易錯(cuò)點(diǎn)02方程與不等式

易錯(cuò)點(diǎn)02方程與不等式1．方程的定義、不等式的性質(zhì)2．方程的解3．不等式（組）的解、整數(shù)解情況4．根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系01方程的定義：需要注意2點(diǎn)，一是方程的最高次數(shù)為1，二是一次項(xiàng)系數(shù)不為0.務(wù)必兩點(diǎn)都要考慮。1.已知關(guān)于的方程是一元一次方程，則的值是A．2 B．0 C．1 D．0或2【分析】根據(jù)一元一次方程的定義，得到關(guān)于的絕對(duì)值的方程，利用絕對(duì)值的定義，解之，把的值代入，根據(jù)是否為0，即可得到答案．【解析】根據(jù)題意得：，整理得：或，解得：或0，把代入得：（不合題意，舍去），把代入得：（符合題意），即的值是0，故選：．1．下列方程中，是一元一次方程的是A． B． C． D．【分析】只含有一個(gè)未知數(shù)（元，并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，是常數(shù)且．【解析】、未知項(xiàng)的最高次數(shù)為2，不是一元一次方程；、符合一元一次方程的定義；、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程；、分母中含有未知數(shù)，不是一元一次方程．故選：．2．下列等式中不是一元一次方程的是A． B． C． D．【分析】利用一元一次方程方程的定義判斷即可．【解析】是一元二次方程，故選：．3．已知方程是關(guān)于的一元一次方程，則的值是．【分析】根據(jù)一元一次方程的特點(diǎn)求出的值．只含有一個(gè)未知數(shù)（元，并且未知數(shù)的指數(shù)是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常數(shù)且，高于一次的項(xiàng)系數(shù)是0．【解析】由一元一次方程的特點(diǎn)得，解得：．故答案為：．02一元一次方程的解以及解方程：計(jì)算思路要清晰、計(jì)算要準(zhǔn)確，否則很容易失分。1．如果是關(guān)于的方程的解，那么的值是A．1 B．2 C． D．【分析】把代入方得出，求出方程的解即可．【解析】把代入方程得：，解得：，故選：．1．若是方程的解，則值為A．0 B．2 C．3 D．4【分析】將代入方程即可求得的值．【解析】把代入方程，得解得．故選：．2．已知關(guān)于的方程的解是，則代數(shù)式的值為A． B．0 C． D．2【分析】先把代入方程得，再把通分得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【解析】把代入方程得，，，．故選：．3．如果關(guān)于的方程有負(fù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】當(dāng)時(shí)，原方程無意義，當(dāng)時(shí)，解一元一次方程，根據(jù)“關(guān)于的方程有負(fù)根”，得到關(guān)于的不等式，解之即可．【解析】根據(jù)題意得：若，則，則，（不合題意，舍去），若，則，則原方程的解為：，則，則，解得：，故選：．03一元一次方程相同解問題：先求出其中一個(gè)方程的解，再代入同解方程中，即可求相關(guān)未知數(shù)的值。1．關(guān)于的方程與方程的解相同，則常數(shù)是A． B．3 C．2 D．【分析】求出第二個(gè)方程的解，代入第一個(gè)方程計(jì)算即可求出的值．【解析】方程，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，解得：，把代入得：，解得：．故選：．1．若關(guān)于的方程與方程的解相同，則的值為A． B．3 C． D．4【分析】先求方程的解，再將所求的解代入方程，求出的值即可．【解析】，，方程與方程的解相同，方程的解，，，故選：．2．關(guān)于的兩個(gè)方程與的解相同，則．【分析】先求方程的解，再代入，求得的值．【解析】解方程，得，把代入，得，解得．故填：4．04二元一次方程的定義、二元一次方程的解1.下列方程中，為二元一次方程的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義逐個(gè)判斷即可．【解析】．是一元一次方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；．是三元一次方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；．是二元二次方程，不是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；．是二元一次方程，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．1．若關(guān)于，的方程是二元一次方程，則2或4．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得到，，然后解不等式和方程得到滿足條件的、的值，然后把、的值代入中計(jì)算即可．【解析】根據(jù)題意得：，，解得：，，，，的值是2或4，故答案為：2或4．2.已知是方程的解，則的值為A． B．3 C．5 D．【分析】把與的值代入方程計(jì)算即可求出的值．【解析】把代入方程得：，解得：3.若方程，，有公共解，則的值為3．【分析】直接利用二元一次方程組的解法得出答案．【解析】方程，，有公共解，，①②得：，故，故方程組的解為：，故，解得：．故答案為：3．04解二元一次方程：注意題目給出的條件，充分利用條件進(jìn)行解答。1.已知二元一次方程，且，則此二元一次方程的正整數(shù)解為A． B． C． D．【分析】將看作已知數(shù)表示出，代入已知不等式求出的范圍，即可做出判斷．【解析】方程，解得：，當(dāng)時(shí)，，則為方程的正整數(shù)解．故選：．1.