案；【詳解】解：以DA，DC，分別為x軸，y軸，z軸建系.則，設(shè)，球心，，又.聯(lián)立以上兩式，得，所以時，，為最小值，外接球表面積最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)兩點在圓上利用兩點的距離公式建立關(guān)于的方程，解出值．從而求出圓的圓心和半徑，可得圓的方程【詳解】解：∵圓心在直線，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)點和在圓上，可得解之得.∴圓心坐標(biāo)為，半徑.因此，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是18、（1）增區(qū)間為（2），【解析】（1）求導(dǎo)，由判別式可判斷導(dǎo)數(shù)符號，然后可得；（2）求導(dǎo)，求導(dǎo)數(shù)零點，比較函數(shù)極值和端點函數(shù)值，結(jié)合單調(diào)性可得.【小問1詳解】因為，所以，，因為，所以恒成立所以的增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時，，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因為，所以在區(qū)間上的最大值，最小值為19、（1）.（2）8.【解析】（1）將點代入拋物線方程可解得基本量.（2）設(shè)直線AB為，代入聯(lián)立得關(guān)于的一元二次方程，運用韋達(dá)定理，得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再求函數(shù)最值.【小問1詳解】當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時，，，則代入拋物線方程得，所以拋物線方程是【小問2詳解】設(shè)點，，直線AB方程為，聯(lián)立拋物線整理得：，，∴，，有，由A在第一象限，則，即，∴，可得，又O到AB的距離，∴，而，∴，，當(dāng)，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增；∴的最小值為,此時，.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由圓的性質(zhì)可得，再由線面垂直的性質(zhì)可得，從而由線面垂直的判定定理可得平面PAB，所以得，再結(jié)合已知條件可得平面PBC，由線面垂直的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由已知條件結(jié)合基本不等式可得當(dāng)三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，，從而以O(shè)B，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【小問1詳解】證明：因為AC是圓O的直徑，點B是圓O上不與A，C重合的一個動點，所以.因為平面ABC，平面ABC，所以.因為，且AB，平面PAB，所以平面PAB.因為平面PAB，所以.因為，，且BC，平面PBC，所以平面PBC.因為平面PBC，所以.【小問2詳解】解：因為，，所以，所以三棱錐的體積，（當(dāng)且僅當(dāng)“”時等號成立）.所以當(dāng)三棱錐的體積最大時，是等腰直角三角形，.所以以O(shè)B，OC所在直線分別為x軸，y軸，以過點O且垂直于圓O平面的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.因為∽，所以，因為，，所以，所以，.設(shè)向量為平面的一個法向量，則即令得，.向量為平面ABC的一個法向量，.因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線過點，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】解：由拋物線過點，且，得所以拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立得，，，，則，，即，解得或，又當(dāng)時，直線與拋物線的交點中有一點與原點重合，不符合題意，故舍去；所以實數(shù)的值為.2