二元一次方程的一個(gè)整數(shù)解可以是．【分析】本題是開放型題目，答案不唯一，只要符合要求，即是整數(shù)解即可．【解析】二元一次方程，當(dāng)時(shí)，，；所以，是二元一次方程的一個(gè)整數(shù)解．故答案為．；2.已知是關(guān)于、的二元一次方程組的解，則的值為A． B．1 C．7 D．11【分析】根據(jù)方程組的解的意義將、的值代入方程組即可求解．【解析】把，代入方程組，得解得，，．故選：．3．如果實(shí)數(shù)，滿足方程組，則0．【分析】利用加減消元法解出、的數(shù)值，再進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】，①②得，，解得，將代入②得，，解得，，故答案為：0．05一元二次方程的解：靈活運(yùn)用求解的幾種方法，另外，結(jié)合整體代入法進(jìn)行考查時(shí)也是是一個(gè)特別容易出錯(cuò)的點(diǎn)，需特別留意。1．（深圳模擬）已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為A． B．2 C．22 D．30【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，由一元二次方程解的定義得到，則，然后將其代入所求的代數(shù)式，并求值．【解析】、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，， ，故選：．1．（2022?越秀區(qū)一模）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為0，則．【分析】根據(jù)題意把代入方程中，可得，然后根據(jù)一元二次方程的定義可得，即可解答．【解析】把代入中，，，由題意得：，，，故答案為：．2．（2020?宿遷二模）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為0，則值是．【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義，將代入關(guān)于的一元二次方程，然后解關(guān)于的一元二次方程即可．【解析】根據(jù)題意，得滿足關(guān)于的一元二次方程，，解得，；又二次項(xiàng)系數(shù)，即，；故答案為：．3．（滕州市一模）已知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，那么的值為．【分析】由題意知關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，所以直接把一個(gè)根是0代入一元二次方程中即可求出．【解析】是方程的一個(gè)根，，，但時(shí)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)為0，舍去，．故答案為：．06根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系1.已知：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，請(qǐng)化簡(jiǎn)：．【分析】先根據(jù)根的判別式求出的取值范圍，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)去掉絕對(duì)值和根號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)．【解析】關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，△，，，，，，原式．1.（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】根據(jù)原方程可得出：①，②；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出②方程的和的表達(dá)式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出的取值范圍．【解析】由題意，得：，；設(shè)的兩根分別是、；則，；；根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：，即；，解得．2.1．（2010?古冶區(qū)一模）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)的最大值是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由于關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，分情況討論：①當(dāng)即時(shí)，此時(shí)方程為一元一次方程，方程一定有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)即時(shí)，此時(shí)方程為一元二次方程，如果方程有實(shí)數(shù)根，那么其判別式是一個(gè)非負(fù)數(shù)，由此可以確定整數(shù)的最大值．【解析】關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，①當(dāng)即時(shí)，此時(shí)方程為一元一次方程，方程一定有實(shí)數(shù)根；②當(dāng)即時(shí)，此時(shí)方程為一元二次方程，如果方程有實(shí)數(shù)根，那么其判別式是一個(gè)非負(fù)數(shù)，△，解之得，整數(shù)的最大值是4．故選：．3．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且【分析】根據(jù)已知得出方程為一元二次方程，即且，求出即可．【解析】①當(dāng)，即時(shí)，方程為，此時(shí)方程有一個(gè)解，不符合題意；②當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：且．故選：．07分式方程的解：需要特別注意求解分式方程時(shí)需要驗(yàn)根，注意求出的解是否為增根的情況。1.關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是A． B．且 C． D．且【分析】先解關(guān)于的分式方程，求得的值，然后再依據(jù)“解是正數(shù)”建立不等式求的取值范圍．【解析】去分母得，方程的解是正數(shù)即又因?yàn)閯t的取值范圍是且故選：．1.（2021?香洲區(qū)模擬）已知關(guān)于的方程．（1）若方程的解大于2，求的取值范圍；（2）當(dāng)為何值時(shí)，存在以，，為三邊長(zhǎng)的直角三角形？【分析】（1）解分式方程，用表示，根據(jù)分式的最簡(jiǎn)公分母，字母系數(shù)，方程的解大于2，列不等式，求出公共的解集；（2）分兩種情況：①為斜邊的直角三角形，②為斜邊的直角三角形，根據(jù)勾股定理求出的值．【解析】（1）去分母得，，去括號(hào)得，，，，且，，，，，方程的解大于2，，，綜上所述：的取值范圍；（2），①為斜邊的直角三角形，得，解得或（舍去），②為斜邊的直角三角形，得，解得，綜上所述：當(dāng)或時(shí)，存在以，，為三邊長(zhǎng)的直角三角形．2.（2022?普寧市一模）分式方程的解是．【分析】按照解分式方程的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的根，故答案為：．3.（2022?天河區(qū)二模）方程的解是．【分析】按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的根，故答案為：．08不等式：不等式的性質(zhì)、1．（2022?禪城區(qū)校級(jí)三模）下列結(jié)論中，正確的是A．若，，則 B．若，則， C．若，，則 D．若，則【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)判斷，選項(xiàng)；根據(jù)有理數(shù)的乘法法則判斷，選項(xiàng)．【解析】選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)，也可能是，，故該選項(xiàng)不符合題意；選項(xiàng)，若，，則，故該選項(xiàng)符合題意；選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)不成立，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：．1．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）已知實(shí)數(shù)、，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【解析】、，，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；、，，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意；、，，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)符合題意；、，，原變形正確，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：．2．（2021?高新區(qū)模擬）下列不等式變形正確的是A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得【分析】根據(jù)不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變；等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，可得答案．【解析】、等式的兩邊都減2，不等號(hào)的方向不變，故錯(cuò)誤；、如，，，得，故錯(cuò)誤；、不等式的兩邊都乘以，不等號(hào)的方向改變，故正確；、如，，，得，故錯(cuò)誤．故選：．3．（2022?大慶模擬）已知實(shí)數(shù)，滿足，且，，則的取值范圍．【分析】根據(jù)，可以得到與的關(guān)系，根據(jù)，，可以得到的取值范圍，從而可以得到的取值范圍．【解析】，且，，，解得，，，，故答案為：．09不等式的解集及在數(shù)軸上表示不等式1.若關(guān)于的不等式組的解集是，則的取值范圍是．【分析】根據(jù)不等式組的解集，可判斷與2的大小．【解析】因?yàn)椴坏仁浇M的解集是，根據(jù)同大取較大原則可知：，當(dāng)時(shí)，不等式組的解集也是，所以．故答案為：．1.若不等式的解集是，則不等式的解集是．【分析】根據(jù)不等式的解集是可求得的值；再將的值代入不等式即可求得不等式的解集．【解析】不等式的解集是，不等式的解集是，，即；將代入不等式得，，移項(xiàng)得，，解得：．2.（2022?梅州模擬）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是A． B． C． D．【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【解析】由，得：，由，得：，則不等式組的解集為，故選：．3．（2022?長(zhǎng)春模擬）把不等式組的解集表示在數(shù)軸上，下列選項(xiàng)正確的是A． B． C． D．【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．【解析】由解得，由解得，不等式的解集是，在數(shù)軸上表示如圖，故選：．10一元一次不等式的整數(shù)解1.（2022?惠來縣二模）不等式的非負(fù)整數(shù)解有0，1，2，3個(gè)．【分析】首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再?gòu)牟坏仁降慕饧姓页鲞m合條件的非負(fù)整數(shù)即可．【解析】，，所以不等式的非負(fù)整數(shù)解是0，1，2，3．故答案為0，1，2，3．1．（2021?集賢縣模擬）若關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是1，2，3，則整數(shù)的最大值是13．【分析】先解不等式得到，再根據(jù)正整數(shù)解是1，2，3得到時(shí)，然后從不等式的解集中找出適合條件的最大整數(shù)即可．【解析】解不等式，得．關(guān)于的不等式的正整數(shù)解是1，2，3，，，整數(shù)的最大值是13．故答案為13．2．（2022?鹽田區(qū)一模）先化簡(jiǎn)，再代入求值：（其中的值是不等式的正整數(shù)解）．【分析】先將分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后對(duì)不等式進(jìn)行求解，并在不等式的正整數(shù)解中選出使原式有意義的數(shù)代入求解．【解析】，，，，把代入上式得：原式．3．（2022?廣東模擬）求不等式的正整數(shù)解．【分析】求出不等式的解集后，然后在解集范圍內(nèi)找出符合條件的正整數(shù)解即可．【解析】，，，，，它的正整數(shù)解是1，2，3，4，5．一．選擇題（共10小題）1．（2021?饒平縣校級(jí)模擬）關(guān)于的方程與方程的解相同，則常數(shù)是A． B．3 C．2 D．【分析】求出第二個(gè)方程的解，代入第一個(gè)方程計(jì)算即可求出的值．【解析】方程，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，解得：，把代入得：，解得：．故選：．2．（2021?封開縣一模）方程組的解為，則點(diǎn)在第象限．A．一 B．二 C．三 D．四【分析】把，的值代入所給方程組可得，的值，可得，的符號(hào)，進(jìn)而可得所在象限．【解析】把方程的解代入所給方程組得，解得，點(diǎn)在第一象限，故選：．3．（2022?臨海市一模）已知，則下列結(jié)論中一定正確的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得答案．【解析】、不等式的兩邊都乘，再加4，即，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、不等式的兩邊都乘，再加3，即，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；、不等式的兩邊都乘，再加4，即，也即，原變形正確，故此選項(xiàng)符合題意；、不等式的兩邊都乘，再加4，即，原變形錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：．4．（2022?龍崗區(qū)二模）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是A． B． C． D．【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，然后把不等式的解集表示在數(shù)軸上即可．【解析】不等式組的解集為，在數(shù)軸上表示為．故選：．5．（2022?紫金縣二模）如圖，和5分別是天平上兩邊的砝碼的質(zhì)量，則的取值范圍在數(shù)軸上可表示為A． B． C． D．【分析】根據(jù)圖示，可得不等式的解集，可得答案．【解析】由題意得：．故選：．6．（2022?中山市三模）已知、是不為0的實(shí)數(shù)，則下列選項(xiàng)中，解集可以為的不等式組是A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式組的解集可得且，從而可得且，進(jìn)而可得或且，即可解答．【解析】不等式組的解集為：，且，且，、是不為0的實(shí)數(shù)，或且，故選：．7．（2022?南海區(qū)校級(jí)模擬）關(guān)于的不等式組有解，則的值可以是A． B． C． D．【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，不等式組有解，，的值可以是，故選：．8．（2022?東陽(yáng)市模擬）方程的解是A． B． C．， D．，【分析】利用解一元二次方程因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解析】，，，，，，故選：．9．（2022春?新興縣期中）若二元一次方程，和有公共解，則的取值為A． B． C．3 D．4【分析】將，組成方程組，求出、的值，再代入，求出的值．【解析】將，組成方程組得，，解得，將代入得，，解得，．故選：．10．（2020秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）已知是關(guān)于的一元一次不等式，則的值為A．4 B．2 C．4或2 D．不確定【分析】根據(jù)一元一次不等式的定義，，，分別進(jìn)行求解即可．【解析】根據(jù)題意，，所以，，解得．故選：．二．填空題（共5小題）11．（2022?越秀區(qū)一模）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為0，則．【分析】根據(jù)題意把代入方程中，可得，然后根據(jù)一元二次方程的定義可得，即可解答．【解析】把代入中，，，由題意得：，，，故答案為：．12．（2022?海曙區(qū)自主招生）如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】根據(jù)原方程可得出：①，②；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可求出②方程的和的表達(dá)式，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理求出的取值范圍．【解析】由題意，得：，；設(shè)的兩根分別是、；則，；；根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：，即；，解得．13．（2022?河源